Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 175
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Допустим сперва, что все числа u ik положительны.
Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами) и проведем ряд кривых, C
2
, C
n
, . . . пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка M при достаточно
Рис. большом n попала внутрь площади (ограниченной кривой C
n и координатными осями (рис. 157), и чтобы площадь) заключалась внутри (C
n+1
). Составим сумму S
n всех чисел U
ik
, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади. При возрастании n эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могут представиться лишь два случая или сумма S
n остается ограниченной при всех значениях n, и тогда существует конечный предел lim n→∞
S
n
= или 2) сумма S
n при возрастании n беспредельно возрастает.
В случае 1) говорят, что двойной ряд, k=1
u сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называется расходящимся
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
441
Суммируя же по диагоналям, получим = u
11
+ (u
12
+ u
21
) + (u
13
+ u
22
+ u
31
) + . . . +
+ (u
1n
+ u
2,n−1
+ . . . + u n1
) + . . Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что сумма какого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегда меньше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов ik
= s
′
i
∞
X
k=1
u ik
= Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел m и n:
s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
=
m
X
i=1
∞
X
k=1
u ik
6
S
s
′′
1
+ s
′′
2
+ . . . + s
′′
n
=
n
X
k=1
∞
X
i=1
u В самом деле, будем рассматривать только первые m строк таблицы. Взяв из них элементы первых p столбцов, мы имеем, очевидно По правилу сложения рядов [119] имеем s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
=
∞
X
k=1
m
X
i=1
u ik
= lim p→∞
p
X
k=1
m
X
i=1
u так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (Неравенства (26) показывают, что оба ряда ik
=
∞
X
i=1
s
′
i
= σ
′
,
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u ik
=
∞
X
k=1
s
′′
k
= сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е.
σ
′
6
S
и
σ
′′
6
S.
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
443
сходится при α > 1, β > 1, ибо, суммируя по квадратам, мы имеем 1
i
α
k
β
=
n
X
i=1 1
i
α
n
X
k=1 1
k
β
< где A и B обозначают сумму рядов 1
i
α
,
∞
X
k=1 сходящихся при α > 1, β > 1 [122].
2
. Ряд, k=1 1
(i + сходится при α > 2 и расходится при α 6 2, так как, суммируя по диагоналям, мы имеем 2
α
+ 2 ·
1 3
α
+ . . . + (n − 1) ·
1
n
α
=
=
1 2
α−1
1 −
1 2
+ . . . +
1
n
α−1
1 откуда, подставляя вместо сначала 2
, те. меньшее число, а затем 1, те. большее число, находим 2
1 2
α−1
+ . . . +
1
n
α−1
< S
n
<
1 2
α−1
+ . . . +Сходимость ряда при α > 2 и расходимость его при α 6 доказывают наше утверждение.
3.
Если a и c положительны и b
2
− ac < 0, то ряд, k=1 1
(ai
2
+ 2bik + сходится при p > 1 и расходится при p 6 Пусть сперва b > 0. Так как, очевидно+ Следует из того, что (i − k)
2
= i
2
− 2ik + k
2
>
0.
(рис. 161)
s n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
(0 6 x 6 Мы имеем, очевидно, при x 6= 0:
nx
1 + n
2
x
2
=
1
n x
1
n
2
+ x
2 Для большей наглядности рис. 159 и 160 выполнены в разных масштабах для x и y.
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
451
и, при n → ∞, первый множитель справа 0, а второй стремится к
1
x
,
т. е. s n
(x) → 0 при x 6= 0. При x = 0, очевидно, s n
(0) = 0 при всяком и, следовательно, при всех x из (0, a), где a — некоторое положительное число) = lim n→∞
s n
(x) = Однако максимальная величина отрезка ординаты между кривыми s
n
(x) и s(x), которая в рассматриваемом случае приводится просто к ординате кривой s n
(x) так как s(x) = 0, будет и будет соответствовать значению x =
1
n
. Так как она не стремится к нулю при n → ∞, то
Рис. последовательность (48) не будет равномерно сходящейся в промежутке (0, a); и,
действительно, если мы хотим, чтобы было n
(x)| =
nx
1 + n
2
x
2
< то, решая относительно n неравенство й степени < 1 −
x
ε
n + и считая ε достаточно малым, получим n >
1 2xε
[1 +
p
1 − 4ε
2
] = N (Функция эта возрастает беспредельно при x → 0, что и обуславливает неравномерную сходимость последовательности.
Заметим, наконец, что те же рис. 160 и 161 показывают, что последовательность равномерно сходится в промежутке (0, q), где q — любое положительное число, меньшее единицы, а последовательность равномерно сходится в промежутке (q, a), где 0 < q < a, в чем нетрудно убедиться и непосредственным вычислением. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. Предельная функция равномерно сходящейся в промежутке (a, b) последовательности непрерывных функций также непрерывна.
Пусть s
1
(x),
s
2
(x), . . . ,
s n
(x),
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
453
есть равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в промежутке) функций и (α, β) — любой промежуток, лежащий в, b), то n
(x)dx →
β
Z
α
s(x)dx,
n → или, иначе n→∞
β
Z
α
s n
(x)dx =
β
Z
α
lim n→∞
s Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то последовательность функций x
Z
α
s n
(t)dt
(n = 1, 2, 3, . . также сходится равномерно в промежутке (a, b). Процесс этот называется переходом к пределу под знаком интеграла.
