Файл: Математический анализ.pdf

Аналогично определяется класс функций RL
1
[0, +∞).
Определение 9.4.2. Пусть функция f(x) ∈ RL
1
(−∞, +∞). Интеграл
+∞
Z
0
[a(λ) cos λx + b(λ) sin λx] dλ,
|x| < ∞,
(9.4.2)
где a(λ) =
1
π
+∞
Z
−∞
f (t) cos λt dt,
λ ∈ [0, +∞)
(9.4.3)
и b(λ) =
1
π
+∞
Z
−∞
f (t) sin λt dt,
λ ∈ [0, +∞),
(9.4.4)
называется интегралом Фурье функции f (x).
Заметим, что оба интеграла a(λ) и b(λ) существуют для любой функции f(x) ∈
RL
1
(−∞, +∞).
Подставляя в формулу (9.4.2) выражения (9.4.3) и (9.4.4) для a(λ) и b(λ), получим,
что функции f(x) ∈ RL
1
(−∞, +∞) сопоставляется интеграл Фурье f (x) ∼
1
π
+∞
Z
0
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(t − x) dt.
(9.4.5)
Как и в теории рядов Фурье, так и в теории интегралов Фурье, основная задача
— это указать условия для функции f(x), при выполнении которых интеграл Фурье сходится к f(x) (в точке непрерывности) или к f (x + 0) + f (x − 0)
2
(в точке разрыва первого рода).
Теорема 9.4.1 (признак Дини сходимости интеграла Фурье). Пусть функция f (x) ∈ RL
1
(−∞, +∞) и в точке x
0
∈ (−∞, +∞) существуют конечные односто- ронние пределы f (x
0
± 0) = lim x→x
0
±0
f (x). Если в точке x
0
выполнено условие Дини,
т.е. существует h > 0 такое, что несобственный интеграл h
Z
0
(f(x
0
+ t) + f (x
0
− t)) − (f(x
0
+ 0) + f (x
0
− 0))
t dt сходится, то интеграл Фурье (9.4.5) для функции f (x) сходится в точке x
0
к зна- чению f (x
0
+ 0) + f (x
0
− 0)
2
Следствие 9.4.1. Пусть функция f(x) ∈ RL
1
(−∞, +∞) и кусочно непрерывна на любом конечном отрезке. Пусть для любого x
0
∈ (−∞, +∞) существуют ко- нечные односторонние производные f
′
−
(x), f
′
+
(x). Тогда интеграл Фурье (9.4.5) для функции f (x) сходится всюду на (−∞, +∞) к функции f (x + 0) + f (x − 0)
2
– 313 –

Заметим, что для четной функции f(x) ∈ RL
1
(−∞, +∞)
a(λ) =
2
π
+∞
Z
0
f (t) cos λt dt,
b(λ) = 0,
(9.4.6)
следовательно, ее интеграл Фурье имеет вид f (x) ∼
2
π
+∞
Z
0
cos λx dλ
+∞
Z
0
f (t) cos λt dt,
x ∈ (−∞, +∞).
(9.4.7)
Для нечетной функции f(x) соответственно получим f (x) ∼
2
π
+∞
Z
0
sin λx dλ
+∞
Z
0
f (t) sin λt dt,
x ∈ (−∞, +∞).
(9.4.8)
Если функция f(x) определена в промежутке [0, +∞), f(x) ∈ RL
1
[0, +∞), то ее ин- теграл Фурье можно представить как в виде (9.4.7), так и в виде (9.4.8), доопределив f (x) на промежутке (−∞, 0) в первом — четным, а во втором — нечетным образом.
9.4.2. Комплексная форма интеграла Фурье. Далее для простоты записи будем считать, что выполнены все условия следствия из теоремы 9.4.1 и функция f (x) непрерывна на всей числовой оси. Тогда справедлива формула Фурье f (x) =
1
π
+∞
Z
0
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(x − t) dt и так как подынтегральная функция четная относительно переменной λ, то f (x) =
1 2π
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(x − t) dt.
(9.4.9)
Заменим в последнем интеграле формально функцию cos λ(x − t) на sin λ(x − t) и исследуем, когда такая формула
1 2π
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt имеет смысл.
Интеграл
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt сходится, причем равномерно по переменной λ ∈
(−∞, +∞) (см. признак Вейерштрасса, теорема 9.2.2). Следовательно, интеграл есть непрерывная функция переменной λ и интеграл уже от этой функции
+η
Z
−η
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt существует и равен нулю для любого η (интегрируемая функция — нечетная). Одна- ко при сделанных предположениях относительно функции f нельзя гарантировать
– 314 –

