Файл: Математический анализ.pdf

Определение 6.1.3. Рассмотрим ряд, членами которого являются функции u
n
(x), x ∈ E:
u
1
(x) + u
2
(x) + · · · + u n
(x) + · · · =
∞
X
n=1
u n
(x).
(6.1.3)
Ряд (6.1.3) называется функциональным рядом.
Предположим, что этот ряд сходится при любом фиксированном x ∈ E. Обозна- чим его сумму S(x):
S(x) = lim n→∞
S
n
(x),
S
n
(x) =
n
X
k=1
u k
(x),
x ∈ E.
(6.1.4)
И вновь возникает вопрос о функциональных свойствах суммы ряда S(x). Об- ратим внимание, что и здесь стандартные утверждения типа "Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная" неверны, так как речь идет о сумме бесконеч- ного числа слагаемых u n
(x).
Заметим, что функцию S(x) можно рассматривать как предельную функцию для функциональной последовательности частичных сумм ряда (6.1.3)
S
1
(x), S
2
(x), . . . , S
n
(x), . . .
(6.1.5)
и, таким образом, проводить изучение свойств S(x), используя теорию функциональ- ных последовательностей.
O
1 1
n = 1
n = 2
Рис 6.1.1. Графики функций f n
(x) = x n
Верно и обратное. Имея функциональную последовательность (6.1.1), можно пре- дельную функцию этой последовательности представить как сумму функционально- го ряда (6.1.3):
f (x) =
∞
X
n=1
u n
(x),
где u
1
(x) = f
1
(x),
u n
(x) = f n
(x) − f n−1
(x),
n = 2, 3, . . . .
Таким образом, нет необходимости отдельно доказывать теоремы для последова- тельности (6.1.1) и для ряда (6.1.3). Формулировки же этих теорем легко следуют одна из другой. С определенной долей условности можно сказать, что в приложени- ях математического анализа чаще используется понятие функционального ряда, а в теории — функциональной последовательности.
– 171 –

Рассмотрим три примера конкретных функциональных последовательностей и соответствующих предельных функций.
Пример 6.1.1. Исследовать на сходимость последовательность f n
(x) = x n
, x ∈
E = [0, 1], n = 1, 2, . . .
Решение. Найдем предельную функцию f (x).
Пусть x = 1, тогда f n
(1) = 1 и f (1) = lim n→∞
1 = 1. Если x ∈ [0, 1), то f(x) =
lim n→∞
x n
= 0.
На рис. 6.1.1 представлены графики функций f n
(x), а на рис. 6.1.2 — график предельной функции f(x).
Отметим, что предельная функция f(x) терпит разрыв в точке x = 1, в то время как все функции f n
(x) непрерывны в этой точке.
O
1 1
Рис 6.1.2. График предельной функции последовательности f n
(x) = x n
Пример 6.1.2. Найти предел последовательности f
n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
,
x ∈ E = [0, 1], n = 1, 2 . . . .
Решение. Очевидно, что предельная функция f (x) = lim n→∞
nx
1 + n
2
x
2
= 0
для x ∈ [0, 1].
O
1 1
2 1
n
Рис 6.1.3. Графики функций f n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
Дадим геометрическую иллюстрацию. График функции f
1
(x) =
x
1 + x
2
– 172 –