∗
Заметим прежде всего, что в силу свойства 1) предельная функция s(x) также непрерывна. Рассмотрим теперь разность −
β
Z
α
s n
(x)dx =
β
Z
α
[s(x) − s Задав число ε, мы можем, в силу равномерной сходимости, найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N , во всем промежутке (a, мы имели) − s n
(x)| < а потому [95], (10 1
)
β
Z
α
[s(x) − s n
(x)]dx
6
β
Z
α
|s(x) − s n
(x)|dx| <
β
Z
α
εdx = ε(β − α) 6 ε(b − Итак, для любого промежутка (α, β), заключающегося в (a, b), имеем −
β
Z
α
s n
(x)dx
< ε(b − Такое действие также называется перестановкой знаков предела и интеграла Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям при n > N . Правая часть неравенства не зависит от α и β и стремится к нулю, если ε → 0. Ввиду произвольности ε мы можем формулировать результат так при любом заданном положительном существует N , независящее от α и β, такое, что −
β
Z
α
s n
(x)dx
< при n > N . Отсюда непосредственно вытекает формула (50). Полагая = x и принимая во внимание независимость N от β, видим, что последовательность) сходится равномерно для всех x из (a, Для неравномерно сходящихся последовательностей эта теорема может оказаться и неверной. Пусть, например n
(x) = nxe nx
2
(0 6 x 6 Рис. рис. 162). Нетрудно показать, разбирая отдельно случаи x > 0 и x = 0, что при всяком x в промежутке, 1)
s n
(x) → 0 при n → так что здесь s(x) = 0. Последовательность эта, однако, не может быть равномерно сходящейся, так как наибольшая ордината кривой, или, что тоже самое, наибольшая величина разности s n
(x) − которая получается при x =
1
√
2n
, возрастает беспредельно при n → С другой стороны, мы имеем n
(x)dx = n
Z
1 0
xe
−nx
2
dx = −
1 2
e
−nx
2 1
0
=
1 2
(1 − e
−n
) →
1 2
,
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
455
в то время как = 0.
3. Если функции последовательности s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s имеют непрерывные производные s
′
1
(x),
s
′
2
(x),
. . . в промежутке (a, b), причем последовательность s
′
n
(x) равномерно сходится к предельной функции σ(x), а последовательности s n
(x) сходится к предельной функции то s n
(x) также сходится равномерно и) или иначе lim n→∞
ds n
(x)
dx
=
d lim n→∞
s Процесс этот называется переходом к пределу под знаком производ- ной.
Пусть α — любое постоянное, x — переменное значение на промежутке, b). В силу свойства 2) мы имеем lim n→∞
x
Z
α
s
′
n
(x)dx Но x
Z
α
s
′
n
(x)dx = s n
(x) − s n
(α) → s(x) − а потому предыдущая формула дает s(x) − s(α) То есть сходится поточечно.
147]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов 2. Если члены ряда (55) непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходятся равномерно, то его можно почленно интегрировать между какими угодно пределами α, β, лежащими в промежутке (a, те Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то ряд,
который получается почленным интегрированием x
Z
α
u
1
(x)dx +
x
Z
α
u
2
(x)dx + . . . +
x
Z
α
u n
(x)dx + . . . также равномерно сходится в промежутке (a, b).
3. Если ряд (55) сходится в промежутке (a, b) и его члены имеют непрерывные в промежутке (a, b) производные u
′
1
(x), . . . , u
′
n
(x), . . . причем ряд, составленный из производных u
′
1
(x) + u
′
2
(x) + . . . + u
′
n
(x) + . . . сходится равномерно в промежутке (a, b), то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно, те При выводе эти предложений из теорем [145] надо только иметь ввиду, что указанные в предложениях свойства имеют, как мы уже знаем,
место в случае конечного числа слагаемых. Так, например, если члены ряда u n
(x) суть непрерывные функции, то и функции s
n
(x) = u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u непрерывны при любом n [34].
147. Признаки равномерной сходимости.
Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости.
Ряд функций, определенных в промежутке (a, b):
u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . ,
Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами) и проведем ряд кривых, C
2
, C
n
, . . . пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка M при достаточно
Рис. большом n попала внутрь площади (ограниченной кривой C
n и координатными осями (рис. 157), и чтобы площадь) заключалась внутри (C
n+1
). Составим сумму S
n всех чисел U
ik
, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади. При возрастании n эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могут представиться лишь два случая или сумма S
n остается ограниченной при всех значениях n, и тогда существует конечный предел lim n→∞
S
n
= или 2) сумма S
n при возрастании n беспредельно возрастает.
В случае 1) говорят, что двойной ряд, k=1
u сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называется расходящимся
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Сумма сходящегося ряда (23) с положительными членами не зависит от способа суммирования, те. от выбора кривых C
n
, и может быть получена также путем суммирования ряда по строкам или столбцам =
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u ik
=
∞
X
i=1
∞
X
k=1
u те. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждого столбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм.
В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых C
′
1
,
C
′
2
, . . . , C
′
n
, . . . , обладающих тем же свойством, что C
1
, C
2
, . . . , Обозначим через S
′
n сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади (C
′
n
). При заданном n можно всегда выбрать настолько большое m, чтобы площадь (C
′
n
) оказалась внутри, и тогда
S
′
n
6
S
m
6
S,
т. е. в силу предыдущего существует конечный предел lim n→∞
S
′
n
= Переменив роли кривых C
n и C
′
n
, мы точно также докажем, что 6 что возможно лишь при условии = Рис. Сумму двойного ряда (23) можно получить, хотя бы взяв залома- ные, составленные из отрезков прямых
(рис. 158):
i = const,
k = Мы получим таким путем суммирование по квадратам = u
11
+ (u
12
+ u
22
+ u
21
) + . . . +
+ (u
1n
+ u
2n
+ . . . + u nn
+ u n,n−1
+ . . . + u n1
+ . . .
n
, и может быть получена также путем суммирования ряда по строкам или столбцам =
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u ik
=
∞
X
i=1
∞
X
k=1
u те. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждого столбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм.
В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых C
′
1
,
C
′
2
, . . . , C
′
n
, . . . , обладающих тем же свойством, что C
1
, C
2
, . . . , Обозначим через S
′
n сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади (C
′
n
). При заданном n можно всегда выбрать настолько большое m, чтобы площадь (C
′
n
) оказалась внутри, и тогда
S
′
n
6
S
m
6
S,
т. е. в силу предыдущего существует конечный предел lim n→∞
S
′
n
= Переменив роли кривых C
n и C
′
n
, мы точно также докажем, что 6 что возможно лишь при условии = Рис. Сумму двойного ряда (23) можно получить, хотя бы взяв залома- ные, составленные из отрезков прямых
(рис. 158):
i = const,
k = Мы получим таким путем суммирование по квадратам = u
11
+ (u
12
+ u
22
+ u
21
) + . . . +
+ (u
1n
+ u
2n
+ . . . + u nn
+ u n,n−1
+ . . . + u n1
+ . . .
