x(t)=

Итого получаем:

Рис. 1.1. Траектория движения тела.

1.10.

Постановка задачи. При разрушении плотин в Германии англичане во время второй мировой войны использовали ротационные бомбы highball, которые непосредственно перед сбросом раскручивали, причем ось вращения ориентировалась горизонтально. Построить траекторию крайней точки бомбы радиуса 0,635 м, если высота полета 10 м, скорость самолета 400 км/час, скорость вращения бомбы 12 об/с.
Дано:

R=0,635 м

h=10 м

v=400 км/ч=111.11 м/с

w=12 об/c

______________

x(t)=? y(t)=?
Математическая модель без учёта вращения бомбы

Учитывая начальные условия задачи: x₀=0, y₀=h, a_x=0 , a_y= -g, , получаем следующую систему уравнений:

Теперь добавим вращение. Представим его как периодическую функцию перемещения вперёд-назад. Поскольку функция и так получается не самая простая для понимания, предположим, что во время оборота бомбы точка движется линейно.

x(t)=

Итого получаем:

Рис. 1.1. Траектория движения тела.

На первый взгляд рисунок выглядит как обычное свободное падение, но на самом деле можно заметить некоторые искажения, если приглядеться. Это и есть вращение бомбы.

На самом деле, при такой скорости самолёта это не будет иметь особого эффекта.

2.2.

Постановка задачи. Определить ускорения тел и силу натяжения нити (рис.2.1). Массы тел равны m₁=2 кг, m₂=1 кг, m₃=0.5 кг, коэффициент трения µ=0.2 , угол α=45° , F=20 Н. Постройте график зависимости ускорения от угла, определите угол, при котором ускорение системы будет максимальным.

Дано:

α=π/4

m₁=2 кг

m₂=1 кг

m₃=0.5 кг

F=20 Н

µ=0.2

___________

a=?

T=?

α_a=?

Примем направление движения по силе F положительным.

Математическая модель системы грузов имеет вид:

где

Мы считаем, что нить идеальна (то есть невесома и нерастяжима) и блок невесом, значит, и

Сложим два уравнения системы и получим:

Также выразим T.

Графическая часть. Построим график

Рис. 1. Отношение ускорению к углу приложения силы. По оси абсцисс угол в радианах, по оси ординат ускорение в м/с²

Подставим численные значения в две последние формулы.

Анализ решения:

---

Сравниваем найденное решение с соответствующей точкой на графике и убеждаемся, что оно найдено верно.

2.3.

Постановка задачи. Определить ускорения тел и силу натяжения нити (рис.2.1). Массы тел равны кг, кг, кг, коэффициент трения , угол , Н. Постройте график зависимости ускорения от угла , определите критический угол, при котором движение системы будет равномерным, какие при этом будут силы натяжения нитей.

Дано:

α=π/6

m₁=4 кг

m₂=3 кг

m₃=2 кг

F=50 Н

µ=0.25

___________

a=?

T=?

α_a=?

Примем направление движения по силе F положительным.

Математическая модель системы грузов имеет вид:

где

Мы считаем, что нить идеальна (то есть невесома и нерастяжима) и блок невесом, значит, и

Сложим два уравнения системы и получим:

Также выразим T.

Графическая часть. Построим график


Рис. 1. Отношение ускорению к углу приложения силы. По оси абсцисс угол в радианах, по оси ординат ускорение в м/с²

Подставим численные значения в две последние формулы.

Определить угол, при котором движение будет равномерно.

Ответ:

Анализ решения:

Сравниваем найденное решение с соответствующей точкой на графике и убеждаемся, что оно найдено верно.

2.4.

Постановка задачи. Определить ускорения тел и силу натяжения нити (рис.2.1). Массы тел равны m₁=10 кг, m₂=5 кг, m₃=5 кг, коэффициент трения µ=0.1 , угол α=45°, F=100 Н. Постройте график зависимости силы натяжения нити тела 1 и определите диапазон углов при которых движение системы будет равноускоренным (a≥0), если известно, что предел прочности нитей составляет 55 Н.

