Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 156
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
n
< . . . <
n − 1
n
< В данном случае мы имеем n следующих промежутков 1
n
,
2
n
,
2
n
,
3
n
, . . . ,
n − 1
n
, длина каждого из которых равна. При составлении суммы (примем за ξ
k левый конец промежутка, те Все разности x k
− x k−1
=
1
n
, и, замечая, что значения подынтегральной функции f (x) = на левых концах промежутков будут (ξ
1
) = 0,
f (ξ
2
) =
1
n
2
,
f (ξ
3
) =
2 2
n
2
, . . . , f (ξ
n
) =
(n − можем написать = lim n→∞
0 ·
1
n
+
1
n
2
·
1
n
+
2 2
n
2
·
1
n
+ . . . +
(n − 1)
2
n
2
·
1
n
=
= lim n→∞
1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
n
3
. (14)
88]
§ 8. Неопределенный интеграл
273
Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных равенств + 1)
3
= 1 + 3 · 1 + 3 · 1 2
+ 1 3
(1 + 2)
3
= 1 + 3 · 2 + 3 · 2 2
+ 2 3
(1 + 3)
3
= 1 + 3 · 3 + 3 · 3 2
+ 3 3
[1 + (n − 1)]
3
= 1 + 3(n − 1) + 3(n − 1)
2
+ (n − Складывая почленно, получим 3
+ 3 3
+ . . . + n
3
= (n − 1) + 3[1 + 2 + . . . + (n − 1)]+
+ 3[1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + 1 3
+ 2 3
+ . . . + (n − Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической прогрессии, можем написать n
3
= (n − 1) + 3
n(n − 1)
2
+ 3[1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + откуда 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
=
n
3
− n
3
−
n(n − 1)
2
=
n(n − 1)(2n − Подставив полученное выражение в (14), имеем lim n→∞
n(n − 1)(2n − 1)
6n
3
=
1 6
lim n→∞
1 −
1
n
2 −
1
n
=
2 6
=
1 Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения свойств неопределенного интеграла и его разыска- ния.
Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле основывались начисто геометрических соображениях, а именно на
t=0
= Разделяя переменные, имеем dx
(a − x)(b − x)
= или, интегрируя − x)(b − x)
= kt + где C
1
— произвольная постоянная.
Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:
1
(a − x)(b − x)
=
A
a − x
+
B
b − x
,
1 = A(b − x) + B(a − x) = −(A + B)x + (Ab + что дает + B) = 0;
Ab + Ba = откуда = −B =
1
b − a
,
93]
§ 8. Неопределенный интеграл
287
так что − x)(b − x)
=
1
b − a
Z
dx a − x
−
Z
dx b − x
=
1
b − a log b − x a − Подставляя в (26), имеем b − x a − x
= (b − a)kt + (b − a)C
1
,
b − x a − x
= где C = e
(b−a)C
1
. Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда.
Предлагаем читателю разобрать случай a = b, когда предыдущие формулы теряют смысл.
Рис. Найти все кривые, пересекающие подданным постоянным углом радиусы- векторы, проведенные изначала координат) (рис. Пусть M (x, y) есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем = α − θ,
tg ω = tg (α − θ) =
tg α − tg θ
1 + tg α tg θ
=
y
′
−
y x
1 + y
′ y Обозначив для удобства вычислений tg ω =
1
a и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде x + yy
′
= a(y
′
x − или, умножив обе части на dx,
xdx + ydy = a(xdy − Вообще, углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых
94]
§ 9. Свойства определенного интеграла
289
при любом разбиении и выборе точек ξ
k из промежутков (x k−1,x если набольшая из (положительных) разностей x k
− x k−1
< Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любом выборе ξ
k и стремлении наибольшей из разностей x k
− x к нулю.
Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела) надо понимать так, как это указано выше (с помощь и В конце главы мы докажем существование упомянутого предела сумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования.
Мы предполагали, что нижний предел a интеграла меньше верхнего предела b. Если a = b, то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считать a
Z
a f (x)dx = Это равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему.
При a > b принимается следующее определение f (x)dx = −
a
Z
b f (В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше верхнего a и интеграл понимается обычным образом, как указано выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму, то для нее (a > b) мы получим a = x
0
> x
1
> x
2
> · · · > x k−1
> x k
> · · · > x n−1
> x n
= и все разносит (x k
− x k−1
) отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), те. будем считать
94]
§ 9. Свойства определенного интеграла. Если дан ряд чисел a, b, c, . . . , k, Уравнение вида y
′
ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами. расположенных в каком угодно порядке, то l
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (x)dx + · · · +
l
Z
k f (Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел a,
b, c, после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно число слагаемых.
Допустим сперва, что a < b < c. Из определения вытекает, что c
Z
a f (x)dx = lim n
X
l=1
f (ξ
i
)(x i
− x причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ни разбивали на части промежуток (a, c), лишь бы только наибольшая из разностей (x
1
− x i−1
) стремилась к нулю. Мы можем условиться разбивать промежуток (a, c) так, чтобы точка b, лежащая между a и c, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогда сумма n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x разобьется на две такого же типа, стой лишь разницею, что при составлении одной мы будем разбивать на части промежуток (a, при составлении же другой — промежуток (b, c), ипритом так, что в обоих случаях наибольшая из разностей (x i
− x i−1
) стремится к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к b
Z
a f (x)dx,
c
Z
b f (x)dx,
303
непрерывная функция от x, несмотря на то, что функция f (x) терпит разрыв при x = 2. С другой стороны, нетрудно найти первообразную функцию для f (x), которая была бы непрерывна во всем промежутке, 3). Это будет, например функция F
1
(x), определяемая следующим образом при 6 x 6 2,
F
1
(x) =
x
2 при 6 x 6 Действительно, дифференцируя, убеждаемся, что) =
x
2
+
1 в промежутке (0, 2) ив промежутке (2, 3). Кроме того, оба написанных выражения F
1
(x) придают одну и туже величину что и обеспечивает непрерывность F
1
(x). Площадь, ограниченная нашей кривой, осью OX и ординатами x = 0, x = 3, выразится формулой (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx = F
1
(3) − F
1
(0) =
9 в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.
Рис. Рассмотрим еще функцию y = рис. 125). Она обращается в бесконечность при x = 0, но ее первообразная функция остается
98]
§ 9. Свойства определенного интеграла
305
Такие интегралы называются расходящимися. Указанный выше интеграл от называется сходящимся, поскольку указанные выше пределы при ε
′
→ −0 и ε
′′
→ +0 существуют.
В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы по бесконечному промежутку. В этом последнем случае непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и интеграл по существу несобственный. Бесконечные пределы. Предыдущие рассуждения можно распространить и на случай бесконечного промежутка и положить f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (x)dx,
(16)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
b
Z
a f (если эти пределы существуют.
Условие это наверно выполнено, если первообразная функция) стремится к определенным пределам, когда x стремится кили к (−∞). Обозначив эти пределы просто через F
1
(+∞) и, будем иметь f (x)dx = lim b→+∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(+∞) − F
1
(a),
(18)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(b) − F
1
(−∞),
(19)
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
a
Z
−∞
f (x)dx +
∞
Z
a f (x)dx = F
1
(+∞) − что и является обобщением формулы (15) на случай бесконечного промежутка
a
+ 3h
y
3
s
1
+ s
2
+ s
3 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
)
s
4
= y
3
+ y
4 4
a
+ 4h
y
4
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
)
s
5
= y
4
+ y
5 5
a
+ 5h
y
5
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
)
s
6
= y
5
+ y
6 6
a
+ 6h
y
6
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
+ s
6 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
+ s
6
)
112]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
353
а это, в силу приближенного равенства (51), показывает x
k
M
k
=h(y
1/2
+ y
3/2
+ · · · + y k−1/2
)=h
y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
=F (x в силу формулы (Указанное построение проделано для того случая, когда масштаб для функции F (x) совпадает с масштабом для f (x). Если масштаб для площади другой, то построение остается тем же стою только разницей, что отрезок OP имеет длину не единицу, а l, причем l равно отношению масштаба для F (x) к масштабу для f (Графическое приближенное построение повторного интеграла) =
x
Z
a dx
x
Z
a f (основано на формуле прямоугольников (40) Положим, как и раньше, что (x) =
x
Z
a f (Рассматривая только значения x
0
, x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . независимой переменной, мы по формуле (40) имеем приближенное равенство (x
1
) ≈ hy
0
,
F (x
2
) ≈ h(y
0
+ y
1
), . . . , F (x k
) ≈ h(y
0
+ y
1
+ · · · + y Применяя туже формулу и к функции Φ, имеем k
) = h[F (x
0
) + F (x
1
) + · · · + F (x k−1
)] ≈
≈ h
2
[y
0
+ (y
0
+ y
1
) + · · · + (y
0
+ y
1
+ · · · + y Отсюда вытекает следующее построение ординаты Φ(x k
) (рис. построив точку P , как и раньше, мы на оси OY откладываем отрезки Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[112
Рис. Проведя лучи B
1
, P B
2
, P B
3
, . . . , P B
k
, . . . строим точки, M
1
, M
2
, . . . , M
k
, . . . проводя B
1
, M
1
M
2
kP B
2
, M
2
M
3
kP B
3
, . . Эти точки и будут точками искомой приближенной кривой, начерченной, однако, в неизменном масштабе (1 : h), ибо из построения ясно,
что x
1
M
1
= hy
0
, x
2
M
2
= hy
0
+ h(y
0
+ y
1
), . . . ,
x k
M
k
= hy
0
+ h(y
0
+ y
1
) + · · · + h(y
0
+ y
1
+ · · · + y k−1
) ≈
Φ(x k
)
h в силу (52). Если длина OP есть не единица, а l, то построенная кривая дает ординату кривой Φ(x), измененную в отношении 1 : lh. Следует оговорить, что при всем удобстве указанных построений точность их невелика, и их можно употреблять лишь при сравнительно грубых расчетах.
∗
Переменную интегрирования во внутреннем интеграле, вообще говоря,
следует обозначить другой буквой, например t.
113]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 113. Площади быстро колеблющихся кривых.
Выше [110] было указано, что для успешного применения различных приближенных формул, для вычисления определенных интегралов надлежит разбивать кривую, площадь которой определяется на участки, в каждом из которых она имеет плавную форму. Это требование весьма затруднительно для кривых, ведущих себя неправильно, имеющих много колебаний вверх и вниз. Для определения площадей таких кривых по предыдущим правилам приходится вводить слишком много подразделений, что значительно усложняет вычисления.
Рис. В таких случаях полезно применять другой способа именно разбивать площадь на полоски, параллельные не оси OY , а оси OX: для приближенного определения площади кривой, изображенной на рис. откладываем на оси OY наименьшую и наибольшую ординаты α и β кривой и разделяем промежуток (α, β) на n частей в точках y
0
= α, y
1
, . . . , y i−1
, y i
, . . . , y n−1
, y n
= Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OX, мы разобьем всю площадь на полоски, состоящие из отдельных частей за приближенное выражение площади й полоски мы можем принять произведение ее основания (y i
− y i−1
) на сумму длин l отрезков любой прямой заключенных внутри рассматриваемой площади сумма эта непосредственно может быть определена на чертеже. Обозначив эту сумму через
< . . . <
n − 1
n
< В данном случае мы имеем n следующих промежутков 1
n
,
2
n
,
2
n
,
3
n
, . . . ,
n − 1
n
, длина каждого из которых равна. При составлении суммы (примем за ξ
k левый конец промежутка, те Все разности x k
− x k−1
=
1
n
, и, замечая, что значения подынтегральной функции f (x) = на левых концах промежутков будут (ξ
1
) = 0,
f (ξ
2
) =
1
n
2
,
f (ξ
3
) =
2 2
n
2
, . . . , f (ξ
n
) =
(n − можем написать = lim n→∞
0 ·
1
n
+
1
n
2
·
1
n
+
2 2
n
2
·
1
n
+ . . . +
(n − 1)
2
n
2
·
1
n
=
= lim n→∞
1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
n
3
. (14)
88]
§ 8. Неопределенный интеграл
273
Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных равенств + 1)
3
= 1 + 3 · 1 + 3 · 1 2
+ 1 3
(1 + 2)
3
= 1 + 3 · 2 + 3 · 2 2
+ 2 3
(1 + 3)
3
= 1 + 3 · 3 + 3 · 3 2
+ 3 3
[1 + (n − 1)]
3
= 1 + 3(n − 1) + 3(n − 1)
2
+ (n − Складывая почленно, получим 3
+ 3 3
+ . . . + n
3
= (n − 1) + 3[1 + 2 + . . . + (n − 1)]+
+ 3[1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + 1 3
+ 2 3
+ . . . + (n − Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической прогрессии, можем написать n
3
= (n − 1) + 3
n(n − 1)
2
+ 3[1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + откуда 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
=
n
3
− n
3
−
n(n − 1)
2
=
n(n − 1)(2n − Подставив полученное выражение в (14), имеем lim n→∞
n(n − 1)(2n − 1)
6n
3
=
1 6
lim n→∞
1 −
1
n
2 −
1
n
=
2 6
=
1 Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения свойств неопределенного интеграла и его разыска- ния.
Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле основывались начисто геометрических соображениях, а именно на
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[89
рассмотрении площадей S
ab и S
ax
. В частности, доказательство основного факта, что сумма (6) имеет предел, исходило из допущения,
что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадь. При всей наглядности такого допущения оно не является строго обоснованными единственно математически строгий путь был бы обратный не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать непосредственно аналитическим путем существование предела суммы n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x каковой потом уже принять за определение площади S
ab
. Это доказательство мы приведем в конце настоящей главы ипритом при более общих предположениях относительно функции f (x), чем ее непрерывность.
Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась существенным моментом и при доказательстве того основного предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующем параграфе настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет утверждать, что для всякой непрерывной функции имеется первообразная, те. неопределенный интеграл.
Дальше мы выясним основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем дело лишь с непрерывными функ- циями.
При изложении свойств определенного интеграла мы строго докажем основную формулу (13). Таким образом, единственным недоказанным фактом останется факт существования предела суммы) для непрерывной функции f (x). Это доказательство, как мы уже сказали, приводится в конце главы. Свойства неопределенного интеграла. В [86] мы видели, что две первообразные функции для одной и той же функции
89]
§ 8. Неопределенный интеграл
275
отличаются лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству неопределенного интеграла. Если две функции или два дифференциала тождественны,
то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производные
(или дифференциалы) тождественны.
Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е.
из того, что неопределенный интеграл (x)dx есть такая функция, производная которой по x равна подынтегральной функции f (x), или дифференциал которой равен подынтегральному выражению f (x)dx.
II. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению. Одновременно с (15) мы имеем = F (x) + и эту формулу можно еще переписать так [50]:
Z
dF (x) = F (x) + что в соединении со свойством II дает рядом стоящие знаки d ив каком бы порядке они не следовали, взаимно уничтожаются, если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенстве между неопределенными интегралами
91]
§ 8. Неопределенный интеграл x
dx =
a x
log a
+ C,
Z
e x
dx = e x
+ C,
Z
sin xdx = − cos x + C,
Z
cos xdx = sin x + C,
Z
dx cos
2
x
= tg x + C,
Z
dx sin
2
x
= − ctg x + C,
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + C,
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + Для проверки этой таблицы достаточно установить, что производная правой части равенства тождественна с подынтегральной функцией левой части. Вообще, зная ту функцию, от которой данная функция f (x) есть производная, мы тем самым получаем ее неопределенный интеграл. Но обыкновенно, даже в самых простых случаях, заданные функции не находятся в таблице интегралов, что и делает задачу интегрального исчисления гораздо более трудной,
чем задачу дифференциального исчисления. Все дело приводится к преобразованию данного интеграла к таким, которые заключаются в таблице простейших.
Преобразование это требует навыка и практики и облегчается применением нижеследующих основных правил интегрального исчисления, а также свойств IV, V из [89].
91. Правило интегрирования по частям. Мы знаем, что если x, v — две какие угодно функции от x с непрерывными производными, то [50]
d(uv) = udv + или udv = d(uv) − В силу свойств I, V и III мы заключаем отсюда =
Z
[d(uv)−vdu]+C =
Z
d(uv)−
Z
vdu+C = uv что и дает формулу интегрирования по частям = uv −
Z
vdu.
(19)
[89
рассмотрении площадей S
ab и S
ax
. В частности, доказательство основного факта, что сумма (6) имеет предел, исходило из допущения,
что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадь. При всей наглядности такого допущения оно не является строго обоснованными единственно математически строгий путь был бы обратный не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать непосредственно аналитическим путем существование предела суммы n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x каковой потом уже принять за определение площади S
ab
. Это доказательство мы приведем в конце настоящей главы ипритом при более общих предположениях относительно функции f (x), чем ее непрерывность.
Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась существенным моментом и при доказательстве того основного предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующем параграфе настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет утверждать, что для всякой непрерывной функции имеется первообразная, те. неопределенный интеграл.
Дальше мы выясним основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем дело лишь с непрерывными функ- циями.
При изложении свойств определенного интеграла мы строго докажем основную формулу (13). Таким образом, единственным недоказанным фактом останется факт существования предела суммы) для непрерывной функции f (x). Это доказательство, как мы уже сказали, приводится в конце главы. Свойства неопределенного интеграла. В [86] мы видели, что две первообразные функции для одной и той же функции
89]
§ 8. Неопределенный интеграл
275
отличаются лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству неопределенного интеграла. Если две функции или два дифференциала тождественны,
то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производные
(или дифференциалы) тождественны.
Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е.
из того, что неопределенный интеграл (x)dx есть такая функция, производная которой по x равна подынтегральной функции f (x), или дифференциал которой равен подынтегральному выражению f (x)dx.
II. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению. Одновременно с (15) мы имеем = F (x) + и эту формулу можно еще переписать так [50]:
Z
dF (x) = F (x) + что в соединении со свойством II дает рядом стоящие знаки d ив каком бы порядке они не следовали, взаимно уничтожаются, если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенстве между неопределенными интегралами
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла (x)dx = A
Z
f (x)dx + C
5
V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого + v − w)dx =
Z
udx +
Z
vdx −
Z
wdx + Правильность формул (17) и (18) нетрудно обнаружить, дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученных производных. Например, для равенства (17):
Z
Af (x)dx
′
= Af (x),
A
Z
f (x)dx + C
′
= A
Z
f (x)dx
′
= Af (x).
90. Таблица простейших интегралов. Для получения этой таблицы достаточно прочесть в обратном порядке таблицу простейших производных [49], после чего мы получим = x + C,
Z
x m
dx =
x m+1
m + 1
+ если m 6= −1,
Z dx x
= log |x| + Иногда не пишут произвольного постоянного слагаемого после неопределенного интеграла, подразумевая, что неопределенный интеграл уже содержит такое слагаемое. Равенство (17) при этом будет = A
Z
f
(x)dx.
Z
f (x)dx + C
5
V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого + v − w)dx =
Z
udx +
Z
vdx −
Z
wdx + Правильность формул (17) и (18) нетрудно обнаружить, дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученных производных. Например, для равенства (17):
Z
Af (x)dx
′
= Af (x),
A
Z
f (x)dx + C
′
= A
Z
f (x)dx
′
= Af (x).
90. Таблица простейших интегралов. Для получения этой таблицы достаточно прочесть в обратном порядке таблицу простейших производных [49], после чего мы получим = x + C,
Z
x m
dx =
x m+1
m + 1
+ если m 6= −1,
Z dx x
= log |x| + Иногда не пишут произвольного постоянного слагаемого после неопределенного интеграла, подразумевая, что неопределенный интеграл уже содержит такое слагаемое. Равенство (17) при этом будет = A
Z
f
(x)dx.
91]
§ 8. Неопределенный интеграл x
dx =
a x
log a
+ C,
Z
e x
dx = e x
+ C,
Z
sin xdx = − cos x + C,
Z
cos xdx = sin x + C,
Z
dx cos
2
x
= tg x + C,
Z
dx sin
2
x
= − ctg x + C,
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + C,
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + Для проверки этой таблицы достаточно установить, что производная правой части равенства тождественна с подынтегральной функцией левой части. Вообще, зная ту функцию, от которой данная функция f (x) есть производная, мы тем самым получаем ее неопределенный интеграл. Но обыкновенно, даже в самых простых случаях, заданные функции не находятся в таблице интегралов, что и делает задачу интегрального исчисления гораздо более трудной,
чем задачу дифференциального исчисления. Все дело приводится к преобразованию данного интеграла к таким, которые заключаются в таблице простейших.
Преобразование это требует навыка и практики и облегчается применением нижеследующих основных правил интегрального исчисления, а также свойств IV, V из [89].
91. Правило интегрирования по частям. Мы знаем, что если x, v — две какие угодно функции от x с непрерывными производными, то [50]
d(uv) = udv + или udv = d(uv) − В силу свойств I, V и III мы заключаем отсюда =
Z
[d(uv)−vdu]+C =
Z
d(uv)−
Z
vdu+C = uv что и дает формулу интегрирования по частям = uv −
Z
vdu.
(19)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[91
Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла, причем этот последний может оказаться более простым.
П р им еры Полагая здесь u = log x,
dx = имеем прежде всего du =
dx x
,
v = откуда, в силу (19),
Z
log xdx = x log x −
Z
x dx x
= x log x − x + На практике отдельные преобразования выписывать ненужно все действия производятся по возможности в уме x
x
2
dx=
Z
x
2
· e x
dx=
Z
x
2
de x
=x
2
e x
−
Z
e x
dx
2
=x
2
e x
−2
Z
e x
xdx,
∗
Z
e x
xdx =
Z
xde x
= xe x
−
Z
e x
dx = e x
x − e что дает окончательно x
x
2
dx = e x
[x
2
− 2x + 2] + C.
3.