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
441
Суммируя же по диагоналям, получим = u
11
+ (u
12
+ u
21
) + (u
13
+ u
22
+ u
31
) + . . . +
+ (u
1n
+ u
2,n−1
+ . . . + u n1
) + . . Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что сумма какого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегда меньше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов ik
= s
′
i
∞
X
k=1
u ik
= Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел m и n:
s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
=
m
X
i=1
∞
X
k=1
u ik
6
S
s
′′
1
+ s
′′
2
+ . . . + s
′′
n
=
n
X
k=1
∞
X
i=1
u В самом деле, будем рассматривать только первые m строк таблицы. Взяв из них элементы первых p столбцов, мы имеем, очевидно По правилу сложения рядов [119] имеем s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
=
∞
X
k=1
m
X
i=1
u ik
= lim p→∞
p
X
k=1
m
X
i=1
u так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (Неравенства (26) показывают, что оба ряда ik
=
∞
X
i=1
s
′
i
= σ
′
,
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u ik
=
∞
X
k=1
s
′′
k
= сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е.
σ
′
6
S
и
σ
′′
6
S.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям С другой стороны, ясно, что при любом выборе системы кривых все члены, входящие в состав суммы S
r
, войдут в состав обеих сумм s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
,
s
′′
1
+ s
′′
2
+ . . . + при достаточно большом m, те+ а потому ив пределе = lim и 6 Ввиду σ
′
6
S и σ
′′
6
S, это возможно лишь при условии σ
′′
= что и требовалось доказать.
Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся только на абсолютно сходящихся рядах, те. таких, для которых двойной ряд,
составленный из абсолютных значений, k=1
|u ik
|,
сходится.
Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует сумма = lim n→∞
S
n
=
∞
X
i=1
∞
X
k=1
u ik
=
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u которая также не зависит от способа суммирования ив частности, может быть получена суммированием по строками по столбцам.
З а меча ни е. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся.
Точно также распространяется свойство 2) из Примеры. Ряд, k=1 1
i
α
k
β
(28)
r
, войдут в состав обеих сумм s
′
1
+ s
′
2
+ . . . + s
′
m
,
s
′′
1
+ s
′′
2
+ . . . + при достаточно большом m, те+ а потому ив пределе = lim и 6 Ввиду σ
′
6
S и σ
′′
6
S, это возможно лишь при условии σ
′′
= что и требовалось доказать.
Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся только на абсолютно сходящихся рядах, те. таких, для которых двойной ряд,
составленный из абсолютных значений, k=1
|u ik
|,
сходится.
Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует сумма = lim n→∞
S
n
=
∞
X
i=1
∞
X
k=1
u ik
=
∞
X
k=1
∞
X
i=1
u которая также не зависит от способа суммирования ив частности, может быть получена суммированием по строками по столбцам.
З а меча ни е. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся.
Точно также распространяется свойство 2) из Примеры. Ряд, k=1 1
i
α
k
β
(28)
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
443
сходится при α > 1, β > 1, ибо, суммируя по квадратам, мы имеем 1
i
α
k
β
=
n
X
i=1 1
i
α
n
X
k=1 1
k
β
< где A и B обозначают сумму рядов 1
i
α
,
∞
X
k=1 сходящихся при α > 1, β > 1 [122].
2
. Ряд, k=1 1
(i + сходится при α > 2 и расходится при α 6 2, так как, суммируя по диагоналям, мы имеем 2
α
+ 2 ·
1 3
α
+ . . . + (n − 1) ·
1
n
α
=
=
1 2
α−1
1 −
1 2
+ . . . +
1
n
α−1
1 откуда, подставляя вместо сначала 2
, те. меньшее число, а затем 1, те. большее число, находим 2
1 2
α−1
+ . . . +
1
n
α−1
< S
n
<
1 2
α−1
+ . . . +Сходимость ряда при α > 2 и расходимость его при α 6 доказывают наше утверждение.
3.
Если a и c положительны и b
2
− ac < 0, то ряд, k=1 1
(ai
2
+ 2bik + сходится при p > 1 и расходится при p 6 Пусть сперва b > 0. Так как, очевидно+ Следует из того, что (i − k)
2
= i
2
− 2ik + k
2
>
0.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям то, обозначив через меньшее из чисел a и c, через A
2
— большее из чисел a, b, c, имеем 6 ai
2
+ 2bik + ck
2 6
A
2
(i + откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем p > 0, выводим 1
(i + k)
2p
6 1
(ai
2
+ 2bik + ck
2
)
p
6 1
(2A
1
)
p
1
i p
k что в силу примеров 1 и 2 сделанного выше замечания дает сходимость при p > 1 и расходимость при p 6 1, причем существенно отметить, что множители
1
A
p
2
и
1
(2A
1
)
p от i и k не зависят.
Пусть теперь b < 0. Обозначив через большее из чисел a, c, |b|, в силу очевидного неравенства (
√
ai)
2
+ (
√
ck)
2
>
2
√
acik:
2(b +
√
ac)ik 6 ai
2
+ 2bik + ck
2
< A
0
(i + причем b+
√
ac > так как по условию |b| Дальше доказательство проводится также, как ив случае b > 0.
143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.
Формулы Тейлора и Маклорена представляют примеры рядов,
члены которых зависят от переменной x. Во второй части курса мы познакомимся с весьма важными тригонометрическими рядами, которые имеют вид n
cos nx + b n
sin члены которых зависят также не только от n, но и от переменной Мы займемся теперь, вообще, рядами с переменными членами, зависящими от некоторой независимой переменной Пусть имеется бесконечная последовательность функций u
1
(x), u
2
(x), u
3
(x), . . . , u n
(x), . . . определенных в промежутке (a, b). Составим из них ряд u
1
(x) + u
2
(x) + u
3
(x) + . . . + u n
(x) + . . Он может сходиться для каких-либо значений x из (a, b) и расходиться для других x. Сумма первых n членов ряда (32) s n
(x) есть, очевидно
143]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
445
функция от x. Для значений x, при которых ряд (32) сходится, мы можем говорить о его сумме s(x) и остатке r n
(x) = s(x) − s n
(x). При этом s(x) = lim n→∞
s Если ряд (32) сходится при всех x из (a, b), те. при a 6 x 6 b, то говорят, что он сходится в промежутке (a, Если ряд (32) сходится в промежутке (a, b) и имеет сумму s(x), то это значит, что при каждом данном значении x из (a, b), задав произвольно положительное число ε, можно найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N мы имели |r n
(x)| < ε при n > N, причем, очевидно,
это число N будет зависеть от выбора ε. Необходимо, однако, отметить,
что N будет, вообще говоря, зависеть еще от выбранного значения x, т. е.
