Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

26
для простоты будем считать, что диэлектрические и магнитные проницаемо- сти всех слоев являются скалярными величинами.
Так как потенциал
Φ(x, y) создается квазистатическими зарядами, рас- пределенными на полосковых проводниках с поверхностной плотностью
ρ
s i
(x), то он удовлетворяет уравнению Пуассона
)
,
(
)
(
1
)
,
(
0 2
y
x
y
y
x
r
ρ
ε
ε
−
=
Φ
∇
, (2.36) где объемная плотность зарядов
∑
=
−
δ
ρ
=
ρ
n
i
i
i
s
y
y
x
y
x
1
)
(
)
(
)
,
(
; (2.37)
ε
r
(y) – относительная диэлектрическая проницаемость слоя.
Нахождение потенциала
Φ(x,y) по заданным функциям ρ
s i
(x) значи- тельно упрощается, если произвести преобразование Фурье:
∫
∞
∞
−
β
Φ
=
β
Φ
dx
y
x
y
x
i
e
)
,
(
)
,
(
, (2.38)
∫
∞
∞
−
β
ρ
=
β
ρ
dx
x
x
i
i
s
i
s
e
)
(
)
(
. (2.39)
Тогда уравнение (2.36) во всей плоскости поперечного сечения за ис- ключением линий раздела слоев y = y
i
принимает вид
(
)
0
)
,
(
2 2
2
=
β
Φ
β
−
∂
∂
y
y
. (2.40)
На границе раздела слоев должны выполняться условия
0 0
+
=
−
=
Φ
=
Φ
i
i
y
y
y
y
, (2.41)
i
i
i
i
i
y
y
i
s
y
y
y
y
r
y
y
y
y
r
y
y
=
+
=
+
=
−
=
−
=
ρ
+
Φ
∂
∂
ε
ε
=
Φ
∂
∂
ε
ε
0 0
0 0
0 0
, (2.42) являющиеся следствием непрерывности тангенциальной составляющей на- пряженности электрического поля E
x
и скачка нормальной составляющей электрической индукции D
y
на величину поверхностной плотности зарядов
ρ
s i
. Так как потенциал
Φ, создаваемый зарядами Q
i
, обращается на беско- нечности в нуль, а поверхность экрана эквипотенциальна, то должны выпол- няться еще два условия
0
,
0 0
=
Φ
=
Φ
∞
=
=
y
y
. (2.43)

27
Преобразование Фурье приводит выражение (2.34) к виду
∑ ∫
=
∞
∞
−
β
β
ρ
β
Φ
π
=
n
i
i
s
i
E
d
W
1
*
)
(
)
(
Re
4 1
. (2.44)
Решение уравнения (2.40) с граничными условиями (2.41)
−(2.43) в об- щем случае может быть записано в форме
∑
=
β
ρ
=
β
Φ
n
i
i
s
i
F
y
1
)
(
)
,
(
, (2.45) где F
i
– дробные рациональные функции от sh(
⏐β⏐y
i
), ch(
⏐β⏐y
i
), sh(
⏐β⏐y), ch(
⏐β⏐y) и ⏐β⏐. Конкретный вид функций F
i
зависит от геометрии поперечно- го сечения связанных планарных линий.
Из выражения (2.45) следует, что потенциал зарядов на i-й границе раз- дела слоев имеет вид
∑
=
β
ρ
β
ϕ
=
β
Φ
n
j
sj
ij
i
1
)
(
)
(
)
(
, (2.46) где
ϕ
i j
– дробные рациональные функции от sh(
⏐β⏐y
i
), ch(
⏐β⏐y
i
) и
⏐β⏐. По- этому они удовлетворяют условию
)
(
)
(
β
ϕ
=
β
−
ϕ
ij
ij
. (2.47)
Кроме того, функции
ϕ
i j
обладают симметрией
( )
( )
i j
j i
ϕ β = ϕ β , (2.48) так как при перестановке зарядов
ρ
s i
(x) и
ρ
s j
(x) происходит перестановка вкладов в потенциал от зарядов на i-й и j-й границе слоев.
Получим функции F
i
и
ϕ
i j
для открытых связанных микрополосковых линий, то есть в случае когда верхний экран отсутствует, а все полосковые проводники расположены на одной подложке толщиной h. Ширины полоско- вых проводников и координаты их центров обозначим W
i
и x
i
Решение уравнения (2.40), удовлетворяющее граничным условиям
(2.43), имеет вид
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞
<
<
<
<
β
=
β
Φ
β
−
при e
,
0
при
)
(
sh
)
,
(
2 1
y
h
A
h
y
y
A
y
y
(2.49)

