Файл: В. В. Тюрнев теория цепей свч красноярск 2006.pdf

35
Так как на поверхности проводников и экрана B
y
=0, из формулы (2.88) следует, что векторный потенциал
A
постоянен по периметру поперечного сечения любого проводника и экрана.
Согласно теореме о дивергенции интеграл от первого члена в квадрат- ных скобках формулы (2.85) равен интегралу от (
A
×
H
*
)
n
по замкнутому кон- туру, проходящему по экрану и замыкающемуся в бесконечности в верхней полуплоскости. Так как векторный потенциал от токов на проводниках I
i
ра- вен нулю в бесконечности, в том числе и на поверхности экрана, а поверх- ность экрана эквипотенциальна, то интеграл по контуру равен нулю и первый член в скобках формулы (2.85) можно опустить. Тогда получаем
∫
=
ds
W
M
*
rot
Re
2 1
Η
A
. (2.89)
Учитывая, что rot
H
=
j
, (2.90) формулу (2.89) перепишем в виде
∑ ∫
=
∞
∞
−
=
n
i
i
i
M
dx
x
j
x
A
W
1
*
)
(
)
(
Re
2 1
, (2.91) где j
i
(x) и A
i
(x) – продольные составляющие вектора поверхностной плотно- сти токов и векторного потенциала на высоте y = y
i
. После выполнения пре- образования Фурье
∫
∞
∞
−
β
=
β
dx
y
x
A
y
A
x
i
e
)
,
(
)
,
(
, (2.92)
∫
∞
∞
−
β
=
β
dx
x
j
y
j
x
i
i
i
e
)
(
)
,
(
(2.93) выражение для погонной плотности магнитной энергии (2.91) и уравнение
Пуассона (2.86) принимают вид
∑ ∫
=
∞
∞
−
β
β
β
π
=
n
i
i
i
M
d
j
A
W
1
*
)
(
)
(
Re
4 1
, (2.94)
(
)
0
)
,
(
2 2
2
=
β
β
−
∂
∂
y
A
y
. (2.95)
На границе раздела слоев должны выполняться условия
0 0
)
,
(
)
,
(
+
=
−
=
β
=
β
i
i
y
y
y
y
y
A
y
A
, (2.96)

36
)
(
)
,
(
)
(
1
)
,
(
)
(
1 0
0 0
0
β
+
β
∂
∂
μ
μ
=
β
∂
∂
μ
μ
+
=
−
=
i
y
y
r
y
y
r
j
y
A
y
y
y
A
y
y
i
i
, (2.97) являющиеся следствием непрерывности нормальной составляющей индук- ции магнитного поля B
B
y
и скачка тангенциальной составляющей напряжен- ности магнитного поля H
x
на величину поверхностной плотности токов j
z
, то есть формул (1.31) и (1.37).
Кроме того, должны выполняться еще два граничных условия:
0
)
,
(
,
0
)
,
(
0
=
β
=
β
=
∞
=
y
y
y
A
y
A
,
(2.98) так как векторный потенциал
A
, создаваемый токами I
i
на проводниках, об- ращается в нуль на бесконечности и на поверхности экрана.
Сравнение формул (2.92)–(2.98) с формулами (2.38)–(2.44) показывает, что формулы (2.92)–(2.98) переходят в формулы (2.38)–(2.44), если произве- сти замену
,
,
,
,
,
1 1
0 0
−
−
ε
→
μ
ε
→
μ
σ
→
→
→
Φ
→
r
r
i
i
i
i
i
i
j
Q
I
U
A
A
(2.99)
Поэтому из формулы (2.74) следует, что продольная составляющая векторно- го потенциала на i-м проводнике
∑
∑
=
=
∞
π
=
n
j
l
m
jl
im
imjl
j
i
B
B
u
I
A
1 0
,
1
, (2.100) где коэффициенты B
B
i m
являются решением системы линейных уравнений
∑
∑
∑
=
=
=
−
=
∞
n
i
n
i
jl
i
i
m
imjl
im
i
u
I
u
B
I
1 1
0
*
1
*
Re
Re
, (2.101) а константы u
i mj l
равны константам w
i m j l
при
ε
0
= 1/
μ
0
,
ε
r
= 1/
μ
r
Найдем элементы L
i j
матрицы погонной емкости