может иметь различные значения при заданном ε и различном выборе x из промежутка (a, b), и его мы будем обозначать через N (x). Если при любом данном положительном ε можно найти такое число N , независящее от x, чтобы при любом значении x из промежутка (a, выполнялось неравенство n
(x)| < при всех n > N , то ряд (32) называют равномерно сходящимся в промежутке, Рассмотрим, например, ряд + 1
−
1
(x + 1)(x + 2)
−
1
(x + 2)(x + 3)
− . . . −
−
1
(x + n − 1)(x + n)
− . . . , (причем x меняется в промежутке (0, a), где a — любое данное положительное число.
Нетрудно видеть, что ряд можно переписать так + 1
−
1
x + 1
−
1
x + 2
−
1
x + 2
−
1
x + 3
− . . . −
−
1
x + n − 1
−
1
x + n
− . . . так что в данном случае s
n
(x) =
1
x + n
,
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = 0,
r n
(x) = −
1
x + Подчеркнем, что промежуток (a, b) является замкнутым
2
— большее из чисел a, b, c, имеем 6 ai
2
+ 2bik + ck
2 6
A
2
(i + откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем p > 0, выводим 1
(i + k)
2p
6 1
(ai
2
+ 2bik + ck
2
)
p
6 1
(2A
1
)
p
1
i p
k что в силу примеров 1 и 2 сделанного выше замечания дает сходимость при p > 1 и расходимость при p 6 1, причем существенно отметить, что множители
1
A
p
2
и
1
(2A
1
)
p от i и k не зависят.
Пусть теперь b < 0. Обозначив через большее из чисел a, c, |b|, в силу очевидного неравенства (
√
ai)
2
+ (
√
ck)
2
>
2
√
acik:
2(b +
√
ac)ik 6 ai
2
+ 2bik + ck
2
< A
0
(i + причем b+
√
ac > так как по условию |b| Дальше доказательство проводится также, как ив случае b > 0.
143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.
Формулы Тейлора и Маклорена представляют примеры рядов,
члены которых зависят от переменной x. Во второй части курса мы познакомимся с весьма важными тригонометрическими рядами, которые имеют вид n
cos nx + b n
sin члены которых зависят также не только от n, но и от переменной Мы займемся теперь, вообще, рядами с переменными членами, зависящими от некоторой независимой переменной Пусть имеется бесконечная последовательность функций u
1
(x), u
2
(x), u
3
(x), . . . , u n
(x), . . . определенных в промежутке (a, b). Составим из них ряд u
1
(x) + u
2
(x) + u
3
(x) + . . . + u n
(x) + . . Он может сходиться для каких-либо значений x из (a, b) и расходиться для других x. Сумма первых n членов ряда (32) s n
(x) есть, очевидно
143]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
445
функция от x. Для значений x, при которых ряд (32) сходится, мы можем говорить о его сумме s(x) и остатке r n
(x) = s(x) − s n
(x). При этом s(x) = lim n→∞
s Если ряд (32) сходится при всех x из (a, b), те. при a 6 x 6 b, то говорят, что он сходится в промежутке (a, Если ряд (32) сходится в промежутке (a, b) и имеет сумму s(x), то это значит, что при каждом данном значении x из (a, b), задав произвольно положительное число ε, можно найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N мы имели |r n
(x)| < ε при n > N, причем, очевидно,
это число N будет зависеть от выбора ε. Необходимо, однако, отметить,
что N будет, вообще говоря, зависеть еще от выбранного значения x, т. е.
может иметь различные значения при заданном ε и различном выборе x из промежутка (a, b), и его мы будем обозначать через N (x). Если при любом данном положительном ε можно найти такое число N , независящее от x, чтобы при любом значении x из промежутка (a, выполнялось неравенство n
(x)| < при всех n > N , то ряд (32) называют равномерно сходящимся в промежутке, Рассмотрим, например, ряд + 1
−
1
(x + 1)(x + 2)
−
1
(x + 2)(x + 3)
− . . . −
−
1
(x + n − 1)(x + n)
− . . . , (причем x меняется в промежутке (0, a), где a — любое данное положительное число.
Нетрудно видеть, что ряд можно переписать так + 1
−
1
x + 1
−
1
x + 2
−
1
x + 2
−
1
x + 3
− . . . −
−
1
x + n − 1
−
1
x + n
− . . . так что в данном случае s
n
(x) =
1
x + n
,
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = 0,
r n
(x) = −
1
x + Подчеркнем, что промежуток (a, b) является замкнутым
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями если мы хотим сделать n
(x)| =
1
x + n
< то достаточно взять n >
1
ε
− x = Если теперь мы хотим, чтобы неравенство (36) выполнялось при всех значениях x в промежутке (0, a), при условии n > N , независимо от взятого значения x, то достаточно положить N =
1
ε
>
N (так как тогда неравенство (37), а потому и (36), при условии n > N , будет выполнено наверное при всех значениях x в промежутке (0, a). Итак, ряд (35) будет равномерно сходящимся в промежутке (0, Не всякий ряд обладает свойством равномерной сходимости, так как не для всякого ряда можно указать независящее от x число N , которое было бы не меньше всех N (x) в промежутке (a, Рассмотрим, например, в промежутке 0 6 x 6 1 ряд x + x(x − 1) + x
2
(x − 1) + . . . + x n−1
(x − 1) + . . Сумма первых n членов будет s
n
(x) = x + (x
2
− x) + (x
3
− x
2
) + . . . + (x n
− x то есть s
n
(x) = x и, следовательно [26],
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = при 6 x < и r
n
(x) = s(x) − s n
(x) = −x при 6 x < Примы имеем, подставляя вряд. то есть s
n
(x) = 1,
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = 1,
r n
(x) = s(x) − s n
(x) = при x = 1 и при любом n. Ряд (38) сходится во всем промежутке 0 6
x 6 1, нов этом промежутке сходимость неравномерна. Действительно
143]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
447
в силу r n
(x) = −x при 0 6 x < 1, если мы хотим, чтобы выполнялось неравенство (34) |r n
(x)| < ε, то должно быть x n
< ε, те или, деля на отрицательное число log x, получим n >
log ε
log Итак, в данном случае N (x) =
log ε
log x и не может быть заменено меньшим.