---

Дано:

m₁=10 кг

m₂=5 кг

m₃=5 кг

F=100 Н

µ=0.1

T_пр=55 Н

________

α=?

Примем направление движения по силе F положительным.

Математическая модель системы грузов имеет вид:

где

Мы считаем, что нить идеальна (то есть невесома и нерастяжима) и блок невесом, значит, и

Сложим два уравнения системы и получим:

Также выразим T.

Подставив численные значения, получаем:

Графическая часть. Построим график и график

Рис. 1. Зависимость ускорения от угла приложения силы. По оси абсцисс угол в радианах, по оси ординат ускорение в м/с²

Рис. 2. Зависимость силы натяжения нити от угла приложения силы. По оси абсцисс угол в радианах, по оси ординат ускорение в м/с²

Для того, чтобы движение было равноускоренным, должно быть больше либо равно 0. Это выполняется при диапазоне углов от 0 до 0.88 рад(

50 градусов), если смотреть только на значение ускорения.

Но если угол менее примерно 28.66 градусов, нить рвётся, и система ломается, так что диапазон углов ограничивается (29◦;50◦).

2.5. Постановка задачи.

Глыба льда массой 10 кг скатывается с покрытой коркой льда наклонной крыши и падает с высоты 25 м. Определить безопасную зону, если известно, что длина пути пройденного телом по скату составляет 10 м, угол ската крыши α=45° (рис.2.2). Коэффициент трения µ=0.02 (при 0 ⁰С). Построить траекторию движения глыбы льда.

Дано:

α=π/4

m=10 кг

h=25 м

l=10 м

µ=0.02

_______

x=?

Эту задачу можно разделить на две части. В первой тело двигается по наклонной плоскости, и мы можем узнать ускорение тела, а значит, и скорость, с которой оно движение закончило. Во второй части тело падает вниз с начальной скоростью, равной по модулю скорости из конца предыдущей части. Угол вектора скорости соответствует углу α.

Таким образом, запишем математическую модель первой части задачи(на время решений этой части задачи примем ось x за ось скольжения тела, а ось y за перпендикуляр к ней) :

где , =0 (тело в этой плоскости не движется)

Отсюда:

Найдем скорость движения тела по расстоянию( ) и ускорению( ):

=

В момент достижения этой скорости глыба падает с крыши. Силы, действующие на нее, претерпевают изменения. Теперь следует вернуться к изначальной системе координат.

Математическая модель падения глыбы имеет вид

где = , = ,

В итоге модель примет вид:

Вновь воспользуемся формулой нахождения скорости.

---

И найдем время с помощью этой скорости.

Наконец, зная время падения глыбы, мы можем узнать безопасную зону _.

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим траекторию движения глыбы.


Рис. 1. Траектория движения глыбы, в метрах.

По рисунку можно заметить, что задача решена правильно: y=0 при x≈

2.6. Постановка задачи.

Глыба льда массой 25 кг скатывается с покрытой коркой льда наклонной крыши и падает с высоты 35 м. Определить безопасную зону, если известно, что длина пути пройденного телом по скату составляет 10 м, угол ската крыши α=30°. Коэффициент трения µ=0.02 (при -10 ⁰С). Построить траекторию движения глыбы льда.

Дано:

α=π/6

m=20 кг

h=35 м

l=10 м

µ=0.05

_______

x=?

Эту задачу можно разделить на две части. В первой тело двигается по наклонной плоскости, и мы можем узнать ускорение тела, а значит, и скорость, с которой оно движение закончило. Во второй части тело падает вниз с начальной скоростью, равной по модулю скорости из конца предыдущей части. Угол вектора скорости соответствует углу α.