28
Выразим константы интегрирования А
1
и А
2
через функции плотности зарядов
)
(
β
ρ
si
. Подставляя (2.49) в граничные условия (2.41) и (2.42), полу- чаем
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∞
<
<
β
+
β
ε
β
β
ε
β
ρ
<
<
β
+
β
ε
β
β
ε
β
ρ
=
β
Φ
−
β
−
при
)
(
sh
)
(
ch e
)
(
sh
)
(
,
0
при
)
(
sh
)
(
ch
)
(
sh
)
(
)
,
(
)
(
0 0
y
h
h
h
h
h
y
h
h
y
y
r
h
y
si
r
si
(2.50)
Отсюда находим, что в случае открытых связанных микрополосковых линий, выполненных на однослойной подложке, искомые функции имеют вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞
<
<
β
ε
+
β
β
β
ε
<
<
β
ε
+
β
β
β
ε
=
β
−
β
−
,
при
)
(
ch
)
(
sh e
)
(
sh
1
,
0
при
)
(
ch
)
(
sh
)
(
sh
1
)
,
(
)
(
0 0
y
h
h
h
h
h
y
h
h
y
y
F
r
h
y
r
(2.51)
)
(
th
1 1
1
)
(
0
h
/
r
ij
β
ε
+
β
ε
=
β
ϕ
. (2.52)
Видно, что в рассматриваемом случае функции
ϕ
i j
(
β) вообще не зависят от номеров полосковых проводников, то есть от индексов i и j.
Аналогичным образом можно получить функции
ϕ
i j
(
β) для других случаев связанных планарных линий. Отметим, что в случае экранированных связанных микрополосковых линий
)
(
cth
)
(
cth
1 1
)
(
0
h
h
r
a
ij
β
ε
+
β
β
ε
=
β
ϕ
, (2.53) где h
a
– высота верхнего экрана над полосковыми проводниками. Видно, что в пределе h
a
→ ∞ формула (2.53) совпадает с формулой (2.52).
x
y
0
y
1
y
2
h
1
h
2
h
3
ε
2
ε
3
ε
1
x
1
x
2
x
3
x
4, 5
Рис. 2.2. Поперечное сечение экранированной трехслойной многопроводной линии передачи

29
Отметим также, что для экранированной трехслойной планарной линии передачи, изображенной на рис. 2.2, функция
ϕ
i j
(
β) имеет вид
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
Δ
β
ε
ε
+
ε
∈
∈
∈
∈
Δ
β
ε
ε
∈
Δ
β
ε
ε
+
ε
=
β
ϕ
,
,
если
,
th
)
th th
(
,
и или и
если
,
/ch th th
,
,
если
,
th
)
th th
(
)
(
2 0
3 2
1 1
2 1
2 2
1 0
2 3
1 2
1 0
1 2
3 3
2
y
j
i
u
u
u
y
j
y
i
y
j
y
i
u
u
u
y
j
i
u
u
u
ij
(2.54) где
,
,
,
th
)
th th
(
th th th
3 3
2 2
1 1
2 3
1 3
1 1
3 2
2 3
1 2
2
h
u
h
u
h
u
u
u
u
u
u
u
β
=
β
=
β
=
ε
ε
+
ε
+
ε
ε
+
ε
=
Δ
Вернемся к погонной плотности энергии электрического поля. Под- ставляя (2.46) в формулу (2.44), получаем
∑ ∫
=
∞
∞
−
β
β
ρ
β
ρ
β
ϕ
π
=
n
j
i
sj
si
ij
E
d
W
1
,
*
)
(
)
(
)
(
Re
4 1
. (2.55)
Поверхностную плотность зарядов
ρ
s i
(x) будем искать в виде разложе- ния в ряд по некоторой последовательности функций, удовлетворяющих сле- дующим требованиям.
В рассматриваемой задаче граничные поверхности полосковых про- водников имеют сингулярности типа острых углов, на которых некоторые компоненты электромагнитного поля обращаются в бесконечность. Поэтому решение уравнений электродинамики, а следовательно, и квазистатики не может быть однозначным. Для обеспечения единственности реше- ния задачи необходимо использовать дополнительное физическое условие, называемое условием на ребре или условием Мейкснера [10]. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасаемой в любом конечном объеме ребра V. Это равносильно требованию
0
lim
]
[
2 2
0
=
μ
+
ε
∫
→
dv
V
V