Z
sin x · x
3
dx =
Z
x
3
· sin xdx =
Z
x
3
d(− cos x) =
(1)
= −x
3
cos x −
Z
(− cos x)dx
3
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
· cos xdx =
(2)
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
d sin x = −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 3
Z
sin xdx
2
= (3)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
x sin xdx Здесь использовано так называемое внесение под дифференциал e x
dx
=
de x
. Это делается по формуле f
′
(x)dx = df (x) с учетом того, что (e x
)
′
= e Этот прием используется ив последующих примерах
92]
§ 8. Неопределенный интеграл −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
xd(− cos x) =
(5)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6
Z
cos xdx =
(6)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6 sin x + Способ, показанный в этих примерах, применяется, вообще, при вычислении интегралов типа ax x
m dx,
Z
sin bx · x m
dx,
Z
cos bx · x где m есть любое целое положительное число нужно заботиться лишь о том, чтобы при последовательных преобразованиях степень x все время понижалась, пока не дойдет до нулевой. Правило замены переменных. Примеры. Интеграл (x)dx часто можно упростить, введя вместо x новую переменную, положив x = Для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной по формуле (20) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение (x)dx =
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt + Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей формулы (21). Произведя дифференцирование, имеем d
Z
f (x)dx
= f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt,
d
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt
= f Часто вместо подстановки (20) употребляют обратную t = ψ(x)
[91
Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла, причем этот последний может оказаться более простым.
П р им еры Полагая здесь u = log x,
dx = имеем прежде всего du =
dx x
,
v = откуда, в силу (19),
Z
log xdx = x log x −
Z
x dx x
= x log x − x + На практике отдельные преобразования выписывать ненужно все действия производятся по возможности в уме x
x
2
dx=
Z
x
2
· e x
dx=
Z
x
2
de x
=x
2
e x
−
Z
e x
dx
2
=x
2
e x
−2
Z
e x
xdx,
∗
Z
e x
xdx =
Z
xde x
= xe x
−
Z
e x
dx = e x
x − e что дает окончательно x
x
2
dx = e x
[x
2
− 2x + 2] + C.
3.
Z
sin x · x
3
dx =
Z
x
3
· sin xdx =
Z
x
3
d(− cos x) =
(1)
= −x
3
cos x −
Z
(− cos x)dx
3
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
· cos xdx =
(2)
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
d sin x = −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 3
Z
sin xdx
2
= (3)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
x sin xdx Здесь использовано так называемое внесение под дифференциал e x
dx
=
de x
. Это делается по формуле f
′
(x)dx = df (x) с учетом того, что (e x
)
′
= e Этот прием используется ив последующих примерах
92]
§ 8. Неопределенный интеграл −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
xd(− cos x) =
(5)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6
Z
cos xdx =
(6)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6 sin x + Способ, показанный в этих примерах, применяется, вообще, при вычислении интегралов типа ax x
m dx,
Z
sin bx · x m
dx,
Z
cos bx · x где m есть любое целое положительное число нужно заботиться лишь о том, чтобы при последовательных преобразованиях степень x все время понижалась, пока не дойдет до нулевой. Правило замены переменных. Примеры. Интеграл (x)dx часто можно упростить, введя вместо x новую переменную, положив x = Для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной по формуле (20) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение (x)dx =
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt + Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей формулы (21). Произведя дифференцирование, имеем d
Z
f (x)dx
= f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt,
d
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt
= f Часто вместо подстановки (20) употребляют обратную t = ψ(x)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[92
и
ψ
′
(x)dx = Примеры при m 6= Для упрощения интеграла полагаем ax + b = t,
adx = dt,
dx =
dt Подставив это в данный интеграл, находим + b)
m dx =
1
a
Z
t m
dt =
1
a t
m+1
m + 1
+ C =
1
a
(ax + b)
m+1
m + 1
+ C.
2.
Z
dx ax + b
=
1
a
Z
dt t
=
1
a log t + C =
log(ax + b)
a
+ C.
3.
Z
dx a
2
+ x
2
=
Z
dx a
2
1 +
x
2
a
2
=
1
a
Z
d x
a
1 +
x a
2
=
1
a arctg x
a
+ подстановка t =
x a
4.
Z
dx
√
a
2
− x
2
=
Z
d x
a
q
1 −
x a
2
= arcsin x
a
+ C.
5.
Z
dx
√
x
2
+ Для вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера,
о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводится здесь по формуле p
x
2
+ a = t − x,
t = x +
p x
2
+ Для определения x и dx возвышаем в квадрат+ a = t
2
− 2tx + x
2
,
x =
t
2
− a
2t
=
1 2
t −
a t
,
p x
2
+ a = t −
t
2
− a
2t
=
t
2
+ a
2t
,
dx =
1 2
1 +
a t
2
dt =
1 2
t
2
+ a Подставив все это в данный интеграл, имеем
92]
§ 8. Неопределенный интеграл+ a
=
Z
2t t
2
+ a
·
1 2
t
2
+ a t
2
dt =
=
Z
dt t
= log t + C = log
x +
p x
2
+ a
+ Интеграл x
2
− вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимся подробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральной функции на простейшие дроби.
Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители a
2
= (x − a)(x + представим ее в виде суммы более простых дробей a
2
=
A
x − a
+
B
x + Для определения постоянных A и B освобождаемся от знаменателя,
что дает тождество = A(x + a) + B(x − a) = (A + B)x + a(A − которое должно иметь место при всех значениях x. Оно будет выполнено,
если определим A и B из условий a(A − B) = 1,
A + B = 0,
A = −B =
1 Итак, имеем a
2
=
1 2a
1
x − a
−
1
x + a
,
Z
dx x
2
− a
2
=
1 2a
Z
dx x − a
−
Z
dx x + a
=
=
1 2a
[log(x − a) − log(x + a)] + C =
1 2a log x − a x + a
+ Здесь использован метод неопределенных коэффициентов. Коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа приравниваются, при этом получается система уравнений для неизвестных коэффициентов
92]
§ 8. Неопределенный интеграл
283
приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полного квадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данный интеграл в виде + n p
x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
√
t
2
+ b dt =
= A
Z
tdt
√
t
2
+ b
+ B
Z
dt
√
t
2
+ b
b = ±a
2
= q −
p
2 Первый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановки t
2
+ b = z
2
,
2tdt = которая дает+ b
=
Z
zdz z
=
Z
dz = z =
p t
2
+ Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен log(t +
√
t2 + Аналогичным приемом выделения полного квадрата интеграл + n p
q + px − x
2
dx можно привести к виду t
2
+ B
1
Z
dt
√
a
2
− и имеем t
2
= −
p a
2
− t
2
+ при помощи подстановки a
2
− t
2
= z
2
. Второй интеграл разобран в примере+ cos 2x
2
dx =
1 2
x +
1 2
sin 2x
+ C =
=
1 2
(x + sin x cos x) + C.
[92
и
ψ
′
(x)dx = Примеры при m 6= Для упрощения интеграла полагаем ax + b = t,
adx = dt,
dx =
dt Подставив это в данный интеграл, находим + b)
m dx =
1
a
Z
t m
dt =
1
a t
m+1
m + 1
+ C =
1
a
(ax + b)
m+1
m + 1
+ C.
2.
Z
dx ax + b
=
1
a
Z
dt t
=
1
a log t + C =
log(ax + b)
a
+ C.
3.
Z
dx a
2
+ x
2
=
Z
dx a
2
1 +
x
2
a
2
=
1
a
Z
d x
a
1 +
x a
2
=
1
a arctg x
a
+ подстановка t =
x a
4.
Z
dx
√
a
2
− x
2
=
Z
d x
a
q
1 −
x a
2
= arcsin x
a
+ C.
5.
Z
dx
√
x
2
+ Для вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера,
о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводится здесь по формуле p
x
2
+ a = t − x,
t = x +
p x
2
+ Для определения x и dx возвышаем в квадрат+ a = t
2
− 2tx + x
2
,
x =
t
2
− a
2t
=
1 2
t −
a t
,
p x
2
+ a = t −
t
2
− a
2t
=
t
2
+ a
2t
,
dx =
1 2
1 +
a t
2
dt =
1 2
t
2
+ a Подставив все это в данный интеграл, имеем
92]
§ 8. Неопределенный интеграл+ a
=
Z
2t t
2
+ a
·
1 2
t
2
+ a t
2
dt =
=
Z
dt t
= log t + C = log
x +
p x
2
+ a
+ Интеграл x
2
− вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимся подробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральной функции на простейшие дроби.
Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители a
2
= (x − a)(x + представим ее в виде суммы более простых дробей a
2
=
A
x − a
+
B
x + Для определения постоянных A и B освобождаемся от знаменателя,
что дает тождество = A(x + a) + B(x − a) = (A + B)x + a(A − которое должно иметь место при всех значениях x. Оно будет выполнено,
если определим A и B из условий a(A − B) = 1,
A + B = 0,
A = −B =
1 Итак, имеем a
2
=
1 2a
1
x − a
−
1
x + a
,
Z
dx x
2
− a
2
=
1 2a
Z
dx x − a
−
Z
dx x + a
=
=
1 2a
[log(x − a) − log(x + a)] + C =
1 2a log x − a x + a
+ Здесь использован метод неопределенных коэффициентов. Коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа приравниваются, при этом получается система уравнений для неизвестных коэффициентов
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения Интегралы более общего вида + n x
2
+ px + q dx приводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат. Имеем x
2
+ px + q =
x +
p
2
2
+ q −
p
2 Полагаем далее x +
p
2
= t,
x = t −
p
2
,
dx = что дает mx + n = m
t −
p
2
+ n = At + где мы положили A = m и B = n −
mp
2
. Положив, наконец −
p
2 4
= где знак (+) или (−) нужно взять в зависимости от знака левой части этого равенства и a считается положительным, мы можем переписать данный интеграл в виде + n x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
t
2
± a
2
dt = A
Z
tdt t
2
± a
2
+ B
Z
dt t
2
± Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положить t
2
± a
2
= z,
2tdt = что дает t
2
± a
2
=
1 2
Z
dz z
=
1 2
log z =
1 2
log(t
2
± Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах 3 (+) и Интегралы вида + n p
x
2
+ px + q dx
2
+ px + q dx приводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат. Имеем x
2
+ px + q =
x +
p
2
2
+ q −
p
2 Полагаем далее x +
p
2
= t,
x = t −
p
2
,
dx = что дает mx + n = m
t −
p
2
+ n = At + где мы положили A = m и B = n −
mp
2
. Положив, наконец −
p
2 4
= где знак (+) или (−) нужно взять в зависимости от знака левой части этого равенства и a считается положительным, мы можем переписать данный интеграл в виде + n x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
t
2
± a
2
dt = A
Z
tdt t
2
± a
2
+ B
Z
dt t
2
± Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положить t
2
± a
2
= z,
2tdt = что дает t
2
± a
2
=
1 2
Z
dz z
=
1 2
log z =
1 2
log(t
2
± Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах 3 (+) и Интегралы вида + n p
x
2
+ px + q dx
92]
§ 8. Неопределенный интеграл
283
приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полного квадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данный интеграл в виде + n p
x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
√
t
2
+ b dt =
= A
Z
tdt
√
t
2
+ b
+ B
Z
dt
√
t
2
+ b
b = ±a
2
= q −
p
2 Первый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановки t
2
+ b = z
2
,
2tdt = которая дает+ b
=
Z
zdz z
=
Z
dz = z =
p t
2
+ Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен log(t +
√
t2 + Аналогичным приемом выделения полного квадрата интеграл + n p
q + px − x
2
dx можно привести к виду t
2
+ B
1
Z
dt
√
a
2
− и имеем t
2
= −
p a
2
− t
2
+ при помощи подстановки a
2
− t
2
= z
2
. Второй интеграл разобран в примере+ cos 2x
2
dx =
1 2
x +
1 2
sin 2x
+ C =
=
1 2
(x + sin x cos x) + C.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения Интеграл x
2
+ a dx приводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям x
2
+ a dx =x p
x
2
+ a −
Z
x · d p
x
2
+ a =
=x p
x
2
+ a −
Z
x
2
√
x
2
+ a Прибавив и вычтя a в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, перепишем предыдущее равенство в виде x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a −
Z
p x
2
+ a dx + a
Z
dx
√
x
2
+ или x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a + a
Z
dx
√
x
2
+ откуда окончательно x
2
+ a dx =
1 2
[x p
x
2
+ a + a log(x +
p x
2
+ a)] + C.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого поряд- ка.
В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения.
Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид (x, y, y
′
) = Это есть соотношение, связывающее независимую переменную неизвестную функцию y и ее первую производную y
′
. Обыкновенно можно решить это уравнение относительно и переписать его в виде f (x, где f (x, y) есть известная функция от x и Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделано во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах
93]
§ 8. Неопределенный интеграл
285
Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция f (x, представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая только от Помня, что y
′
=
dy dx
, можем переписать это уравнение в виде = так что в одну часть уравнения входит только буква x, в другую — только буква y; это преобразование и называется разделением переменных. Так как = d
Z
ψ(y)dy,
ϕ(x)dx = в силу свойства I [89] получаем =
Z
ϕ(x)dx + откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию Примеры. Химические реакции первого порядка. Обозначив через количество вещества, имевшегося к началу реакции, через x — количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем уравнение dx dt
= c(a − где c — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие x
t=0
= Разделяя переменные, находим dx a − x
= или, интегрируя a − x
=
Z
cdt + C
1
;
− log(a − x) = ct + Уравнение вида y
′
= ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами
2
+ a dx приводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям x
2
+ a dx =x p
x
2
+ a −
Z
x · d p
x
2
+ a =
=x p
x
2
+ a −
Z
x
2
√
x
2
+ a Прибавив и вычтя a в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, перепишем предыдущее равенство в виде x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a −
Z
p x
2
+ a dx + a
Z
dx
√
x
2
+ или x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a + a
Z
dx
√
x
2
+ откуда окончательно x
2
+ a dx =
1 2
[x p
x
2
+ a + a log(x +
p x
2
+ a)] + C.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого поряд- ка.
В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения.
Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид (x, y, y
′
) = Это есть соотношение, связывающее независимую переменную неизвестную функцию y и ее первую производную y
′
. Обыкновенно можно решить это уравнение относительно и переписать его в виде f (x, где f (x, y) есть известная функция от x и Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделано во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах
93]
§ 8. Неопределенный интеграл
285
Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция f (x, представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая только от Помня, что y
′
=
dy dx
, можем переписать это уравнение в виде = так что в одну часть уравнения входит только буква x, в другую — только буква y; это преобразование и называется разделением переменных. Так как = d
Z
ψ(y)dy,
ϕ(x)dx = в силу свойства I [89] получаем =
Z
ϕ(x)dx + откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию Примеры. Химические реакции первого порядка. Обозначив через количество вещества, имевшегося к началу реакции, через x — количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем уравнение dx dt
= c(a − где c — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие x
t=0
= Разделяя переменные, находим dx a − x
= или, интегрируя a − x
=
Z
cdt + C
1
;
− log(a − x) = ct + Уравнение вида y
′
= ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[93
где C
1
— произвольная постоянная. Отсюда выводим a − x = e
−ct−C
1
= где C = есть также произвольная постоянная. Ее можно определить из условия (25), в силу которого предыдущее равенство придает, и окончательно x = a(1 − Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-молекулах, суть a и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через так что количества оставшихся веществ будут a − x и b − По основному закону химических реакций второго порядка скорость течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, те Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное условие x
[93
где C
1
— произвольная постоянная. Отсюда выводим a − x = e
−ct−C
1
= где C = есть также произвольная постоянная. Ее можно определить из условия (25), в силу которого предыдущее равенство придает, и окончательно x = a(1 − Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-молекулах, суть a и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через так что количества оставшихся веществ будут a − x и b − По основному закону химических реакций второго порядка скорость течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, те Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное условие x
1 ... 15 16 17 18 19 20 21 22 ... 43
t=0
= Разделяя переменные, имеем dx
(a − x)(b − x)
= или, интегрируя − x)(b − x)
= kt + где C
1
— произвольная постоянная.
Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:
1
(a − x)(b − x)
=
A
a − x
+
B
b − x
,
1 = A(b − x) + B(a − x) = −(A + B)x + (Ab + что дает + B) = 0;
Ab + Ba = откуда = −B =
1
b − a
,
93]
§ 8. Неопределенный интеграл
287
так что − x)(b − x)
=
1
b − a
Z
dx a − x
−
Z
dx b − x
=
1
b − a log b − x a − Подставляя в (26), имеем b − x a − x
= (b − a)kt + (b − a)C
1
,
b − x a − x
= где C = e
(b−a)C
1
. Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда.
Предлагаем читателю разобрать случай a = b, когда предыдущие формулы теряют смысл.
Рис. Найти все кривые, пересекающие подданным постоянным углом радиусы- векторы, проведенные изначала координат) (рис. Пусть M (x, y) есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем = α − θ,
tg ω = tg (α − θ) =
tg α − tg θ
1 + tg α tg θ
=
y
′
−
y x
1 + y
′ y Обозначив для удобства вычислений tg ω =
1
a и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде x + yy
′
= a(y
′
x − или, умножив обе части на dx,
xdx + ydy = a(xdy − Вообще, углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[94
Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат x, y к полярным r, θ, приняв ось OX заполярную ось и начало координат O за полюс. Мы имеем [82]
x
2
+ y
2
= r
2
,
θ = arctg что дает xdx + ydy = rdr,
dθ =
1 1 +
y
2
x
2
d y
x
=
xdy − ydx x
2
+ Уравнение (27) перепишется после этого в виде = ar
2
dθ, или dr r
= Интегрируя, имеем log r = aθ + C
1
, те, где C = Полученные кривые называются логарифмическими спиралями 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Основные свойства определенного интеграла. Мы уже говорили, что определенный интеграл =
b
Z
a f (x)dx,
a < где (a, b) — конечный промежуток и f (x) — непрерывная в нем функция, есть предел сумм вида [87]
b
Z
a f (x)dx = lim n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x Этот предел надо понимать следующим образом при любом заданном положительном ε существует такое положительное число, что −
n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x k−1)
< ε
[94
Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат x, y к полярным r, θ, приняв ось OX заполярную ось и начало координат O за полюс. Мы имеем [82]
x
2
+ y
2
= r
2
,
θ = arctg что дает xdx + ydy = rdr,
dθ =
1 1 +
y
2
x
2
d y
x
=
xdy − ydx x
2
+ Уравнение (27) перепишется после этого в виде = ar
2
dθ, или dr r
= Интегрируя, имеем log r = aθ + C
1
, те, где C = Полученные кривые называются логарифмическими спиралями 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Основные свойства определенного интеграла. Мы уже говорили, что определенный интеграл =
b
Z
a f (x)dx,
a < где (a, b) — конечный промежуток и f (x) — непрерывная в нем функция, есть предел сумм вида [87]
b
Z
a f (x)dx = lim n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x Этот предел надо понимать следующим образом при любом заданном положительном ε существует такое положительное число, что −
n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x k−1)
< ε
94]
§ 9. Свойства определенного интеграла
289
при любом разбиении и выборе точек ξ
k из промежутков (x k−1,x если набольшая из (положительных) разностей x k
− x k−1
< Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любом выборе ξ
k и стремлении наибольшей из разностей x k
− x к нулю.
Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела) надо понимать так, как это указано выше (с помощь и В конце главы мы докажем существование упомянутого предела сумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования.
Мы предполагали, что нижний предел a интеграла меньше верхнего предела b. Если a = b, то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считать a
Z
a f (x)dx = Это равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему.
При a > b принимается следующее определение f (x)dx = −
a
Z
b f (В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше верхнего a и интеграл понимается обычным образом, как указано выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму, то для нее (a > b) мы получим a = x
0
> x
1
> x
2
> · · · > x k−1
> x k
> · · · > x n−1
> x n
= и все разносит (x k
− x k−1
) отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), те. будем считать
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения верхним пределом и b нижним, то промежуточные точки x надо будет считать в обратном порядке, ив сумме (2) все разности переменят знак. Эти соображения делают естественным определение) в том случае, когда a > Отметим еще очевидное равенство b
Z
a dx =
b
Z
a
1dx = b − Действительно, раз подынтегральная функция при всех x равна единице, то b
Z
a dx = lim[(x
1
− a) + (x
2
− x
1
) + (x
3
− x
2
) + · · · +
+ (x n−1
− x n−2
) + (b − x Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной (Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные равенствами (3) и (4).
I. Определенный интеграл с одинаковыми верхними нижним пределами считается равным нулю. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак f (x)dx = −
b
Z
a f (x)dx.
III. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования f (x)dx =
b
Z
a f (Это уже было выяснено в [87].
Z
a dx =
b
Z
a
1dx = b − Действительно, раз подынтегральная функция при всех x равна единице, то b
Z
a dx = lim[(x
1
− a) + (x
2
− x
1
) + (x
3
− x
2
) + · · · +
+ (x n−1
− x n−2
) + (b − x Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной (Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные равенствами (3) и (4).
I. Определенный интеграл с одинаковыми верхними нижним пределами считается равным нулю. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак f (x)dx = −
b
Z
a f (x)dx.
III. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования f (x)dx =
b
Z
a f (Это уже было выяснено в [87].
94]
§ 9. Свойства определенного интеграла. Если дан ряд чисел a, b, c, . . . , k, Уравнение вида y
′
ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами. расположенных в каком угодно порядке, то l
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (x)dx + · · · +
l
Z
k f (Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел a,
b, c, после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно число слагаемых.
Допустим сперва, что a < b < c. Из определения вытекает, что c
Z
a f (x)dx = lim n
X
l=1
f (ξ
i
)(x i
− x причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ни разбивали на части промежуток (a, c), лишь бы только наибольшая из разностей (x
1
− x i−1
) стремилась к нулю. Мы можем условиться разбивать промежуток (a, c) так, чтобы точка b, лежащая между a и c, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогда сумма n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x разобьется на две такого же типа, стой лишь разницею, что при составлении одной мы будем разбивать на части промежуток (a, при составлении же другой — промежуток (b, c), ипритом так, что в обоих случаях наибольшая из разностей (x i
− x i−1
) стремится к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к b
Z
a f (x)dx,
c
Z
b f (x)dx,
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[94
и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа (что и требовалось доказать.