Таким образом, запишем математическую модель первой части задачи(на время решений этой части задачи примем ось x за ось скольжения тела, а ось y за перпендикуляр к ней) :

где , =0 (тело в этой плоскости не движется)

Отсюда:

Найдем скорость движения тела по расстоянию( ) и ускорению( ):

=

В момент достижения этой скорости глыба падает с крыши. Силы, действующие на нее, претерпевают изменения. Теперь следует вернуться к изначальной системе координат.

Математическая модель падения глыбы имеет вид

где = , = ,

В итоге модель примет вид:

Вновь воспользуемся формулой нахождения скорости.
И найдем время с помощью этой скорости.

Наконец, зная время падения глыбы, мы можем узнать безопасную зону _.

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим траекторию движения глыбы.

Рис. 1. Траектория движения глыбы, в метрах.

По рисунку можно заметить, что задача решена правильно: y=0 при x≈

2.7.

Постановка задачи. Глыба льда массой 20 кг скатывается с покрытой коркой льда наклонной крыши и падает с высоты 35 м. Определить безопасную зону, если известно, что длина пути пройденного телом по скату составляет 10

---

м, угол ската крыши . Коэффициент трения (при -20 ⁰С). Построить траекторию движения глыбы льда.

Дано:

α=π/4

m=20 кг

h=35 м

l=10 м

µ=0.065

_______

x=?

Эту задачу можно разделить на две части. В первой тело двигается по наклонной плоскости, и мы можем узнать ускорение тела, а значит, и скорость, с которой оно движение закончило. Во второй части тело падает вниз с начальной скоростью, равной по модулю скорости из конца предыдущей части. Угол вектора скорости соответствует углу α.

Таким образом, запишем математическую модель первой части задачи(на время решений этой части задачи примем ось x за ось скольжения тела, а ось y за перпендикуляр к ней) :

где , =0 (тело в этой плоскости не движется)

Отсюда:

Найдем скорость движения тела по расстоянию( ) и ускорению( ):

=

В момент достижения этой скорости глыба падает с крыши. Силы, действующие на нее, претерпевают изменения. Теперь следует вернуться к изначальной системе координат.

Математическая модель падения глыбы имеет вид

где = , = ,

В итоге модель примет вид:

Вновь воспользуемся формулой нахождения скорости.
И найдем время с помощью этой скорости.

Наконец, зная время падения глыбы, мы можем узнать безопасную зону _.

Подставив численные значения, получим

Графическая часть. Построим траекторию движения глыбы.

Рис. 1. Траектория движения глыбы, в метрах.

По рисунку можно заметить, что задача решена правильно: y=0 при x≈

Ответ:

2.8.

Постановка задачи. Техник, находясь на вершине сферического купола укрытия антенны радиолокационной станции (РЛС), случайно столкнул вниз суперсекретную деталь. Определить на каком расстоянии её надо искать, если начальная высота 25 м, начальная скорость 1 м/с, радиус купола 10 м, коэффициент трения 0.05. Постройте траекторию движения этой детали.

Дано:

v₀= 1 м/c

r = 10 м

µ=0.05

h=25 м

________

x=?

Сначала тело катится по верхней части сферы, но поскольку его ускорение направлено не к центру - это нельзя назвать движением тела по окружности. Можно сделать несколько грубое допущение, что тело скользит по наклонной плоскости под углом 45 градусов. Спустя некоторое время(когда синус и косинус угла отклонения вектора скорости от горизонтали сравняются - проще говоря, когда тело "прокатится" уже 45 градусов) - тело сорвется и полетит вниз.

где , =0 (тело в этой плоскости не движется)

---

Смотрите также файлы

• 5S система в эргономике рабочего места.docx

• Доклад по Философии по теме Философия древней греции и рима Работу студентка 1 курса группы 02022261.docx

• Тесты к экзамену по учебной дисциплине " Математика ".docx

• Отчет по производственной практике пп 02. 01.docx

• Увзрослых.pdf