Файл: Математический анализ.pdf

Получим теперь формулу приведения для функции Γ(p):
Γ(p + 1) = p(p − 1) . . . (p − n + 1)Γ(p − n + 1),
(9.5.6)
p > n − 1, n — натуральное.
Вычислим для этого значение Γ(p + 1) по формуле интегрирования по частям:
Γ(p + 1) =
+∞
Z
0
x p
e
−x dx = (−x p
e
−x
)
+∞
0
+p
+∞
Z
0
x p−1
e
−x dx = pΓ(p).
Последовательно применяя полученную формулу Γ(p + 1) = pΓ(p) для любого p >
n − 1 (n — натуральное число) найдем, что формула приведения (9.5.6) верна. Если подставить в нее p = n и заметить, что Γ(1) =
+∞
Z
0
e
−x dx = 1, то это приведет к следующему результату
Γ(n + 1) = n(n − 1) . . . 2 · 1 = n!.
(9.5.7)
Очевидно также, что Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1.
Полученные сведения о функции Γ(p) позволяют дать качественную характери- стику графика этой функции, изобразить его основные детали. Будем придержи- ваться стандартной методики построения графика функции.
1. Область определения функции Γ(p): полупрямая p > 0.
2. Исследование непрерывности функции Γ(p): непрерывна всюду в области опре- деления.
3. Исследование первой и второй производной функции Γ(p).
Первая производная вычисляется по формуле (9.5.4), а вторая — по форму- ле (9.5.5) при n = 2:
Γ
′′
(p) =
+∞
Z
0
e
−x x
p−1
ln
2
x dx.
Так как Γ
′′
(p) > 0 для любого значения p > 0, то первая производная Γ
′
(p) всюду возрастает и, следовательно, может иметь только один корень. Поскольку Γ(1) =
Γ(2) = 1 (см. вычисление этих величин выше), то по теореме Ролля корень p
∗
первой производной существует и расположен на интервале (1, 2).
Используя приближенные численные методы, можно получить, что p
∗
≈ 1, 46 и
Γ(p
∗
) ≈ 0, 88. Ясно, что p
∗
есть точка минимума функции Γ(p) (Γ
′′
(p
∗
) > 0) и ее график обращен выпуклостью вниз.
4. Асимптоты графика функции Γ(p).
а) Существует вертикальная асимптота p = 0, т.к.
lim p→+0
Γ(p) = lim p→+0
Γ(p + 1)
p
= +∞
(Γ(p) — непрерывная функция и Γ(p + 1)
−→
p→+0
Γ(1)).
b) Не существует наклонных асимптот (можно доказать).
Однако, очевидно, что lim p→+∞
Γ(p) = +∞.
На рис. 9.5.1 представлен график функции Γ(p).
– 322 –

Рис 9.5.1. График функции Γ(p)
Замечание 9.5.1. Для функции Γ(p) можно доказать формулу дополнения
Γ(p) · Γ(1 − p) =
π
sin pπ
,
0 < p < 1.
(9.5.8)
9.5.4. Некоторые свойства функции B(p, q). Докажем, что функция B(p, q)
обладает свойством симметрии
B(p, q) = B(q, p).
(9.5.9)
Сделаем для этого в интеграле (9.5.1) замену переменной, полагая x = 1 − t.
B(p, q) =
1
Z
0
x p−1
(1 − x)
q−1
dx = −
0
Z
1
(1 − t)
p−1
t q−1
dt =
=
1
Z
0
t q−1
(1 − t)
p−1
dt = B(q, p).
Установим теперь формулы приведения для функции B(p, q):
B(p, q + 1) =
q p + q
B(p, q),
p > 0, q > 0,
(9.5.10)
B(p + 1, q) =
p p + q
B(p, q),
p > 0, q > 0.
(9.5.11)
Рассмотрим функцию B(p, q + 1) =
1
Z
0
x p−1
(1 − x)
q dx, применим к последнему интегралу формулу интегрирования по частям и равенство x p
= x p−1
− x p−1
(1 − x).
– 323 –