сходимость несобственного интеграла по переменной λ
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt,
но можно утверждать существование этого же интеграла по переменной λ в смысле главного значения, т.е. существование v.p.
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt,
(9.4.10)
причем этот интеграл равен нулю.
Формулу (9.4.9) можно также записать в виде f (x) =
1 2π
v.p.
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(x − t) dt или f (x) =
1 2π

v.p.
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(x − t) dt+
+ i · v.p.
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) sin λ(x − t) dt


(9.4.11)
(мнимая часть последнего выражения, т.е. интеграл (9.4.10)) равна нулю).
Используя формулу Эйлера e ia
= cos a + i sin a, перепишем равенство (9.4.11) в форме f (x) =
1 2π
v.p.
+∞
Z
−∞
dλ
+∞
Z
−∞
f (t)e iλ(x−t)
dt,
(9.4.12)
которая и называется комплексной записью интеграла Фурье.
9.4.3. Преобразование Фурье. Запишем формулу (9.4.12) в виде f (x) = v.p.
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e iλx dλ
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f (t)e
−iλt dt.
(9.4.13)
Введем для интеграла по переменной t обозначение
Φ(λ) =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f (t)e
−λt dt.
(9.4.14)
Тогда формула (9.4.12) примет вид f (x) = v.p.
1
√
2π
+∞
Z
−∞
Φ(λ)e iλx dλ.
(9.4.15)
Замечая определенную взаимосвязь между равенствами (9.4.14) и (9.4.15), дадим следующие определения.
– 315 –

Определение 9.4.3. Функция Φ, которая ставится в соответствие функции f формулой
Φ(λ) = v.p.
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f (t)e
−iλt dt
(9.4.16)
называется преобразованием Фурье, иногда добавляют — прямым преобразованием
Фурье, функции f и обозначается F [f ] или b f .
Определение 9.4.4. Функция Ψ, которая ставится в соответствие функции f формулой
Ψ(x) = v.p.
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f (λ)e iλx dλ
(9.4.17)
называется обратным преобразованием Фурье функции f и обозначается F
−1
[f ].
Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определены на мно- жестве функций, для которых интегралы (9.4.16) и (9.4.17) существуют в смысле главного значения. Это множество содержит в себе в частности, множество всех аб- солютно интегрируемых на всей вещественной оси функций, для которых интегралы в формулах (9.4.16) и (9.4.17) можно понимать как обычные несобственные интегра- лы, а не только как интегралы в смысле главного значения. Терминология (прямое преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье) оправдывается тем, что для определенного класса функций преобразования F и F
−1
взаимно обратны. Это сле- дует из леммы
Лемма 9.4.1. Если функция f(x)
a) непрерывна для x ∈ (−∞, +∞),
b) абсолютно интегрируема на всей вещественной оси,
c) имеет конечные односторонние производные f
′
+
(x) и f
′
−
(x) для x ∈ (−∞, +∞),
то
F
−1
[F [f ]] = F [F
−1
[f ]] = f.
Доказательство. Из следствия к теореме 9.4.1 вытекает сходимость интеграла
Фурье функции f(x) к функции f(x) для x ∈ (−∞, +∞), т.е. равенство f (x) =
1
π
+∞
Z
0
dλ
+∞
Z
−∞
f (t) cos λ(t − x) dt.
От этого соотношения можно перейти к равенству (9.4.12), а затем к (9.4.13), которое уже записывается в виде f = F
−1
[F [f ]]
и первая формула обращения доказана. Справедливость второй легко следует из того, что равенство (9.4.12) не изменится, если показатель для числа e, т.е. величина iλ(x−t) сменит знак на противоположный iλ(t−x). Тогда формула (9.4.12) запишется в виде f (x) = v.p.
1
√
2π
+∞
Z
−∞