Пусть теперь b лежит вне промежутка (a, c), например a < c < По доказанному сейчас мы можем написать b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (откуда c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
c f (Нов силу свойства II имеем f (x)dx =
c
Z
b f (те. опять c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, те. Свойства определенного интеграла
293
ибо b
Z
a
Af (x)dx = lim n
X
i=1
Af (ξ
i
)(x
1
− x i−1
) =
= A lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x i−1
) = A
b
Z
a f (x)dx.
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например (x) − ϕ(x)]dx = lim n
X
i=1
[f (ξ
i
) − ϕ(ξ
i
)](x i
− x i−1
) =
= lim n
X
i=1
f (ξ
1
)(x i
− x i−1
) − lim n
X
i=1
ϕ(ξ
i
)(x i
− x i−1
) =
=
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx.
∗
95. Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (a, b) функции) и ϕ(x) удовлетворяют условию f (x) 6 ϕ(x),
a 6 x 6 то и b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx
(b > короче говоря, неравенства можно интегрировать.
∗
Это верно в том случае если оба интеграла в правой части существуют.
Это утверждение является, фактически, следствием теоремы об арифметических действиях с пределами
96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
297
вынося знак (−) за знак интеграла и умножая обе части на (придем к формуле (Точно также, если b < a, то из предыдущего следует формула f (x)ϕ(x)dx = f (Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на, придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, во всей общности.
В частности, полагая ϕ(x) = 1, получим важный частный случай теоремы о среднем f (x)dx = f (ξ)
b
Z
a dx = f (ξ)(b − Значение определенного интеграла равно произведению длины промежутка интегрирования назначение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой пере- менной.
Рис. Если a > b, эту длину нужно взять со знаком (−). Геометрически предложение это равносильно тому, что, рассматривая площадь, ограниченную любой кривой, осью OX и двумя ординатами x = a, x = всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник стем же основанием (b − a) и с высотой,
равной одной из ординат кривой в промежутке (a, b) (рис. Нетрудно показать, что число ξ, входящее в формулу (11) или, всегда можно считать лежащим внутри промежутка (a, b).
96. Существование первообразной функции. VIII. Если верхний предел определенного интеграла есть величина перемен
[94
и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа (что и требовалось доказать.
Пусть теперь b лежит вне промежутка (a, c), например a < c < По доказанному сейчас мы можем написать b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (откуда c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
c f (Нов силу свойства II имеем f (x)dx =
c
Z
b f (те. опять c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, те. Свойства определенного интеграла
293
ибо b
Z
a
Af (x)dx = lim n
X
i=1
Af (ξ
i
)(x
1
− x i−1
) =
= A lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x i−1
) = A
b
Z
a f (x)dx.
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например (x) − ϕ(x)]dx = lim n
X
i=1
[f (ξ
i
) − ϕ(ξ
i
)](x i
− x i−1
) =
= lim n
X
i=1
f (ξ
1
)(x i
− x i−1
) − lim n
X
i=1
ϕ(ξ
i
)(x i
− x i−1
) =
=
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx.
∗
95. Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (a, b) функции) и ϕ(x) удовлетворяют условию f (x) 6 ϕ(x),
a 6 x 6 то и b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx
(b > короче говоря, неравенства можно интегрировать.
∗
Это верно в том случае если оба интеграла в правой части существуют.
Это утверждение является, фактически, следствием теоремы об арифметических действиях с пределами
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[95
Составим разность b
Z
a
ϕ(x)dx −
b
Z
a f (x)dx =
b
Z
a
[ϕ(x) − f(x)]dx =
= lim n
X
i=1
[ϕ(ξ
i
) − f(ξ
i
)](x i
− x В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, тоже можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит к неравенству (Приведем еще геометрическое пояснение сказанного. Допустим сперва, что обе кривые y = f (x),
y = Рис. лежат над осью OX (рис. Тогда фигура, ограниченная кривой, осью OX и ординатами и x = b, лежит целиком внутри аналогичной фигуры,
ограниченной кривой y = ϕ(x), а потому площадь первой фигуры не превосходит площади второй,
т. е f (x)dx Общий случай какого угодно расположения данных кривых относительно оси OX при сохранении условия (7) приводится к предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение прибавит к каждой функции f (x) и ϕ(x) одно и тоже слагаемое Легко показать, что если в (7) имеет место знак <, то ив) имеет знак <. Напомним, что функции f (x) и ϕ(x) считаются непрерывными. Свойства определенного интеграла
295
С лед ст в и е. Если в промежутке (a, b)
|f(x)| 6 ϕ(x) 6 то b
Z
a f (x)dx
6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − a),
b < В самом деле, условия (9) равносильны следующим 6 −ϕ(x) 6 f(x) 6 ϕ(x) 6 +Интегрируя эти неравенства в пределах от a до b (свойство VII) и пользуясь (5), получаем − a) 6 −
b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − что равносильно неравенствам (Полагая ϕ(x) = |f(x)|, получаем из (10) важное неравенство f (x)dx
6
b
Z
a
|f(x)|dx,
(10 которое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае,
когда f (x) не меняет знака в промежутке (a, Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема.
Т е орем а ос ред нем. Если функция ϕ(x) сохраняет знак в промежутке (a, b), то b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)
b
Z
a
ϕ(x)dx,
(11)
[95
Составим разность b
Z
a
ϕ(x)dx −
b
Z
a f (x)dx =
b
Z
a
[ϕ(x) − f(x)]dx =
= lim n
X
i=1
[ϕ(ξ
i
) − f(ξ
i
)](x i
− x В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, тоже можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит к неравенству (Приведем еще геометрическое пояснение сказанного. Допустим сперва, что обе кривые y = f (x),
y = Рис. лежат над осью OX (рис. Тогда фигура, ограниченная кривой, осью OX и ординатами и x = b, лежит целиком внутри аналогичной фигуры,
ограниченной кривой y = ϕ(x), а потому площадь первой фигуры не превосходит площади второй,
т. е f (x)dx Общий случай какого угодно расположения данных кривых относительно оси OX при сохранении условия (7) приводится к предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение прибавит к каждой функции f (x) и ϕ(x) одно и тоже слагаемое Легко показать, что если в (7) имеет место знак <, то ив) имеет знак <. Напомним, что функции f (x) и ϕ(x) считаются непрерывными. Свойства определенного интеграла
295
С лед ст в и е. Если в промежутке (a, b)
|f(x)| 6 ϕ(x) 6 то b
Z
a f (x)dx
6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − a),
b < В самом деле, условия (9) равносильны следующим 6 −ϕ(x) 6 f(x) 6 ϕ(x) 6 +Интегрируя эти неравенства в пределах от a до b (свойство VII) и пользуясь (5), получаем − a) 6 −
b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − что равносильно неравенствам (Полагая ϕ(x) = |f(x)|, получаем из (10) важное неравенство f (x)dx
6
b
Z
a
|f(x)|dx,
(10 которое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае,
когда f (x) не меняет знака в промежутке (a, Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема.
Т е орем а ос ред нем. Если функция ϕ(x) сохраняет знак в промежутке (a, b), то b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)
b
Z
a
ϕ(x)dx,
(11)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[95
где ξ есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (a, Будем для определенности считать ϕ(x) > 0 в промежутке (a, и обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) в промежутке (a, b). Так как, очевидно 6 f (x) 6 причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда f (x) постоянна) и ϕ(x) > 0, то mϕ(x) 6 f (x)ϕ(x) 6 M ив силу свойства VII, считая b > a,
m b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)ϕ(x)dx 6 Отсюда ясно, что существует такое число P , удовлетворяющее неравенству m 6 P 6 M , что b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = Так как функция f (x) непрерывна, она принимает в промежутке) все значения, лежащие между наименьшими наибольшим, в том числе и значение P [35]. Поэтому найдется такое значение ξ внутри промежутка (a, b), для которого f (ξ) = что и доказывает формулу (Если ϕ(x) 6 0 в промежутке (a, b), тов промежутке, b). Применяя к ней доказанную теорему, получим b
Z
a f (x)[−ϕ(x)]dx = f(ξ)
b
Z
a
[−ϕ(x)]dx;
[95
где ξ есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (a, Будем для определенности считать ϕ(x) > 0 в промежутке (a, и обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) в промежутке (a, b). Так как, очевидно 6 f (x) 6 причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда f (x) постоянна) и ϕ(x) > 0, то mϕ(x) 6 f (x)ϕ(x) 6 M ив силу свойства VII, считая b > a,
m b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)ϕ(x)dx 6 Отсюда ясно, что существует такое число P , удовлетворяющее неравенству m 6 P 6 M , что b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = Так как функция f (x) непрерывна, она принимает в промежутке) все значения, лежащие между наименьшими наибольшим, в том числе и значение P [35]. Поэтому найдется такое значение ξ внутри промежутка (a, b), для которого f (ξ) = что и доказывает формулу (Если ϕ(x) 6 0 в промежутке (a, b), тов промежутке, b). Применяя к ней доказанную теорему, получим b
Z
a f (x)[−ϕ(x)]dx = f(ξ)
b
Z
a
[−ϕ(x)]dx;
96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
297
вынося знак (−) за знак интеграла и умножая обе части на (придем к формуле (Точно также, если b < a, то из предыдущего следует формула f (x)ϕ(x)dx = f (Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на, придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, во всей общности.
В частности, полагая ϕ(x) = 1, получим важный частный случай теоремы о среднем f (x)dx = f (ξ)
b
Z
a dx = f (ξ)(b − Значение определенного интеграла равно произведению длины промежутка интегрирования назначение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой пере- менной.
Рис. Если a > b, эту длину нужно взять со знаком (−). Геометрически предложение это равносильно тому, что, рассматривая площадь, ограниченную любой кривой, осью OX и двумя ординатами x = a, x = всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник стем же основанием (b − a) и с высотой,
равной одной из ординат кривой в промежутке (a, b) (рис. Нетрудно показать, что число ξ, входящее в формулу (11) или, всегда можно считать лежащим внутри промежутка (a, b).
96. Существование первообразной функции. VIII. Если верхний предел определенного интеграла есть величина перемен
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[96
ная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
∗
Заметим, что величина интеграла b
Z
a f (x)dx приданной подынтегральной функции f (x) зависит от пределов интегрирования a и b. Рассмотрим интеграл x
Z
a f (t)dt с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в отличие от верхнего предела x. Величина этого интеграла будет функцией верхнего предела x:
F (x) =
x
Z
a f (и, надо доказать, что dF (x)
dx
= f (Для доказательства вычислим производную функцию F (x), исходя из определения производной [45]:
dF (x)
dx
= lim h→±0
F (x + h) − F (Мы имеем (x + h) =
x+h
Z
a f (t)dt =
x
Z
a f (t)dt +
x+h
Z
x f (Это утверждение справедливо, если подинтегральная функция является непрерывной
96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
299
(в силу свойства IV), откуда (x + h) = F (x) +
x+h
Z
x f (причем (a) =
a
Z
a f (t)dt = Применяя (13), имеем (x + h) − F (x) =
x+h
Z
x f (t)dt = f (где h может быть как положительным, таки отрицательным, если a < x < b; h > 0 при x = a и h < 0 при x = b. Число ξ принадлежит промежутку, концы которого суть x итак что если h стремится к нулю, то ξ стремится к x и f (ξ) — кв силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно следует, что F (x) — непрерывная функция прите. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, есть непрерывная функция в промежутке (a, b). Деля обе части последней формулы на h:
F (x + h) − F (x)
h
= f (и устремляя h к нулю (h → +0 при x = a и h → −0 при x = получим) =
dF (x)
dx
= lim
ξ→x f (ξ) = f (Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы уже говорили в Из предыдущего следует также, что. Всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразную функцию или неопределенный интеграл
97]
§ 9. Свойства определенного интеграла
301
Функция F (x), определенная формулой (14), обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами) = f (x) во всех точках (a, b), кроме x = c, и F (x) непрерывна во всем промежутке (a, b), включая x = Если точка c совпадает с одним из концов промежутка (a, надо рассматривать вместо двух только один из пределов (x)dx или lim
ε→+0
b−ε
Z
a f (Наконец, если точек разрыва c в промежутке (a, b) не одна, а несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из которых будет уже только по одной точке разрыва.
При сделанном выше соглашении о смысле символа b
Z
a f (x)dx свойство IX и формула (15)
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − будут наверно иметь место, если F
′
1
(x) = f (x) во всех точках, b), кроме x = c, и F
1
(x) непрерывна во всем промежутке (a, включая x = Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки разрыва c внутри промежутка (a, b), так как случай нескольких точек разрыва и случай, когда c = a или b, исследуются совершенно аналогичным образом.
Так как в промежутках (a, c − ε
′
), (c + ε
′′
, b) функция f (x) также непрерывна, ток этим промежутками применима формула (15), и
[96
ная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
∗
Заметим, что величина интеграла b
Z
a f (x)dx приданной подынтегральной функции f (x) зависит от пределов интегрирования a и b. Рассмотрим интеграл x
Z
a f (t)dt с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в отличие от верхнего предела x. Величина этого интеграла будет функцией верхнего предела x:
F (x) =
x
Z
a f (и, надо доказать, что dF (x)
dx
= f (Для доказательства вычислим производную функцию F (x), исходя из определения производной [45]:
dF (x)
dx
= lim h→±0
F (x + h) − F (Мы имеем (x + h) =
x+h
Z
a f (t)dt =
x
Z
a f (t)dt +
x+h
Z
x f (Это утверждение справедливо, если подинтегральная функция является непрерывной
96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
299
(в силу свойства IV), откуда (x + h) = F (x) +
x+h
Z
x f (причем (a) =
a
Z
a f (t)dt = Применяя (13), имеем (x + h) − F (x) =
x+h
Z
x f (t)dt = f (где h может быть как положительным, таки отрицательным, если a < x < b; h > 0 при x = a и h < 0 при x = b. Число ξ принадлежит промежутку, концы которого суть x итак что если h стремится к нулю, то ξ стремится к x и f (ξ) — кв силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно следует, что F (x) — непрерывная функция прите. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, есть непрерывная функция в промежутке (a, b). Деля обе части последней формулы на h:
F (x + h) − F (x)
h
= f (и устремляя h к нулю (h → +0 при x = a и h → −0 при x = получим) =
dF (x)
dx
= lim
ξ→x f (ξ) = f (Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы уже говорили в Из предыдущего следует также, что. Всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразную функцию или неопределенный интеграл
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
Функция (14) есть та первообразная функция для f (x), которая обращается в нуль при x = Если F
1
(x) есть одно из выражений первообразной функции,
то, как мы видели в [88],
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(a).
(15)
97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функция f (x) непрерывна во всем промежутке интегрирования (a, Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывных функций.
Если в промежутке (a, b) имеется точка c, в которой подынтегральная функция f (x) терпит разрывно при этом интегралы c−ε
′
Z
a f (x)dx,
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx
(a < стремятся к определенным пределам, когда положительные числа
ε
′
и стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции f (x), взятыми соответственно между пределами (a, c) и (c, b), те (если эти пределы существуют.
Мы положим в этом случае b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (x)dx.
[97
Функция (14) есть та первообразная функция для f (x), которая обращается в нуль при x = Если F
1
(x) есть одно из выражений первообразной функции,
то, как мы видели в [88],
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(a).
(15)
97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функция f (x) непрерывна во всем промежутке интегрирования (a, Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывных функций.
Если в промежутке (a, b) имеется точка c, в которой подынтегральная функция f (x) терпит разрывно при этом интегралы c−ε
′
Z
a f (x)dx,
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx
(a < стремятся к определенным пределам, когда положительные числа
ε
′
и стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции f (x), взятыми соответственно между пределами (a, c) и (c, b), те (если эти пределы существуют.
Мы положим в этом случае b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (x)dx.
97]
§ 9. Свойства определенного интеграла
301
Функция F (x), определенная формулой (14), обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами) = f (x) во всех точках (a, b), кроме x = c, и F (x) непрерывна во всем промежутке (a, b), включая x = Если точка c совпадает с одним из концов промежутка (a, надо рассматривать вместо двух только один из пределов (x)dx или lim
ε→+0
b−ε
Z
a f (Наконец, если точек разрыва c в промежутке (a, b) не одна, а несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из которых будет уже только по одной точке разрыва.
При сделанном выше соглашении о смысле символа b
Z
a f (x)dx свойство IX и формула (15)
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − будут наверно иметь место, если F
′
1
(x) = f (x) во всех точках, b), кроме x = c, и F
1
(x) непрерывна во всем промежутке (a, включая x = Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки разрыва c внутри промежутка (a, b), так как случай нескольких точек разрыва и случай, когда c = a или b, исследуются совершенно аналогичным образом.
Так как в промежутках (a, c − ε
′
), (c + ε
′′
, b) функция f (x) также непрерывна, ток этим промежутками применима формула (15), и
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
мы имеем c−ε
′
Z
a f (x)dx = F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a),
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(c + В силу непрерывности F
1
(x) мы можем написать c
Z
a f (x)dx = lim
ε
′
→+0
[F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a)] = F
1
(c) − F
1
(a),
b
Z
c f (x)dx = lim
ε
′′
→+0
[F
1
(b) − F
1
(c + ε
′′
)] = F
1
(b) − те Рис. что и требовалось доказать.
С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается всегда,
когда кривая y = f (x) имеет разрыв в точке, но так, что площадь кривой все же существует. Рассмотрим, например, график функции, определенной следующим образом (x) =
x
2
+
1 при 6 x < 2,
f (x) = x при 6 x 6 рис. 124). Площадь, ограниченная этой кривой, осью OX, ординатой x = 0 и переменной ординатой x = x
1
, есть
97]
§ 9. Свойства определенного интеграла
[97
мы имеем c−ε
′
Z
a f (x)dx = F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a),
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(c + В силу непрерывности F
1
(x) мы можем написать c
Z
a f (x)dx = lim
ε
′
→+0
[F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a)] = F
1
(c) − F
1
(a),
b
Z
c f (x)dx = lim
ε
′′
→+0
[F
1
(b) − F
1
(c + ε
′′
)] = F
1
(b) − те Рис. что и требовалось доказать.
С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается всегда,
когда кривая y = f (x) имеет разрыв в точке, но так, что площадь кривой все же существует. Рассмотрим, например, график функции, определенной следующим образом (x) =
x
2
+
1 при 6 x < 2,
f (x) = x при 6 x 6 рис. 124). Площадь, ограниченная этой кривой, осью OX, ординатой x = 0 и переменной ординатой x = x
1
, есть
97]
§ 9. Свойства определенного интеграла
1 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 ... 43
303
непрерывная функция от x, несмотря на то, что функция f (x) терпит разрыв при x = 2. С другой стороны, нетрудно найти первообразную функцию для f (x), которая была бы непрерывна во всем промежутке, 3). Это будет, например функция F
1
(x), определяемая следующим образом при 6 x 6 2,
F
1
(x) =
x
2 при 6 x 6 Действительно, дифференцируя, убеждаемся, что) =
x
2
+
1 в промежутке (0, 2) ив промежутке (2, 3). Кроме того, оба написанных выражения F
1
(x) придают одну и туже величину что и обеспечивает непрерывность F
1
(x). Площадь, ограниченная нашей кривой, осью OX и ординатами x = 0, x = 3, выразится формулой (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx = F
1
(3) − F
1
(0) =
9 в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.
Рис. Рассмотрим еще функцию y = рис. 125). Она обращается в бесконечность при x = 0, но ее первообразная функция остается
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
непрерывной при этом значении x, а потому можем написать = 3x
1/3
+1
−1
= другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении x к нулю уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную площадь между ординатами x = −1 и x = Для функции
1
x
2
первообразная функция обращается сама в бесконечность при x = 0, формула (15) неприменима к этой функции в том случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка (a, b); кривая
1
x
2
в таком промежутке конечной площади не имеет.
Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечном промежутке (a, b) в некоторых случаях имеют смысли непосредственно, как пределы сумм, указанных вначале. Это будет иметь, например, место в том случае, когда f (x) имеет конечное число точек разрыва в промежутке (a, b) и ограничена в нем, т. е.
существует такое положительное число M , что |f(x)| < M при всех x из (a, b). Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину интеграла. Мы будем говорить об этом в [116]. Если же функция не ограничена, те принимает сколь угодно большие значения, то непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125. Здесь необходимо определять интеграл как интеграл по укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу 3
dx = lim
ε
′
→−0
ε
′
Z
−1
x
−
2 3
dx + lim
ε
′′
→+0 1
Z
ε
′′
x
−
2 Такие интегралы называются обычно несобственными.
Для функции
1
x
2
не существует конечного предела lim
ε→+0 1
Z
ε
1
x
2
dx = +∞.
[97
непрерывной при этом значении x, а потому можем написать = 3x
1/3
+1
−1
= другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении x к нулю уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную площадь между ординатами x = −1 и x = Для функции
1
x
2
первообразная функция обращается сама в бесконечность при x = 0, формула (15) неприменима к этой функции в том случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка (a, b); кривая
1
x
2
в таком промежутке конечной площади не имеет.
Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечном промежутке (a, b) в некоторых случаях имеют смысли непосредственно, как пределы сумм, указанных вначале. Это будет иметь, например, место в том случае, когда f (x) имеет конечное число точек разрыва в промежутке (a, b) и ограничена в нем, т. е.
существует такое положительное число M , что |f(x)| < M при всех x из (a, b). Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину интеграла. Мы будем говорить об этом в [116]. Если же функция не ограничена, те принимает сколь угодно большие значения, то непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125. Здесь необходимо определять интеграл как интеграл по укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу 3
dx = lim
ε
′
→−0
ε
′
Z
−1
x
−
2 3
dx + lim
ε
′′
→+0 1
Z
ε
′′
x
−
2 Такие интегралы называются обычно несобственными.
Для функции
1
x
2
не существует конечного предела lim
ε→+0 1
Z
ε
1
x
2
dx = +∞.
98]
§ 9. Свойства определенного интеграла
305
Такие интегралы называются расходящимися. Указанный выше интеграл от называется сходящимся, поскольку указанные выше пределы при ε
′
→ −0 и ε
′′
→ +0 существуют.