Тогда для p > 0, q > 0 получим
B(p, q + 1) =
1
Z
0
(1 − x)
q d

x p
p

=
x p
p
(1 − x)
q
1 0
+
q p
1
Z
0
x p
(1 − x)
q−1
dx =
=
q p
1
Z
0

x p−1
(1 − x)
q−1
− x p−1
(1 − x)
q

dx =
=
q p
B(p, q) −
q p
B(p, q + 1)
или
B(p, q + 1) =
q p
B(p, q) −
q p
B(p, q + 1).
Это равенство и дает формулу (9.5.10).
Совершенно аналогично выводится и формула (9.5.11). Бета-функция Эйлера
B(p, q) выражается через гамма-функцию Γ(p) с помощью формулы
B(p, q) =
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q)
,
p > 0, q > 0.
(9.5.12)
Ее доказательство можно найти в [11].
С помощью замены переменной x =
1 1 + t можно получить другую формулу для функции B(p, q):
B(p, q) =
+∞
Z
0
t p−1
(1 + t)
p+q dt.
(9.5.13)
9.5.5. Вычисление определенных интегралов с помощью Эйлеровых интегралов. Как уже указывалось выше, Эйлеровы интегралы представляют со- бой хорошо изученные неэлементарные функции, значения которых табулированы и соответствующие таблицы помещены в справочники по математике. Задача считает- ся решенной, если она приводится к значению гамма или бета-функции.
Рассмотрим примеры вычисления интегралов (обычных определенных и несоб- ственных).
Пример 9.5.1. Вычислить интеграл
J
1
=
+∞
Z
0
x
1 4
(1 + x)
−2
dx.
Решение. Запишем интеграл J
1
в виде:
J
1
=
+∞
Z
0
x
5 4
−1
(1 + x)
5 4
+
3 4
dx и воспользуемся формулами (9.5.13), (9.5.12),(9.5.6) и (9.5.8). Тогда получим, что
J
1
= B(
5 4
,
3 4
) =
Γ(
5 4
) · Γ(
3 4
)
Γ(2)
=
Γ(
1 4
+ 1) · Γ(
3 4
)
1
=
=
1 4
Γ(
1 4
) · Γ(
3 4
) =
1 4
Γ(
1 4
) · Γ(1 −
1 4
) =
1 4
π
sin
π
4
=
π
2
√
2
– 324 –

Пример 9.5.2. Вычислить интеграл
J
2
=
+∞
Z
0
x p−1 1 + x dx.
Решение. Запишем интеграл J
2
в виде
J
2
=
+∞
Z
0
x p−1
(1 + x)
p+(1−p)
dx и снова воспользуемся теми же формулами, что и при вычислении интеграла J
1
Тогда
J
2
= B(p, 1 − p) =
Γ(p) · Γ(1 − p)
Γ(1)
= Γ(p) · Γ(1 − p) =
π
sin pπ
,
0 < p < 1.
Пример 9.5.3. Определить область существования и вычислить интеграл
J
3
=
π/2
Z
0
sin p−1
ϕ · cos q−1
ϕ dϕ.
Решение. Положим x = sin
2
ϕ, x > 0. Тогда cos ϕdϕ =
1 2
√
x dx,
J
3
=
1 2
1
Z
0
x p
2
−1
(1 − x)
q
2
−1
dx.
Следовательно, данный интеграл сходится при условии
1 −
p
2
< 1,
1 −
q
2
< 1
или p > 0, q > 0 и его значение равно
J
3
=
1 2
B
p
2
,
q
2