37
где d
s
i
– вектор элемента площади dydz. Подставляя выражение (2.83) в фор- мулу (2.103) и используя теорему Стокса, получаем
∫
=
Ψ
i
C
i
d
l
A
. (2.104)
Учитывая, что l-составляющая вектора
A
на контуре C
i
отлична от нуля толь- ко на проводнике, где она равна A
i
, приходим к равенству
Ψ
i
= A
i
. (2.105)
Поэтому формулу (2.102) можно переписать в виде
∑
=
=
n
j
j
ij
i
I
L
A
1
. (2.106)
Если число проводников n
>2, то в качестве линейно независимых век- торов токов
I
(k)
можно взять векторы
)
1
,
1
,
1
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
,
1
(
,
)
1
,
1
,
1
,
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
−
=
−
=
−
=
…
…
…
n
I
I
I
(2.107)
Для каждого вектора токов
I
(k)
, задаваемого формулой (2.107), вычислим по формулам (2.100), (2.101) соответствующий ему вектор потенциалов
A
(k)
Подставляя (2.107) в систему уравнений (2.106) и решая ее, находим элемен- ты матрицы погонной индуктивности
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
∑
=
−
n
k
j
i
k
i
n
ij
A
A
L
1
)
(
)
(
2 1
2 1
)
(
. (2.108)
Сравнивая формулу (2.108) с формулой (2.78), а также формулы (2.107),
(2.100), (2.101) соответственно с формулами (2.76), (2.74) (2.68) приходим к важной формуле
1 1
0 0
,
0 1
0
)
,
(
)
,
(
−
−
μ
=
ε
μ
=
ε
−
ε
ε
=
μ
μ
i
r
i
r
i
r
i
r
C
L
. (
2.109
)
Аналогичным образом можно доказать, что формула (2.109) справед- лива и в случае n
≤ 2.

38
Контрольные вопросы
14.
Какие элементы в матрице погонной емкости многопроводной линии передачи отрицательны, а какие положительны?
15.
В какой многопроводной линии передачи матрица погонной индук- тивности обратно пропорциональна матрице погонной емкости?
16.
Позволяет ли квазистатический расчет учесть диэлектрические, омические или магнитные потери в диэлектрическом заполнении?

39
3. ДОБРОТНОСТЬ
3.1. Добротность колебательной системы
Добротность произвольной колебательной системы есть безразмер- ная величина Q, определяемая формулой
Q =
ωW/P, (
3.1
) где
ω − частота колебаний; W – запасенная системой энергия; Р – усреднен- ная по времени мощность потерь. Из определения (3.1) получается, в частно- сти, известная формула
R
C
L
Q
=
(
3.2
) для добротности последовательного контура на его резонансной частоте.
Если колебательная система совершает свободные колебания, то их амплитуда убывает во времени. Для описания затухающих гармонических колебаний удобно использовать комплексную частоту
ω = ω′ − iω″. (3.3)
В этом случае зависимость от времени вещественной колеблющейся величи- ны A(t) (ток, напряжение, деформация и т. д.) описывается формулой
A(t) = Re [A
0
e
– i ωt
] = |A
0
|e
– ω
″t
cos(ω
′t – arg A
0
) , (3.4) где A
0
= |A
0
| e
i arg A
0
− комплексная амплитуда колебаний (начальная). Очевид- но, что в случае затухающих колебаний частота
ω в формуле (3.1) должна быть заменена на
ω′.
Установим связь добротности Q с вещественной и мнимой частью комплексной частоты. Как известно, энергия, запасенная любой колебатель- ной системой, пропорциональна квадрату модуля амплитуды колебаний. По- этому, используя формулу (3.4), запасенную энергию можно записать в виде
W = α|A
0
|
2
e
– 2ω
″t
, (3.5) где коэффициент α
− константа, зависящая только от типа и параметров ко- лебательной системы
*
* Например, в случае колебательного контура, когда A(t) есть ток, коэффициент
α
= L/2, где L – индуктивность.