1
√
2π
+∞
Z
−∞
f (t)e iλt dt

e
−iλx dλ
или f = F [F
−1
[f ]],
– 316 –

что и требовалось доказать.
2
Сформулируем без доказательства еще две леммы.
Лемма 9.4.2. Преобразование Фурье F и обратное преобразование Фурье F
−1
обладает свойством линейности, т.е.
F [λ
1
f
1
+ λ
2
f
2
] = λ
1
F [f
1
] + λ
2
F [f
2
],
F
−1
[λ
1
f
1
+ λ
2
f
2
] = λ
1
F
−1
[f
1
] + λ
2
F
−1
[f
2
],
где λ
1
и λ
2
— произвольные числа. Предполагается, что F [f i
] и F
−1
[f i
],
i = 1, 2
существуют.
Лемма 9.4.3. Преобразование Фурье F , а также обратное преобразование Фу- рье F
−1
, взаимно однозначно отображают все множество непрерывных абсолютно интегрируемых на всей вещественной оси функций, имеющих в каждой точке од- носторонние производные, во множество функций, для которых интегралы (9.4.15)
и (9.4.16) существуют в смысле главного значения.
Пример 9.4.1. Найти преобразование Фурье функции f(x) = e
−a|x|
, a > 0,
x ∈ (−∞, +∞).
Решение.
F [f ] =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−a|t|
e
−iλt dt =
=
1
√
2π
0
Z
−∞
e at
· e
−iλt dt +
1
√
2π
+∞
Z
0
e
−at
· e
−iλt dt =
=
1
√
2π
+∞
Z
0
e
−(a−iλ)t dt +
1
√
2π
+∞
Z
0
e
−(a+iλ)t dt =
=
1
√
2π

1
a − iλ
+
1
a + iλ

=
r
2
π
·
a a
2
+ λ
2
Ответ: b f (λ) =
r
2
π
·
a a
2
+ λ
2
,
λ ∈ (−∞, +∞).
9.4.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых фун- кций. В этом пункте будут сформулированы некоторые свойства преобразования
Фурье абсолютно интегрируемой на всей вещественной оси функции f(x), которая принимает, вообще говоря, комплексные значения, а ее аргумент действителен.
Лемма 9.4.4. Преобразование Фурье F [f] ограничено на всей вещественной оси,
причем b
f (λ)
6 1
√
2π
+∞
Z
−∞
f(t)
dt.
Следствие 9.4.2. Если последовательность функций {f n
(x)} и функция f(x)
таковы, что lim n→∞
+∞
Z
−∞
f n
(t) − f(t)
dt = 0,
– 317 –

то последовательность { b f
n
(λ)} равномерно на всей вещественной оси сходится к функции b f (λ).
Лемма 9.4.5. Преобразование Фурье b f (λ) есть непрерывная функция на всей числовой оси и lim
λ→±∞
b f (λ) = 0.
Заметим только, что преобразование Фурье "улучшает" (если можно так выра- зиться) свойства преобразуемой функции f(x). Этот факт и позволяет добиться ре- зультата с помощью преобразования Фурье при решении некоторых задач, например,
уравнений математической физики.
9.4.5. Преобразование Фурье производных и производные преобразо- вания Фурье.
Лемма 9.4.6. Пусть абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция f имеет n абсолютно интегрируемых и непрерывных на всей оси производных. Тогда
F [f
(k)
] = (iλ)
k
F [f ],
k = 0, 1, 2, . . . , n,
и существует постоянная M > 0 такая, что
F [f]
6
M
λ
n
Лемма 9.4.7. Если функция f(x) непрерывна, а функции f(x), xf(x), . . . , x n
f (x)
абсолютно интегрируемы на всей числовой оси, то преобразование Фурье функции f является n раз дифференцируемой на всей числовой прямой функцией и
F
(k)
[f ] =
1
i k
F [x k
f ].
Пример 9.4.2. Рассмотрим бесконечный стержень, точки которого задаются ко- ординатой x ∈ (−∞, +∞). Пусть температура стержня в каждой такой точке x и в момент времени t, (t > 0) определяется функцией U(x, t). Рассмотрим далее задачу о распространении тепла в этом стержне, если задана начальная температура, т.е.
u(x, 0) = ϕ(x),
x ∈ (−∞, +∞),
где ϕ(x)—известная функция.
Найти функцию U(x, t), которая удовлетворяет уравнению теплопроводности
U
t
= α
2
u xx
,
−∞ < x < +∞
(9.4.18)
при условии u(x, 0) = ϕ(x),
−∞ < x < +∞,
(9.4.19)
где α
2
— постоянная, определяющая свойства теплопроводности материала стержня.
(Здесь сформулирована задача Коши для уравнения теплопроводности.)
Проиллюстрируем только технику решения поставленной задачи с использовани- ем преобразования Фурье.
Решение. Обозначим образ функции U (x, t) при осуществлении преобразования
Фурье по переменной x через U(λ, t), т.е.
F [u(x, t)] = U (λ, t).
Аналогично,
F [u
′
t
(x, t)] = U
′
t
(λ, t),
– 318 –