=
1 2
Γ(
p
2
) · Γ(
q
2
)
Γ(
p+q
2
)
Пример 9.5.4. Вычислить интеграл
J
4
=
+∞
Z
0
ln
2
x
1 + x
4
dx.
Решение. Полагая x
4
= t, получаем, что
J
4
=
1 64
+∞
Z
0
t
−
3 4
ln
2
t
1 + t dt.
Полученный интеграл равен интегралу
J
4
=
1 64
+∞
Z
0
t
1 4
−1
ln
2
t
(1 + t)
1 4
+(1−
1 4
)
dt
– 325 –

и является второй производной функции
1 64
B(p, 1 − p), вычисленной в точке p =
1 4
Поэтому
J
4
=
1 64
·
d
2
dp
2
(B(p, 1 − p))
p=
1 4
=
1 64
·

d
2
dp
2

π
sin pπ
p=
1 4
=
= −
π
2 64

−π sin pπ − 2π sin pπ cos
2
pπ
sin
4
pπ
p=
1 4
=
3π
3
√
2 64
– 326 –

Глава 10
Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля
В результате изучения данной главы читатель должен уметь вычислять криволи- нейные и поверхностные интегралы первого и второго рода, использовать интеграль- ные формулы Грина, Остроградского, Стокса. Находить дивергенцию, циркуляцию и градиент. Знать основные определения, формулы, интегральные преобразования и теоремы в теории криволинейных и поверхностных интегралов, векторном анализе.
Владеть методами исследования криволинейных и поверхностных интегралов.
10.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода
10.1.1. Определение, физический и геометрический смысл криволиней- ного интеграла первого рода. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторую спрям- ляемую кривую γ. Будем считать ее простой (не имеющей точек самопересечения,
не замкнутой).
Допустим, что кривая определяется параметрическими уравнениями

x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ [a, b]
(10.1.1)
и ограничена точками A(ϕ(a), ψ(a)) и B(ϕ(b), ψ(b)). Расположим точки M кривой по возрастанию параметра t, т.е. выберем направление от точки A к точке B. Вы- бор направления на кривой (ориентация кривой) не зависит от конкретного способа задания кривой.
Предположим далее, что в точках кривой γ = AB определена непрерывная функция f(x, y). Непрерывность функции f(x, y) вдоль кривой γ определяется есте- ственным образом и означает, что для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
|f(x
1
, y
1
) − f(x
2
, y
2
)| < ε для любых двух точек (x
1
, y
1
) и (x
2
, y
2
) кривой γ, удовле- творяющих условию p
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
< δ. Фактически здесь определена не непрерывность, а равномерная непрерывность функции f(x, y) вдоль кривой γ, но так как множество всех точек кривой γ ограничено и замкнуто, то эти понятия сов- падают.
Перейдем теперь к построению интегральной суммы криволинейного интеграла первого рода функции f(x, y) по кривой γ.
Возьмем разбиение отрезка [a, b], т.е. набор точек t
0
, t
1
, t
2
, . . . , t n
таких, что a = t
0
< t
1
< t
2
< . . . < t n
= b.
Так как каждому значению t k
, k = 0, 1, 2, . . . , n, соответствует на кривой γ опре- деленная точка M
k
(x k
, y k
) с координатами x k
= ϕ(t k
), y k
= ψ(t k
), то при указанном разбиении отрезка [a, b] возникает разбиение T кривой γ на n частичных дуг (см.
рис. 10.1.1)
M
0
M
1
, M
1
M
2
, . . . , M
n−1
M
n
Выберем на каждой частичной дуге M
k−1
M
k произвольную точку N
k
(ξ
k
, η
k
), по- лучим разбиение T с отмеченными точками N, которое будем обозначать символом
327

