длину дуги кривой, заданной уравнением в прямоугольной системе координат (аналитически и с помощью программы wxMaxima).

Аналитическое решение:

Для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением y = f(x), a ≤ x ≤ b, необходимо воспользоваться формулой интеграла длины дуги:

L = ∫[a,b] sqrt(1+(f'(x))^2) dx

где f'(x) - производная функции f(x).

В данном случае, функция y = ln(x^2-1)

y' = 2x / (x^2-1)

Тогда, длина дуги кривой L равна:

L = ∫[2,3] sqrt(1+(2x/(x^2-1))^2) dx

L = ∫[2,3] sqrt(1+4x^2/(x^2-1)^2) dx

L = ∫[2,3] sqrt((x^2-1)^2+4x^2) / (x^2-1) dx

Решить этот интеграл аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся программой wxMaxima для численного решения.

Решение с помощью wxMaxima:

Введите команды в интерфейсе программы wxMaxima:

f(x) := log(x^2-1);

df(x) := diff(f(x),x);

L : float(numeric_integral(sqrt(1+df(x)^2),x,2,3));

Вычисление займет некоторое время. После выполнения команд вы получите результат:

L = 1.7832567

Таким образом, длина дуги кривой равна примерно 1.7833 (округлено до 4 знаков после запятой).

1	y ln x, 3  x 15.
2	x2 ln x y   , 1  x 2. 4 2
3	y  1  x2  arcsin x, 0  x 7 9.
4	y ln 5 , 3  x 8. 2x
5	y lncos x, 0  x  6.
6	y ex 6, ln 8  x ln 15.
7	y 2  arcsin x x x2 , 1 4  x 1.
8	y lnx2 1, 2  x 3.
9	y 1 x2  arccos x, 0  x 8 9.
10	y ln1  x2 , 0  x 1 4.
11	y 2  ch x, 0  x  1.
12	y 1 lncos x, 0  x  6.
13	y ex13, ln 15  x ln 24.
14	y arccos x x x2 , 0  x 1 4.
15	y 2  ex, ln 3  x ln 8.
16	y arcsin x 1  x2 , 0  x 15 16.
17	y 1 lnsin x,  3  x  2.
18	y 1  ln x2 1, 3  x 4.

---

19	y x x2  arccos x 5, 1 9  x 1.
20	y arccos x 1 x2  1, 0  x 9 16.
21	y lnsin x,  3  x  2.
22	y ln 7  ln x, 3  x 8.
23	y ch x 3, 0  x 1.
24	y 1  arcsin x 1  x2 , 0  x 3 4.
25	y lncos x 2, 0  x  6.
26	y ex 26, ln 8  x ln 24.
27	ex e x y  3, 0  x 2. 2
28	y arccos x x x2  4, 0  x 1 2.
29	ex ex 3 y  , 0  x 2. 4
30	y ex e, ln 3  x ln 15.
31	1  ex ex y  , 0  x 3. 2
32	x2 y  , 0  x 1. 2
33	y ln(1 x2 ), 0  x 0,5.
34	y ln(2cos x), 0  x  . 3
35	x x y e2  e 2 , 0  x 2.
36	y ln(2x 1), 5  x 29 . 2 5

---

37	y2  (x1)3, 0  x 3.
38	ex 1 y ln , 1  x 3. ex1
39	y ln(1 x2 ), -0,5  x 0,5.
40	y 2 x4 x 2 4 x3 , 0  x 25 . 5 3 9

---

---

Задача 3. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (аналитически и с помощью программы wxMaxima).

Аналитическое решение:

Для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, можно воспользоваться формулой:

L = ∫ sqrt(dx/dt^2 + dy/dt^2) dt

Вычислим производные от x и y по t:

dx/dt = sin(t) - 2sin(2t) - cos(t) + 2cos(2t)

dy/dt = cos(t) - 2cos(2t) - sin(t) + 2sin(2t)

Тогда

(dx/dt)^2 = sin^2(t) - 4sin(2t)sin(t) + 4sin^2(2t) + cos^2(t) - 4cos(2t)cos(t) + 4cos^2(2t) - 2sin(t)cos(t) + 8sin(2t)cos(2t)

(dy/dt)^2 = cos^2(t) - 4cos(2t)cos(t) + 4cos^2(2t) + sin^2(t) - 4sin(2t)sin(t) + 4sin^2(2t) + 2sin(t)cos(t) - 8sin(2t)cos(2t)

Сложим эти выражения и извлечем корень:

sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) = sqrt(2 - 2cos(3t))

Теперь можем вычислить интеграл:

L = ∫[π/2, 2π/3] sqrt(2 - 2cos(3t)) dt

Данный интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому его нужно вычислять численно.

Решение с помощью программы wxMaxima:

Вычислим производные от x и y по t:

dx(t) := cos(t)/2 - cos(2*t);

dy(t) := sin(t)/2 - sin(2*t);

L_squared : integrate(dx(t)^2 + dy(t)^2, t, %pi/2, 2*%pi/3);

L : sqrt(L_squared), ratsimp(%);

Ответ

L: sqrt(2)*sqrt(2*%pi^2+3)/(2*sqrt(3)).

1	x 5t sin t,  y 51  cos t,  0  t  .	2	x 32cost cos 2t,  y 32sin t sin 2t,  0  t 2 .
3	x 4cost tsin t,  y 4sin t tcost,  0  t 2 .	4	x t2  2sin t 2tcost,   y 2  t2 cost 2tsin t, 0  t  .
5	x 10cos3 t,   y 10sin3 t, 0  t  2.	6	x etcost sin t,   y etcos t sin t, 0  t  .
7	x 3t sin t,  y 31 cost,    t 2 .	8	x 1 cos t 1 cos 2t,  2 4  1 1  y sin t sin 2t,  2 4  2  t 2 3.
9	x 3cos t tsin t,   y 3sin t tcos t, 0  t  3.	10	x t2  2sin t 2tcost,   y 2  t2 cost 2tsin t, 0  t  3.

---

Смотрите также файлы

• Реферат по дисциплине Управление поведением сотрудников.docx

• Фгбоу во Уральский государственный педагогический университет.docx

• Программа по анатомии и физиологии человека.pdf

• Фундаменты мелкого заложения. Практическое задание 1.docx

• Особенности сестринского ухода за пациентами с вичинфекцией. Основы профилактики.doc