Файл: Математический анализ.pdf

Достаточность. Пусть функция f удовлетворяет в точке x
0
условию Коши. Тре- буется доказать, что функция f имеет в точке x
0
предел. Воспользуемся определе- нием 1.10.4 (§ 1.10) предела функции по Гейне.
Пусть {x n
} — произвольная последовательность, такая что x n
→
n→∞
x
0
, x n
∈ E\x
0
,
n = 1, 2, . . . .
Необходимо доказать:
a) что соответствующая последовательность значений функции {f(x n
)} сходится к некоторому числу A;
b) что это число A одно и то же для всех сходящихся к x
0
последовательностей
{x n
}, x n
∈ E \ x
0
Докажем пункт a). Фиксируем произвольное положительное число ε и для него находим, по условию Коши, проколотую окрестность o
U
E
(x
0
). В силу сходимости по- следовательности {x n
} к x
0
и в силу условия x n
6= x
0
для этой проколотой окрест- ности o
U
E
(x
0
) найдется номер N , такой что для ∀n > N, ∀m > N выполняется условие x
n
∈
o
U
E
(x
0
),
x m
∈
o
U
E
(x
0
).
Но тогда, по условию Коши, справедливо неравенство
|f(x n
) − f(x m
)| < ε,
а это означает, что последовательность {f(x n
)} — фундаментальна. В силу критерия
Коши для сходимости числовой последовательности (§ 1.8, теорема 1.8.1) последова- тельность {f(x n
)} сходится к некоторому числу A.
Остается доказать пункт b). Рассмотрим две последовательности:
{x n
}, x n
→
n→∞
x
0
,
x n
∈ E \ x
0
;
{x
′
n
}, x
′
n
→
n→∞
x
0
,
x
′
n
∈ E \ x
0
Докажем, что соответствующие последовательности значений функции
{f(x n
)} и {f(x
′
n
)}
сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности {f(x n
)}
и {f(x
′
n
)} сходятся к пределам A и A
′
соответственно. Рассмотрим новую последова- тельность значений аргумента x
1
, x
′
1
, x
2
, x
′
2
, x
3
, x
′
3
, . . . , x n
, x
′
n
, . . .
(ясно, что эта последовательность сходится к x
0
и принадлежит множеству E).
В силу доказанного в a), соответствующая последовательность значений функции f (x
1
), f (x
′
1
), f (x
2
), f (x
′
2
), . . . , f (x n
), f (x
′
n
) . . .
обязана сходиться к некоторому числу A
′′
. Но тогда и две ее подпоследовательности f (x
1
), f (x
2
), . . . , f (x n
), . . .
и f (x
′
1
), f (x
′
2
), . . . , f (x
′
n
), . . .
должны сходиться к числу A
′′
, т.е.
A = A
′
= A
′′
2
– 43 –

1.11.2. Предел монотонной функции. Получим условие существования пра- вого (или левого) предела для часто встречающегося и весьма полезного класса чис- ловых функций — монотонных. Напомним их определение.
Определение 1.11.2. Функция f : E → R называется строго возрастающей на E, если для всех x
1
, x
2
∈ E таких, что x
1
< x
2
=⇒
f (x
1
) < f (x
2
);
возрастающей на E, если для всех x
1
, x
2
∈ E таких, что x
1
< x
2
=⇒ f(x
1
) 6
f (x
2
);
убывающей на E, если для всех x
1
, x
2
∈ E таких, что x
1
< x
2
=⇒ f(x
1
) > f (x
2
);
строго убывающей на E, если для всех x
1
, x
2
∈ E таких, что x
1
< x
2
=⇒ f(x
1
) >
f (x
2
).
Функции перечисленных типов называются монотонными на множестве E.
Иногда вместо слова "возрастающая" говорят "неубывающая" , а вместо слов "строго возрастающая" говорят "возрастающая".
Пусть множество E ограничено. Обозначим через a = inf E
и b = sup E. Допу- стим, что a и b — предельные точки множества E.
Теорема 1.11.2 (Вейерштрасса о пределе монотонной функции). Для того что- бы возрастающая на множестве E функция f : E → R имела левый предел при x → b − 0,
x ∈ E, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху,
а для того чтобы она имела правый предел при x → a + 0,
x ∈ E, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
Доказательство. Докажем теорему для предела lim x→b−0
f (x).
Необходимость. Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имею- щая предел (теорема 1.10.1 § 1.10), функция f оказывается финально ограниченной при x → b − 0, а следовательно, и ограниченной сверху на E (ведь функция f —
возрастающая на E).
Достаточность. Если f ограничена сверху, то существует sup x∈E
f (x) = A; пока- жем, что lim x→b−0
f (x) = A.
По ε > 0, на основании определения точной верхней границы множества, найдем точку x
0
∈ E, для которой
A − ε < f(x
0
) 6 A.
Тогда ввиду возрастания f на E получаем, что при x
0
< x < b,
x ∈ E,
A − ε < f(x) 6 A,
т.е.
A − ε < f(x) < A + ε.
Теперь можно записать, что выполняется условие
∀ε > 0 ∃δ = b − x
0
∀x ∈ E (0 < b − x < δ =⇒ |f(x) − A| < ε),
которое и гарантирует, что число A есть левый предел функции f при x → b − 0
(см. определение 1.10.7 § 1.10).
Для предела lim x→a−0
f (x) все рассуждения аналогичны. В этом случае lim x→a−0
f (x) = inf x∈E
f (x).
2
– 44 –