40
Мощность потерь связана с запасенной энергией соотношением
P =
−dW/dt. (3.6)
Подставляя (3.5) и (3.6) в определение (3.1), получаем искомое соотношение
Q =
ω′/(2ω″). (
3.7
)
Колебательные системы обычно подключают к внешним нагрузкам.
В этом случае мощность потерь
P = P
0
+ Р
е
, (3.8) где P
0
– мощность потерь внутри колебательной системы; Р
е
– мощность по- терь во внешней нагрузке. Тогда формулу (3.1) можно записать в виде
Q
−1
= Q
0
−1
+ Q
e
−1
, (
3.9
) где величину
Q
0
=
ωW⁄P
0
(
3.10
) называют собственной добротностью колебательной системы, а величину
Q
e
=
ωW⁄P
e
(
3.11
) называют внешней добротностью. Собственная добротность Q
0 характери- зует свойства уединенной колебательной системы, а внешняя добротность Q
e
характеризует величину связи колебательной системы с внешним окружени- ем. Величину Q, описываемую формулой (3.9), называют наг руженной добротностью.
Формула (3.1) есть общее определение добротности, применимое к лю- бой колебательной системе на любой частоте. Однако в некоторых случаях приходится иметь дело с двухполюсником, являющимся «черным ящиком», о котором известно только то, что его входное комплексное сопротивление описывается функцией
Z
вх
(
ω) = R−iX, (
3.12
) а обратная ему величина – входная комплексная проводимость
− функцией
∗
Y
вх
(
ω) = G −iB. (
3.13
)
Величину X(
ω) называют реактивным сопротивлением, а величину B(ω) − реактивной проводимостью. Обе эти величины называют реактансами .
∗ Знак перед мнимой единицей i в формулах (3.12), (3.13) выбран в соответствии со знаком в формуле (1.1).

41
Реактансы могут на некоторых частотах обращаться в нуль. Если на частоте
ω
0
обращается в нуль X, то двухполюсник на этой частоте проявляет свойства последовательного колебательного контура, если же в нуль обраща- ется B, то
− параллельного.
Добротность двухполюсника на резонансной частоте
ω
0
опреде- ляют формулой
Q
= x/R
(
3.14
) для случая последовательного резонанса и формулой
Q
= b/G
(
3.15
) для случая параллельного резонанса, где величина
0
)
(
2 0
ω
=
ω
ω
ω
ω
=
d
dX
x
(
3.16
) называется параметром крутизны реактивного сопротивления , а величина
0
)
(
2 0
ω
=
ω
ω
ω
ω
=
d
dB
b
(
3.17
) называется параметром крутизны реактивной проводимости.
Формулы (3.14)–(3.15) получаются из формулы (3.7) и резонансных условий Z(
ω′−iω″) = 0 и Y(ω′−iω″) = 0. Не трудно убедиться, что для после- довательного колебательного контура с входным сопротивлением
Z
вх
(
ω) = R −iωL + i/(ωC) (
3.18
) и для параллельного колебательного контура с входной проводимостью
Y
вх
(
ω) = 1/R −iωC +i/(ωL) (
3.19
) выражения (3.14) и (3.15) дают правильную формулу (3.2) и потому согласу- ются с общим определением (3.1).
Термин «добротность» используется не только для описания колеба- тельных систем, но и для описания линий передачи. Добротностью линии передачи называют добротность резонатора СВЧ, образованного из отрезка линии передачи.
Добротность линии передачи Q в случае гармонических колебаний с вещественной частотой
ω связана с волновым числом k
z
бегущей волны фор- мулой
Q = k
z
′/(2k
z
″). (
3.20
)

42
Для доказательства этой формулы рассмотрим отрезок линии длиною l.
За период колебания Т фронты прямой и обратной волны пройдут путь vT, дважды претерпевая отражения на концах, и возвратятся на исходное место.
Этот путь будет равен 2l. Поэтому имеем
2l =
ωТ/k
z
′. (3.21)
Пройдя расстояние 2l, амплитуды бегущих волн станут
A(z, t
+T)
=
A(z, t)e
−k
z
″2l
= A
0
e
−k
z
″2l
. (3.22)
Из формул (3.21), (3.22) получаем закон убывания запасенной энергии
W(t) = W
0
e
−2ωt k
z
″⁄ k
z
′
. (3.23)
Подставляя (3.23) и (3.6) в определение (3.1), получаем формулу (3.20).
Мощность потерь в линии передачи
P = P
d
+ Р
c
, (3.24) где P
d
– мощность потерь в диэлектрическом заполнении линии, а P
c
– мощ- ность потерь в проводниках линии передачи. Тогда, согласно (3.1), обратную величину добротности линии можно представить в виде суммы
Q
−1
= Q
d
−1
+ Q
c
−1
, (
3.25
) где величину
Q
d
=
ωW⁄P
d
(
3.26
) называют добротностью диэлектрического заполнения линии, а величину
Q
с
=
ωW⁄P
с
(
3.27
) называют добротностью проводников линии.
Добротность Q
d
есть усредненная характеристика материалов, запол- няющих линию передачи. В однородной линии величина Q
d
не зависит ни от конструкции, ни от размеров линии, а зависит только от тангенсов угла ди- электрических и магнитных потерь. В случае, когда однородное диэлектри- ческое заполнение не является магнитным, имеет место равенство
Q
d
=
ε
r
′ ⁄ ε
r
″. (
3.28
)
Равенство (3.28) получается из формул (1.20), (1.38) и (3.20) и предположе- ния о малости тангенса угла диэлектрических потерь.