30
(
τ> 0) при r → 0, где r – расстояние до ребра. Для ребра в форме клина кон- кретное значение параметра
τ находят решением уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат, разлагая компоненты электромагнит- ного поля в ряд по степеням r.
В [10] показано, что в случае ребра, являющегося краем бесконечно тонкого полоскового проводника, параметр
τ для поперечных компонент электрического поля (E
x
, E
y
) и продольной компоненты магнитного поля (H
z
) принимает значение
τ=½, для остальных компонент τ=0. Так как поверхно- стная плотность зарядов пропорциональна нормальной составляющей элек- трического поля, она должна возрастать вблизи края полоскового проводника по закону r
−1/2
. Поэтому функцию
ρ
s i
(x) на одном из краев полоскового про- водника можно записать в виде ряда по положительным степеням x, умно- женного на r
−1/2
. Однако полосковый проводник имеет два края. Чтобы усло- вия Мейкснера выполнялись на обоих краях одновременно, степенной ряд следует умножить не на r
−1/2
, а на
2
/
1 2
)
1
(
−
−
i
u
, где
i
i
i
W
x
x
u
/
)
(
2
−
=
. (2.57)
Расчет значительно упрощается, если искомый ряд по положительным степеням x перегруппировать и представить в виде ряда по ортогональным многочленам Чебышева первого рода
...)
,
2
,
1
,
0
(
)
arccos
(
cos
)
(
=
=
m
x
m
x
T
m
, (2.58) удовлетворяющим условию нормировки
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
π
=
−
∫
−
0
при
0
,
0
при
1
)
(
1 1
2
m
m
x
dx
x
T
m
(2.59)
Таким образом, функцию
ρ
si
(x) будем искать в виде
∑
∞
=
−
π
=
ρ
0 2
)
(
1 2
)
(
m
i
m
im
i
i
i
si
u
T
A
u
W
Q
x
, (2.60) где A
i m
– вещественные функции x, постоянные на участке x
i
−W
i
/2
< x< x
i
+W
i
/2 и равные нулю в остальной области.
Из условия (2.59) видно, что вклад в погонную плотность заряда
∫
∞
∞
−
ρ
=
dx
x
Q
si
i
)
(
(2.61)

31
дает только нулевой член ряда (2.60), причем коэффициент разложения при нулевом члене
A
i 0
= 1. (2.62)
Последнее равенство обеспечено введением множителя 2Q
i
/(
πW
i
) в разложе- нии (2.60).
После выполнения преобразования Фурье формула (2.60) принимает вид
∑
∞
=
β
β
=
β
ρ
0
)
2
/
(
e
)
(
m
i
m
im
m
x
i
i
si
W
J
A
i
Q
i
, (2.63) где
J
m
(x)
ϕ
ϕ
π
=
∫
π
ϕ
d
m
i
ix
m
0
cos
)
(
cos e
1
(2.64)
– функция Бесселя первого рода порядка m.
Подставляя выражение (2.63) в формулу (2.55) и используя обозначе- ние (2.57) и четность функции Бесселя
J
m
(
−x) = (−1)
m
J
m
(x) , (2.65) получаем
imjl
jl
n
j
i
n
l
m
im
j
i
E
w
A
A
Q
Q
W
Re
2 1
1
,
0
,
*
∑
∑
=
=
π
=
, (2.66) где
∫
∞
β
−
π
+
−
β
β
β
β
ϕ
=
0
)]
(
2
)
(
[
cos
)
2
/
(
)
2
/
(
)
(
d
l
m
x
x
W
J
W
J
w
j
i
l
l
i
m
ij
imjl
. (2.67)
Дифференцируя выражение (2.66) по коэффициентам A
jl
, где
j = 1, 2, … n, l = 1, 2, 3, … и приравнивая производные нулю, получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов разложения A
i m
, минимизирующих погонную плотность энергии W
E
:
jl
i
n
i
j
i
imjl
n
i
m
im
j
i
w
Q
Q
w
A
Q
Q
0 1
*
1 1
*
Re
Re
∑
∑
∑
=
=
=
−
=
∞
. (2.68)
Здесь была учтена симметрия функции
ϕ
i j
, выражаемая формулой (2.48), а также вещественность произведения
j
i
Q
Q
*

32
Бесконечная система уравнений (2.68) при заданных Q
i
может быть решена численно на компьютере, если в разложении (2.60) ограничиться ко- нечным числом многочленов Чебышева T
m
(u
i
), а суммирование в формуле
(2.68) произвести по конечной последовательности индекса m.
Для нахождения напряжения U
i
на i-м проводнике вычислим величину
∫
∞
∞
−
ρ
=
dx
x
U
Q
U
i
s
i
i
i
)
(
*
*
. (2.69)
Внося константу U
i
под знак интегрирования и учитывая, что она равна по- тенциалу
Φ
i
(x) на поверхности i-го проводника, получаем
∫
∞
∞
−
ρ
Φ
=
dx
x
x
Q
U
si
i
i
i
)
(
)
(
*
*
. (2.70)
После выполнения преобразования Фурье имеем
∫
∞
∞
−
β
β
ρ
β
Φ
π
=
d
Q
U
si
i
i
i
)
(
)
(
2 1
*
*
. (2.71)
Подставляя формулу (2.46) в интеграл (2.71), получаем
∑ ∫
= −
∞
∞
β
β
ρ
β
ρ
β
ϕ
π
=
n
j
sj
si
ij
i
i
d
Q
U
1
*
*
)
(
)
(
)
(
2 1
. (2.72)
И, наконец, после подстановки ряда (2.63) для
)
(
β
ρ
si
в формулу (2.72) иско- мая величина
∑
∑
=
=
∞
π
=
n
j
l
m
jl
im
imjl
j
i
i
i
A
A
w
Q
Q
Q
U
1 0
,
*
*
1
. (2.73)
Сокращая левую и правую части уравнения (2.73) на множитель
, получа- ем формулу для расчета напряжения на полосковом проводнике
*
i
Q
∑
∑
=
=
∞
π
=
n
j
l
m
jl
im
imjl
j
i
A
A
w
Q
U
1 0
,
1
. (2.74)
Для нахождения элементов C
i j
матрицы погонной емкости
C
формулу
(2.1) перепишем в виде
∑
=
=
n
j
j
ij
i
Q
X
U
1
. (2.75) где X
i j
– элементы матрицы
Х
, являющейся обратной к матрице
С