Аналогичная теорема верна для убывающих функций.
Замечание 1.11.1. Теорему 1.11.2 можно сформулировать и доказать для слу- чая, когда множество E неограничено (например, b = +∞).
1.12. Непрерывность функции. Локальные свойства непрерывных функций
1.12.1. Основные определения и примеры. Имеется интуитивное представ- ление о непрерывности функции, которое базируется на геометрической интерпре- тации: если график функции есть непрерывная кривая, то и функция непрерывна
(рис. 1.12.1) во всех точках области определения.
На рис. 1.12.1 функция f(x) — непрерывна точке x
0
, а на рис. 1.12.2 функция f (x) — разрывна в точке x
0
Определяя непрерывность нестрого, можно сказать, что функция f непрерывна в точке x
0
, если ее значения f(x) приближаются к значению f(x
0
) по мере того, как аргумент x приближается к точке x
0
(рис. 1.12.1).
Из рис. 1.12.2 следует, что если x приближается к x
0
, например, справа, то зна- чения f(x) приближаются к C, но не к f(x
0
), что и характеризует отсутствие непре- рывности в точке x
0
O
a x
y b
x
0
f (x
0
)
Рис 1.12.1. Непрерывная функция
Нестрогость такого подхода заключена в размытости термина "приближается"
(иногда добавляют "сколь угодно близко"). Добиться же необходимой четкости мож- но, используя строгое понятие предела функции: f(x) →
x→x
0
A, если x
0
— предельная точка множества E.
Определение 1.12.1. Говорят, что функция f : E → R непрерывна в точке x
0
∈ E (x
0
— предельная точка множества E), если lim x→x
0
f (x) = f

lim x→x
0
x

= f (x
0
)
(короче, lim x→x
0
f (x) = f (x
0
)).
Если же x
0
— изолированная точка множества E (т.е. не предельная), то f(x)
считается в этой точке непрерывной по определению.
– 45 –

Если раскрыть на "языке ε − δ" , что означает равенство lim x→x
0
f (x) = f (x
0
), то получим другую формулировку определения 1.12.1.
Определение 1.12.2. Говорят, что функция f : E → R непрерывна в точке x
0
∈ E, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E
(|x − x
0
| < δ =⇒ |f(x) − f(x
0
)| < ε) .
Замечание 1.12.1. В последней формулировке различать два случая (x
0
— пре- дельная, или изолированная, точка) нет необходимости. В изолированной точке определение 1.12.2 выполняется автоматически.
Используя другие определения предела функции, легко получить и другие фор- мулировки определения непрерывности функции в точке. Рассматривают также непрерывность функции справа (или слева) в точке, используя для этого опреде- ление предела справа (или слева). Так, например, сформулируем следующее опреде- ление.
Определение 1.12.3. Говорят, что функция f : E → R непрерывна справа в точке x
0
∈ E , если
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E
(0 6 x − x
0
< δ =⇒ |f(x) − f(x
0
)| < ε) .
C
O
a x
y b
x
0
f (x
0
)
Рис 1.12.2. Разрывная функция
Легко доказать, что непрерывность f(x) одновременно справа и слева в точке экви- валентна непрерывности f(x) в той же точке.
Определение 1.12.4. Функция f : E → R называется непрерывной на множе- стве E, если она непрерывна в каждой точке множества E.
Множество всех непрерывных функций, определенных на E, обозначают C(E).
Пример 1.12.1. Показать, что функция f(x) = k, x ∈ E (k — постоянная величина), непрерывна на E.
Решение. Действительно, lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
k = k = f (x
0
).
Пример 1.12.2. Показать, что функция f(x) = x непрерывна на R.
Решение. Это следует из очевидных равенств lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
x = x
0
= f (x
0
).
– 46 –