легко построить, используя стандартные приемы дифференциального исчисления.
График функции f n
(x) можно получить путем "сжатия" графика функции f
1
(x)
вдоль оси OX в n раз (в системе координат (x
′
, y), x
′
= nx график функции f n
(x)
выглядит так же, как график f
1
(x) в системе координат (x, y)) (рис. 6.1.3).
Отметим, что в рассматриваемом примере предельная функция f(x) ≡ 0 непре- рывна.
Пример 6.1.3. Найти предел последовательности f
n
(x) =
x
1 + n
2
x
2
,
x ∈ E = [0, 1], n = 1, 2 . . . .
Решение. Очевидно, что предельная функция f (x) = lim n→∞
x
1 + n
2
x
2
= 0
для x ∈ [0, 1].
Графики функций f n
(x) в этом примере получаются из графиков функций f n
(x)
примера 6.1.2 "сжатием" в n раз вдоль оси OY (рис. 6.1.4).
O
1 1
2 1
2n
1
n
Рис 6.1.4. Графики функций f n
(x) =
x
1 + n
2
x
2 6.2. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости
6.2.1. Определение равномерной сходимости. Анализируя процесс сходи- мости функциональной последовательности к предельной функции в примерах 6.1.2
и 6.1.3, можно отметить принципиальное различие в стремлении f n
(x) к f (x) при n → ∞. Если в примере 6.1.3 графики функций f n
(x) приближаются к графику предельной функции f(x) = 0 одновременно для всех x из промежутка [0, 1], то в примере 6.1.2 такое одновременное для все x ∈ [0, 1] сближение графиков отсутству- ет: для любого n ∈ N существует точка x n
=
1
n
,
x n
∈ [0, 1], такая, что f
n
(x n
) − f(x n
) =
1 2
Если выразить эти различия строго, то следует сказать, что в примере 6.1.3 имеет место равномерная сходимость последовательности {f n
(x)} к предельной функции f (x) на множестве E = [0, 1], а в примере 6.1.2 равномерная сходимость на этом множестве отсутствует.
Дадим точное определение. Обозначим через ρ
n величину sup x∈E
f(x) − f n
(x)
,
предполагая, что она конечна (ρ
n
=
1 2n в примере 6.1.3 и ρ
n
=
1 2
в примере 6.1.2).
– 173 –

Определение 6.2.1. Последовательность {f n
(x)} сходится равномерно на мно- жестве E к предельной функции f (x) при n → ∞, если ρ
n
→ 0, когда n → ∞.
В противном случае говорят, что последовательность сходится неравномерно на множестве E.
Теперь уже ясно, что последовательность {f n
(x)} из примера 6.1.3 сходится рав- номерно к своей предельной функции f(x) на множестве E = [0, 1], так как
ρ
n
=
1 2n
−→ 0 (n → ∞),
а последовательность из примера 6.1.2 сходится неравномерно на том же множестве
(а только в каждой точке).
Исследуем на равномерную сходимость последовательность {f n
(x)} из приме- ра 6.1.1. Вычислим ρ
n
:
ρ
n
= sup x∈[0,1]
f(x) − f n
(x)
= sup x∈[0,1)
0 − x n
= 1.
Второе равенство в этой цепочке справедливо, так как супремум в точке x = 1
достигаться не может f(1) − f n
(1) = 0

Последовательность f n
(x) = x n
сходится неравномерно на множестве [0,1] и на множестве [0, 1) тоже.
Нужно также понимать, что равномерная сходимость зависит и от множества, на котором мы ее исследуем. Так в примере 6.1.1, если мы рассмотрим не всю область сходимости, а, например, отрезок [0, 1/2], то ρ
n
= 1/2
n
→ 0 при n → ∞. Поэтому на данном множестве равномерная сходимость имеет место.
Часто используют и другое определение равномерной сходимости.
Определение 6.2.2. Последовательность {f n
(x)} сходится равномерно на мно- жестве E к предельной функции f (x) при n → ∞, если
∀ε > 0 ∃N
ε
∈ N ∀n > N
ε
∀x ∈ E ⇒
f(x) − f n
(x)
< ε.
(6.2.1)
Эквивалентность определений 6.2.1 и 6.2.2 очевидна.
Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда на множестве E.
Определение 6.2.3. Функциональный ряд (6.1.3) равномерно сходится на мно- жестве E, если последовательность его частичных сумм {S
n
(x)} равномерно схо- дится на множестве E к своей предельной функции S(x).
6.2.2. Критерий Коши. Сформулируем и докажем критерий Коши равномер- ной сходимости функциональной последовательности.
Теорема 6.2.1 (критерий Коши). Для того чтобы функциональная последова- тельность {f n
(x)} равномерно сходилась на множестве E, необходимо и доста- точно, чтобы
∀ε > 0 ∃N
ε
∈ N ∀n > N
ε
∀p > 0 ∀x ∈ E ⇒
f n+p
(x) − f n
(x)
< ε.
(6.2.2)
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {f n
(x)} сходится равномерно на множестве E к своей предельной функции f(x). Проверим выполне- ние условия (6.2.2). Зафиксируем ε > 0 и подберем N, используя определение 6.2.2.
А теперь оценим величину f
n+p
(x) − f n
(x)
для n > N.
f n+p
(x) − f n
(x)
=
f n+p
(x) − f(x) + f(x) − f n
(x)
6
– 174 –