Рис 10.1.1. Разбиение кривой γ
(T, N ). Координаты ξ
k
, η
k точки N
k отвечают некоторому значению τ
k параметра t,
так что ξ
k
= ϕ(τ
k
), η
k
= ψ(τ
k
), причем t k−1 6
τ
k
6
t k
. Будем обозначать символом
∆l k
длину k-й частичной дуги M
k−1
M
k
, k = 1, 2, . . . , n.
Составим теперь интегральную сумму σ
1
(f, (T, N )) криволинейного интеграла первого рода функции f(x, y) вдоль кривой γ, отвечающую разбиению (T, N)
σ
1
(f, (T, N )) =
n
X
k=1
f (ξ
k
, η
k
)∆l k
(10.1.2)
Аналогичный процесс может быть использован и в случае замкнутой кривой,
если за точку M
0
(или совпадающую с ней точку M
n
) выбрать любую ее точку,
а остальные точки M
k
, k = 1, 2, . . . , n − 1, расположить в соответствии с тем или другим направлением на кривой.
Введем еще величину λ(T ), так называемый диаметр разбиения T кривой γ
λ(T ) = max
16k6n
∆l k
Определение 10.1.1. Выражение J
1
называется пределом интегральной сум- мы σ
1
(f, (T, N )) при условии, что диаметр разбиения λ(T ) стремится к 0, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что |σ
1
(f, (T, N ))−J
1
| < ε, как только λ(T ) < δ.
В этом случае пишут
J
1
=
lim
λ(T )→+0
σ
1
(f, (T, N )).
(10.1.3)
Определение 10.1.2. Если существует предел суммы σ
1
(f, (T, N )) при условии,
что λ(T ) → +0, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (x, y) по кривой γ и обозначается символом
Z
γ
f (x, y) dl или
Z
AB
f (x, y) dl.
(10.1.4)
– 328 –

Выясним физический смысл введенного криволинейного интеграла первого рода.
Пусть вдоль кривой распределена масса с линейной плотностью ρ(x, y). Для вы- числения массы m всей кривой естественно разбить эту кривую на малые участки и, считая, что на участке плотность меняется мало, положить массу m k
каждого участка приближенно равной произведению некоторого промежуточного значения плотности на длину этого участка,
m k
≈ ρ(ξ
k
, η
k
) · ∆l k
В таком случае масса всей кривой будет приближенно равна m ≈
n
X
k=1
ρ(ξ
k
, η
k
) · ∆l k
(10.1.5)
и, таким образом, возникает интегральная сумма (10.1.2) для функции ρ(x, y).
Точное значение массы m естественно определить как предел суммы (10.1.5) при условии, что стремится к нулю длина наибольшего участка, т.е. использовать фор- мулу (10.1.3) и окончательно получить для массы кривой выражение m =
Z
AB
ρ(x, y) dl.
Геометрический смысл интеграла (10.1.4) также легко выяснить. Пусть подын- тегральная функция f(x, y) > 0 и z = f(x, y).
Изобразим график этой функции в трехмерном пространстве Oxyz кривой CD
(рис. 10.1.2).
Рис 10.1.2. Геометрический смысл криволинейного интеграла I рода
Область определения функции — кривая AB (в плоскости Oxy). Тогда форму- ла (10.1.2) для интегральной суммы дает приближенное значение площади поверх- ности ABCD (на рисунке затемнена), а криволинейный интеграл (10.1.4) — точное значение этой площади.
10.1.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Эти свойства аналогичны свойствам определенного интеграла Римана.
1.
Z
AB
dl = L, где L — длина кривой γ.
– 329 –