Пример 1.12.3. Показать, что функция f(x) = sin x непрерывна на R.
Решение. В этом случае необходимо использовать определение 1.12.2 непрерыв- ности функции. Для ∀x
0
∈ R получаем
|sin x − sin x
0
| =
= 2
cos x + x
0 2
·
sin x − x
0 2
6 2
sin x − x
0 2
6 2 ·
|x − x
0
|
2
< ε,
как только |x − x
0
| < δ = ε.
Упражнение 1.12.1. Доказать, что непрерывны функции cos x (x ∈ R), a x
(x ∈ R), log a
x (x > 0).
Пример 1.12.4. Показать, что функция f(x) = sgn(x) не является непрерывной в точке x
0
= 0.
Решение. Действительно, равенство lim x→0
sgn(x) = sgn(0) не может быть выполне- но, так как lim x→0
sgn(x) не существует (см. пример 1.10.3, § 1.10).
1.12.2. Локальные свойства непрерывных функций. Локальными назы- вают такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.
Теорема 1.12.1. Пусть f : E → R — функция, непрерывная в точке x
0
∈ R.
Тогда справедливы следующие утверждения.
1
◦
Функция f ограничена в некоторой окрестности U
E
(x
0
).
2
◦
Если f (x
0
) 6= 0, то в некоторой окрестности U
E
(x
0
) точки x
0
функция f (x) >
0 (или f (x) < 0) вместе с f (x
0
).
3
◦
Если функция g : U
E
(x
0
) → R также непрерывна в точке x
0
, то функции f + g;
f · g;
f g
(g(x
0
) 6= 0)
непрерывны в точке x
0 4
◦
Если функция g : Y → R непрерывна в точке y
0
∈ Y, а функция f такова,
что f : E → R,
f (x
0
) = y
0
, f (E) ⊂ Y и f непрерывна в точке x
0
, то композиция g ◦ f непрерывна в точке x
0
Доказательство. Утверждения 1
◦
,
2
◦
,
3
◦
теоремы 1.12.1 вытекают из опре- деления непрерывности функции в точке x
0

lim x→x
0
f (x) = f (x
0
)

и соответствующих свойств предела функции.
Докажем утверждение 4
◦
. Зафиксируем окрестность V (g(y
0
)). Вследствие непре- рывности функции g в точке y
0
найдется окрестность U
Y
(y
0
), такая что g (U
Y
(y
0
)) ⊂
V (g(y
0
)).
А вследствие непрерывности функции f в точке x
0
уже для окрестности U
Y
(y
0
)
существует окрестность U
E
(x
0
), такая что f (U
E
(x
0
)) ⊂ U
Y
(y
0
)
или g (f (U
E
(x
0
))) ⊂ V (g(y
0
)) .
Из полученных соотношений следует, что функция g ◦f определена и непрерывна в точке x
0 2
Пример 1.12.5. Показать, что алгебраический многочлен
P
n
(x) = a
0
x n
+ a
1
x n−1
+ · · · + a n
– 47 –