43
Добротность Q
с
есть комплексная характеристика материала провод- ников и их конфигурации. Она обратно пропорциональна толщине скин- слоя материала проводника
Δ =
)
(
2 0
r
μ
ωμ
σ
, (
3.29
) то есть Q
с
возрастает с увеличением проводимости проводника
σ и частоты
ω. Отметим, что толщина скин-слоя меди на частоте 1 ГГц составляет
Δ
Cu
= 2.09 мкм. С увеличением поперечных размеров линии передачи доб- ротность проводников растет.
3.2. Плоский волновод
Для изучения влияния конечной проводимости проводников
σ на рас- пространение поперечных и квазипоперечных электромагнитных волн рас- смотрим плоский волновод, поперечное сечение которого изображено на рис. 3.1.
y
0
x
h/2
−h/2
2
3 2
3
W
1
Рис. 3.1. Поперечное сечение плоского волновода:
1
– диэлектрическое заполнение;
2
– проводник;
3
– магнитная стенка
Волновод содержит два плоских горизонтальных бесконечно толстых проводника
2
с конечной проводимостью
σ, ограничивающих электромаг- нитное поле в вертикальном направлении. В горизонтальном направлении поле ограничено двумя плоскими вертикальными магнитными стенками
3
, на поверхности которых обращаются в нуль тангенциальные составляю- щие магнитного поля. Пространство, ограниченное проводниками и магнит- ными стенками заполнено немагнитным материалом
1
с диэлектрической проницаемостью
ε
r

44
Таким образом, плоский волновод есть не реальная линия передачи, используемая в технике СВЧ, а всего лишь упрощенная математическая мо- дель. Эту модель часто используют для упрощенного описания отражения волн на нерегулярностях полосковых и микрополосковых линий передачи.
Аппроксимацию полосковой или микрополосковой линии передачи плоским волноводом с тем же волновым сопротивлением и той же фазовой скоростью называют моделью Олинера.
Будем рассматривать бегущую гармоническую волну, сопровождаемую напряжением U на верхнем проводнике относительно нижнего проводника.
Очевидно, что такая волна будет иметь поперечную составляющую электри- ческого поля E
y
. Эта составляющая направлена нормально к поверхности проводника.
Поэтому в случае идеального проводника на его поверхности согласно формуле (1.34) должны возникать поверхностные заряды
ρ
s
. Эти заряды, пе- ремещаясь с фазовой скоростью v вдоль оси z, будут создавать поверхност- ные продольные токи J
z
. Их направления на верхнем и нижнем проводниках будут противоположными.
В рассматриваемом случае, то есть при конечной проводимости про- водника, вместо поверхностных токов J
z
потекут объемные токи j
z
. В свою очередь, объемные продольные токи j
z
, согласно закону Ома (1.13), будут со- провождаться продольной составляющей электрического поля E
z
, имеющей противоположные знаки на верхней и нижней половинах волновода.
Таким образом, конечная проводимость проводников приводит к появ- лению у Т-волны продольной составляющей электрического поля. Поэтому начнем решать уравнение Гельмгольца (1.23) для продольной составляющей электрического поля.
Так как волновод имеет горизонтальную плоскость симметрии, то дос- таточно записать решение лишь для верхней половины волновода (y
≥ 0). Уч- тем, что зависимость E
z
от координаты x должна иметь вид стоячей волны из-за отражения на вертикальных магнитных стенках. Зависимость от коор- динаты y в области диэлектрического заполнения (0
≤ y ≤ h/2) также должна иметь вид стоячей волны из-за симметричного расположения диэлектрика между двумя одинаковыми горизонтальными проводниками. Более того, она должна описываться нечетной функцией. Зависимость от координаты y в об- ласти верхнего проводника (h/2
≤ y < ∞) должна описываться бегущей вол-