При приближении x к единице, log x → 0, функция N(x) возрастает беспредельно, и нельзя указать такое значение N , чтобы неравенство (выполнялось при n > N во всем промежутке (0, 1). Вследствие этого обстоятельства, хотя ряди сходится во всем промежутке (0, 1), в том числе и при x = 1, однако сходимость его будет все медленнее при приближении x к единице для достаточного приближения к сумме ряда нужно будет брать все больше членов, чем ближе x будет к единице.
Заметим, однако, что при самом значении x = 1 ряд просто обрывается на втором члене.
Укажем теперь другое определение равномерной сходимости, равносильное прежнему определению. Выше мы формулировали [125] необходимое и достаточное условие сходимости ряда. В рассматриваемом случае оно формулируется так для сходимости ряда (32) в промежутке, b) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном и любом x из (a, b) существовало такое N , что n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| < при n > N и любом целом положительном p. Это N при заданном может зависеть еще от выбора x. Если же при любом заданном положительном существует число N одно и тоже для всех x из (a, такое, что при n > N и любом целом положительном p выполняется, то говорят, что ряд (32) сходится равномерно в промежутке, Надо показать, что это новое определение равномерной сходимости равносильно прежнему определению, те. если ряд равномерно сходится в прежнем смысле, то он равномерно сходится ив новом смысле, и наоборот. Итак, пусть сначала ряд равномерно сходится в прежнем смысле, те при n > N, где x — любое значение из (a, b) и N не зависит от x. Мы имеем, очевидно u
n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x) = r n
(x) − r и, следовательно n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 |r n
(x)| + |r n+p
(x)|,
144]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
449
определенных в промежутке (a, b), и если при каждом значении x в этом промежутке существует предел s(x) = lim n→∞
s то последовательность (42) называется сходящейся в промежутке, b), функция же s(x) называется предельной функцией последовательности (Если, сверх того, при любом данном наперед положительном ε существует такое число N , независящее от x, что неравенство) − s n
(x)| < имеет место при всех значениях n > N во всем промежутке (a, то последовательность (42) называется равномерно сходящейся в промежутке. Условие (45) можно заменить равносильным ему m
(x) − s n
(x)| < при m и n > N Условие равномерной сходимости последовательности (42) равносильно условию равномерной сходимости ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . где (43):
u
1
(x) = s
1
(x), u
2
(x) = s
2
(x) − s
1
(x), . . . , u n
(x) = s n
(x) − s n−1
(x), . . Равносильность условий (45) и (46) при исследовании равномерной сходимости последовательностей может быть доказана совершенно также, как выше была установлена равносильность условий (35) и (36) для бесконечных рядов. Отметим еще, что из равномерной сходимости s в промежутке (a, b) непосредственно следует и равномерная сходимость в любой части (a, Понятие о равномерной сходимости последовательностей может быть истолковано и геометрически. Если мы изобразим графически функции s(x) и s n
(x) при различных значениях n, то для равномерно сходящейся последовательности наибольший отрезок ординаты, заключенной между
18∗
В данном случае речь идет о поточечной сходимости функциональной последовательности так как предел (44) рассматривается при каждом значении переменной x как предел обычной числовой последовательности
(x)| =
1
x + n
< то достаточно взять n >
1
ε
− x = Если теперь мы хотим, чтобы неравенство (36) выполнялось при всех значениях x в промежутке (0, a), при условии n > N , независимо от взятого значения x, то достаточно положить N =
1
ε
>
N (так как тогда неравенство (37), а потому и (36), при условии n > N , будет выполнено наверное при всех значениях x в промежутке (0, a). Итак, ряд (35) будет равномерно сходящимся в промежутке (0, Не всякий ряд обладает свойством равномерной сходимости, так как не для всякого ряда можно указать независящее от x число N , которое было бы не меньше всех N (x) в промежутке (a, Рассмотрим, например, в промежутке 0 6 x 6 1 ряд x + x(x − 1) + x
2
(x − 1) + . . . + x n−1
(x − 1) + . . Сумма первых n членов будет s
n
(x) = x + (x
2
− x) + (x
3
− x
2
) + . . . + (x n
− x то есть s
n
(x) = x и, следовательно [26],
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = при 6 x < и r
n
(x) = s(x) − s n
(x) = −x при 6 x < Примы имеем, подставляя вряд. то есть s
n
(x) = 1,
s(x) = lim n→∞
s n
(x) = 1,
r n
(x) = s(x) − s n
(x) = при x = 1 и при любом n. Ряд (38) сходится во всем промежутке 0 6
x 6 1, нов этом промежутке сходимость неравномерна. Действительно
143]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
447
в силу r n
(x) = −x при 0 6 x < 1, если мы хотим, чтобы выполнялось неравенство (34) |r n
(x)| < ε, то должно быть x n
< ε, те или, деля на отрицательное число log x, получим n >
log ε
log Итак, в данном случае N (x) =
log ε
log x и не может быть заменено меньшим.
При приближении x к единице, log x → 0, функция N(x) возрастает беспредельно, и нельзя указать такое значение N , чтобы неравенство (выполнялось при n > N во всем промежутке (0, 1). Вследствие этого обстоятельства, хотя ряди сходится во всем промежутке (0, 1), в том числе и при x = 1, однако сходимость его будет все медленнее при приближении x к единице для достаточного приближения к сумме ряда нужно будет брать все больше членов, чем ближе x будет к единице.
Заметим, однако, что при самом значении x = 1 ряд просто обрывается на втором члене.