является непрерывной функцией для x ∈ R.
Решение. Это следует из пункта 3
◦
теоремы 1.12.1 и непрерывности функции y = x и y = k.
Пример 1.12.6. Показать, что рациональная функция
R(x) = P
n
(x)/Q
m
(x)
непрерывна всюду, кроме точек, в которых Q
m
(x) = 0.
Решение. Данное утверждение следует из предыдущего примера и свойств непре- рывных функций.
1.13. Точки разрыва. Разрывы монотонной функции
1.13.1. Точки разрыва и их классификация. Предыдущий пример показы- вает, что существуют точки, в которых функция f(x) не является непрерывной. По- этому естественно дать следующее определение.
Определение 1.13.1. Если функция f : E → R не является непрерывной в некоторой точке x
0
из множества E, то эта точка x
0
называется точкой разрыва функции f .
Легко получить определение точки разрыва "на языке ε − δ".
Определение 1.13.2. Говорят, что точка x
0
∈ E есть точка разрыва функции f : E → R , если
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ E
(|x − x
0
| < δ ∧ |f(x) − f(x
0
)| > ε) .
Точки разрыва функции разделяют на классы: точки устранимого разрыва, точ- ки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.
Определение 1.13.3. Точка x
0
∈ E называется точкой устранимого разрыва для функции f : E → R, если пределы справа и слева функции f в точке x
0
равны между собой, но не равны значению функции f (x
0
) в точке x
0
Пример 1.13.1. Показать, что функция f(x) = |sgn x| имеет в точке x
0
= 0
устранимый разрыв.
Решение. В самом деле, lim x→+0
|sgn x| = 1,
lim x→−0
|sgn x| = 1, но sgn 0 = 0.
Определение 1.13.4. Точка x
0
∈ E называется точкой разрыва первого рода для функции f : E → R, если существуют правый и левый пределы функции f в точке x
0
, но они не равны между собой.
Пример 1.13.2. Показать, что функция f(x) = sgn x имеет в точке x
0
= 0 разрыв первого рода.
Решение. Действительно, lim x→+0
sgn x = 1, lim x→−0
sgn x = −1, но f(0) = sgn 0 = 0.
Определение 1.13.5. Точка x
0
∈ E называется точкой разрыва второго рода для функции f : E → R, если в этой точке не существует, по крайней мере, один из пределов: правый или левый.
Определение 1.13.6. Если хотя бы один из пределов — справа или слева —
бесконечный, то это точка бесконечного разрыва.
– 48 –

Бесконечные разрывы являются разрывами второго рода.
Пример 1.13.3. Показать, что функция f (x) =



sin
1
x
, если x 6= 0,
0,
если x = 0
в точке x
0
= 0 имеет разрыв второго рода.
Решение. Действительно, в этой точке не существует ни правый, ни левый предел.
Упражнение 1.13.1. Построить график этой функции.
Замечание 1.13.1. На практике точкой разрыва функции f : E → R называют и точку x
0
, которая не принадлежит множеству E, но функция f определена в некоторой окрестности точки x
0
С учетом этого замечания точку x
0
= 0 будем называть точкой разрыва функции f (x) =
1
x
,
x ∈ R \ 0 (ясно, что это точка разрыва второго рода).
1.13.2. Разрывы монотонной функции.
Теорема 1.13.1. Пусть функция y = f(x) монотонна на интервале (a, b), тогда она может иметь точки разрыва только первого рода, и число точек разрыва либо конечно, либо счетно.
Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы 1.11.2 о существовании предела монотонной функции.
1.14. Глобальные свойства непрерывных функций.
Равномерная непрерывность
1.14.1. Глобальные свойства непрерывных функций. Если свойство функ- ции связано со всей ее областью определения, то это свойство естественно назвать глобальным.
Теорема 1.14.1 (Коши о существовании корня). Если функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков (f (a) · f(b) < 0), то на отрезке существует такая точка x
0
, что f (x
0
) = 0.
Доказательство. Делим отрезок [a, b] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрез- ков функция снова принимает значения разных знаков. Именно этот отрезок снова делим пополам и продолжаем процесс дальше до того момента, пока не попадем точкой деления в точку x
0
, где f(x
0
) = 0, или мы получим последовательность I
n вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. В последнем случае, на основании свойства непрерывности вещественных чисел, существует единственная точка x
0
,
x
0
∈ I
n
,
n = 1, 2, . . . . Пусть I
n
=

x
′
n
, x
′′
n

, тогда f(x n
′
) · f(x
′′
n
) < 0 и lim n→∞
x
′
n
= lim n→∞
x
′′
n
= x
0
. Из свойств предела следует неравенство lim n→∞
f (x
′
n
) · lim n→∞
f (x
′′
n
) 6 0.
Из непрерывности функции f(x) в точке x
0
получаем, что lim n→∞
f (x
′
n
) = f (x
0
) и lim n→∞
f (x
′′
n
) = f (x
0
),
– 49 –

