ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 981
Скачиваний: 1
21
2.
Рівняння прямої, що проходить через точки М
1
і М
2
має
вигляд:
Підставивши в (2) координати точок А і В, запишемо рівняння сторони
АВ:
Для знаходження кутового коефіцієнта k
AB
прямої АВ розв’яжемо
отримане рівняння відносно у:
звідси k
AB
=-4/3.
Підставимо в формулу (2) координати точок А і С і знайдемо рівняння
прямої АС:
(AC), звідси k
AC
= -1/7.
Аналогічно знаходимо рівняння прямої ВС:
(ВС), звідки k
BC
= 2.
3.
Кут α між двома прямими, кутові коефіцієнти яких дорівнюють k
1
ik
2
,
визначається за формулою:
Кут А, утворений прямими АВ і АС, знайдемо за формулою (3)
підстановкоюk
1
= k
AB
= -4/3, k
2
= k
AC
= -1/7.
4.
Оскільки висота CD перпендикулярна стороні АВ, то кутові коефіцієнти
цих прямих обернені за величиною і протилежні за знаком, тобто
1
2
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
−
−
=
−
−
,
8
4
8
)
4
(
5
)
4
(
−
−
−
=
−
−
−
−
y
x
,
12
8
9
4
−
−
=
+
y
x
,
4
8
3
4
−
−
=
+
y
x
,
16
4
24
3
−
−
=
−
x
y
0
8
3
4
=
−
+
y
x
,
3
8
3
4
+
−
=
x
y
2
1
1
2
1
κ
κ
κ
κ
α
+
−
=
tg
.
785
,
0
45
1
,
1
21
25
21
25
21
4
1
7
1
3
4
3
4
7
1
1
3
4
7
1
рад
arctg
A
tgA
≈
°
=
=
∠
=
=
+
−
=
−
−
+
−
−
−
=
,
8
6
8
)
4
(
10
)
4
(
−
−
=
−
−
−
−
y
x
,
2
8
14
4
−
−
=
+
y
x
,
1
8
7
4
−
−
=
+
y
x
)
2
(
)
3
(
0
52
7
=
−
+
y
x
( )
( )
,
4
6
4
5
10
5
−
−
−
−
=
−
−
y
x
,
10
4
5
5
+
=
−
y
x
,
2
4
1
5
+
=
−
y
x
0
14
2
=
−
−
y
x
)
;
(
1
1
y
x
)
;
(
2
2
y
x
22
k
CD
= -1/k
AB
= -1/(-4/3) = 3/4.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку М
1
(х
1
; у
1
) в заданому
коефіцієнтом k напрямі, має вигляд:
у – у
1
= k (х – х
1
).(4)
Підставивши в (4) координати точки С (10; 6) і кутовий коефіцієнт k
CD
= 3/4,
отримаємо рівняння висоти CD:
у – 6 = 3/4· ( х – 10), 4у – 24 = 3х – 30,
3х – 4у – 6 = 0 (CD). (5)
Знайдемо рівняння висоти ВН так, як і висоти CD:
(BH),
тому
Для відшукання точки K – точки перетину висот ВН і CD – розв’яжемо
систему, яка складається з рівнянь цих прямих:
Отже, т. К (6;3).
5.
Щоб записати рівняння медіани CM, визначимо спочатку координати точки
M, яка є серединою сторони AB, використовуючи формули ділення відрізка на
дві рівні частини:
Відповідно,
Отже, М (1/2; 2).
Рівняння медіани СМ запишемо, скориставшись формулою (2):
(CM)
,
2
2
1
x
x
x
+
=
,
2
2
1
y
y
y
+
=
)
6
(
,
2
1
2
5
4
=
+
−
=
M
x
.
2
2
)
4
(
8
=
−
+
=
M
y
,
0
38
4
19
8
=
+
−
−
y
x
0
34
19
8
=
+
−
y
x
( ) (
)
4
7
5 ,
y
x
− − = ⋅ −
,
35
7
4
−
=
+
x
y
0
39
7
=
+
−
x
y
(
)
.
7
7
/
1
1
1
=
−
−
=
−
=
k
k
AC
BH
−
=
=
−
+
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
−
−
=
+
−
=
−
−
;
39
7
,
0
6
156
28
3
;
39
7
,
0
6
)
39
7
(
4
3
;
39
7
,
0
6
4
3
;
0
39
7
,
0
6
4
3
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
=
=
−
=
−
=
−
.