6
f n+p
(x) − f(x)
+
f(x) − f n
(x)
< 2ε
для всех x ∈ E, и условие (6.2.2) выполнено.
Достаточность. Пусть выполнено условие (6.2.2). Зафиксируем x ∈ E. Тогда условие (6.2.2) превращается в условие Коши сходимости числовой последователь- ности {f n
(x)}, значит, эта последовательность сходится к числу f(x). Таким образом,
установлена поточечная сходимость функциональной последовательности {f n
(x)} к предельной функции f(x). Запишем теперь неравенство из условия (6.2.2):
f n+p
(x) − f n
(x)
< ε, ∀n > N, ∀x ∈ E,
и перейдем в нем к пределу при p → ∞. Получим неравенство f(x) − f n
(x)
6 ε, ∀n > N, ∀x ∈ E.
Так как последнее неравенство выполняется для всех x ∈ E, то и
ρ
n
= sup x∈E
f(x) − f n
(x)
6 ε ∀n > N
или ρ
n
−→ 0 при n → ∞. А это означает равномерную сходимость последовательно- сти {f n
(x)} на множестве E.
2
Запишем два очевидных утверждения.
Теорема 6.2.2. Пусть даны две равномерно сходящиеся на множестве E функ- циональные последовательности {f n
(x)},
{ϕ
n
(x)} и α — действительное число.
Тогда последовательности
{f n
(x) + ϕ
n
(x)} и {αf n
(x)}
также равномерно сходятся на множестве E.
Теорема 6.2.3. Если последовательность {f n
(x)} равномерно сходится на мно- жестве E и E
′
⊂ E, то {f n
(x)} сходится равномерно и на множестве E
′
6.2.3. Признаки равномерной сходимости. Докажем ряд признаков равно- мерной сходимости. Рассмотрим ряд
∞
X
n=1
u n
(x).
(6.2.3)
Теорема 6.2.4 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости).
Если члены ряда (6.2.3) удовлетворяют на множестве E неравенствам u
n
(x)
6 a n
(n = 1, 2, . . . ),
где a n
— вещественные числа, и если числовой ряд
∞
X
n=1
a n
(6.2.4)
сходится, то функциональный ряд (6.2.3) сходится на множестве E абсолютно и равномерно.
Доказательство. Проверим выполнение условия (6.2.2) для последовательности частичных сумм S
n
(x). В силу сходимости числового ряда (6.2.4) справедливо сле- дующее утверждение:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p > 0 ⇒ a n+1
+ a n+2
+ · · · + a n+p
< ε.
(6.2.5)
– 175 –