и тогда f
2
(x
0
) 6 0.
Таким образом, f(x
0
) = 0.
2
В теореме ничего не говорится о числе корней. Утверждается лишь, что суще- ствует хотя бы один корень.
Теорема 1.14.2 (Больцано-Коши о промежуточном значении). Если функция g : [a, b] → R непрерывна на [a, b],
g(a) = A,
g(b) = B, то для любого числа C,
лежащего между A и B, найдется точка c ∈ [a, b], в которой g(c) = C.
Доказательство. Достаточно применить предыдущую теорему для функции f (x) = g(x) − c (f(a) · f(b) < 0).
2
Теорема 1.14.3 (первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на от- резке, ограничена на нем.
Доказательство. Пусть f : [a, b] → R непрерывная на E = [a, b] функция.
Вследствие теоремы 1.12.1 (1
◦
) для каждой точки x ∈ [a, b] найдется окрестность
U (x), такая что функция f ограничена для точек x ∈ E ∩ U(x) = U
E
(x). Сово- купность U(x),
x ∈ [a, b] образует покрытие отрезка [a, b]. По принципу Бореля-
Лебега из бесконечной совокупности U(x) можно извлечь конечную систему интер- валов U(x
1
), U (x
2
), . . . , U (x n
), покрывающих отрезок [a, b]. Для x ∈ U
E
(x k
) функция f (x) ограничена и, следовательно, m k
6
f (x) 6 M
k
,
k = 1, 2 . . . , n.
Тогда в любой точке x из [a, b] имеем min (m
1
, m
2
, . . . m n
) 6 f (x) 6 max (M
1
, M
2
, . . . M
n
) ,
и теорема доказана.
2
Теорема 1.14.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на от- резке, принимает на этом отрезке свое максимальное и минимальное значение.
Доказательство. Покажем, что существует точка x
0
∈ [a, b], такая что f(x
0
) =
sup x∈[a,b]
f (x) = M . Докажем от противного, пусть для x ∈ [a, b],
f (x) < M . Тогда функция
1
M − f(x)
непрерывна на [a, b]
(M − f(x) 6= 0, x ∈ [a, b]) и, следователь- но, по предыдущей теореме ограничена на [a, b]. Но
1
M − f(x)
неограничена на [a, b],
так как знаменатель этой дроби M − f(x) можно сделать за счет выбора x из [a, b]
сколь угодно близким к нулю. Это противоречие и доказывает, что существует точка x
0
∈ [a, b], такая что f(x
0
) = M .
Аналогично теорема доказывается для минимального значения.
2
Замечание 1.14.1. Заметим, что теоремы Вейерштрасса неверны, если в усло- виях этих теорем отрезок [a, b] заменить на интервал (a, b). Достаточно рассмот- реть функции f
1
(x) =
1
x и f
2
(x) = x на (0, 1).
Для функции f
1
(x) неверна первая теорема Вейерштрасса, для функции f
2
(x) —
вторая.
– 50 –

1.14.2. Равномерно непрерывные функции.
Определение 1.14.1. Функция f : E → R называется равномерно непрерывной на множестве E ⊂ R, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
1
∈ E ∀x
2
∈ E (|x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f(x
1
) − f(x
2
)| < ε) .
Пример 1.14.1. Показать, что функция f(x) = sin x равномерно непрерывна на
R
Решение. Пусть x
1
, x
2
∈ R, тогда
|sin x
1
− sin x
2
| = 2
sin x
1
− x
2 2
·
cos x
1
+ x
2 2
6
|x
1
− x
2
| < δ = ε.
Сформулируем условия того, что функция не будет равномерно непрерывной на множестве E.
Функция f : E → R не является равномерно непрерывной на множестве E, если
∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x
1
∈ E ∃x
2
∈ E (|x
1
− x
2
| < δ ∧ |f(x
1
) − f(x
2
)| > ε) .
Пример 1.14.2. Показать, что функция f(x) =
1
x не является равномерно непре- рывной на множестве (0, 1].
Решение. Пусть ε = 1 и δ > 0 — произвольное фиксированное число. Возьмем точки x n
1
=
1
n и x n
2
=
1
n + 1
,
n = 2, 3, . . . . Тогда |x n
1
− x n
2
| =
1
n
−
1
n + 1
=
1
n(n + 1)
и последняя величина может быть сделана меньше δ при n → ∞, т.е. выполняется условие
|x n
1
− x n
2
| < δ ∧ |f(x n
1
) − f(x n
2
)| = 1.
Возникает вопрос о сопоставлении понятий непрерывности и равномерной непре- рывности. В одну сторону ответ очевиден: функция, равномерно непрерывная на множестве, является непрерывной в любой точке этого множества. В самом деле,
достаточно в определении 1.14.1 положить x
1
= x,
x
2
= x
0
, и мы получим опреде- ление непрерывности функции в точке x
0
Но из непрерывности функции на множестве в общем случае не следует равно- мерная непрерывность на этом множестве. Пример 16.4 хорошо иллюстрирует этот факт.
Следующая теорема дает условия, когда из непрерывности функции все-таки сле- дует ее равномерная непрерывность на множестве.
Теорема 1.14.5 (Кантора о равномерной непрерывности). Функция, непрерыв- ная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.
Доказательство от противного. Пусть функция f не удовлетворяет определению равномерной непрерывности на множестве E = [a, b], т.е. удовлетворяет его отрица- нию:
∃ε
0
> 0 ∀δ > 0 ∃x
1
∈ E ∃x
2
∈ E (|x
1
− x
2
| < δ ∧ |f(x
1
) − f(x
2
)| > ε
0
) .
Пусть δ =
1
k
,
k = 1, 2, . . . , и точки x k
1
, x k
2
, удовлетворяющие записанному условию:
x k
1
, x k
2
∈ E = [a, b],
x k
1
− x k
2 6
1
k
∧
f(x k
1
) − f(x k
2
)
> ε
0
Последовательность x k
1
ограничена
(a 6 x k
1 6
b,
k = 1, 2 . . . ). По принципу
Больцано-Вейерштрасса выберем из нее сходящуюся подпоследовательность. Для
– 51 –