В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы по бесконечному промежутку. В этом последнем случае непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и интеграл по существу несобственный. Бесконечные пределы. Предыдущие рассуждения можно распространить и на случай бесконечного промежутка и положить f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (x)dx,
(16)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
b
Z
a f (если эти пределы существуют.
Условие это наверно выполнено, если первообразная функция) стремится к определенным пределам, когда x стремится кили к (−∞). Обозначив эти пределы просто через F
1
(+∞) и, будем иметь f (x)dx = lim b→+∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(+∞) − F
1
(a),
(18)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(b) − F
1
(−∞),
(19)
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
a
Z
−∞
f (x)dx +
∞
Z
a f (x)dx = F
1
(+∞) − что и является обобщением формулы (15) на случай бесконечного промежутка
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[99
Часто соотношение (16) пишут в виде f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (Сточки зрения геометрической, при выполнении предыдущего условия можно сказать, что бесконечная ветвь кривой y = f (которая соответствует x → ±∞, имеет площадь.
Если пределы (16) или (17) существуют, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся или что это — сходящиеся интегралы. В противном случае говорят, что интегралы расходятся.
П р им ер. Кривая y =
1 1+x
2
, уходящая в бесконечность при x = все же ограничивает с осью OX конечную площадь (рис. 126), так как + x
2
= arctg x
+∞
−∞
=
π
2
−
−
π
2
= При вычислении этого интеграла следует помнить, что для функции arctg x нужно брать нелюбое значение этой многозначной функции, а именно то, которое было определено в [24], для того чтобы она сделалась
Рис. однозначной, те. между ив противном случае предыдущая формула теряет смысл. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть f(x) — непрерывна в промежутке (a, b) или даже в более широком промежутке (A, B), о котором будет сказано ниже
99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
307
Пусть далее функция ϕ(t) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную ϕ
′
(t) в промежутке (α, β), причем) = a и ϕ(β) = Положим далее, что значения ϕ(t) при изменении t в промежутке) не выходят из промежутка (a, b) или из того более широкого промежутка (A, B), в котором f (x) — непрерывна. При этом сложная функция f [ϕ(t)] есть непрерывная функция t в промежутке, При высказанных предположениях, если ввести вместо x новую переменную интегрирования t:
x = то определенный интеграл преобразуется по формуле b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f В самом деле, введем вместо рассматриваемых интегралов — интегралы с переменными пределами (x) =
x
Z
a f (y)dy,
Ψ(t) =
t
Z
α
f В силу (22) F (x) есть сложная функция t:
F (x) = F [ϕ(t)] =
ϕ(t)
Z
a f (Вычисляя ее производную по правилу дифференцирования сложных функций, имеем dF (x)
dt
=
dF (x)
dx dx dt
,
99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
309
Тогда пределы α и β определяются сразу по формулам = ψ(a),
β = но нужно здесь иметь ввиду, что выражение (22) для x, которое получим, если решим уравнение (24) относительно x, должно удовлетворять всем указанным выше условиям, в частности, функция) должна быть однозначной функцией от t. Если это свойство) не соблюдено, то формула (23) может оказаться неверной.
Введя в интеграле = вместо x новую независимую переменную t по формуле t = в правой части формулы (23) получим интеграл с одинаковыми пределами, равный, следовательно, нулю, что невозможно. Ошибка происходит вследствие того, что выражение x через t:
x = ±
√
t есть функция многозначная.
П р им ер. Функция f (x) называется четной функцией x, если f (−x) = f(x), и нечетной функцией, если f(−x) = −f(x). Например x есть четная функция и sin x — нечетная.
Покажем, что f (x)dx = 2
a
Z
0
f (если f (x) — четная, и f (x)dx = если f (x) — нечетная.
Разобьем интеграл на два [94, IV]:
+a
Z
−a f (x)dx =
0
Z
−a f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx.
100]
§ 9. Свойства определенного интеграла
311
что и дает формулу (25). Считается, конечно, что u(x) и v(x) имеют непрерывные производные в промежутке (a, Пример. Вычислить интегралы n
xdx,
π/2
Z
0
cos Положим Интегрируя по частям, имеем n−1
x sin xdx = −
π/2
Z
0
sin n−1
xd cos x =
= − sin n−1
x cos x
π/2 0
+
π/2
Z
0
(n − 1) sin n−2
x cos x · cos xdx =
= (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x cos
2
xdx = (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x(1 − sin
2
x)dx =
=(n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
xdx − (n − 1)
π/2
Z
0
sin n
xdx=(n − 1)I
n−2
− (n − те откуда, решая относительно I
n
:
I
n
=
n − Формула эта называется формулой приведения, так как приводит вычисление интеграла I
n к такому же интегралу, нос меньшим значком − Различим теперь два случая в зависимости оттого, если n число четное или нечетное
101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
313
Объединяя полученные результаты, можем написать xdx =
π/2
Z
0
cos
2k xdx =
(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2
,
(27)
π/2
Z
0
sin
2k+1
xdx =
π/2
Z
0
cos
2k+1
xdx =
2k(2k − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
(28)
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ
ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Вычисление площадей. Мы переходим к приложениям понятия определенного интеграла к вычислению площадей, объемов и длин дуг. При этом мы будем руководствоваться во многом наглядными соображениями. Точное определение площади и объема с разных точек зрения будет нами дано в последующих томах.
В [87] мы видели, что площадь, ограниченная кривой y = f (осью OX и двумя ординатами x = a и x = b, выражается определенным интегралом b
Z
a f (x)dx
(a < Этот интеграл, как мы видели, дает алгебраическую сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью входит со знаком (−). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно вычислить Так, сумма заштрихованных на рис. 127 площадей равна c
Z
a f (x)dx −
g
Z
c f (x)dx +
h
Z
g f (x)dx −
k
Z
h f (x)dx +
b
Z
k f (x)dx.
[99
Часто соотношение (16) пишут в виде f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (Сточки зрения геометрической, при выполнении предыдущего условия можно сказать, что бесконечная ветвь кривой y = f (которая соответствует x → ±∞, имеет площадь.
Если пределы (16) или (17) существуют, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся или что это — сходящиеся интегралы. В противном случае говорят, что интегралы расходятся.
П р им ер. Кривая y =
1 1+x
2
, уходящая в бесконечность при x = все же ограничивает с осью OX конечную площадь (рис. 126), так как + x
2
= arctg x
+∞
−∞
=
π
2
−
−
π
2
= При вычислении этого интеграла следует помнить, что для функции arctg x нужно брать нелюбое значение этой многозначной функции, а именно то, которое было определено в [24], для того чтобы она сделалась
Рис. однозначной, те. между ив противном случае предыдущая формула теряет смысл. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть f(x) — непрерывна в промежутке (a, b) или даже в более широком промежутке (A, B), о котором будет сказано ниже
99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
307
Пусть далее функция ϕ(t) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную ϕ
′
(t) в промежутке (α, β), причем) = a и ϕ(β) = Положим далее, что значения ϕ(t) при изменении t в промежутке) не выходят из промежутка (a, b) или из того более широкого промежутка (A, B), в котором f (x) — непрерывна. При этом сложная функция f [ϕ(t)] есть непрерывная функция t в промежутке, При высказанных предположениях, если ввести вместо x новую переменную интегрирования t:
x = то определенный интеграл преобразуется по формуле b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f В самом деле, введем вместо рассматриваемых интегралов — интегралы с переменными пределами (x) =
x
Z
a f (y)dy,
Ψ(t) =
t
Z
α
f В силу (22) F (x) есть сложная функция t:
F (x) = F [ϕ(t)] =
ϕ(t)
Z
a f (Вычисляя ее производную по правилу дифференцирования сложных функций, имеем dF (x)
dt
=
dF (x)
dx dx dt
,
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[99
но, в силу свойства VIII [96],
dF (x)
dx
= f (из формулы же (22) следует dx dt
= откуда dF (x)
dt
= f (x)ϕ
′
(t) = f Вычислим теперь производную от функции Ψ(t). В силу свойства и сделанных нами предположений имеем dΨ(t)
dt
= f Функции Ψ(t) и F (x), рассматриваемые как функции от t, имеют, таким образом, одинаковые производные в промежутке (α, а потому [89] могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, но примы имеем x = ϕ(α) = a,
F (x)
t=α
= F (a) = 0,
Ψ(α) = те. эти две функции равны при t = α а потому и при всех значениях t в промежутке (α, β). В частности, при t = β имеем (x)
t=β
= F (b) =
b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f что и требовалось доказать.
Весьма часто вместо подстановки (22):
x = употребляют обратную t = ψ(x).
(24)
[99
но, в силу свойства VIII [96],
dF (x)
dx
= f (из формулы же (22) следует dx dt
= откуда dF (x)
dt
= f (x)ϕ
′
(t) = f Вычислим теперь производную от функции Ψ(t). В силу свойства и сделанных нами предположений имеем dΨ(t)
dt
= f Функции Ψ(t) и F (x), рассматриваемые как функции от t, имеют, таким образом, одинаковые производные в промежутке (α, а потому [89] могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, но примы имеем x = ϕ(α) = a,
F (x)
t=α
= F (a) = 0,
Ψ(α) = те. эти две функции равны при t = α а потому и при всех значениях t в промежутке (α, β). В частности, при t = β имеем (x)
t=β
= F (b) =
b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f что и требовалось доказать.
Весьма часто вместо подстановки (22):
x = употребляют обратную t = ψ(x).
(24)
99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
309
Тогда пределы α и β определяются сразу по формулам = ψ(a),
β = но нужно здесь иметь ввиду, что выражение (22) для x, которое получим, если решим уравнение (24) относительно x, должно удовлетворять всем указанным выше условиям, в частности, функция) должна быть однозначной функцией от t. Если это свойство) не соблюдено, то формула (23) может оказаться неверной.
Введя в интеграле = вместо x новую независимую переменную t по формуле t = в правой части формулы (23) получим интеграл с одинаковыми пределами, равный, следовательно, нулю, что невозможно. Ошибка происходит вследствие того, что выражение x через t:
x = ±
√
t есть функция многозначная.
П р им ер. Функция f (x) называется четной функцией x, если f (−x) = f(x), и нечетной функцией, если f(−x) = −f(x). Например x есть четная функция и sin x — нечетная.
Покажем, что f (x)dx = 2
a
Z
0
f (если f (x) — четная, и f (x)dx = если f (x) — нечетная.
Разобьем интеграл на два [94, IV]:
+a
Z
−a f (x)dx =
0
Z
−a f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[100
В первом интеграле совершим замену переменной x = −t и воспользуемся свойствами II и III [94]:
0
Z
−a f (x)dx = −
0
Z
a f (−t)dt =
a
Z
0
f (−t)dt =
a
Z
0
f (откуда, подставляя в предыдущую формулу f (x)dx =
a
Z
0
f (−x)dx +
a
Z
0
f (x)dx =
a
Z
0
[f (−x) + Если f (x) — четная функция, то сумма [f (−x) + f(x)] равна 2f(x), а если f (x) — нечетная, то эта сумма равна нулю, что и доказывает наше утверждение. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям [91] для определенных интегралов может быть написана в виде u(x)dv(x) = u(x)v(x)
b a
−
b
Z
a Действительно, интегрируя почленно тождество [91]
u(x)dv(x) = d[u(x)v(x)] − получим b
Z
a u(x)dv(x) =
b
Z
a d[u(x)v(x)] −
b
Z
a тов силу свойства IX [96],
b
Z
a d[u(x)v(x)] =
b
Z
a d[u(x)v(x)]
dx dx = u(x)v(x)
b a
,
[100
В первом интеграле совершим замену переменной x = −t и воспользуемся свойствами II и III [94]:
0
Z
−a f (x)dx = −
0
Z
a f (−t)dt =
a
Z
0
f (−t)dt =
a
Z
0
f (откуда, подставляя в предыдущую формулу f (x)dx =
a
Z
0
f (−x)dx +
a
Z
0
f (x)dx =
a
Z
0
[f (−x) + Если f (x) — четная функция, то сумма [f (−x) + f(x)] равна 2f(x), а если f (x) — нечетная, то эта сумма равна нулю, что и доказывает наше утверждение. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям [91] для определенных интегралов может быть написана в виде u(x)dv(x) = u(x)v(x)
b a
−
b
Z
a Действительно, интегрируя почленно тождество [91]
u(x)dv(x) = d[u(x)v(x)] − получим b
Z
a u(x)dv(x) =
b
Z
a d[u(x)v(x)] −
b
Z
a тов силу свойства IX [96],
b
Z
a d[u(x)v(x)] =
b
Z
a d[u(x)v(x)]
dx dx = u(x)v(x)
b a
,
100]
§ 9. Свойства определенного интеграла
311
что и дает формулу (25). Считается, конечно, что u(x) и v(x) имеют непрерывные производные в промежутке (a, Пример. Вычислить интегралы n
xdx,
π/2
Z
0
cos Положим Интегрируя по частям, имеем n−1
x sin xdx = −
π/2
Z
0
sin n−1
xd cos x =
= − sin n−1
x cos x
π/2 0
+
π/2
Z
0
(n − 1) sin n−2
x cos x · cos xdx =
= (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x cos
2
xdx = (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x(1 − sin
2
x)dx =
=(n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
xdx − (n − 1)
π/2
Z
0
sin n
xdx=(n − 1)I
n−2
− (n − те откуда, решая относительно I
n
:
I
n
=
n − Формула эта называется формулой приведения, так как приводит вычисление интеграла I
n к такому же интегралу, нос меньшим значком − Различим теперь два случая в зависимости оттого, если n число четное или нечетное
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 1. n = 2k (четное. Имеем, в силу (26),
I
2k
=
2k − 1 2k
I
2k−2
=
(2k − 1)(2k − 3)
2k · (2k − 2)
I
2k−4
= . . . =
(2k − 1)(2k − 3 . . . 3) · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · итак как то окончательно − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2 2. n = 2k + 1 (нечетное. Аналогично предыдущему находим − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
I
1
,
I
1
=
π/2
Z
0
sin xdx = − cos x
π/2 0
= а потому − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · Интеграл n
xdx можно вычислить таким же путем, но проще привести его к предыдущему, заметив, что n
xdx =
π/2
Z
0
sin n
π
2
− откуда, положив x = t,
x =
π
2
− на основании формулы (23) и свойства II [94], имеем n
xdx = −
0
Z
π/2
sin n
tdt =
π/2
Z
0
sin n
tdt.
I
2k
=
2k − 1 2k
I
2k−2
=
(2k − 1)(2k − 3)
2k · (2k − 2)
I
2k−4
= . . . =
(2k − 1)(2k − 3 . . . 3) · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · итак как то окончательно − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2 2. n = 2k + 1 (нечетное. Аналогично предыдущему находим − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
I
1
,
I
1
=
π/2
Z
0
sin xdx = − cos x
π/2 0
= а потому − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · Интеграл n
xdx можно вычислить таким же путем, но проще привести его к предыдущему, заметив, что n
xdx =
π/2
Z
0
sin n
π
2
− откуда, положив x = t,
x =
π
2
− на основании формулы (23) и свойства II [94], имеем n
xdx = −
0
Z
π/2
sin n
tdt =
π/2
Z
0
sin n
tdt.
101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
313
Объединяя полученные результаты, можем написать xdx =
π/2
Z
0
cos
2k xdx =
(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2
,
(27)
π/2
Z
0
sin
2k+1
xdx =
π/2
Z
0
cos
2k+1
xdx =
2k(2k − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
(28)
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ
ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Вычисление площадей. Мы переходим к приложениям понятия определенного интеграла к вычислению площадей, объемов и длин дуг. При этом мы будем руководствоваться во многом наглядными соображениями. Точное определение площади и объема с разных точек зрения будет нами дано в последующих томах.
В [87] мы видели, что площадь, ограниченная кривой y = f (осью OX и двумя ординатами x = a и x = b, выражается определенным интегралом b
Z
a f (x)dx
(a < Этот интеграл, как мы видели, дает алгебраическую сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью входит со знаком (−). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно вычислить Так, сумма заштрихованных на рис. 127 площадей равна c
Z
a f (x)dx −
g
Z
c f (x)dx +
h
Z
g f (x)dx −
k
Z
h f (x)dx +
b
Z
k f (x)dx.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[101
Рис. Площадь, заключенная между двумя кривыми y = f (x),
y = и двумя ординатами x = a,
x = в том случае, когда одна кривая лежит над другой, те в промежутке (a, b), выражается определенным интегралом b
Z
a
[f (x) − Рис. Допустим сперва, что обе кривые лежат над осью OX. Непосредственно из рис. 128 видно, что искомая площадь S равна разности площадей, ограниченных данными кривыми с осью OX
S =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx =
=
b
Z
a
[f (x) − что и требовалось доказать. Общий случай какого угодно расположения кривых относительно оси OX приводится к разобранному
101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
315
если передвинуть ось OX настолько книзу, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение равносильно прибавлению к обеим функциями) одного итого же постоянного слагаемого, причем разность f (x) − ϕ(x) остается без изменения.
Предлагаем в виде упражнения доказать, что если данные две кривые пересекаются так, что одна кривя лежит частью ниже,
а частью выше другой, то сумма площадей, лежащих между ними и ординатами x = a, x = b, равна b
Z
a
|f(x) − Часто вычисление определенного интеграла называют квадратурой. Это связано стем, что определение площади, как указано выше, сводится к вычислению определенного интеграла.
П р им еры. Площадь, ограниченная параболой второй степени y = ax
2
+ bx + осью OX и двумя ординатами, расстояние между которыми есть h, равна h
6
(y
1
+ y
2
+ Рис. где и означают крайние ординаты кривой, y
0
— ординату, равноотстоящую от крайних.
При этом предполагается, что кривая лежит над осью При доказательстве формулы (4) мы можем, не ограничивая общности, считать, что крайняя ордината слева направлена по оси (рис. 129), так как передвижение всего чертежа параллельно осине изменяет ни величины рассматриваемой площади, ни взаимного расположения крайних и средней ординат, ни величин этих ординат.
Но при этом предположении, допустив, что уравнение параболы имеет вид y = ax
2
+
[101
Рис. Площадь, заключенная между двумя кривыми y = f (x),
y = и двумя ординатами x = a,
x = в том случае, когда одна кривая лежит над другой, те в промежутке (a, b), выражается определенным интегралом b
Z
a
[f (x) − Рис. Допустим сперва, что обе кривые лежат над осью OX. Непосредственно из рис. 128 видно, что искомая площадь S равна разности площадей, ограниченных данными кривыми с осью OX
S =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx =
=
b
Z
a
[f (x) − что и требовалось доказать. Общий случай какого угодно расположения кривых относительно оси OX приводится к разобранному
101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
315
если передвинуть ось OX настолько книзу, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение равносильно прибавлению к обеим функциями) одного итого же постоянного слагаемого, причем разность f (x) − ϕ(x) остается без изменения.
Предлагаем в виде упражнения доказать, что если данные две кривые пересекаются так, что одна кривя лежит частью ниже,
а частью выше другой, то сумма площадей, лежащих между ними и ординатами x = a, x = b, равна b
Z
a
|f(x) − Часто вычисление определенного интеграла называют квадратурой. Это связано стем, что определение площади, как указано выше, сводится к вычислению определенного интеграла.
П р им еры. Площадь, ограниченная параболой второй степени y = ax
2
+ bx + осью OX и двумя ординатами, расстояние между которыми есть h, равна h
6
(y
1
+ y
2
+ Рис. где и означают крайние ординаты кривой, y
0
— ординату, равноотстоящую от крайних.
При этом предполагается, что кривая лежит над осью При доказательстве формулы (4) мы можем, не ограничивая общности, считать, что крайняя ордината слева направлена по оси (рис. 129), так как передвижение всего чертежа параллельно осине изменяет ни величины рассматриваемой площади, ни взаимного расположения крайних и средней ординат, ни величин этих ординат.
Но при этом предположении, допустив, что уравнение параболы имеет вид y = ax
2
+
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения + мы выразим искомую площадь S в виде определенного интеграла =
h
Z
0
(ax
2
+ bx + c)dx = a x
3 3
+ b x
2 2
+ cx h
0
=
= a h
3 3
+ b h
2 2
+ ch =
h
6
(2ah
2
+ 3bh + При наших обозначениях мы имеем y
0
= ax
2
+ bx + c x=
h
2
=
1 4
ah
2
+
1 2
bh + c,
y
1
= ax
2
+ bx + c x=0
= c,
y
2
= ax
2
+ bx + c x=h
= ah
2
+ bh + откуда следует y
1
+ y
2
+ 4y
0
= 2ah
2
+ 3bh + что и доказывает наше утверждение.
2.
Площадь эллипса. Эллипс, уравнение которого x
2
a
2
+
y
2
b
2
= симметричен относительно координатных осей, а потому искомая площадь равна учетверенной площади той части эллипса, которая лежит в первом координатном углу, те Рис. рис. 130). Вместо того, чтобы определить y из уравнения эллипса и подставить полученное выражение и подынтегральную функцию, мы воспользуемся параметрическим представлением эллипса = a cos t,
y = b sin и введем вместо x новую переменную t; y выразится тогда сразу вторым из уравнений (5). Когда x меняется от
102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 0 до a, t меняется от
π
2
до 0, итак как все условия правила замены переменных [99] в данном случае выполнены, то = 4 0
Z
π/2
b sin t d(a cos t) = −4ab
0
Z
π/2
sin
2
tdt = По формуле (27) [100] примы имеем =
1 откуда находим окончательно = При a = b, когда эллипс обращается вкруг радиуса a, получим известное выражение для площади круга.