Это очевидным образом следует из формул (10.1.2) и (10.1.3), если f(x, y) = 1.
Рис. 10.1.2 подсказывает тот же вывод.
2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой AB:
Z
AB
f (x, y) dl =
Z
BA
f (x, y) dl.
(10.1.6)
Интегральная сумма σ
1
(f, (T, N )), вычисленная по формуле (10.1.2) для инте- грала
Z
AB
f (x, y) dl не изменится, если в этой сумме произвести сложение в обратном порядке (от n до
1) и получить интегральную сумму для интеграла
Z
BA
f (x, y) dl.
Это связано с тем, что длина ∆l k
дуги кривой M
k−1
M
k считается положительной независимо от конца, от которого считается. Равенство интегральных сумм влечет и равенство интегралов в формуле (10.1.6).
10.1.3. Существование криволинейного интеграла первого рода и его вычисление. Напомним, что кривая γ называется гладкой (без особых точек), если функции ϕ(t) и ψ(t) из определяющих ее параметрических уравнений (10.1.1) облада- ют на отрезке [a, b] непрерывными производными ϕ
′
(t) и ψ
′
(t), причем ϕ
′2
(t)+ψ
′2
(t) >
0.
Кривая γ называется кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Лемма 10.1.1. Если кривая γ = AB является гладкой, то из условия λ(T ) → 0
следует, что max k
(t k
− t k−1
) → 0.
Доказательство. Отсутствие особых точек на кривой γ влечет за собой суще- ствование числа m > 0 такого, что
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) > m > 0
для любого t ∈ [a, b]. Если допустить, что нижняя граница функции ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) на отрезке [a, b] равна нулю, то в силу непрерывности указанной функции нашлась бы точка t
∗
∈ [a, b] такая, что
ϕ
′2
(t
∗
) + ψ
′2
(t
∗
) = 0,
но такое равенство невозможно. Теперь
∆l k
=
t k
Z
t k−1
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt >
√
m t
k
Z
t k−1
dt =
√
m(t k
− t k−1
)
или t
k
− t k−1 6
1
√
m
· ∆l k
6 1
√
m
· λ(T ),
max k
(t k
− t k−1
) 6 1
√
m
· λ(T ).
Последнее неравенство и доказывает лемму.
2
– 330 –

Теорема 10.1.1. Если кривая γ = AB является гладкой и если функция f(x, y)
непрерывна вдоль этой кривой, то интеграл (10.1.4) существует и справедлива формула
Z
AB
f (x, y) dl =
b
Z
a f (ϕ(t), ψ(t))
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt,
(10.1.7)
сводящая интеграл (10.1.4) к обычному определенному интегралу Римана.
Доказательство. Прежде всего заметим, что определенный интеграл, стоящий в правой части формулы (10.1.7) существует (подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a, b]). Докажем равенство (10.1.7).
Составим интегральную сумму (10.1.2), проведя для этого все необходимые по- строения. Учтем теперь, что
∆l k
=
t k
Z
t k−1
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt и перепишем выражение для интегральной суммы (10.1.2)
σ
1
(f, (T, N )) =
n
X
k=1

f(ϕ(τ
k
), ψ(τ
k
)) ·
t k
Z
t k−1
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt

 .
(10.1.8)
Здесь существенно, что t k−1
< t k
Обозначим определенный интеграл в правой части формулы (10.1.7) через K
1
и запишем его в виде
K
1
=
n
X
k=1
t k
Z
t k−1
f (ϕ(t), ψ(t))
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt,
где точки t k
, k = 1, 2, . . . , n, соответствуют выбранному разбиению T и совпадают с точками t k
в формуле (10.1.8).
Теперь рассмотрим и оценим разность
σ
1
(f, (T, N )) − K
1
=
n
P
k=1
t k
Z
t k−1
[f (ϕ(τ
k
), ψ(τ
k
)) − f(ϕ(t), ψ(t))] ×
×
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt.
(10.1.9)
Так как функция f(ϕ(t), ψ(t)) непрерывна на отрезке [a, b] как суперпозиция непре- рывных функций и, так как max k
(t k
− t k−1
) → 0 при λ(T ) → 0 (см.выше лемму 10.1.1),
то для любого ε > 0 можно указать δ > 0 такое, что при условии λ(T ) < δ каждая из квадратных скобок в формуле (10.1.9) меньше ε. Тогда справедлива при λ(T ) < δ
следующая оценка величины |σ
1
− K
1
|:
|σ
1
− K
1
| 6 ε
n
P
k=1
t k
Z
t k−1
p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt =
= ε
b
Z
a p
ϕ
′2
(t) + ψ
′2
(t) dt = ε · L,
– 331 –