Укажем теперь другое определение равномерной сходимости, равносильное прежнему определению. Выше мы формулировали [125] необходимое и достаточное условие сходимости ряда. В рассматриваемом случае оно формулируется так для сходимости ряда (32) в промежутке, b) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном и любом x из (a, b) существовало такое N , что n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| < при n > N и любом целом положительном p. Это N при заданном может зависеть еще от выбора x. Если же при любом заданном положительном существует число N одно и тоже для всех x из (a, такое, что при n > N и любом целом положительном p выполняется, то говорят, что ряд (32) сходится равномерно в промежутке, Надо показать, что это новое определение равномерной сходимости равносильно прежнему определению, те. если ряд равномерно сходится в прежнем смысле, то он равномерно сходится ив новом смысле, и наоборот. Итак, пусть сначала ряд равномерно сходится в прежнем смысле, те при n > N, где x — любое значение из (a, b) и N не зависит от x. Мы имеем, очевидно u
n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x) = r n
(x) − r и, следовательно n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 |r n
(x)| + |r n+p
(x)|,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям что при n > N и, следовательно, n + p > N дает n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| < Ввиду произвольного выбора ε мы видим, что ряд равномерно сходится в новом смысле. Положим теперь, что ряд равномерно сходится в новом смысле, те. что выполнено неравенство (39) при n > N , независящем от x, любом целом положительном p и любом x из (a, b). Из этого следует, что ряд сходится, и мы можем образовать r
n
(x) = u n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . = lim p→∞
[u n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u причем из неравенства (39) при p → ∞ получаем в пределе |r n
(x)| 6 прите. из нового определения равномерной сходимости, в силу произвольности ε, вытекает прежнее, и равносильность обоих определений доказана.
Отметим, что при первом определении равномерной сходимости (мы используем r n
(x) и тем самым уже дополнительно предполагаем, что ряд сходится. Второе определение равномерной сходимости (39) включает и самый факт сходимости ряда. Равномерно сходящиеся последовательности функций.
Последовательность функций s
1
(x),
s
2
(x),
s n
(x), . . . которую мы рассматривали выше, была определена с помощью ряда (32);
s n
(x) означала сумму n первых членов ряда. Но можно рассматривать последовательность (42) саму по себе, считая ее данной, и уже по ней построить ряд, суммой n первых членов которого является й член последовательности. Члены этого ряда определяются, очевидно, по формулам) = s
1
(x), u
2
(x) = s
2
(x) − s
1
(x), . . . , u n
(x) = s n
(x) − s n−1
(x), . . Очень часто последовательность (42) бывает проще (43), как это имело место ив рассмотренных примерах.
Таким путем мы приходим к понятиям о сходящейся и равномерно сходящейся последовательности функций:
Если дана последовательность функций (42):
s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s n
(x), . . . ,
(44)
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x)| < Ввиду произвольного выбора ε мы видим, что ряд равномерно сходится в новом смысле. Положим теперь, что ряд равномерно сходится в новом смысле, те. что выполнено неравенство (39) при n > N , независящем от x, любом целом положительном p и любом x из (a, b). Из этого следует, что ряд сходится, и мы можем образовать r
n
(x) = u n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . = lim p→∞
[u n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u причем из неравенства (39) при p → ∞ получаем в пределе |r n
(x)| 6 прите. из нового определения равномерной сходимости, в силу произвольности ε, вытекает прежнее, и равносильность обоих определений доказана.
Отметим, что при первом определении равномерной сходимости (мы используем r n
(x) и тем самым уже дополнительно предполагаем, что ряд сходится. Второе определение равномерной сходимости (39) включает и самый факт сходимости ряда. Равномерно сходящиеся последовательности функций.
Последовательность функций s
1
(x),
s
2
(x),
s n
(x), . . . которую мы рассматривали выше, была определена с помощью ряда (32);
s n
(x) означала сумму n первых членов ряда. Но можно рассматривать последовательность (42) саму по себе, считая ее данной, и уже по ней построить ряд, суммой n первых членов которого является й член последовательности. Члены этого ряда определяются, очевидно, по формулам) = s
1
(x), u
2
(x) = s
2
(x) − s
1
(x), . . . , u n
(x) = s n
(x) − s n−1
(x), . . Очень часто последовательность (42) бывает проще (43), как это имело место ив рассмотренных примерах.
Таким путем мы приходим к понятиям о сходящейся и равномерно сходящейся последовательности функций:
Если дана последовательность функций (42):
s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s n
(x), . . . ,
(44)
144]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
449
определенных в промежутке (a, b), и если при каждом значении x в этом промежутке существует предел s(x) = lim n→∞
s то последовательность (42) называется сходящейся в промежутке, b), функция же s(x) называется предельной функцией последовательности (Если, сверх того, при любом данном наперед положительном ε существует такое число N , независящее от x, что неравенство) − s n
(x)| < имеет место при всех значениях n > N во всем промежутке (a, то последовательность (42) называется равномерно сходящейся в промежутке. Условие (45) можно заменить равносильным ему m
(x) − s n
(x)| < при m и n > N Условие равномерной сходимости последовательности (42) равносильно условию равномерной сходимости ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . где (43):
u
1
(x) = s
1
(x), u
2
(x) = s
2
(x) − s
1
(x), . . . , u n
(x) = s n
(x) − s n−1
(x), . . Равносильность условий (45) и (46) при исследовании равномерной сходимости последовательностей может быть доказана совершенно также, как выше была установлена равносильность условий (35) и (36) для бесконечных рядов. Отметим еще, что из равномерной сходимости s в промежутке (a, b) непосредственно следует и равномерная сходимость в любой части (a, Понятие о равномерной сходимости последовательностей может быть истолковано и геометрически. Если мы изобразим графически функции s(x) и s n
(x) при различных значениях n, то для равномерно сходящейся последовательности наибольший отрезок ординаты, заключенной между
18∗
В данном случае речь идет о поточечной сходимости функциональной последовательности так как предел (44) рассматривается при каждом значении переменной x как предел обычной числовой последовательности
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям кривыми s n
(x) и должен стремиться к нулю, при n → ∞ для всех x из (a, b); для неравномерно сходящейся последовательности это условие не будет выполнено.
Обстоятельство это наглядно проверяется на рис. 159 и 160, сделанных для разобранных выше примеров n
(x) =
1
x + n
,
s n
(x) = x Рис. Рис. В случае рис. 160 предельная функция s(x) графически изображается отрезком (0, 1) оси OX, исключая точку 1, и отдельной точкой с координатами (1, Правда, в последнем примере предельная функция s(x) не непрерывна. Но нетрудно привести пример сходящейся последовательности, предельная функция которой непрерывна, но которая тем не менее сходится неравномерно. Таким свойством обладает хотя бы последовательность
(x) и должен стремиться к нулю, при n → ∞ для всех x из (a, b); для неравномерно сходящейся последовательности это условие не будет выполнено.