Рис. Вычислить площадь, заключенную между двумя кривыми y = x
2
,
x = Данные кривые (рис. 131) пересекаются в двух точках (0, 0), (1, 1), координаты которых мы получим, решая совместно уравнения этих кривых. Так как в промежутке (0, 1) имеем, то искомая площадь S в силу (2) выражается формулой =
1
Z
0
√
x − x
2
dx =
2 3
x
3/2
−
x
3 3
1 0
=
1 3
102. Площадь сектора. Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах есть r = f (и двумя радиусами-векторами
θ = α,
θ = β,
(8)
h
Z
0
(ax
2
+ bx + c)dx = a x
3 3
+ b x
2 2
+ cx h
0
=
= a h
3 3
+ b h
2 2
+ ch =
h
6
(2ah
2
+ 3bh + При наших обозначениях мы имеем y
0
= ax
2
+ bx + c x=
h
2
=
1 4
ah
2
+
1 2
bh + c,
y
1
= ax
2
+ bx + c x=0
= c,
y
2
= ax
2
+ bx + c x=h
= ah
2
+ bh + откуда следует y
1
+ y
2
+ 4y
0
= 2ah
2
+ 3bh + что и доказывает наше утверждение.
2.
Площадь эллипса. Эллипс, уравнение которого x
2
a
2
+
y
2
b
2
= симметричен относительно координатных осей, а потому искомая площадь равна учетверенной площади той части эллипса, которая лежит в первом координатном углу, те Рис. рис. 130). Вместо того, чтобы определить y из уравнения эллипса и подставить полученное выражение и подынтегральную функцию, мы воспользуемся параметрическим представлением эллипса = a cos t,
y = b sin и введем вместо x новую переменную t; y выразится тогда сразу вторым из уравнений (5). Когда x меняется от
102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 0 до a, t меняется от
π
2
до 0, итак как все условия правила замены переменных [99] в данном случае выполнены, то = 4 0
Z
π/2
b sin t d(a cos t) = −4ab
0
Z
π/2
sin
2
tdt = По формуле (27) [100] примы имеем =
1 откуда находим окончательно = При a = b, когда эллипс обращается вкруг радиуса a, получим известное выражение для площади круга.
Рис. Вычислить площадь, заключенную между двумя кривыми y = x
2
,
x = Данные кривые (рис. 131) пересекаются в двух точках (0, 0), (1, 1), координаты которых мы получим, решая совместно уравнения этих кривых. Так как в промежутке (0, 1) имеем, то искомая площадь S в силу (2) выражается формулой =
1
Z
0
√
x − x
2
dx =
2 3
x
3/2
−
x
3 3
1 0
=
1 3
102. Площадь сектора. Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах есть r = f (и двумя радиусами-векторами
θ = α,
θ = β,
(8)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[102
проведенными из полюса под углами α и β к полярной оси, выражается формулой =
β
Z
α
1 2
r
2
dθ =
1 2
β
Z
α
[f (Для вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь
(рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусами-
Рис. векторами (8) на n частей. Рассмотрим площадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами θ и θ + Обозначив через ∆S его площадь, через и M — наименьшее и наибольшее значения функции r = f (θ) в промежутке, мы видим, что заключается между площадями двух круговых секторов того же растворения, но радиусов m и M , те а потому, обозначив через P некоторое число, лежащее между m и , можем написать =
1 Так как непрерывная функция f (θ) в промежутке (θ, θ + принимает все значения между m и M , тов этом промежутке наверное найдется такое значение θ
′
, при котором f (θ
′
) = а тогда =
1 2
[f (Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов так, что наибольшее из значений ∆θ стремится к нулю, и если
102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
319
вспомним сказанное в [87], тов пределе получим = lim
X
1 2
[f (θ
′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 2
[f (θ)]
2
dθ =
1 что и требовалось доказать.
Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы) заключается в замене площади сектора ∆S площадью кругового сектора того же растворения ∆θ и радиуса f (θ
′
). Приняв вместо точного выражения (10) приближенное =
1 где r = f (θ
′′
) и θ
′′
— любое значение из промежутка (θ, θ + ∆θ), для площади этого сектора мы получим в пределе тот же результат 2
[f (θ
′′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (получает простой геометрический смысл 2
r
2
dθ есть приближен-
Рис. 133.
ное выражение площади элементарного сектора растворения и потому называется просто элементом площади в полярных коор- динатах.
П р им ер. Найти площадь,
ограниченную замкнутой кривой Кривая эта, построение которой по точкам не представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле i
− x i−1
)
2
+ [f (x i
) − f(x Пользуясь формулой конечных приращений f (x i
) − f(x i−1
) = f
′
(ξ
i
)(x i
− x i−1
) (x i−1
< ξ
i
< x получим для длины отдельной стороны ломаной выражение q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x из которого мы видим, что требование того, чтобы наибольшая из сторон стремилась к нулю, равносильно требованию, чтобы наибольшая из разностей (x i
−x i−1
) стремилась к нулю. Для периметра ломаной получаем выражение p =
n
X
i=1
q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x а оно действительно имеет предел, равный интегралу b
Z
a q
1 + Таким образом, длина l дуги AB выражается формулой l =
b
Z
a q
1 + Пусть x
′
< x
′′
— какие-либо два значения из промежутка (a, b), аи M
′′
— соответствующие точки на дуге AB. Применяя теорему о среднем, получаем следующую формулу для длины дуги M
′
M
′′
:
l
′
=
x
′′
Z
x
′
q
1 + f
′
2
(x)dx =
q
1 + f
′
2
(ξ
1
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
1
< x
′′
).
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
323
Можно показать, что требование того, чтобы наибольшая из сторон ломаной стремилась к нулю, равносильно требованию того, чтобы наибольшая из разностей (t i
− t i−1
) стремилась к нулю. Это может быть доказано и без предположения существования производных) и Выражение (13) отличается от суммы, дающей в пределе интеграл+ ввиду того, что аргументы τ
i и τ
′
i
, вообще говоря, различны.
Введем сумму q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)(t i
− t которая в пределе дает интеграл (14). Для того чтобы доказать, что и сумма (13) стремится к пределу (14), надо показать, что разность p − q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) −
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)
(t i
− t стремится к нулю.
Умножая и деля на сумму радикалов, получим p − q =
n
X
i=1
ψ
′
(τ
′
i
) + ψ
′
(τ
i
)
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)
×
× [ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)](t i
− t Так как) + ψ
′
(τ
i
)] 6
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + то − q| 6
n
X
i=1
|ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|(t i
− t i−1
).
[102
проведенными из полюса под углами α и β к полярной оси, выражается формулой =
β
Z
α
1 2
r
2
dθ =
1 2
β
Z
α
[f (Для вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь
(рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусами-
Рис. векторами (8) на n частей. Рассмотрим площадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами θ и θ + Обозначив через ∆S его площадь, через и M — наименьшее и наибольшее значения функции r = f (θ) в промежутке, мы видим, что заключается между площадями двух круговых секторов того же растворения, но радиусов m и M , те а потому, обозначив через P некоторое число, лежащее между m и , можем написать =
1 Так как непрерывная функция f (θ) в промежутке (θ, θ + принимает все значения между m и M , тов этом промежутке наверное найдется такое значение θ
′
, при котором f (θ
′
) = а тогда =
1 2
[f (Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов так, что наибольшее из значений ∆θ стремится к нулю, и если
102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
319
вспомним сказанное в [87], тов пределе получим = lim
X
1 2
[f (θ
′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 2
[f (θ)]
2
dθ =
1 что и требовалось доказать.
Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы) заключается в замене площади сектора ∆S площадью кругового сектора того же растворения ∆θ и радиуса f (θ
′
). Приняв вместо точного выражения (10) приближенное =
1 где r = f (θ
′′
) и θ
′′
— любое значение из промежутка (θ, θ + ∆θ), для площади этого сектора мы получим в пределе тот же результат 2
[f (θ
′′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (получает простой геометрический смысл 2
r
2
dθ есть приближен-
Рис. 133.
ное выражение площади элементарного сектора растворения и потому называется просто элементом площади в полярных коор- динатах.
П р им ер. Найти площадь,
ограниченную замкнутой кривой Кривая эта, построение которой по точкам не представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
заштрихованной части, соответствующей изменению θ от 0 до, так что по формуле (9) имеем = 6
π/6
Z
0 1
2
a
2
cos
2 3θdθ = a
2
π/6
Z
0
cos
2 3θd(3θ) = a
2
π/2
Z
0
cos
2
tdt =
πa
2 4
103. Длина дуги. Пусть имеется дуга AB некоторой кривой.
Впишем в нее ломаную линию (рис. 134) и будем увеличивать число
Рис. сторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, независящему от того,
какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой,
а упомянутый предел называется длиной этой дуги. Это же определение длины годится и для замкнутой кри- вой.
Пусть кривая задана явным уравнением y = f (x), причем точками соответствуют значения x = a и x = b (a < b), и пусть f (x) имеет непрерывную производную в промежутке a 6 x 6 b, которому и соответствует дуга AB. Мы покажем, что при этих условиях дуга AB спрямляема и что ее длина выражается определенным интегралом.
Пусть AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная, причем ее вершинам соответствуют значения a = x
0
< x
1
< x
2
< · · · < x n−1
< x n
= и обозначим y i
= f (x i
). Принимая во внимание формулу для длины отрезка из аналитической геометрии, для периметра ломаной получим следующую формулу p =
n
X
i=1
p
(x i
− x i−1
)
2
+ (y i
− y i−1
)
2
=
[103
заштрихованной части, соответствующей изменению θ от 0 до, так что по формуле (9) имеем = 6
π/6
Z
0 1
2
a
2
cos
2 3θdθ = a
2
π/6
Z
0
cos
2 3θd(3θ) = a
2
π/2
Z
0
cos
2
tdt =
πa
2 4
103. Длина дуги. Пусть имеется дуга AB некоторой кривой.
Впишем в нее ломаную линию (рис. 134) и будем увеличивать число
Рис. сторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, независящему от того,
какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой,
а упомянутый предел называется длиной этой дуги. Это же определение длины годится и для замкнутой кри- вой.
Пусть кривая задана явным уравнением y = f (x), причем точками соответствуют значения x = a и x = b (a < b), и пусть f (x) имеет непрерывную производную в промежутке a 6 x 6 b, которому и соответствует дуга AB. Мы покажем, что при этих условиях дуга AB спрямляема и что ее длина выражается определенным интегралом.
Пусть AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная, причем ее вершинам соответствуют значения a = x
0
< x
1
< x
2
< · · · < x n−1
< x n
= и обозначим y i
= f (x i
). Принимая во внимание формулу для длины отрезка из аналитической геометрии, для периметра ломаной получим следующую формулу p =
n
X
i=1
p
(x i
− x i−1
)
2
+ (y i
− y i−1
)
2
=
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле i
− x i−1
)
2
+ [f (x i
) − f(x Пользуясь формулой конечных приращений f (x i
) − f(x i−1
) = f
′
(ξ
i
)(x i
− x i−1
) (x i−1
< ξ
i
< x получим для длины отдельной стороны ломаной выражение q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x из которого мы видим, что требование того, чтобы наибольшая из сторон стремилась к нулю, равносильно требованию, чтобы наибольшая из разностей (x i
−x i−1
) стремилась к нулю. Для периметра ломаной получаем выражение p =
n
X
i=1
q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x а оно действительно имеет предел, равный интегралу b
Z
a q
1 + Таким образом, длина l дуги AB выражается формулой l =
b
Z
a q
1 + Пусть x
′
< x
′′
— какие-либо два значения из промежутка (a, b), аи M
′′
— соответствующие точки на дуге AB. Применяя теорему о среднем, получаем следующую формулу для длины дуги M
′
M
′′
:
l
′
=
x
′′
Z
x
′
q
1 + f
′
2
(x)dx =
q
1 + f
′
2
(ξ
1
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
1
< x
′′
).
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
Для длины хорды M
′
M
′′
, пользуясь формулой конечных приращений, получаем формулу x
′
)
2
+ [f (x
′′
) − f(x
′
)]
2
=
=
q
1 + f
′
2
(ξ
2
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
2
< Отсюда следует + f
′
2
(ξ
2
)
p
1 + Если точки и стремятся к точке M с абсциссой x, то и x
′′
→ x, а тем самыми, и из последней формулы мы получаем Этим мы пользовались в Положим теперь, что кривая задана параметрически x = ϕ(t),
y = причем точками соответствуют значения t = α и t = β (α < Мы предполагаем, что значениям t из промежутка α 6 t 6 β соответствуют точки кривой AB так, что различным t соответствуют различные точки этой кривой, которая сама себя не пересекает и незамкнута (рис. 134). Далее мы предполагаем, что в промежутке 6 t 6 β существуют непрерывные производные ϕ
′
(t) и Пусть, как и выше, AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная и t
0
= α < t
1
< t
2
< · · · < t n−1
< t n
= β — соответствующие значения параметра t. Для периметра ломаной получим выражение p =
n
X
i=1
p
[ϕ(t i
) − ϕ(t i−1
)]
2
+ [ψ(t i
) − ψ(t или, применяя формулу конечных приращений =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
)(t i
− t i−1
) (t i−1
< τ
i и τ
′
i
< t i
).
(13)
[103
Для длины хорды M
′
M
′′
, пользуясь формулой конечных приращений, получаем формулу x
′
)
2
+ [f (x
′′
) − f(x
′
)]
2
=
=
q
1 + f
′
2
(ξ
2
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
2
< Отсюда следует + f
′
2
(ξ
2
)
p
1 + Если точки и стремятся к точке M с абсциссой x, то и x
′′
→ x, а тем самыми, и из последней формулы мы получаем Этим мы пользовались в Положим теперь, что кривая задана параметрически x = ϕ(t),
y = причем точками соответствуют значения t = α и t = β (α < Мы предполагаем, что значениям t из промежутка α 6 t 6 β соответствуют точки кривой AB так, что различным t соответствуют различные точки этой кривой, которая сама себя не пересекает и незамкнута (рис. 134). Далее мы предполагаем, что в промежутке 6 t 6 β существуют непрерывные производные ϕ
′
(t) и Пусть, как и выше, AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная и t
0
= α < t
1
< t
2
< · · · < t n−1
< t n
= β — соответствующие значения параметра t. Для периметра ломаной получим выражение p =
n
X
i=1
p
[ϕ(t i
) − ϕ(t i−1
)]
2
+ [ψ(t i
) − ψ(t или, применяя формулу конечных приращений =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
)(t i
− t i−1
) (t i−1
< τ
i и τ
′
i
< t i
).
(13)
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
323
Можно показать, что требование того, чтобы наибольшая из сторон ломаной стремилась к нулю, равносильно требованию того, чтобы наибольшая из разностей (t i
− t i−1
) стремилась к нулю. Это может быть доказано и без предположения существования производных) и Выражение (13) отличается от суммы, дающей в пределе интеграл+ ввиду того, что аргументы τ
i и τ
′
i
, вообще говоря, различны.
Введем сумму q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)(t i
− t которая в пределе дает интеграл (14). Для того чтобы доказать, что и сумма (13) стремится к пределу (14), надо показать, что разность p − q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) −
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)
(t i
− t стремится к нулю.
Умножая и деля на сумму радикалов, получим p − q =
n
X
i=1
ψ
′
(τ
′
i
) + ψ
′
(τ
i
)
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)
×
× [ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)](t i
− t Так как) + ψ
′
(τ
i
)] 6
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + то − q| 6
n
X
i=1
|ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|(t i
− t i−1
).
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
Числа τ
i и τ
′
i принадлежат промежутку (t i−1
, t i
), ив силу равномерной непрерывности ψ
′
(t) в промежутке α 6 t 6 можно утверждать, что наибольшая из величин |ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|, которую мы обозначим через δ, стремится к нулю, если наибольшая из разностей) стремится к нулю. Но из предыдущей формулы следует − q| 6
n
X
i=1
δ(t i
− t i−1
) = δ
n
X
i=1
(t i
− t i−1
) = δ(β − откуда очевидно, что p − q → 0. Таким образом, сумма (13), выражающая периметр вписанной ломаной, стремится к интегралу те+ Эта формула для длины l остается справедливой ив случае замкнутой кривой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например,
разбить замкнутую кривую на две незамкнутые, к каждой применить формулу (16) и сложить полученные значения l. Точно так же,
если некоторая кривая L состоит из конечного числа кривых каждая из которых имеет параметрическое представление, удовлетворяющее указанным выше условиям, то, вычисляя по формуле) длину каждой кривой L
k и складывая эти длины, получим длину кривой Рассмотрим переменное значение t из промежутка (α, β), которому соответствует переменная точка M дуги AB. Длина дуги будет функцией от t и будет выражаться формулой s(t) =
t
Z
α
q
ϕ
′
2
(t) + Принимая во внимание правило дифференцирования интеграла по
∗
Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она обладает и свойством равномерной непрерывности на этом интервале
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
325
верхнему пределу, получим ds dt
=
q
ϕ
′
2
(t) + то есть ds =
q
ϕ
′
2
(t) + откуда, принимая во внимание, что) =
dx dt
,
ψ
′
(t) =
dy получаем формулу для дифференциала дуги [70]
ds =
p
(dx)
2
+ (а формула (15) может быть, без указания переменной интегрирования, переписана в виде l =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (Пределы (A) и (B) указывают на начальную и конечную точки линии.
Если ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t) > 0 при всех t из (α, β), то, согласно (мы получим производную от параметра t по s:
dt ds
=
1
p
ϕ
′
2
(t) + Наличие непрерывных производных ϕ
′
(t) и ψ
′
(t) при условии) + ψ
′
2
(t) > 0 гарантирует нам непрерывно изменяющуюся касательную вдоль Если кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (то, введя прямоугольные координаты x и y, связанные с полярными r и θ соотношениями x = r cos θ,
y = r sin θ
(18)
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
327
Подставив это в (21), получим без труда s =
1 4
h
2x p
1 + 4x
2
+ log(2x +
p
1 + Длина эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= в силу симметричности его относительно осей координат, равна учетверенной длине той его части, которая лежит в первом координатном углу.
Представив эллипс параметрически уравнениями x = a cos t,
y = b sin t и заметив, что точками соответствуют значения параметра 0 и
π
2
,
мы получим для искомой длины l следующее выражение по формуле = 4
π/2
Z
0
p a
2
sin
2
t + Интеграл этот не может быть вычислен в конечном виде для него можно указать только способ приближенного вычисления, который будет приведен ниже.
3.
Длина дуги логарифмической спирали r = Ce
αθ
[83], отсекаемой радиусами-векторами θ = α, θ = β, в силу (20) выражается интегралом r
2
+
dr dθ
2
dθ = C
p
1 + a
2
β
Z
α
e aθ
dθ =
C
√
1 + a
2
a
(e aβ
− e В [78] мы рассматривали цепную линию, пусть M (x, y) есть какая- либо ее точка. Вычислим длину дуги AM (рис. 93). Принимая во внимание выражение для (1 + y
′
2
) из [78], получим =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx=
x
Z
0
y a
dx=
1 2
x
Z
0
e x
a
+ e
−
x a
dx=
a
2
e x
a
− e
−
x a
=ay
′
,
[103
Числа τ
i и τ
′
i принадлежат промежутку (t i−1
, t i
), ив силу равномерной непрерывности ψ
′
(t) в промежутке α 6 t 6 можно утверждать, что наибольшая из величин |ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|, которую мы обозначим через δ, стремится к нулю, если наибольшая из разностей) стремится к нулю. Но из предыдущей формулы следует − q| 6
n
X
i=1
δ(t i
− t i−1
) = δ
n
X
i=1
(t i
− t i−1
) = δ(β − откуда очевидно, что p − q → 0. Таким образом, сумма (13), выражающая периметр вписанной ломаной, стремится к интегралу те+ Эта формула для длины l остается справедливой ив случае замкнутой кривой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например,
разбить замкнутую кривую на две незамкнутые, к каждой применить формулу (16) и сложить полученные значения l. Точно так же,
если некоторая кривая L состоит из конечного числа кривых каждая из которых имеет параметрическое представление, удовлетворяющее указанным выше условиям, то, вычисляя по формуле) длину каждой кривой L
k и складывая эти длины, получим длину кривой Рассмотрим переменное значение t из промежутка (α, β), которому соответствует переменная точка M дуги AB. Длина дуги будет функцией от t и будет выражаться формулой s(t) =
t
Z
α
q
ϕ
′
2
(t) + Принимая во внимание правило дифференцирования интеграла по
∗
Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она обладает и свойством равномерной непрерывности на этом интервале
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
325
верхнему пределу, получим ds dt
=
q
ϕ
′
2
(t) + то есть ds =
q
ϕ
′
2
(t) + откуда, принимая во внимание, что) =
dx dt
,
ψ
′
(t) =
dy получаем формулу для дифференциала дуги [70]
ds =
p
(dx)
2
+ (а формула (15) может быть, без указания переменной интегрирования, переписана в виде l =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (Пределы (A) и (B) указывают на начальную и конечную точки линии.
Если ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t) > 0 при всех t из (α, β), то, согласно (мы получим производную от параметра t по s:
dt ds
=
1
p
ϕ
′
2
(t) + Наличие непрерывных производных ϕ
′
(t) и ψ
′
(t) при условии) + ψ
′
2
(t) > 0 гарантирует нам непрерывно изменяющуюся касательную вдоль Если кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (то, введя прямоугольные координаты x и y, связанные с полярными r и θ соотношениями x = r cos θ,
y = r sin θ
(18)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, мы можем рассматривать эти уравнения, как параметрическое задание кривой с параметром Мы имеем тогда dx = cos θdr − r sin θdθ,
dy = sin θdr + r cos θdθ,
dx
2
+ dy
2
= (dr)
2
+ откуда ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
=
p
(dr)
2
+ Рис. и если точками соответствуют значения α и β полярного угла рис. 135), то формула (15) даст нам s =
β
Z
α
s r
2
+
dr Выражение для ds (19), которое называется дифференциалом дуги в полярных координатах, можно получить и непосредственно из чертежа, заменив бесконечно малую дугу M ее хордой и вычислив последнюю, как гипотенузу прямоугольного треугольника M N катеты которого M N и N приближенно равны, соответственно и Примеры. Длина дуги s параболы y = x
2
, отсчитываемой от вершины (0, 0) до переменной точки с абсциссой x, по формуле (12) выражается интегралом s =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx =
x
Z
0
p
1 + 4x
2
dx =
1 2
2x
Z
0
p
1 + мы положили t = В силу примера 11 [92] имеем + t
2
dt =
1 2
h t
p l + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)
i
+ C.
dy = sin θdr + r cos θdθ,
dx
2
+ dy
2
= (dr)
2
+ откуда ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
=
p
(dr)
2
+ Рис. и если точками соответствуют значения α и β полярного угла рис. 135), то формула (15) даст нам s =
β
Z
α
s r
2
+
dr Выражение для ds (19), которое называется дифференциалом дуги в полярных координатах, можно получить и непосредственно из чертежа, заменив бесконечно малую дугу M ее хордой и вычислив последнюю, как гипотенузу прямоугольного треугольника M N катеты которого M N и N приближенно равны, соответственно и Примеры. Длина дуги s параболы y = x
2
, отсчитываемой от вершины (0, 0) до переменной точки с абсциссой x, по формуле (12) выражается интегралом s =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx =
x
Z
0
p
1 + 4x
2
dx =
1 2
2x
Z
0
p
1 + мы положили t = В силу примера 11 [92] имеем + t
2
dt =
1 2
h t
p l + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)
i
+ C.