F [u(x, 0)] = F [ϕ(x)] = Φ(λ).
Преобразуем равенства (9.4.18) и (9.4.19)
U
′
t
(λ, t) = −α
2
λ
2
U (λ, t),
(9.4.20)
U (λ, 0) = Φ(λ).
(9.4.21)
Использована линейность преобразования Фурье и лемма 9.4.6. Уравнение (9.4.20)
при условии (9.4.21) легко решается
U (λ, t) = Φ(λ)e
−α
2
λ
2
t
Теперь используя обратное преобразование Фурье по переменной λ, находим искомую функцию U(x, t)
U (x, t) = F
−1

Φ(λ) · e
−α
2
λ
2
t

Применяя технику работы с преобразованием Фурье и обратным преобразованием
Фурье окончательно получим:
u(x, t) =
1 2α
√
πt
+∞
Z
−∞
ϕ(y)e
−(x−y)
2
/4α
2
t dy.
9.5. Гамма- и бета-функции Эйлера
Из школьного раздела математики хорошо известны элементарные функции: сте- пенные, показательные, тригонометрические и т.д. По мере освоения курса матема- тического анализа круг хорошо изученных функций расширяется. К элементарным добавляются функции, задаваемые с помощью интегрирования, суммирования рядов и т.п. Изучим теперь две важные неэлементарные функции, которые определяются с помощью интеграла, зависящего от параметра, и называются интегралами Эйлера.
Они часто используются при решении различных задач математического анализа и его приложений. Значения этих функций табулированы.
9.5.1. Определение интегралов Эйлера. Область их существования.
Определение 9.5.1. Эйлеровым интегралом первого рода или "бета-функцией"
называется интеграл
B(p, q) =
1
Z
0
x p−1
(1 − x)
q−1
dx.
(9.5.1)
Определение 9.5.2. Эйлеровым интегралом второго рода рода или "гамма- функцией" называется интеграл
Γ(p) =
+∞
Z
0
e
−x x
p−1
dx.
(9.5.2)
Изучение свойств функций B(p, q) и Γ(p), как всегда, начнем с отыскания области определения. Докажем, что функция B(p, q) определена для всех положительных значений параметров p и q, а функция Γ(p) для всех положительных значений p.
Рассмотрим сначала интеграл (9.5.1). При p > 1 и q > 1 его подынтегральная функция x p−1
(1 − x)
q−1
непрерывна и интеграл (9.5.1) существует как собственный.
– 319 –

Поэтому функция B(p, q) определена для всех отмеченных значений p и q. Пусть теперь выполняются одно или оба из следующих неравенств:
0 < p < 1,
0 < q < 1.
В этом случае одна или обе из точек x = 0 и x = 1 являются особыми точками подынтегральной функции. Чтоб разделить эти особенности представим B(p, q) в следующей форме:
B(p, q) =
1/2
Z
0
x p−1
(1 − x)
q−1
dx +
1
Z
1/2
x p−1
(1 − x)
q−1
dx = B
1
(p, q) + B
2
(p, q).
Для интеграла B
1
(p, q) =
1/2
R
0
x p−1
(1 −x)
q−1
dx особой точкой будет точка x = 0 (функ- ция x p−1
=
1
x
1−p не ограничена в окрестности этой точки при p ∈ (0, 1))). Функция же (1 − x)
q−1
ограничена на отрезке