Зафиксируем ε > 0 и оценим величину
S
n+p
(x) − S
n
(x)
, предполагая, что n > N и
N найдено из условия (6.2.5):
S
n+p
(x) − S
n
(x)
6
u n+1
(x) + u n+2
(x) + · · · + u n+p
(x)
6 6
u n+1
(x)
+
u n+2
(x)
+ · · · +
u n+p
(x)
6 6
a n+1
+ a n+2
+ · · · + a n+p
< ε,
т.е.
S
n+p
(x) − S
n
(x)
< ε для ∀n > N, ∀p > 0, ∀x ∈ E,
что и означает равномерную и абсолютную сходимость функционального ряда на множестве E.
2
Прежде чем сформулировать следующий признак, дадим несколько определений.
Определение 6.2.4. Говорят, что семейство функций F = {f}, f : E → Y ⊂
R
равномерно ограничено на множестве E, если существует такое число M , что для любой функции f ∈ F справедливо соотношение f(x)
6 M для всех x ∈ E.
Определение 6.2.5. Последовательность функций {f n
(x)},
f n
: E → Y ⊂
R
, называется возрастающей на множестве E, если для любого x
0
∈ E таковой является числовая последовательность {f n
(x
0
)}.
Аналогично определяется убывающая функциональная последовательность.
Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными.
Теорема 6.2.5 (признак Абеля равномерной сходимости). Если на множестве
E для ряда
∞
X
n=1
a n
(x)b n
(x)
(6.2.6)
выполнены условия
1) ряд
∞
P
n=1
a n
(x) равномерно сходится на множестве E;
2) последовательность функций {b n
(x)} монотонна на E;
3) последовательность функций {b n
(x)} равномерно ограничена на E,
то ряд (6.2.6) сходится равномерно на E.
Теорема 6.2.6 (признак Дирихле равномерной сходимости). Если на множе- стве E для ряда (6.2.6) выполнены условия
1) частичные суммы S
a n
(x) =
n
P
k=1
a k
(x) ряда
∞
P
n=1
a n
(x) равномерно ограничены на
E;
2) последовательность функций {b n
(x)} монотонна на множестве E;
3) последовательность функций {b n
(x)} равномерно стремится к нулю на мно- жестве E,
то ряд (6.2.6) сходится равномерно на E.
Доказательство этих признаков проходит также, как доказательство признаков
Абеля и Дирихле (теоремы 5.4.2 и 5.4.3) сходимости ряда только используется кри- терий Коши равномерной сходимости.
– 176 –

6.3. Предельный переход под знаком функциональной последовательности и функционального ряда
Докажем теорему.
Теорема 6.3.1. Пусть на множестве E задана функциональная последователь- ность {f n
(x)}, для которой выполняются два условия:
1) последовательность {f n
(x)} равномерно сходится на множестве E к своей предельной функции f (x);
2) существует lim x→x
0
x∈E
f n
(x) = a n
для всех n ∈ N (x
0
— предельная точка множества E).
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) последовательность {a n
} сходится, lim n→∞
a n
= A;
2) существует lim x→x
0
f (x), и он равен A, т.е.
lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
lim n→∞
f n
(x) = lim n→∞
lim x→x
0
f n
(x).
Доказательство. Запишем условие Коши равномерной сходимости последова- тельности {f n
(x)} (теорема 6.2.1):
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p > 0 ∀x ∈ E ⇒ |f n+p
(x) − f n
(x)| < ε.
Переходя к пределу в последнем неравенстве при x → x
0
, получим (см. условие 2
рассматриваемой теоремы):
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p > 0 ⇒ |a n+p
− a n
| 6 ε,
что означает сходимость числовой последовательности {a n
}. Обозначим ее предел через A:
lim n→∞
a n
= A,
и утверждение 1 теоремы 6.3.1 доказано.
Докажем теперь второе утверждение теоремы. По определению предела функции необходимо оценить величину f(x)−A
в окрестности точки x
0
. Зафиксируем число
ε > 0 и выберем номер n
0
так, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:
f(x) − f n
0
(x)
<
ε
3
,
для всех x ∈ E,
A − a n
0
<
ε
3
Это можно сделать в силу равномерной сходимости последовательности {f n
(x)} к f (x) на множестве E и в силу того, что lim n→∞
a n
= A.
Так как lim x→x
0
f n
0
(x) = a n
0
, то для фиксированного ε > 0 выполняется условие
∃δ > 0 ∀x ∈ E 0 < |x − x
0
| < δ =⇒
f n
0
(x) − a n
0
<
ε
3
Теперь f(x) − A
6
f(x) − f n
0
(x)
+
f n
0
(x) − a n
0
+
a n
0
− A
< ε,
– 177 –