103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
327
Подставив это в (21), получим без труда s =
1 4
h
2x p
1 + 4x
2
+ log(2x +
p
1 + Длина эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= в силу симметричности его относительно осей координат, равна учетверенной длине той его части, которая лежит в первом координатном углу.
Представив эллипс параметрически уравнениями x = a cos t,
y = b sin t и заметив, что точками соответствуют значения параметра 0 и
π
2
,
мы получим для искомой длины l следующее выражение по формуле = 4
π/2
Z
0
p a
2
sin
2
t + Интеграл этот не может быть вычислен в конечном виде для него можно указать только способ приближенного вычисления, который будет приведен ниже.
3.
Длина дуги логарифмической спирали r = Ce
αθ
[83], отсекаемой радиусами-векторами θ = α, θ = β, в силу (20) выражается интегралом r
2
+
dr dθ
2
dθ = C
p
1 + a
2
β
Z
α
e aθ
dθ =
C
√
1 + a
2
a
(e aβ
− e В [78] мы рассматривали цепную линию, пусть M (x, y) есть какая- либо ее точка. Вычислим длину дуги AM (рис. 93). Принимая во внимание выражение для (1 + y
′
2
) из [78], получим =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx=
x
Z
0
y a
dx=
1 2
x
Z
0
e x
a
+ e
−
x a
dx=
a
2
e x
a
− e
−
x a
=ay
′
,
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
откуда a
2
+ (дуга AM )
2
= a
2
+ a
2
y
′
2
= a
2
(1 + y
′
2
) = те. длина дуги AM равна катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна ординате точки M , и другой катет которого равен a. Мы получаем, таким образом, следующее правило построения дуги Из вершины A цепной линии, как центра, надо описать окружность радиусом, равным ординате точки M ; отрезок OQ оси OX от начала координат O до точки пересечения Q оси OX с упомянутой окружностью и будет представлять собою спрямленную дугу AM (рис. В предыдущих формулах при выборе знаков мы руководились тем обстоятельством, что для точек, лежащих на правой части цепной линии,
y
′
имеет знак (Для циклоиды, рассмотренной в [79], определим длины дуги l ветви рис. 94) и площадь S, ограниченную этой ветвью и осью OX:
l =
2π
Z
0
p
[ϕ
′
(t)]
2
+ [ψ
′
(t)]
2
dt =
2π
Z
0
q a
2
(1 − cos t)
2
+ a
2
sin
2
tdt =
= a
2π
Z
0
√
2 − 2 cos tdt = a
2π
Z
0
r
4 sin
2
t
2
dt = 2a
2π
Z
0
sin t
2
dt =
= 2a
−2 cos t
2
2π
0
= те. длина дуги одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметру катящегося круга =
2πa
Z
0
ydx =
2π
Z
0
ψ(t)ϕ
′
(t)dt = a
2 2π
Z
0
(1 − cos t)
2
dt =
= a
2 2π
Z
0
(1 − 2 cos t + cos
2
t)dt = 2πa
2
− 2a
2
[sin t]
2π
0
+ a
2
1 2
t +
1 4
sin 2t
2π
0
=
= 2πa
2
+ πa
2
= те. площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды и той неподвижной прямой, по которой катится круг, равна утроенной площади катящегося круга
104]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
329
Вычисляя l, при извлечении корня q
4 sin
2 t
2
, мы должны выбрать арифметическое значение корня, что и сделали, ибо при изменении t от до 2π функция sin t
2
— положительна. Кардиоида, рассмотренная в [84], симметрична относительно полярной оси (риса потому для вычисления ее длины l достаточно вычислить длину дуги при изменении θ в промежутке (0, π) и полученный результат удвоить = 2
π
Z
0
p r
2
+ r
′
2
dθ = 2
π
Z
0
q
4a
2
(1 + cos θ)
2
+ 4a
2
sin
2
θdθ =
= 8a
π
Z
0
cos
θ
2
d0 = 8a
2 sin
θ
2
π
0
= те. длина дуги кардиоиды в восемь раз больше диаметра катящегося
(или неподвижного) круга. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям. Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеет определять площадь поперечных сечений тела, перпендикулярных данному направле- нию.
Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим,
что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярных данному направлению, которое мы примем за ось OX. Всякое поперечное сечение определится абсциссой x точки пересечения его с осью OX, а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от x, которую мы обозначим через) и будем считать известной.
Рис. Пусть, далее, a и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем его на элементы рядом поперечных сечений, начиная от x = a и кончая x = b; рассмотрим один из таких эле
106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
333
В случае a = b оба эллипсоида обращаются в шар радиуса a, объем которого равен 3
πa
3 106. Поверхность тела вращения. Площадью поверхности,
получаемой при вращении кривой в плоскости XOY вокруг оси, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится к нулю (рис. 141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками A и B, то поверхность F тела вращения выражается формулой Рис. где ds есть дифференциал дуги данной кривой, те+ (В этой формуле кривая может быть задана как угодно, в явной или в параметрической форме символы) и (B) показывают, что нужно интегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой A и Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрической форме, причем роль параметра играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от точки A, и обозначим через l длину всей кривой Эта кривая, конечно, считается спрямляемой. Мы имеем x = ϕ(s),
y = ψ(s). Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s на частичные промежутки = s
0
< s
1
< s
2
< · · · < s n−1
< s n
= Пусть значению s = s соответствует точка M
i кривой, причем,
очевидно, совпадает си с B. Обозначим через q дли
106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
335
откуда
2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
) → Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемое Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Таким образом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]
F =
β
Z
α
2πψ(t)
q
ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t)dt,
(28 ив случае явного уравнения y = f (x) линии AB:
F =
b
Z
a
2πf (x)
q
1 + f
′
2
(x)dx.
(28 Пример. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого. Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения.
Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеем
F
удл
= 2π
a
Z
−a y
p
1 + y
′
2
dx = 2π
a
Z
−a p
y
2
+ (Из уравнения эллипса мы имеем b
2
1 −
x
2
a
2
,
yy
′
= −
b
2
x a
2
,
откуда
(yy
′
)
2
=
b
4
x
2
a
4
,
F
удл
= 2π
a
Z
−a r
b
2
−
b
2
x
2
a
2
+
b
4
x
2
a
4
dx = 2πb a
Z
−a s
1 −
x
2
a
2
1 −
b
2
a
2
dx.
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
337
где x считается функцией от y. Но из уравнения эллипса имеем x
2
= a
2
1 −
y
2
b
2
,
xx
′
= −
a
2
y b
2
,
(xx
′
)
2
=
a
4
y
2
b
4
,
откуда
F
сж
= 2πa b
Z
−b s
1 +
y
2
b
2
a
2
b
2
− 1
dy = 4πa b
Z
0
r
1 +
y
2
a
2
ε
2
b
4
dy =
=
4πb
2
ε
aε
b
Z
0
p
1 + t
2
dt =
2πb
2
ε
[t p
1 + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)]
aε
b
0
=
=
2πb
2
ε
"
a
ε
b r
1 +
a
2
ε
2
b
2
+ log aε
b
+
r
1 +
a
2
ε
2
b
2
!#
=
=
2πb
ε
"
aε
b r
a
3
b
2
+ log aε
b
+
r a
2
b
2
!#
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + и окончательно
F
сж
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + ε)
b
(30)
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
Если дана система n материальных точек, y
1
),
M
2
(x
2
, y
2
), . . . , M
n
(x n
, y массы которых равны, соответственно, m
2
, . . . , m то центром тяжести системы G называется точка, координаты которой x
G
, удовлетворяют условиям x
G
=
n
X
i=1
m i
x i
,
M y
G
=
n
X
i=1
m i
y где M означает полную массу системы =
n
X
i=1
m i
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
339
По формулам (31) имеем, как ив откуда, вычислив s по формуле s =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (и определим координаты центра тяжести Из формул (32) и (33) вытекает важная теорема:
Т е орем а I Гуль дина. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги данной плоской кривой вокруг некоторой оси,
лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вращающейся дуги на длину пути, описанного при этом вращении центром тяжести дуги.
Рис. В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, для поверхности тела, описанного при вращении дуги AB, имеем (27) [106]
F = 2π
(B)
Z
(A)
yds = 2πy
G
· в силу (33)], что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь некоторую плоскую область S (площадь которой обозначим также через S). Допустим для простоты, что эта область (рис. 143) ограничена двумя кривыми, ординаты которых обозначим через y
1
= f
1
(x),
y
2
= f
2
(x).
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
341
Т е орем а II Гуль дина. Объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести при вращении.
В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, нетрудно заметить, что объем рассматриваемого тела вращения V равен разности объемов тел, получаемых при вращении кривой и кривой y
1
, а потому, согласно (24) [105],
V = π
b
Z
a y
2 2
dx − π
b
Z
a y
2 1
dx = π
b
Z
a
(y
2 2
− y
2 1
)dx = 2πy
G
· в силу (35), что и требовалось доказать.
Полученные две теоремы Гульдина весьма полезны как при определении поверхности или объема фигур вращения, когда известно положение центра тяжести вращающейся фигуры, таки обратно при определении центра тяжести фигуры, когда известны объем или поверхность производимой ею фигуры вращения.
П р им еры. Найти объем V кольца (тора, получаемого при вращении круга радиуса r (рис. 144) вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии a от центра (причем r < a, те. ось вращения не пересекает окружность).
Рис. Центр тяжести вращающегося круга находится, очевидно, в его центре, а потому длина пути, описываемого центром тяжести при вращении
[103
откуда a
2
+ (дуга AM )
2
= a
2
+ a
2
y
′
2
= a
2
(1 + y
′
2
) = те. длина дуги AM равна катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна ординате точки M , и другой катет которого равен a. Мы получаем, таким образом, следующее правило построения дуги Из вершины A цепной линии, как центра, надо описать окружность радиусом, равным ординате точки M ; отрезок OQ оси OX от начала координат O до точки пересечения Q оси OX с упомянутой окружностью и будет представлять собою спрямленную дугу AM (рис. В предыдущих формулах при выборе знаков мы руководились тем обстоятельством, что для точек, лежащих на правой части цепной линии,
y
′
имеет знак (Для циклоиды, рассмотренной в [79], определим длины дуги l ветви рис. 94) и площадь S, ограниченную этой ветвью и осью OX:
l =
2π
Z
0
p
[ϕ
′
(t)]
2
+ [ψ
′
(t)]
2
dt =
2π
Z
0
q a
2
(1 − cos t)
2
+ a
2
sin
2
tdt =
= a
2π
Z
0
√
2 − 2 cos tdt = a
2π
Z
0
r
4 sin
2
t
2
dt = 2a
2π
Z
0
sin t
2
dt =
= 2a
−2 cos t
2
2π
0
= те. длина дуги одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметру катящегося круга =
2πa
Z
0
ydx =
2π
Z
0
ψ(t)ϕ
′
(t)dt = a
2 2π
Z
0
(1 − cos t)
2
dt =
= a
2 2π
Z
0
(1 − 2 cos t + cos
2
t)dt = 2πa
2
− 2a
2
[sin t]
2π
0
+ a
2
1 2
t +
1 4
sin 2t
2π
0
=
= 2πa
2
+ πa
2
= те. площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды и той неподвижной прямой, по которой катится круг, равна утроенной площади катящегося круга
104]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
329
Вычисляя l, при извлечении корня q
4 sin
2 t
2
, мы должны выбрать арифметическое значение корня, что и сделали, ибо при изменении t от до 2π функция sin t
2
— положительна. Кардиоида, рассмотренная в [84], симметрична относительно полярной оси (риса потому для вычисления ее длины l достаточно вычислить длину дуги при изменении θ в промежутке (0, π) и полученный результат удвоить = 2
π
Z
0
p r
2
+ r
′
2
dθ = 2
π
Z
0
q
4a
2
(1 + cos θ)
2
+ 4a
2
sin
2
θdθ =
= 8a
π
Z
0
cos
θ
2
d0 = 8a
2 sin
θ
2
π
0
= те. длина дуги кардиоиды в восемь раз больше диаметра катящегося
(или неподвижного) круга. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям. Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеет определять площадь поперечных сечений тела, перпендикулярных данному направле- нию.
Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим,
что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярных данному направлению, которое мы примем за ось OX. Всякое поперечное сечение определится абсциссой x точки пересечения его с осью OX, а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от x, которую мы обозначим через) и будем считать известной.
Рис. Пусть, далее, a и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем его на элементы рядом поперечных сечений, начиная от x = a и кончая x = b; рассмотрим один из таких эле
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[104
Рис. ментов ∆V , образованный сечениями с абсциссами x и x + Заменяем объем ∆V объемом прямого цилиндра, высота которого равна ∆x, а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе x (рис. Объем такого цилиндра выразится произведением S(x)∆x, и, таким образом, мы получим следующее приближенное выражение для нашего объема V где суммирование распространено на все те элементы, на которые разбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из ∆x стремится к нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл,
который и дает точное значение объема V , что приводит к следующему предложению.
Если для данного тела известны все его поперечные сечения плоскостями,
∗
перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось OX, то объем тела V выражается формулой где S(x) означает площадь поперечного сечения с абсциссой x, a и b — абсциссы крайних сечений тела.
∗
Иными словами, площадь поперечного сечения является функцией переменной. Приложения понятия об определенном интеграле
331
Рис. Пример. Объем цилиндрического отрезка, отсекаемый от прямого кругового полу- цилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметр за ось OX, точку A — за начало координат;
обозначим радиус основания цилиндра через угол, образуемый верхним сечением отрезка сего основанием, через Поперечное сечение,
перпендикулярное диаметру AB, имеет вид прямоугольного треугольника, и его площадь выражается формулой) =
1 2
P Q · QR =
1 2
tg αP Далее, по известному свойству окружности, отрезок P Q есть среднее геометрическое между отрезками AP , P B диаметра AB, а потому Q
2
= AP · P B = x(2r − и окончательно) =
1 2
x(2r − x) tg Применяя формулу (23), для искомого объема V получим =
2r
Z
0
S(x)dx =
1 2
tg α
2r
Z
0
x(2r − x)dx =
1 2
tg α
rx
3
−
x
3 3
2r
0
=
=
2 3
r
3
tg α =
2 если ввести высоту отрезка h = r tg α.
105. Объем тела вращения. В случае, когда рассматриваемое тело получается отвращения данной кривой y = f (x) вокруг оси, поперечные его сечения будут круги радиуса y (риса потому) = πy
2
,
V (x) =
b
Z
a
πy
2
dx,
[104
Рис. ментов ∆V , образованный сечениями с абсциссами x и x + Заменяем объем ∆V объемом прямого цилиндра, высота которого равна ∆x, а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе x (рис. Объем такого цилиндра выразится произведением S(x)∆x, и, таким образом, мы получим следующее приближенное выражение для нашего объема V где суммирование распространено на все те элементы, на которые разбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из ∆x стремится к нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл,
который и дает точное значение объема V , что приводит к следующему предложению.
Если для данного тела известны все его поперечные сечения плоскостями,
∗
перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось OX, то объем тела V выражается формулой где S(x) означает площадь поперечного сечения с абсциссой x, a и b — абсциссы крайних сечений тела.
∗
Иными словами, площадь поперечного сечения является функцией переменной. Приложения понятия об определенном интеграле
331
Рис. Пример. Объем цилиндрического отрезка, отсекаемый от прямого кругового полу- цилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметр за ось OX, точку A — за начало координат;
обозначим радиус основания цилиндра через угол, образуемый верхним сечением отрезка сего основанием, через Поперечное сечение,
перпендикулярное диаметру AB, имеет вид прямоугольного треугольника, и его площадь выражается формулой) =
1 2
P Q · QR =
1 2
tg αP Далее, по известному свойству окружности, отрезок P Q есть среднее геометрическое между отрезками AP , P B диаметра AB, а потому Q
2
= AP · P B = x(2r − и окончательно) =
1 2
x(2r − x) tg Применяя формулу (23), для искомого объема V получим =
2r
Z
0
S(x)dx =
1 2
tg α
2r
Z
0
x(2r − x)dx =
1 2
tg α
rx
3
−
x
3 3
2r
0
=
=
2 3
r
3
tg α =
2 если ввести высоту отрезка h = r tg α.
105. Объем тела вращения. В случае, когда рассматриваемое тело получается отвращения данной кривой y = f (x) вокруг оси, поперечные его сечения будут круги радиуса y (риса потому) = πy
2
,
V (x) =
b
Z
a
πy
2
dx,
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[105
Рис. Рис. те. объем тела, получаемого при вращении вокруг оси OX части кривой y = f (заключенной между ординатами x = a, x = b, выражается формулой Пример. Объем эллипсоида вращения. При вращении эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= вокруг большой оси получается тело, называемое удлиненным эллипсоидом вращения (рис. 140). Крайние значения абсциссы x в рассматриваемом случае будут (−a) и (+a), а потому формула (24) дает
V
удл
= π
+a
Z
−a y
2
dx = π
+a
Z
−a b
2
1 −
x
2
a
2
dx = πb
2
x −
x
3 3a
2
+a
−a
=
4 Точно также мы сможем вычислить и объем сжатого эллипсоида вращения, который получается при вращении нашего эллипса вокруг малой оси. Нужно только переставить между собой буквы x, y, a и b, что дает
V
сж
= π
+b
Z
−b x
2
dy = π
+b
Z
−b a
2
1 −
y
2
b
2
dy =
4 3
πba
2
(26)
[105
Рис. Рис. те. объем тела, получаемого при вращении вокруг оси OX части кривой y = f (заключенной между ординатами x = a, x = b, выражается формулой Пример. Объем эллипсоида вращения. При вращении эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= вокруг большой оси получается тело, называемое удлиненным эллипсоидом вращения (рис. 140). Крайние значения абсциссы x в рассматриваемом случае будут (−a) и (+a), а потому формула (24) дает
V
удл
= π
+a
Z
−a y
2
dx = π
+a
Z
−a b
2
1 −
x
2
a
2
dx = πb
2
x −
x
3 3a
2
+a
−a
=
4 Точно также мы сможем вычислить и объем сжатого эллипсоида вращения, который получается при вращении нашего эллипса вокруг малой оси. Нужно только переставить между собой буквы x, y, a и b, что дает
V
сж
= π
+b
Z
−b x
2
dy = π
+b
Z
−b a
2
1 −
y
2
b
2
dy =
4 3
πba
2
(26)
106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
333
В случае a = b оба эллипсоида обращаются в шар радиуса a, объем которого равен 3
πa
3 106. Поверхность тела вращения. Площадью поверхности,
получаемой при вращении кривой в плоскости XOY вокруг оси, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится к нулю (рис. 141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками A и B, то поверхность F тела вращения выражается формулой Рис. где ds есть дифференциал дуги данной кривой, те+ (В этой формуле кривая может быть задана как угодно, в явной или в параметрической форме символы) и (B) показывают, что нужно интегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой A и Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрической форме, причем роль параметра играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от точки A, и обозначим через l длину всей кривой Эта кривая, конечно, считается спрямляемой. Мы имеем x = ϕ(s),
y = ψ(s). Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s на частичные промежутки = s
0
< s
1
< s
2
< · · · < s n−1
< s n
= Пусть значению s = s соответствует точка M
i кривой, причем,
очевидно, совпадает си с B. Обозначим через q дли
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[106
ну отрезка M
i−1
M
i через ∆s i
— длину дуги M
i−1
M
i и положим y
i
= ψ(s i
). Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой отвращения ломаной AM
1
M
2
. . . M
n−1
B:
Q = 2π
n
X
i=1
y i−1
+ y i
2
q или = 2π
n
X
i=1
y i−1
q i
+ π
n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q Пусть δ — наибольшее из абсолютных значений |y i
− y i−1
|. В силу равномерной непрерывности функции ψ(s) в промежутке 0 6 s 6 l величина δ стремится к нулю, если наибольшая из разностей (s i
−
s i−1
) стремится к нулю. Номы имеем n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q i
6
δ
n
X
i=1
q откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится к нулю Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде i−1
q i
= 2π
n
X
i=1
y i−1
∆s i
− 2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю.
Для этого заметим, что непрерывная в промежутке (0, l) функция y = ψ(s) ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число m, что |y i−1
| 6 m при всех i. Поэтому n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
)
6
n
X
i=1
m(∆s i
− q i
) = m l −
n
X
i=1
q Но если наибольшая из разностей (s i
− s i−1
) стремится к нулю,
то и наибольшая из длин хорд q стремится к нулю, и периметр вписанной ломаной стремится к длине дуги n
X
i=1
q i
→ l,
[106
ну отрезка M
i−1
M
i через ∆s i
— длину дуги M
i−1
M
i и положим y
i
= ψ(s i
). Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой отвращения ломаной AM
1
M
2
. . . M
n−1
B:
Q = 2π
n
X
i=1
y i−1
+ y i
2
q или = 2π
n
X
i=1
y i−1
q i
+ π
n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q Пусть δ — наибольшее из абсолютных значений |y i
− y i−1
|. В силу равномерной непрерывности функции ψ(s) в промежутке 0 6 s 6 l величина δ стремится к нулю, если наибольшая из разностей (s i
−
s i−1
) стремится к нулю. Номы имеем n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q i
6
δ
n
X
i=1
q откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится к нулю Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде i−1
q i
= 2π
n
X
i=1
y i−1
∆s i
− 2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю.