Обстоятельство это наглядно проверяется на рис. 159 и 160, сделанных для разобранных выше примеров n
(x) =
1
x + n
,
s n
(x) = x Рис. Рис. В случае рис. 160 предельная функция s(x) графически изображается отрезком (0, 1) оси OX, исключая точку 1, и отдельной точкой с координатами (1, Правда, в последнем примере предельная функция s(x) не непрерывна. Но нетрудно привести пример сходящейся последовательности, предельная функция которой непрерывна, но которая тем не менее сходится неравномерно. Таким свойством обладает хотя бы последовательность
(рис. 161)
s n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
(0 6 x 6 Мы имеем, очевидно, при x 6= 0:
nx
1 + n
2
x
2
=
1
n x
1
n
2
+ x
2 Для большей наглядности рис. 159 и 160 выполнены в разных масштабах для x и y.
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
451
и, при n → ∞, первый множитель справа 0, а второй стремится к
1
x
,
т. е. s n
(x) → 0 при x 6= 0. При x = 0, очевидно, s n
(0) = 0 при всяком и, следовательно, при всех x из (0, a), где a — некоторое положительное число) = lim n→∞
s n
(x) = Однако максимальная величина отрезка ординаты между кривыми s
n
(x) и s(x), которая в рассматриваемом случае приводится просто к ординате кривой s n
(x) так как s(x) = 0, будет и будет соответствовать значению x =
1
n
. Так как она не стремится к нулю при n → ∞, то
Рис. последовательность (48) не будет равномерно сходящейся в промежутке (0, a); и,
действительно, если мы хотим, чтобы было n
(x)| =
nx
1 + n
2
x
2
< то, решая относительно n неравенство й степени < 1 −
x
ε
n + и считая ε достаточно малым, получим n >
1 2xε
[1 +
p
1 − 4ε
2
] = N (Функция эта возрастает беспредельно при x → 0, что и обуславливает неравномерную сходимость последовательности.
Заметим, наконец, что те же рис. 160 и 161 показывают, что последовательность равномерно сходится в промежутке (0, q), где q — любое положительное число, меньшее единицы, а последовательность равномерно сходится в промежутке (q, a), где 0 < q < a, в чем нетрудно убедиться и непосредственным вычислением. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. Предельная функция равномерно сходящейся в промежутке (a, b) последовательности непрерывных функций также непрерывна.
Пусть s
1
(x),
s
2
(x), . . . ,
s n
(x),
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [145
— данная последовательность функций, причем все они непрерывны в промежутке (a, b), и пусть s(x) = lim n→∞
s ее предельная функция. Нам нужно доказать, что, задав наперед сколь угодно малое положительное число ε, можно найти такое число δ, чтобы было [35]:
|s(x + h) − s(x)| < если < при условии, что оба числа x и x + h лежат в промежутке (a, b). Мы можем писать при любом n:
|s(x + h) − s(x)| =
= |[s(x + h) − s n
(x + h)] + [s n
(x + h) − s n
(x)] + [s n
(x) − s(x)]| 6 6
|s(x + h) − s n
(x + h)| + |s(x) − s n
(x)| + |s n
(x + h) − s В силу определения равномерной сходимости мы можем выбрать n настолько большим, чтобы во всем промежутке (a, b), в том числе и при значениях x и x + h, было + h) − s n
(x + h)| <
ε
3
,
|s(x) − s n
(x)| Выбрав таки фиксировав его, в силу непрерывности функции s n
(x)
[35], мы можем найти такое число δ, чтобы было n
(x + h) − s n
(x)| если < Сопоставив все эти неравенства, мы и получим неравенство (Если последовательность функций сходится неравномерно, то предельная функция может и не быть непрерывной, примером чего может служить хотя бы последовательность x в промежутке (0, Обратное утверждение, однако, неверно, — и для неравномерно сходящейся последовательности предельная функция может быть непрерывной, например, для последовательности + n
2
x
2 2. Если s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s n
(x),
— данная последовательность функций, причем все они непрерывны в промежутке (a, b), и пусть s(x) = lim n→∞
s ее предельная функция. Нам нужно доказать, что, задав наперед сколь угодно малое положительное число ε, можно найти такое число δ, чтобы было [35]:
|s(x + h) − s(x)| < если < при условии, что оба числа x и x + h лежат в промежутке (a, b). Мы можем писать при любом n:
|s(x + h) − s(x)| =
= |[s(x + h) − s n
(x + h)] + [s n
(x + h) − s n
(x)] + [s n
(x) − s(x)]| 6 6
|s(x + h) − s n
(x + h)| + |s(x) − s n
(x)| + |s n
(x + h) − s В силу определения равномерной сходимости мы можем выбрать n настолько большим, чтобы во всем промежутке (a, b), в том числе и при значениях x и x + h, было + h) − s n
(x + h)| <
ε
3
,
|s(x) − s n
(x)| Выбрав таки фиксировав его, в силу непрерывности функции s n
(x)
[35], мы можем найти такое число δ, чтобы было n
(x + h) − s n
(x)| если < Сопоставив все эти неравенства, мы и получим неравенство (Если последовательность функций сходится неравномерно, то предельная функция может и не быть непрерывной, примером чего может служить хотя бы последовательность x в промежутке (0, Обратное утверждение, однако, неверно, — и для неравномерно сходящейся последовательности предельная функция может быть непрерывной, например, для последовательности + n
2
x
2 2. Если s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s n
(x),
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
453
есть равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в промежутке) функций и (α, β) — любой промежуток, лежащий в, b), то n
(x)dx →
β
Z
α
s(x)dx,
n → или, иначе n→∞
β
Z
α
s n
(x)dx =
β
Z
α
lim n→∞
s Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то последовательность функций x
Z
α
s n
(t)dt
(n = 1, 2, 3, . . также сходится равномерно в промежутке (a, b). Процесс этот называется переходом к пределу под знаком интеграла.