0;
1 2

некоторой постоянной C при любом q (эта функция непрерывна на указанном отрезке). Следовательно, справедливы неравен- ства
0 < x p−1
(1 − x)
q−1 6

9.5.2. Непрерывность интегралов Эйлера. Докажем, что функция B(p, q)
непрерывна в своей области определения, т.е. в квадранте Π = {(p, q) : p > 0, q > 0},
а функция Γ(p) — в своей, т.е. при p > 0. Начнем исследование с функции B(p, q).
Зафиксируем сначала два произвольных значения p
0
> 0 и q
0
> 0 и докажем непре- рывность функции B(p, q) на множестве Π
0
= {(p, q) : p > p
0
, q > q
0
}. Воспользуем- ся для этого аналогом теоремы 9.2.5, т.е. проверим непрерывность подынтегральной функции f(x, p, q) = x p−1
(1−x)
q−1
на множестве Π
0
×(0, 1) и равномерную сходимость интеграла (9.5.1) относительно параметров p и q на множестве Π
0
. Непрерывность функции f(x, p, q) на множестве Π
0
× (0, 1) фактически очевидна, равномерная же сходимость вытекает из признака Вейерштрасса (теорема 9.2.2). Действительно, при x ∈ (0, 1) и (p, q) ∈ Π
0
справедливо неравенство x
p−1
(1 − x)
q−1 6
x p
0
−1
(1 − x)
q
0
−1
Сходимость же интеграла
B(p
0
, q
0
) =
1
Z
0
x p
0
−1
(1 − x)
1−q
0
dx (p
0
> 0, q
0
> 0)
показана выше в п. 9.5.1.
Итак, непрерывность функции B(p, q) на множестве Π
0
доказана. В силу про- извольности значений p
0
и q
0
свойство непрерывности выполняется и на множестве
Π.
Для доказательства непрерывности функции Γ(p) на полупрямой p > 0 зафик- сируем два произвольных значения p
0
и p
1
(0 < p
0 6
p
1
) и докажем равномерную сходимость интеграла Γ(p) на отрезке [p
0
, p
1
]. Для этого достаточно записать функ- цию Γ(p) в виде суммы (9.5.3) и проверить, что интеграл Γ
1
(p) сходится равномерно для p > p
0
, а интеграл Γ
2
(p) — для p 6 p
1
Последние два результата легко вытекают из признака Вейерштрасса, а вместе они дают, что сумма Γ(p) = Γ
1
(p) + Γ
2
(p) равномерно сходится для p ∈ [p
0
, p
1
]. Непре- рывность подынтегральной функции f(x, p) = e
−x x
p−1
на множестве (0, +∞)×(p
0
, p
1
)
очевидна.
Итак, из теоремы 9.2.5 следует непрерывность функции Γ(p) на отрезке [p
0
, p
1
]. В
силу произвольности значений p
0
и p
1
(0 < p
0 6
p
1
< +∞) свойство непрерывности распространяется на полупрямую p > 0.
9.5.3. Дифференцируемость функции Γ(p). Формула приведения. Гра- фик функции Γ(p). Покажем сначала, что функция Γ(p) имеет производную в своей области определения, и эта производная записывается по формуле
Γ
′
(p) =
+∞
Z
0
x p−1
e
−x ln x dx,
p > 0.
(9.5.4)
Для этого достаточно проверить условия теоремы 9.2.6. Эта проверка проводится почти дословно также как проверка условий теоремы 9.2.5 в предыдущем пункте
9.5.2 для функции Γ(p). Рекомендуется выполнить это самостоятельно.
Применяя снова теорему 9.2.6, легко убедиться, что функция Γ(p) имеет произ- водную любого порядка и справедлива формула
Γ
(n)
(p) =
+∞
Z
0
e
−x x
p−1
ln n
x dx.
(9.5.5)
– 321 –