Для этого заметим, что непрерывная в промежутке (0, l) функция y = ψ(s) ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число m, что |y i−1
| 6 m при всех i. Поэтому n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
)
6
n
X
i=1
m(∆s i
− q i
) = m l −
n
X
i=1
q Но если наибольшая из разностей (s i
− s i−1
) стремится к нулю,
то и наибольшая из длин хорд q стремится к нулю, и периметр вписанной ломаной стремится к длине дуги n
X
i=1
q i
→ l,
106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
335
откуда
2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
) → Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемое Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Таким образом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]
F =
β
Z
α
2πψ(t)
q
ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t)dt,
(28 ив случае явного уравнения y = f (x) линии AB:
F =
b
Z
a
2πf (x)
q
1 + f
′
2
(x)dx.
(28 Пример. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого. Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения.
Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеем
F
удл
= 2π
a
Z
−a y
p
1 + y
′
2
dx = 2π
a
Z
−a p
y
2
+ (Из уравнения эллипса мы имеем b
2
1 −
x
2
a
2
,
yy
′
= −
b
2
x a
2
,
откуда
(yy
′
)
2
=
b
4
x
2
a
4
,
F
удл
= 2π
a
Z
−a r
b
2
−
b
2
x
2
a
2
+
b
4
x
2
a
4
dx = 2πb a
Z
−a s
1 −
x
2
a
2
1 −
b
2
a
2
dx.
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[106
Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипса имеем (см. пример [99])
F
удл
= 2πb a
Z
−a r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx = 4πb a
Z
0
r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx =
=
4πba
ε
a
Z
0
r
1 −
εx a
2
d
εx a
=
4πab
ε
ε
Z
0
p
1 − Интегрируя по частям, имеем (ср. пример 11 [92])
Z
p
1 − t
2
dt = t p
1 − t
2
+
Z
t
2
√
1 − t
2
dt =
= t p
1 − t
2
−
Z
p
1 − t
2
dt +
Z
dt
√
1 − откуда − t
2
dt =
1 2
[t p
1 − t
2
+ arcsin и окончательно
F
удл
= 2πab
p
1 − ε
2
+
arcsin Эта формула годится в пределе и длят. е. когда b = a, и эллипсоид превращается в шар радиуса a. В скобках при этом оказывается неопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеем arcsin ε
ε
ε=0
=
1
√
1 − ε
2 1
ε=0
= Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы x и y, a и b, мы находим:
F
сж
= 2π
b
Z
−b p
x
2
+ (xx
′
)
2
dy,
[106
Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипса имеем (см. пример [99])
F
удл
= 2πb a
Z
−a r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx = 4πb a
Z
0
r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx =
=
4πba
ε
a
Z
0
r
1 −
εx a
2
d
εx a
=
4πab
ε
ε
Z
0
p
1 − Интегрируя по частям, имеем (ср. пример 11 [92])
Z
p
1 − t
2
dt = t p
1 − t
2
+
Z
t
2
√
1 − t
2
dt =
= t p
1 − t
2
−
Z
p
1 − t
2
dt +
Z
dt
√
1 − откуда − t
2
dt =
1 2
[t p
1 − t
2
+ arcsin и окончательно
F
удл
= 2πab
p
1 − ε
2
+
arcsin Эта формула годится в пределе и длят. е. когда b = a, и эллипсоид превращается в шар радиуса a. В скобках при этом оказывается неопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеем arcsin ε
ε
ε=0
=
1
√
1 − ε
2 1
ε=0
= Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы x и y, a и b, мы находим:
F
сж
= 2π
b
Z
−b p
x
2
+ (xx
′
)
2
dy,
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
337
где x считается функцией от y. Но из уравнения эллипса имеем x
2
= a
2
1 −
y
2
b
2
,
xx
′
= −
a
2
y b
2
,
(xx
′
)
2
=
a
4
y
2
b
4
,
откуда
F
сж
= 2πa b
Z
−b s
1 +
y
2
b
2
a
2
b
2
− 1
dy = 4πa b
Z
0
r
1 +
y
2
a
2
ε
2
b
4
dy =
=
4πb
2
ε
aε
b
Z
0
p
1 + t
2
dt =
2πb
2
ε
[t p
1 + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)]
aε
b
0
=
=
2πb
2
ε
"
a
ε
b r
1 +
a
2
ε
2
b
2
+ log aε
b
+
r
1 +
a
2
ε
2
b
2
!#
=
=
2πb
ε
"
aε
b r
a
3
b
2
+ log aε
b
+
r a
2
b
2
!#
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + и окончательно
F
сж
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + ε)
b
(30)
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
Если дана система n материальных точек, y
1
),
M
2
(x
2
, y
2
), . . . , M
n
(x n
, y массы которых равны, соответственно, m
2
, . . . , m то центром тяжести системы G называется точка, координаты которой x
G
, удовлетворяют условиям x
G
=
n
X
i=1
m i
x i
,
M y
G
=
n
X
i=1
m i
y где M означает полную массу системы =
n
X
i=1
m i
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[107
При определении центра тяжести можно каким угодно образом группировать точки системы, разбивая их на частные системы стем, чтобы при вычислении координат центра тяжести Q всей системы заменять всю группу точек, вошедших в какую угодно частную систему, одной точкой, а именно ее центром тяжести, приписав ей массу, равную сумме масс вошедших в нее точек.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого общего принципа, которое не представляет труда и легко может быть проверено на простейших частных случаях системы стремя, четырьмя и т. д. точками.
В дальнейшем мы будем иметь дело нес системами точек, ас тем случаем, когда масса заполняет лишь некоторую плоскую фигуру (область) или линию.
Для простоты ограничимся рассмотрением лишь однородных тел, плотность которых примем за единицу, так что масса такой фигуры будет равняться ее длине, если она имеет вид линии, и площади, если она имеет вид плоской области.
Рис. Пусть сперва нужно определить центр тяжести дуги кривой (рис. 142), длина которой. Следуя предыдущему общему принципу, разобьем дугу AB на n малых элементов ∆s. Центр тяжести всей системы можно вычислить, заменив каждый из этих элементов одной точкой, центром тяжести рассматриваемого элемента, сосредоточив в ней всю массу элемента ∆m = Рассмотрим один из таких элементов ∆s и обозначим координаты его концов через (x, y), (x + ∆x, y + ∆y); координаты же его центра тяжести обозначим через (¯
x, ¯
y). При достаточном уменьшении элемента ∆s, можем считать, что точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало отстоит от точки (x, Центр тяжести каждого такого элемента, вообще говоря, не лежит на кривой, хотя и будет тем ближе к ней, чем меньше элемент, что и указано схематически на рис. 142.
[107
При определении центра тяжести можно каким угодно образом группировать точки системы, разбивая их на частные системы стем, чтобы при вычислении координат центра тяжести Q всей системы заменять всю группу точек, вошедших в какую угодно частную систему, одной точкой, а именно ее центром тяжести, приписав ей массу, равную сумме масс вошедших в нее точек.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого общего принципа, которое не представляет труда и легко может быть проверено на простейших частных случаях системы стремя, четырьмя и т. д. точками.
В дальнейшем мы будем иметь дело нес системами точек, ас тем случаем, когда масса заполняет лишь некоторую плоскую фигуру (область) или линию.
Для простоты ограничимся рассмотрением лишь однородных тел, плотность которых примем за единицу, так что масса такой фигуры будет равняться ее длине, если она имеет вид линии, и площади, если она имеет вид плоской области.
Рис. Пусть сперва нужно определить центр тяжести дуги кривой (рис. 142), длина которой. Следуя предыдущему общему принципу, разобьем дугу AB на n малых элементов ∆s. Центр тяжести всей системы можно вычислить, заменив каждый из этих элементов одной точкой, центром тяжести рассматриваемого элемента, сосредоточив в ней всю массу элемента ∆m = Рассмотрим один из таких элементов ∆s и обозначим координаты его концов через (x, y), (x + ∆x, y + ∆y); координаты же его центра тяжести обозначим через (¯
x, ¯
y). При достаточном уменьшении элемента ∆s, можем считать, что точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало отстоит от точки (x, Центр тяжести каждого такого элемента, вообще говоря, не лежит на кривой, хотя и будет тем ближе к ней, чем меньше элемент, что и указано схематически на рис. 142.
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
339
По формулам (31) имеем, как ив откуда, вычислив s по формуле s =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (и определим координаты центра тяжести Из формул (32) и (33) вытекает важная теорема:
Т е орем а I Гуль дина. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги данной плоской кривой вокруг некоторой оси,
лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вращающейся дуги на длину пути, описанного при этом вращении центром тяжести дуги.
Рис. В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, для поверхности тела, описанного при вращении дуги AB, имеем (27) [106]
F = 2π
(B)
Z
(A)
yds = 2πy
G
· в силу (33)], что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь некоторую плоскую область S (площадь которой обозначим также через S). Допустим для простоты, что эта область (рис. 143) ограничена двумя кривыми, ординаты которых обозначим через y
1
= f
1
(x),
y
2
= f
2
(x).
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[107
Следуя общему принципу, указанному вначале этого номера,
разобьем фигуру на n вертикальных полосок прямыми, параллельными оси OY . При вычислении координат центра тяжести фигуры мы можем заменить каждую такую полоску ее центром тяжести, сосредоточив в нем массу полосок ∆m = ∆S. Рассмотрим одну из таких полосок обозначим через x и x + ∆x абсциссы ограничивающих ее прямых и M
′
1
M
′
2
, через ¯
x, ¯
y — координаты центра тяжести.
При достаточном сужении полоски, те. приуменьшении ее ширины, точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало будет отстоять от середины отрезка прямой M
1
M
2
, вследствие чего можем писать приближенные равенства ∼ x,
¯
y ∼
y
1
+ y
2 Далее, масса ∆m полоски, равная ее площади ∆S, может быть приравнена площади прямоугольника с основанием ∆x и высотой,
сколь угодно мало отличающейся от длины отрезка M
1
M
2
= те Применяя формулу (31), можем написать x
G
= Sx
G
=
X
¯
x∆m = lim
X
[x(y
2
− y
1
)]∆x =
=
b
Z
a x(y
2
− y
1
)dx,
(34)
M y
G
= Sy
G
=
X
¯
y∆m = lim
X
y
2
+ y
1 2
(y
2
− y
1
)∆x =
= lim
X
1 2
(y
2 2
− y
2 1
)
∆x =
b
Z
a
1 2
(y
2 2
− y
2 Из формулы (35) вытекает
∗
Площадь каждой вертикальной полоски будет ∆S.
[107
Следуя общему принципу, указанному вначале этого номера,
разобьем фигуру на n вертикальных полосок прямыми, параллельными оси OY . При вычислении координат центра тяжести фигуры мы можем заменить каждую такую полоску ее центром тяжести, сосредоточив в нем массу полосок ∆m = ∆S. Рассмотрим одну из таких полосок обозначим через x и x + ∆x абсциссы ограничивающих ее прямых и M
′
1
M
′
2
, через ¯
x, ¯
y — координаты центра тяжести.
При достаточном сужении полоски, те. приуменьшении ее ширины, точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало будет отстоять от середины отрезка прямой M
1
M
2
, вследствие чего можем писать приближенные равенства ∼ x,
¯
y ∼
y
1
+ y
2 Далее, масса ∆m полоски, равная ее площади ∆S, может быть приравнена площади прямоугольника с основанием ∆x и высотой,
сколь угодно мало отличающейся от длины отрезка M
1
M
2
= те Применяя формулу (31), можем написать x
G
= Sx
G
=
X
¯
x∆m = lim
X
[x(y
2
− y
1
)]∆x =
=
b
Z
a x(y
2
− y
1
)dx,
(34)
M y
G
= Sy
G
=
X
¯
y∆m = lim
X
y
2
+ y
1 2
(y
2
− y
1
)∆x =
= lim
X
1 2
(y
2 2
− y
2 1
)
∆x =
b
Z
a
1 2
(y
2 2
− y
2 Из формулы (35) вытекает
∗
Площадь каждой вертикальной полоски будет ∆S.
107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
341
Т е орем а II Гуль дина. Объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести при вращении.
В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, нетрудно заметить, что объем рассматриваемого тела вращения V равен разности объемов тел, получаемых при вращении кривой и кривой y
1
, а потому, согласно (24) [105],
V = π
b
Z
a y
2 2
dx − π
b
Z
a y
2 1
dx = π
b
Z
a
(y
2 2
− y
2 1
)dx = 2πy
G
· в силу (35), что и требовалось доказать.
Полученные две теоремы Гульдина весьма полезны как при определении поверхности или объема фигур вращения, когда известно положение центра тяжести вращающейся фигуры, таки обратно при определении центра тяжести фигуры, когда известны объем или поверхность производимой ею фигуры вращения.
П р им еры. Найти объем V кольца (тора, получаемого при вращении круга радиуса r (рис. 144) вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии a от центра (причем r < a, те. ось вращения не пересекает окружность).
Рис. Центр тяжести вращающегося круга находится, очевидно, в его центре, а потому длина пути, описываемого центром тяжести при вращении
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[108
равна 2πa. Площадь вращающейся фигуры равна πr
2
, а потому по теореме Гульдина имеем = πr
2
· 2πa = Найти поверхность F кольца, рассмотренного в примере Длина вращающейся окружности равна 2πr; центр тяжести по- прежнему совпадает с центром окружности, а потому в силу теоремы Гульдина имеем = 2πr · 2πa = Рис. Найти центр тяжести G полукруга радиуса a. Примем основание полукруга за ось OX и направим ось OY попер- пендикуляру к OX, восстановленному в центре (рис. 145); в силу симметричности фигуры относительно оси OY ясно, что центр тяжести G лежит на оси OY . Остается найти только y
G
. Для этой цели применим теорему II Гульдина. Тело, получаемое при вращении полукруга вокруг оси OX, есть шар радиуса a, и его объем равен 4
. Площадь S вращающейся фигуры равна, а потому 3
πa
3
=
π
2
a
2
· 2πy
G
,
y
G
=
4 Найти центр тяжести полуокружности радиуса Выбирая координатные оси, как ив предыдущем примере, видим опять, что искомый центр лежит на оси OY , так что остается найти. Применяя теорему I Гульдина и заметив, что поверхность тела вращения F в данном случае равна 4πa
2
, длина s = πa, получим πa · 2πy
G
′
,
y
G
′
= Как и следовало ожидать, центр тяжести полуокружности лежит ближе к ней, чем центр тяжести ограничиваемого ею полукруга. Приближенное вычисление определенных интегралов;
формулы прямоугольников и трапеций.
Вычисление определенных интегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразной функции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция и существует, если подынтегральная функция непрерывна, одна она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее
108]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
343
можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Поэтому важное значение имеют способы приближенного вычисления определенных интегралов.
Б´
ольшая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммы b
Z
a f (x)dx = lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток, b) на n равных частей длину каждой части обозначим через h, так что h =
b − a n
,
x i
= a + ih
(x
0
= a;
x n
= a + nh = Обозначим далее через y значение подынтегральной функции y =
f (x) при x = x i
(i = 0, 1, . . . , n):
y i
= f (x i
) = f (a + Эти величины мы считаем известными их можно получить непосредственным вычислением, если функция f (x) задана аналитически,
или снять прямо с чертежа, если она изображена графически.
Полагая в сумме, стоящей в правой части (38), ξ
i
= x или x i
, мы получим две приближенные формулы прямоугольников f (x)dx ≈
b − a n
[y
0
+ y
1
+ · · · + y n−1
],
(40)
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1
+ y
2
+ · · · + y где знак (≈) обозначает приближенное равенство.
Чем больше число n, те. чем меньше h, тем эти формулы будут точнее ив пределе, при n → ∞ и h → 0, дадут точную величину определенного интеграла.
Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулю при возрастании числа ординат. Приданном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется для того случая, когда данная функция f (x) монотонна в промежутке (a, b)
109]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 109. Формула касательных и формула Понселе.
Увеличим теперь число делений вдвое, подразделив каждое из делений пополам. Мы получим таким путем 2n делений (рис. 148):
x
0
, x
1/2
= a +
h
2
,
x
1
= a + h, . . . , x i
= a + ih,
x i+1/2
= a +
i +
1 2
h, . . . ,
x n
= Рис. которым будут соответствовать ординаты, y
1/2
, y
1
, . . . , y i
, y i+1/2
, . . . , y ординаты y
0
, y
1
, . . . , y будем называть четными, ординаты не- четными).
В конце каждой нечетной ординаты проведем касательную до пересечения ее с двумя соседними четными ординатами и заменим данную площадь суммою площадей построенных таким путем трапеций. Полученная таким образом приближенная формула называется формулой касательных :
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1/2
+ y
3/2
+ · · · + y n−1/2
] = Одновременно с предыдущими описанными трапециями рассмотрим вписанные трапеции, которые получим, соединив хордами концы соседних нечетных ординат присовокупим к ним еще две крайние трапеции,
образованные хордами, соединяющими концы ординат и y
1/2
, y и y n
. Сумму площадей полученных трапеций обозначим через − a
2n
y
0
+ y n
2
−
y
1/2
+ y n−1/2 2
+ 2y
1/2
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Если кривая y = f (x) в промежутке (a, b) не имеет точек перегиба, те. только выпукла или только вогнута, то площадь S кривой заключается между площадями и σ
2
, и естественно поэтому принять
[108
равна 2πa. Площадь вращающейся фигуры равна πr
2
, а потому по теореме Гульдина имеем = πr
2
· 2πa = Найти поверхность F кольца, рассмотренного в примере Длина вращающейся окружности равна 2πr; центр тяжести по- прежнему совпадает с центром окружности, а потому в силу теоремы Гульдина имеем = 2πr · 2πa = Рис. Найти центр тяжести G полукруга радиуса a. Примем основание полукруга за ось OX и направим ось OY попер- пендикуляру к OX, восстановленному в центре (рис. 145); в силу симметричности фигуры относительно оси OY ясно, что центр тяжести G лежит на оси OY . Остается найти только y
G
. Для этой цели применим теорему II Гульдина. Тело, получаемое при вращении полукруга вокруг оси OX, есть шар радиуса a, и его объем равен 4
. Площадь S вращающейся фигуры равна, а потому 3
πa
3
=
π
2
a
2
· 2πy
G
,
y
G
=
4 Найти центр тяжести полуокружности радиуса Выбирая координатные оси, как ив предыдущем примере, видим опять, что искомый центр лежит на оси OY , так что остается найти. Применяя теорему I Гульдина и заметив, что поверхность тела вращения F в данном случае равна 4πa
2
, длина s = πa, получим πa · 2πy
G
′
,
y
G
′
= Как и следовало ожидать, центр тяжести полуокружности лежит ближе к ней, чем центр тяжести ограничиваемого ею полукруга. Приближенное вычисление определенных интегралов;
формулы прямоугольников и трапеций.
Вычисление определенных интегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразной функции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция и существует, если подынтегральная функция непрерывна, одна она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее
108]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
343
можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Поэтому важное значение имеют способы приближенного вычисления определенных интегралов.
Б´
ольшая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммы b
Z
a f (x)dx = lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток, b) на n равных частей длину каждой части обозначим через h, так что h =
b − a n
,
x i
= a + ih
(x
0
= a;
x n
= a + nh = Обозначим далее через y значение подынтегральной функции y =
f (x) при x = x i
(i = 0, 1, . . . , n):
y i
= f (x i
) = f (a + Эти величины мы считаем известными их можно получить непосредственным вычислением, если функция f (x) задана аналитически,
или снять прямо с чертежа, если она изображена графически.
Полагая в сумме, стоящей в правой части (38), ξ
i
= x или x i
, мы получим две приближенные формулы прямоугольников f (x)dx ≈
b − a n
[y
0
+ y
1
+ · · · + y n−1
],
(40)
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1
+ y
2
+ · · · + y где знак (≈) обозначает приближенное равенство.
Чем больше число n, те. чем меньше h, тем эти формулы будут точнее ив пределе, при n → ∞ и h → 0, дадут точную величину определенного интеграла.
Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулю при возрастании числа ординат. Приданном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется для того случая, когда данная функция f (x) монотонна в промежутке (a, b)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[108
Рис. рис. 146). В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой из формул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е.
не превышает площади прямоугольника стем же основанием b−a n
= h и высотой, равной сумме высот y n
− заштрихованных прямоугольников, те. величины b − a n
(y n
− Формулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой y = f (x) приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальных отрезков, ограничивающих прямоугольники.
Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно мало отличаются отданной кривой чем ближе такая вспомогательная линия подходит к кривой y = f (x), тем меньше будет погрешность, которую мы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченную вспомогательной линией.
Рис. Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при x = x совпадают с ординатами данной кривой (рис. 147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихованных трапеций, то получим приближенную формулу трапеций f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+
y
1
+ y
2 2
+ · · · +
y n−1
+ y n
2
i
=
=
b − a
2n
[y
0
+ 2y
1
+ 2y
2
+ . . . 2y n−1
+ y n
].
(43)
[108
Рис. рис. 146). В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой из формул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е.
не превышает площади прямоугольника стем же основанием b−a n
= h и высотой, равной сумме высот y n
− заштрихованных прямоугольников, те. величины b − a n
(y n
− Формулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой y = f (x) приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальных отрезков, ограничивающих прямоугольники.
Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно мало отличаются отданной кривой чем ближе такая вспомогательная линия подходит к кривой y = f (x), тем меньше будет погрешность, которую мы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченную вспомогательной линией.
Рис. Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при x = x совпадают с ординатами данной кривой (рис. 147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихованных трапеций, то получим приближенную формулу трапеций f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+
y
1
+ y
2 2
+ · · · +
y n−1
+ y n
2
i
=
=
b − a
2n
[y
0
+ 2y
1
+ 2y
2
+ . . . 2y n−1
+ y n
].
(43)
109]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 109. Формула касательных и формула Понселе.