лишь только x ∈ E удовлетворяет неравенству
0 < |x − x
0
| < δ,
и теорема доказана.
2
Как простое следствие доказанного утверждения получается теорема.
Теорема 6.3.2. Если члены функциональной последовательности {f n
(x)} непре- рывны в точке x
0
∈ E и последовательность сходится равномерно на множестве
E, то предельная функция {f(x)} непрерывна в точке x
0
Для доказательства теоремы достаточно заметить, что величина a n
, n = 1, 2, . . . ,
из теоремы 6.3.1 в новых условиях равна f n
(x
0
), тогда A = f (x
0
), и окончательно получается равенство lim x→x
0
f (x) = f (x
0
).
2
Сформулируем аналоги теорем 6.3.1 и 6.3.2 для функциональных рядов.
Теорема 6.3.3. Пусть члены функционального ряда
∞
X
n=1
u n
(x)
(6.3.1)
определены на множестве E, причем выполнены два условия:
1) ряд
∞
P
n=1
u n
(x) сходится равномерно на множестве E к S(x);
2) для предельной точки x
0
множества E существует lim x→x
0
u n
(x) = a n
для всех n ∈ N.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ряд
∞
P
n=1
a n
сходится к сумме A;
2) существует lim x→x
0
S(x) = A, т.е. lim x→x
0
∞
P
n=1
u n
(x) =
∞
P
n=1

Теорема 6.4.1. Пусть на отрезке [a, b] задана последовательность {f n
(x)}
непрерывных функций, равномерно сходящаяся на этом множестве к предельной функции f (x).
Тогда последовательность n
x
Z
a f
n
(t) dt o
сходится равномерно для x ∈ [a, b] к своей предельной функции x
Z
a f (t) dt при n → ∞,
т.е.
lim n→∞
x
Z
a f
n
(t) dt =
x
Z
a lim n→∞
f n
(t) dt =
x
Z
a f (t) dt
(6.4.1)
и, в частности,
lim n→∞
b
Z
a f
n
(t) dt =
b
Z
a f (t) dt.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что предельная функция f (x)
непрерывна на отрезке [a, b] и, значит, интегрируема на этом отрезке. Необходимо доказать равенство (6.4.1) и равномерную сходимость для x ∈ [a, b]:
x
Z
a f (t) dt −
x
Z
a f
n
(t) dt
6
x
Z
a f(t) − f n
(t)
dt 6
b
Z
a
ρ
n dt = ρ
n
· (b − a),
где ρ
n
= max x∈[a,b]
f(x) − f n
(x)
−→ 0, n → ∞.
2
Замечание 6.4.1. Условие непрерывности функций f n
(x), n = 1, 2, . . . в теоре- ме 6.4.1 не является обязательным. Можно было бы потребовать только инте- грируемость этих функций, несколько усложнив доказательство.
Сформулируем аналог теоремы 6.4.1 для функционального ряда, оставляя дока- зательство читателю.
Теорема 6.4.2. Пусть члены функционального ряда (6.3.1) определены и непре- рывны на отрезке [a, b], ряд сходится равномерно на этом отрезке и его сумма есть функция S(x).
Тогда x
Z
x
0
S(t) dt =
∞
X
n=1
x
Z
x
0
u n
(t) dt (a 6 x
0 6
b),
причем сходимость ряда в последнем равенстве равномерная для x ∈ [a, b].
В частности,
b
Z
a
S(t) dt =
∞
X
n=1
b
Z
a u
n
(t) dt,
т.е. ряд (6.3.1) можно почленно интегрировать.
– 179 –