3
,
6
;
39
7
,
150
25
y
x
x
y
x
23
6.
Для відшукання довжини висоти скористаємося формулою знаходження
відстані від точки М до прямої
Підставивши координати точки С (10; 6) і коефіцієнти при невідомих з
рівняння прямої АВ: одержимо:
7.
Множина точок трикутника АВС є перетином трьох півплощин, перша з
яких обмежена прямою АВ і містить точку С, друга обмежена прямою ВС і
містить точку А, третя – прямою АС і містить точку В.
Щоб записати нерівність, яка визначає півплощину, обмежену прямою
АВ і містить точку С, підставимо в рівняння прямої АВ координати точки С:
4·10 + 3·6 – 8 = 50 > 0.
Тому шукана нерівність має вигляд:
Підставивши в рівняння прямої ВС координати точки А (-4; 8), отримаємо:
2 (- 4) – 8 – 14 = - 30 <0.
Шукану нерівність запишемо у вигляді:
Аналогічно складаємо нерівність, яка визначає півплощину, що обмежена
прямою АС і містить точку В:
5 + 7 · (- 4) – 52 = - 75 <0.
Третя шукана нерівність має вигляд: х + 7у – 52 ≤ 0.
Отже, множина точок трикутника АВС визначається системою
нерівностей:
На мал.1 в декартовій прямокутній системі координат ХОУ зображено
трикутник АВС з висотою CD і медіаною СМ.
≤
−
+
≤
−
−
≥
−
+
.
0
52
7
,
0
14
2
,
0
8
3
4
y
x
y
x
y
x
( )
.
;
2
2
0
0
B
A
C
By
Ax
l
M
+
+
+
=
ρ
(
)
.
10
5
50
3
4
8
6
3
10
4
;
2
2
=
=
+
−
⋅
+
⋅
=
AB
C
ρ
,
0
8
3
4
=
−
+
y
x
,
2
6
2
2
1
10
2
1
−
−
=
−
−
y
x
,
4
2
2
19
2
1
−
=
−
y
x
(
)
,
2
19
2
1
8
−
⋅
=
−
⋅
y
x
)
;
(
0
0
y
x
:
0
=
+
+
C
By
Ax
.
0
8
3
4
≥
−
+
y
x
.
0
14
2
≤
−
−
y
x
24
Криві другого порядку
Теоретичні відомості
Лінії, рівняння яких в декартовій системі координат є алгебраїчним
рівнянням другого ступеня
2
2
2
2
2
0
Ax
Bxy
Cy
Dx
Ey
F
+
+
+
+
− =
, де
A
та
B
одночасно не дорівнюють нулю, тобто, будемо розглядати алгебраїчні криві
другого порядку.
Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від яких
до двох даних точок, які називаються фокусами, є величина стала, рівна 2а.
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
– канонічне рівняння еліпса.
Гіперболою називається множина всіх точок площини, абсолютна
величина різниці відстаней від яких до двох даних точок, які називаються
фокусами є стала величина рівна 2а. При цьому вважаємо, що 2с>2а.
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
=
– канонічне рівняння гіперболи.
Параболою називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від
даної точки, яка називається фокусом і даної прямої, яка називається
директрисою.
A
y
x
B
C
K
H
D
M
Мал.1
-4
8
10
-4
25
2
2
y
px
=
– канонічне рівняння параболи.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1.
Написати рівняння лінії, для кожної точки якої відношення відстаней до
точки F ( 3; 0) і до прямої х = 12 дорівнює b = 0,5. Зробити малюнок.
Розв’язання.
Нехай М (х; у) – довільна точка шуканої лінії. Опустимо перпендикуляр
МВ на пряму х = 12 (мал. 2). Тоді т. В (12; у).
Тоді
Піднесемо праву і ліву частини до квадрата, отримаємо:
Поділимо праву і ліву частини рівності на 108, так щоб в правій частині
отримати 1:
Отримане рівняння представляє собою еліпс вигляду
де а = 6, b = 3
3
.
B
M
Мал.2
y
x
1
3√3
F
1
F
2
(
)
(
)
2
2
2
3
1
.
2
12
x
y
x
−
+
=
−
.
1
27
36
2
2
=
+
y
x
,
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
12
3
-3
,
4
1
144
24
9
6
2
2
2
=
+
−
+
+
−
x
x
y
x
x
,
144
24
2
2
4
36
24
2
4
+
−
=
+
+
−
x
x
y
x
x
6
.
108
4
3
2
2
=
+
y
x