того чтобы не усложнять обозначения, будем считать, что последовательность x k
1
са- ма сходится, т.е. lim k→∞
x k
1
= x
0
. Ясно, что a 6 x
0 6
b. Тогда, пользуясь непрерывностью f в точке x
0
, запишем:
lim k→∞
f x k
1

= f

lim k→∞
x k
1

= f (x
0
) .
В силу неравенства x
k
1
− x k
2
<
1
k
,
k = 1, 2 . . . , последовательность x k
2
также схо- дится к x
0
при k → ∞. Поэтому lim k→∞
f x k
2

= f

lim k→∞
x k
2

= f (x
0
)
и, следовательно,
f x k
1

− f x k
2

→
k→∞
0,
что противоречит условию f x k
1

− f x k
2

>
ε
0 2
1.14.3. Обратная функция. Рассмотрим функцию f : X → Y (X ⊂ R, Y ⊂ R) .
Теорема 1.14.6. Пусть f : [a.b] → R есть непрерывная строго возрастающая на отрезке [a, b] функция и A = f (a),
B = f (b). Тогда образ [a, b] при отображении f есть отрезок [A, B] и на отрезке [A, B] определена обратная функция f
−1
: [A, B] →
[a, b], которая строго возрастает и непрерывна на [A, B].
Доказательство. Докажем, что f есть биективное отображение отрезка [a, b] в
[A, B]. Действительно, f сюръективна на [a, b]. Это следует из непрерывности f (см.
теорему Больцано-Коши о промежуточном значении) и ее монотонности (функция f не может принять значение, не принадлежащее отрезку [A, B]). В силу строгой монотонности f инъективна. Следовательно,
f ([a, b]) = [A, B],
обратная функция существует и f
−1
: [A, B] → [a, b].
Строгая монотонность f
−1
легко следует из строгой монотонности f.
Докажем непрерывность f
−1
в точке y
0
∈ (A, B), x
0
= f
−1
(y
0
) ∈ (a, b). Пусть зафиксировано ε > 0, которое настолько мало, что [x
0
− ε, x
0
+ ε] ⊂ [a, b]. Пусть,
далее, y
1
= f (x
0
− ε), y
2
= f (x
0
+ ε). Из строгой монотонности f следует, что f
−1
(y) ∈ (x
0
− ε, x
0
+ ε), если y ∈ (y
1
, y
2
), что и означает непрерывность f
−1
в точке y
0 2
Функция f(x) = sin x непрерывна и строго возрастает на отрезке h
−
π
2
,
π
2
i
, причем f

−
π
2

= −1, f
π
2

= 1. Тогда по доказанной теореме f
h
−
π
2
,
π
2
i
= [−1, +1]
и на отрезке [−1, +1] определена обратная функция f
−1
(y), которая строго воз- растает и непрерывна на [−1, +1]. Эту функцию, как известно, обозначают x =
arcsin y,
y ∈ [−1, +1]. Таким образом, доказана непрерывность обратной тригоно- метрической функции arcsin x для x ∈ [−1, +1].
– 52 –