∗
Заметим прежде всего, что в силу свойства 1) предельная функция s(x) также непрерывна. Рассмотрим теперь разность −
β
Z
α
s n
(x)dx =
β
Z
α
[s(x) − s Задав число ε, мы можем, в силу равномерной сходимости, найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N , во всем промежутке (a, мы имели) − s n
(x)| < а потому [95], (10 1
)
β
Z
α
[s(x) − s n
(x)]dx
6
β
Z
α
|s(x) − s n
(x)|dx| <
β
Z
α
εdx = ε(β − α) 6 ε(b − Итак, для любого промежутка (α, β), заключающегося в (a, b), имеем −
β
Z
α
s n
(x)dx
< ε(b − Такое действие также называется перестановкой знаков предела и интеграла Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям при n > N . Правая часть неравенства не зависит от α и β и стремится к нулю, если ε → 0. Ввиду произвольности ε мы можем формулировать результат так при любом заданном положительном существует N , независящее от α и β, такое, что −
β
Z
α
s n
(x)dx
< при n > N . Отсюда непосредственно вытекает формула (50). Полагая = x и принимая во внимание независимость N от β, видим, что последовательность) сходится равномерно для всех x из (a, Для неравномерно сходящихся последовательностей эта теорема может оказаться и неверной. Пусть, например n
(x) = nxe nx
2
(0 6 x 6 Рис. рис. 162). Нетрудно показать, разбирая отдельно случаи x > 0 и x = 0, что при всяком x в промежутке, 1)
s n
(x) → 0 при n → так что здесь s(x) = 0. Последовательность эта, однако, не может быть равномерно сходящейся, так как наибольшая ордината кривой, или, что тоже самое, наибольшая величина разности s n
(x) − которая получается при x =
1
√
2n
, возрастает беспредельно при n → С другой стороны, мы имеем n
(x)dx = n
Z
1 0
xe
−nx
2
dx = −
1 2
e
−nx
2 1
0
=
1 2
(1 − e
−n
) →
1 2
,
145]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
455
в то время как = 0.
3. Если функции последовательности s
1
(x),
s
2
(x),
. . . ,
s имеют непрерывные производные s
′
1
(x),
s
′
2
(x),
. . . в промежутке (a, b), причем последовательность s
′
n
(x) равномерно сходится к предельной функции σ(x), а последовательности s n
(x) сходится к предельной функции то s n
(x) также сходится равномерно и) или иначе lim n→∞
ds n
(x)
dx
=
d lim n→∞
s Процесс этот называется переходом к пределу под знаком производ- ной.
Пусть α — любое постоянное, x — переменное значение на промежутке, b). В силу свойства 2) мы имеем lim n→∞
x
Z
α
s
′
n
(x)dx Но x
Z
α
s
′
n
(x)dx = s n
(x) − s n
(α) → s(x) − а потому предыдущая формула дает s(x) − s(α) То есть сходится поточечно.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Дифференцируя это равенство и пользуясь известными свойствами определенного интеграла (свойство VII) [95], мы имеем ds(x)
dx
= что и требовалось доказать. Остается доказать равномерную сходимость последовательности s n
(x). Имеем s
n
(x) = s n
(α) +Последовательность s n
(α) сходится и вовсе не содержит x. Последовательность сходится равномерно в силу свойства 2). Отсюда и вытекает равномерная сходимость s n
(x), так как из определения равномерной сходимости непосредственно вытекает, что сумма двух равномерно сходящихся последовательностей есть также равномерно сходящаяся последовательность. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность, члены которой не содержат x, как, например, s n
(α), подходит под определение равномерно сходящейся последовательности.
Заметим еще, что мы доказали равномерную сходимость s n
(x) во всем промежутке (a, b), используя лишь равномерную сходимость s
′
n
(x) и сходимость s n
(α), и, следовательно, при формулировке последнего свойства достаточно потребовать сходимости s n
(x) водной точке x = a. Отсюда, как мы уже сказали, будет вытекать равномерная сходимость s во всем промежутке (a, b).
146. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Если в предыдущих предложениях мы будем считать s n
(x) суммой n первых членов данного ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . а s(x) — суммой всего ряда, то непосредственно получим аналогичные предложения для рядов с переменными членами. Если члены ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходится равномерно,
то и сумма его s(x) есть непрерывная функция в промежутке (a, b).
dx
= что и требовалось доказать. Остается доказать равномерную сходимость последовательности s n
(x). Имеем s
n
(x) = s n
(α) +Последовательность s n
(α) сходится и вовсе не содержит x. Последовательность сходится равномерно в силу свойства 2). Отсюда и вытекает равномерная сходимость s n
(x), так как из определения равномерной сходимости непосредственно вытекает, что сумма двух равномерно сходящихся последовательностей есть также равномерно сходящаяся последовательность. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность, члены которой не содержат x, как, например, s n
(α), подходит под определение равномерно сходящейся последовательности.
Заметим еще, что мы доказали равномерную сходимость s n
(x) во всем промежутке (a, b), используя лишь равномерную сходимость s
′
n
(x) и сходимость s n
(α), и, следовательно, при формулировке последнего свойства достаточно потребовать сходимости s n
(x) водной точке x = a. Отсюда, как мы уже сказали, будет вытекать равномерная сходимость s во всем промежутке (a, b).
146. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Если в предыдущих предложениях мы будем считать s n
(x) суммой n первых членов данного ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . а s(x) — суммой всего ряда, то непосредственно получим аналогичные предложения для рядов с переменными членами. Если члены ряда u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходится равномерно,
то и сумма его s(x) есть непрерывная функция в промежутке (a, b).
147]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов 2. Если члены ряда (55) непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходятся равномерно, то его можно почленно интегрировать между какими угодно пределами α, β, лежащими в промежутке (a, те Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то ряд,
который получается почленным интегрированием x
Z
α
u
1
(x)dx +
x
Z
α
u
2
(x)dx + . . . +
x
Z
α
u n
(x)dx + . . . также равномерно сходится в промежутке (a, b).
3. Если ряд (55) сходится в промежутке (a, b) и его члены имеют непрерывные в промежутке (a, b) производные u
′
1
(x), . . . , u
′
n
(x), . . . причем ряд, составленный из производных u
′
1
(x) + u
′
2
(x) + . . . + u
′
n
(x) + . . . сходится равномерно в промежутке (a, b), то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно, те При выводе эти предложений из теорем [145] надо только иметь ввиду, что указанные в предложениях свойства имеют, как мы уже знаем,
место в случае конечного числа слагаемых. Так, например, если члены ряда u n
(x) суть непрерывные функции, то и функции s
n
(x) = u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u непрерывны при любом n [34].
147. Признаки равномерной сходимости.
Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости.
Ряд функций, определенных в промежутке (a, b):
u
1
(x) + u
2
(x) + . . . + u n
(x) + . . . ,