33
Сравнение формул (2.74) и (2.75) не позволяет сразу определить эле- менты матрицы
Х
, так как коэффициенты A
i m
в формуле (2.74) являются функциями зарядов Q
j
на всех проводниках.
Для нахождения элементов матрицы
Х
необходимо для n линейно независимых векторов
Q
(k)
с компонентами
(k, m
=1, 2, …n) по фор- мулам (2.68), (2.74) найти n соответствующих векторов напряжения
U
0
)
(
≠
k
m
Q
(k)
с компонентами
)
(k
m
U
Если число проводников n
>2, то в качестве линейно независимых векторов
Q
(k)
можно взять векторы
)
1
,
1
,
1
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
,
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
−
=
−
=
−
=
…
…
…
n
Q
Q
Q
(2.76)
После подстановки (2.76) в формулу (2.75) получаем
ik
n
j
ij
k
i
X
X
U
2
)
(
1
)
(
−
=
∑
=
. (2.77)
Отсюда находим элементы обратной матрицы погонной емкости
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
∑
=
−
n
k
j
i
k
i
n
ij
U
U
X
1
)
(
)
(
2 1
2 1
)
(
. (2.78)
Элементы C
i j
матрицы
C
могут быть получены обращением матрицы
Х
, эле- менты которой определяются формулой (2.78).
Если число проводников n
=2, то в качестве линейно независимых век- торов
Q
(k)
можно взять векторы
)
1
,
1
(
,
)
1
,
1
(
)
2
(
)
1
(
−
=
=
Q
Q
(2.79)
После подстановки (2.79) в формулу (2.75) получаем
,
2 1
)
2
(
2 1
)
1
(
i
i
i
i
i
i
X
X
U
X
X
U
−
=
+
=
(2.80)
Отсюда находим элементы обратной матрицы погонной емкости
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
2
)
1
(
2 2
1
)
2
(
2
)
1
(
2 2
1
)
2
(
1
)
1
(
1 2
1
)
2
(
1
)
1
(
1 2
1
U
U
U
U
U
U
U
U
X
. (2.81)

34
Матрица погонной емкости
C
получается обращением матрицы
Х
В случае одного проводника (n=1) матрица
C
содержит единственный элемент C
11
= 1/X
11
2.3. Расчет матрицы погонной индуктивности
Запишем погонную плотность магнитной энергии квазистатического поля в связанных многопроводных линиях
∫
=
ds
W
M
Β
Η
*
Re
2 1
. (
2.82
) где
H
и
B
– векторы напряженности и индукции магнитного поля. Так как
A
Β
rot
=
, (
2.83
) где
A
– векторный потенциал магнитного поля, то формулу (2.82) можно переписать в виде
∫
=
ds
W
M
A
Η rot
Re
2 1
*
. (2.84)
Используя правило действий с оператором
∇, получим
∫
+
×
=
ds
W
M
]
[
*
*
rot
)
(
div
Re
2 1
Η
A
Η
A
. (2.85)
В квазистатическом приближении векторный потенциал магнитного поля
A
удовлетворяет уравнению Пуассона
)
,
(
)
(
)
,
(
0 2
y
x
y
y
x
r
j
A
μ
μ
−
=
∇
, (2.86) где объемная плотность токов
∑
=
−
δ
=
n
i
i
i
y
y
x
y
x
1
)
(
)
(
)
,
(
J
j
, (
2.87
) а
J
i
(x) – поверхностная плотность тока на проводниках. Так как в квазиста- тическом приближении поперечные токи для волн основного типа равны ну- лю, то из формулы (2.86) видно, что равны и поперечные составляющие век- торного потенциала
A
. Поэтому, как видно из (2.83), нормальная к поверхно- сти проводников и экрана составляющая индукции магнитного поля
x
A
B
z
y
∂
∂
−
=
. (2.88)