Увеличим теперь число делений вдвое, подразделив каждое из делений пополам. Мы получим таким путем 2n делений (рис. 148):
x
0
, x
1/2
= a +
h
2
,
x
1
= a + h, . . . , x i
= a + ih,
x i+1/2
= a +
i +
1 2
h, . . . ,
x n
= Рис. которым будут соответствовать ординаты, y
1/2
, y
1
, . . . , y i
, y i+1/2
, . . . , y ординаты y
0
, y
1
, . . . , y будем называть четными, ординаты не- четными).
В конце каждой нечетной ординаты проведем касательную до пересечения ее с двумя соседними четными ординатами и заменим данную площадь суммою площадей построенных таким путем трапеций. Полученная таким образом приближенная формула называется формулой касательных :
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1/2
+ y
3/2
+ · · · + y n−1/2
] = Одновременно с предыдущими описанными трапециями рассмотрим вписанные трапеции, которые получим, соединив хордами концы соседних нечетных ординат присовокупим к ним еще две крайние трапеции,
образованные хордами, соединяющими концы ординат и y
1/2
, y и y n
. Сумму площадей полученных трапеций обозначим через − a
2n
y
0
+ y n
2
−
y
1/2
+ y n−1/2 2
+ 2y
1/2
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Если кривая y = f (x) в промежутке (a, b) не имеет точек перегиба, те. только выпукла или только вогнута, то площадь S кривой заключается между площадями и σ
2
, и естественно поэтому принять
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[110
за приближенное выражение для S среднее арифметическое 2
, что дает формулу Понселе:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
2n h y
0
+ y n
4
−
y
1/2
+ y n−1/2 4
+ 2y
1/2
+
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Нетрудно видеть, что погрешность этой формулы при сделанном предположении о виде кривой не превосходит абсолютного значения σ
2 2
=
y
1/2
+ y n−1/2 2
−
y
0
+ y n
2
b − причем выражение, стоящее в скобках, равно, как это нетрудно показать из свойства средней линии трапеции, отрезку средней ординаты, отсекаемому хордами, соединяющими между собой концы крайних четных и крайних нечетных ординат. Формула Симпсона.
Оставив в силе предыдущее подразделение начетное число частей, заменим данную кривую рядом дуг парабол второй степени, проведя их через концы каждых трех ординат, y
1/2
, y
1
; y
1
, y
3/2
, y
2
; . . . ; y n−1
, y n−1/2
, y Вычисляя площадь каждой из полученных таким путем криволинейных фигур по формуле (4) [101], мы получим приближенную формулу
Симпсона:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
6n
[y
0
+ 4y
1/2
+ 2y
1
+ 4y
3/2
+ 2y
2
+ · · · +
+ 2y n−1
+ 4y n−1/2
+ y На выводе погрешности этой формулы, а равно и погрешности формулы трапеций, мы здесь останавливаться не будем. Заметим, вообще,
что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, так как обыкновенно дает слишком грубый предел.
По поводу предыдущего построения заметим, что соответствующим подбором a, b ив параболе y = ax
2
+ bx + c можно всегда заставить ее пройти через заданные три точки плоскости с различными абсциссами
110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
347
На практике для точности результата существенное значение имеет плавный ход кривой, ив соседстве с точками, где кривая более или менее резко меняет вид, нужно вести вычисления с большой точностью, для чего необходимо вводить более мелкие подразделения промежутка. Во всяком случае полезно перед вычислением составить себе хотя бы только приблизительное представление о ходе кривой.
Весьма существенное значение при приближенных вычислениях имеет схема расположения действий. Для того, чтобы дать представление о ней, а также, чтобы сравнить точность, даваемую различными выведенными выше приближенными формулами, мы приводим следующие примеры =
π/2
R
0
sin xdx = 1,
n = 10,
b − a n
= 0, 15707963,
b − a
2n
= 0, 07853981,
b − a
6n
= 0, 02617994
y
1
sin 9
◦
0,1564345
y
2
sin 18
◦
0,3090170
y
3
sin 27
◦
0,4539905
y
4
sin 36
◦
0,5877853
y
5
sin 45
◦
0,7071068
y
6
sin 54
◦
0,8090170
y
7
sin 63
◦
0,8910065
y
8
sin 72
◦
0,9510565
y
9
sin 81
◦
0,9876883
P
1 5,8531024
y
1/2
sin 4
◦
,
5 0,0784591
y
3/2
sin 13
◦
,
5 0,2334454
y
5/2
sin 22
◦
,
5 0,3826834
y
7/2
sin 31
◦
,
5 0,5224986
y
9/2
sin 40
◦
,
5 0,6494480
y
11/2
sin 49
◦
,
5 0,7604060
y
13/2
sin 58
◦
,
5 0,8526402
y
15/2
sin 67
◦
,
5 0,9238795
y
17/2
sin 76
◦
,
5 0,9723699
y
19/2
sin 85
◦
,
5 0,9969173
P
2 6,3727474
y
0
sin 0
◦
0,0000000
y
10
sin Формула прямоугольников по недостатку 5,8531024
y
0 0,0000000
P
5,8531024
lg
P
0,7673861
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
¯
1,9635059
S
= 0, Формула прямоугольников по избытку 5,8531024
y
10 1,0000000
P
6,8531024
lg
P
0,8358873
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0320071
[110
за приближенное выражение для S среднее арифметическое 2
, что дает формулу Понселе:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
2n h y
0
+ y n
4
−
y
1/2
+ y n−1/2 4
+ 2y
1/2
+
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Нетрудно видеть, что погрешность этой формулы при сделанном предположении о виде кривой не превосходит абсолютного значения σ
2 2
=
y
1/2
+ y n−1/2 2
−
y
0
+ y n
2
b − причем выражение, стоящее в скобках, равно, как это нетрудно показать из свойства средней линии трапеции, отрезку средней ординаты, отсекаемому хордами, соединяющими между собой концы крайних четных и крайних нечетных ординат. Формула Симпсона.
Оставив в силе предыдущее подразделение начетное число частей, заменим данную кривую рядом дуг парабол второй степени, проведя их через концы каждых трех ординат, y
1/2
, y
1
; y
1
, y
3/2
, y
2
; . . . ; y n−1
, y n−1/2
, y Вычисляя площадь каждой из полученных таким путем криволинейных фигур по формуле (4) [101], мы получим приближенную формулу
Симпсона:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
6n
[y
0
+ 4y
1/2
+ 2y
1
+ 4y
3/2
+ 2y
2
+ · · · +
+ 2y n−1
+ 4y n−1/2
+ y На выводе погрешности этой формулы, а равно и погрешности формулы трапеций, мы здесь останавливаться не будем. Заметим, вообще,
что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, так как обыкновенно дает слишком грубый предел.
По поводу предыдущего построения заметим, что соответствующим подбором a, b ив параболе y = ax
2
+ bx + c можно всегда заставить ее пройти через заданные три точки плоскости с различными абсциссами
110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
347
На практике для точности результата существенное значение имеет плавный ход кривой, ив соседстве с точками, где кривая более или менее резко меняет вид, нужно вести вычисления с большой точностью, для чего необходимо вводить более мелкие подразделения промежутка. Во всяком случае полезно перед вычислением составить себе хотя бы только приблизительное представление о ходе кривой.
Весьма существенное значение при приближенных вычислениях имеет схема расположения действий. Для того, чтобы дать представление о ней, а также, чтобы сравнить точность, даваемую различными выведенными выше приближенными формулами, мы приводим следующие примеры =
π/2
R
0
sin xdx = 1,
n = 10,
b − a n
= 0, 15707963,
b − a
2n
= 0, 07853981,
b − a
6n
= 0, 02617994
y
1
sin 9
◦
0,1564345
y
2
sin 18
◦
0,3090170
y
3
sin 27
◦
0,4539905
y
4
sin 36
◦
0,5877853
y
5
sin 45
◦
0,7071068
y
6
sin 54
◦
0,8090170
y
7
sin 63
◦
0,8910065
y
8
sin 72
◦
0,9510565
y
9
sin 81
◦
0,9876883
P
1 5,8531024
y
1/2
sin 4
◦
,
5 0,0784591
y
3/2
sin 13
◦
,
5 0,2334454
y
5/2
sin 22
◦
,
5 0,3826834
y
7/2
sin 31
◦
,
5 0,5224986
y
9/2
sin 40
◦
,
5 0,6494480
y
11/2
sin 49
◦
,
5 0,7604060
y
13/2
sin 58
◦
,
5 0,8526402
y
15/2
sin 67
◦
,
5 0,9238795
y
17/2
sin 76
◦
,
5 0,9723699
y
19/2
sin 85
◦
,
5 0,9969173
P
2 6,3727474
y
0
sin 0
◦
0,0000000
y
10
sin Формула прямоугольников по недостатку 5,8531024
y
0 0,0000000
P
5,8531024
lg
P
0,7673861
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
¯
1,9635059
S
= 0, Формула прямоугольников по избытку 5,8531024
y
10 1,0000000
P
6,8531024
lg
P
0,8358873
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0320071
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 1, Формула касательных
Формула трапеций lg
P
2 0,8043267
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0004465 2
P
1 11,7062048
y
0
+ y
10 1,0000000
P
12,7062048
lg
P
1,1040158
lg b−a
2n
¯
2,8950899
lg S
1,9991057
S
≈ 1, 0010290
S
≈ 0, Формула Понселе
2
P
2 12,7454948 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,2500000
−
1 4
(y
1/2
+ y
10/2
)
−0,2688441
P
12,7266507
lg
P
1,1047141
lg b−a
2n
¯
2,8950898
lg S
¯
1,9998039
S
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 11,7062048 4
P
2 25,4909896
y
0
+ y
10 1,0000000
P
38,1971944
lg
P
1,5820314
lg b−a
6a
¯
2,4179685
lg S
¯
1,9999999
S
≈ 1, 0000000 2.
S =
1
R
0
log(1+x)
1+x
2
dx =
π
8
log 2 = 0, 2721982613 . . . ,
8
n = 10,
b − a
2n
=
1 20
,
b − a
6n
=
1 60
y
1 0,0943665
y
2 0,1753092
y
3 0,2407012
y
4 0,2900623
y
5 0,3243721
y
6 0,3455909
y
7 0,3561263
y
8 0,3584065
y
9 0,3546154
P
1 2,5395503
y
1/2 0,0486685
y
3/2 0,1366865
y
5/2 0,2100175
y
7/2 0,2673538
y
9/2 0,3089926
y
11/2 0,3364722
y
13/2 0,3520389
y
15/2 0,3581540
y
17/2 0,3571470
y
19/2 0,3510273
P
2 2,7265583
y
0 0,0000000
y
10 0,3465736 Эта формула будет выведена во втором томе
110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
349
Формула Понселе
2
P
2 5,4531166 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,0866434
−
1 4
(y
1/2
+ y
19/2
)
−0,0999239
P
5,4398361
S
=
1 20
P
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 5,0791006 4
P
2 10,9062332
y
0
+ y n
0,3465736
P
16,3319074
S
=
1 60
P
≈ 0, 27219846 3.
S =
1
R
0
dx
1 + x
= log 2 = 0, 69314718 . . .
n = 20,
b − a
2n
=
1 40
,
b − a
6n
=
1 120
y
1 0,9523810
y
2 0,9090909
y
3 0,8695653
y
4 0,8333333
y
5 0,8000000
y
6 0,7692307
y
7 0,7407407
y
8 0,7142857
y
9 0,6896552
y
10 0,6666667
y
11 0,6451613
y
12 0,6250000
y
13 0,6060606
y
14 0,5882353
y
15 0,5714287
y
16 0,5555556
y
17 0,5405405
y
18 0,5263146
y
19 0,5128205
P
1 13,1166666
y
1/2 0,9756097
y
3/2 0,9302326
y
5/2 0,8888889
y
7/2 0,8510638
y
9/2 0,8163266
y
11/2 0,7843135
y
13/2 0,7547169
y
15/2 0,7272727
y
17/2 0,7017543
y
19/2 0,6779661
y
21/2 0,6557377
y
23/2 0,6349207
y
25/2 0,6153846
y
27/2 0,5970149
y
29/2 0,5977101
y
31/2 0,5633804
y
33/2 0,5479451
y
35/2 0,5333333
y
37/2 0,5194806
y
39/2 0,5063291
P
2 13,8613816
y
0 1,0000000
y
20 Формула трапеций 26,2321332
y
0
+ y
20 1,5000000
P
27,7321332
S
=
1 40
P
≈ 0, 69330333
Формула трапеций lg
P
2 0,8043267
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0004465 2
P
1 11,7062048
y
0
+ y
10 1,0000000
P
12,7062048
lg
P
1,1040158
lg b−a
2n
¯
2,8950899
lg S
1,9991057
S
≈ 1, 0010290
S
≈ 0, Формула Понселе
2
P
2 12,7454948 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,2500000
−
1 4
(y
1/2
+ y
10/2
)
−0,2688441
P
12,7266507
lg
P
1,1047141
lg b−a
2n
¯
2,8950898
lg S
¯
1,9998039
S
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 11,7062048 4
P
2 25,4909896
y
0
+ y
10 1,0000000
P
38,1971944
lg
P
1,5820314
lg b−a
6a
¯
2,4179685
lg S
¯
1,9999999
S
≈ 1, 0000000 2.
S =
1
R
0
log(1+x)
1+x
2
dx =
π
8
log 2 = 0, 2721982613 . . . ,
8
n = 10,
b − a
2n
=
1 20
,
b − a
6n
=
1 60
y
1 0,0943665
y
2 0,1753092
y
3 0,2407012
y
4 0,2900623
y
5 0,3243721
y
6 0,3455909
y
7 0,3561263
y
8 0,3584065
y
9 0,3546154
P
1 2,5395503
y
1/2 0,0486685
y
3/2 0,1366865
y
5/2 0,2100175
y
7/2 0,2673538
y
9/2 0,3089926
y
11/2 0,3364722
y
13/2 0,3520389
y
15/2 0,3581540
y
17/2 0,3571470
y
19/2 0,3510273
P
2 2,7265583
y
0 0,0000000
y
10 0,3465736 Эта формула будет выведена во втором томе
110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
349
Формула Понселе
2
P
2 5,4531166 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,0866434
−
1 4
(y
1/2
+ y
19/2
)
−0,0999239
P
5,4398361
S
=
1 20
P
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 5,0791006 4
P
2 10,9062332
y
0
+ y n
0,3465736
P
16,3319074
S
=
1 60
P
≈ 0, 27219846 3.
S =
1
R
0
dx
1 + x
= log 2 = 0, 69314718 . . .
n = 20,
b − a
2n
=
1 40
,
b − a
6n
=
1 120
y
1 0,9523810
y
2 0,9090909
y
3 0,8695653
y
4 0,8333333
y
5 0,8000000
y
6 0,7692307
y
7 0,7407407
y
8 0,7142857
y
9 0,6896552
y
10 0,6666667
y
11 0,6451613
y
12 0,6250000
y
13 0,6060606
y
14 0,5882353
y
15 0,5714287
y
16 0,5555556
y
17 0,5405405
y
18 0,5263146
y
19 0,5128205
P
1 13,1166666
y
1/2 0,9756097
y
3/2 0,9302326
y
5/2 0,8888889
y
7/2 0,8510638
y
9/2 0,8163266
y
11/2 0,7843135
y
13/2 0,7547169
y
15/2 0,7272727
y
17/2 0,7017543
y
19/2 0,6779661
y
21/2 0,6557377
y
23/2 0,6349207
y
25/2 0,6153846
y
27/2 0,5970149
y
29/2 0,5977101
y
31/2 0,5633804
y
33/2 0,5479451
y
35/2 0,5333333
y
37/2 0,5194806
y
39/2 0,5063291
P
2 13,8613816
y
0 1,0000000
y
20 Формула трапеций 26,2321332
y
0
+ y
20 1,5000000
P
27,7321332
S
=
1 40
P
≈ 0, 69330333
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[111
Формула Понселе
2
P
2 27,7227632 1
4
(y
0
+ y
20
)
0,375000
−
1 4
(y
1/2
+ y
39/2
)
−0,3704847
P
27,7272785
S
=
1 40
P ≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 26,2321332 4
P
2 55,4455264
y
0
+ y
20 0,5000000
P
83,1776596
S
=
1 120
P ≈ 0, 69314716 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Во многих вопросах приходится вычислять значения определенного интеграла (x) =
x
Z
a f (x)dx при переменном верхнем пределе.
Основываясь на формуле трапеций (43), можно указать следующий способ получения приближенных значений этого интеграла, конечно, не при всех значениях x, а только при тех, которыми подразделен на части промежуток (a, b), те (По формуле (43) мы имеем (x k
) =
a+kh
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
i
,
(48)
F (x k+1
) =
a+(k+1)h
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
+
y k
+ y k+1 2
i
≈
≈ F (x k
) +
1 2
h(y k
+ y Эта формула дает возможность, вычислив значение F (x k
), перейти к следующему значению F (x k+1
) = F (x k
+ Вычисление это можно располагать по схеме, приведенной на стр. 349.
[111
Формула Понселе
2
P
2 27,7227632 1
4
(y
0
+ y
20
)
0,375000
−
1 4
(y
1/2
+ y
39/2
)
−0,3704847
P
27,7272785
S
=
1 40
P ≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 26,2321332 4
P
2 55,4455264
y
0
+ y
20 0,5000000
P
83,1776596
S
=
1 120
P ≈ 0, 69314716 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Во многих вопросах приходится вычислять значения определенного интеграла (x) =
x
Z
a f (x)dx при переменном верхнем пределе.
Основываясь на формуле трапеций (43), можно указать следующий способ получения приближенных значений этого интеграла, конечно, не при всех значениях x, а только при тех, которыми подразделен на части промежуток (a, b), те (По формуле (43) мы имеем (x k
) =
a+kh
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
i
,
(48)
F (x k+1
) =
a+(k+1)h
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
+
y k
+ y k+1 2
i
≈
≈ F (x k
) +
1 2
h(y k
+ y Эта формула дает возможность, вычислив значение F (x k
), перейти к следующему значению F (x k+1
) = F (x k
+ Вычисление это можно располагать по схеме, приведенной на стр. 349.
Приложения понятия обо пределен ном интеграле 3
a
+ 3h
y
3
s
1
+ s
2
+ s
3 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
)
s
4
= y
3
+ y
4 4
a
+ 4h
y
4
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
)
s
5
= y
4
+ y
5 5
a
+ 5h
y
5
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
)
s
6
= y
5
+ y
6 6
a
+ 6h
y
6
s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
+ s
6 1
2
h
(s
1
+ s
2
+ s
3
+ s
4
+ s
5
+ s
6
)
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 112. Графические способы.
Эти вычисления можно произвести графически, если дан график кривой y = f (x); мы получим таким путем построение графика интегральной кривой y =
x
Z
a f (x)dx = F (по графику кривой y = f (Рис. Прежде всего, если имеем достаточно делений, то мы можем принять приближенно s
k
2
=
y k−1
+ y k
2
= y те. если график кривой) начерчен, то величины получаются непосредственно из чертежа,
как ординаты кривой при
(рис. 149)
x k−1/2
= a +
2k − 1 Наметим на оси OY точки, A
2
(y
3/2
), A
3
(y
5/2
), . . . , A
k
(y На оси OX влево от точки O построим отрезок OP , равный единице.
Проведем лучи A
1
, P A
2
, P A
3
, . . . , P и через точки M
0
, M
1
, M
2
, . . . , — им параллельные, так что A
1
, M
1
M
2
kP A
2
, M
2
M
3
kP A
3
, . . Точки M
0
, M
1
, M
2
, . . . и будут точками искомой приближенной интегральной кривой, так как нетрудно из чертежа убедиться, что x
1
M
1
= hy
1/2
, x
2
M
2
= h(y
1/2
+ y
3/2
), x
3
M
3
= h(y
1/2
+ y
3/2
+ y
5/2
), . . . ,
Эти вычисления можно произвести графически, если дан график кривой y = f (x); мы получим таким путем построение графика интегральной кривой y =
x
Z
a f (x)dx = F (по графику кривой y = f (Рис. Прежде всего, если имеем достаточно делений, то мы можем принять приближенно s
k
2
=
y k−1
+ y k
2
= y те. если график кривой) начерчен, то величины получаются непосредственно из чертежа,
как ординаты кривой при
(рис. 149)
x k−1/2
= a +
2k − 1 Наметим на оси OY точки, A
2
(y
3/2
), A
3
(y
5/2
), . . . , A
k
(y На оси OX влево от точки O построим отрезок OP , равный единице.
Проведем лучи A
1
, P A
2
, P A
3
, . . . , P и через точки M
0
, M
1
, M
2
, . . . , — им параллельные, так что A
1
, M
1
M
2
kP A
2
, M
2
M
3
kP A
3
, . . Точки M
0
, M
1
, M
2
, . . . и будут точками искомой приближенной интегральной кривой, так как нетрудно из чертежа убедиться, что x
1
M
1
= hy
1/2
, x
2
M
2
= h(y
1/2
+ y
3/2
), x
3
M
3
= h(y
1/2
+ y
3/2
+ y
5/2
), . . . ,
112]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
353
а это, в силу приближенного равенства (51), показывает x
k
M
k
=h(y
1/2
+ y
3/2
+ · · · + y k−1/2
)=h
y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
=F (x в силу формулы (Указанное построение проделано для того случая, когда масштаб для функции F (x) совпадает с масштабом для f (x). Если масштаб для площади другой, то построение остается тем же стою только разницей, что отрезок OP имеет длину не единицу, а l, причем l равно отношению масштаба для F (x) к масштабу для f (Графическое приближенное построение повторного интеграла) =
x
Z
a dx
x
Z
a f (основано на формуле прямоугольников (40) Положим, как и раньше, что (x) =
x
Z
a f (Рассматривая только значения x
0
, x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . независимой переменной, мы по формуле (40) имеем приближенное равенство (x
1
) ≈ hy
0
,
F (x
2
) ≈ h(y
0
+ y
1
), . . . , F (x k
) ≈ h(y
0
+ y
1
+ · · · + y Применяя туже формулу и к функции Φ, имеем k
) = h[F (x
0
) + F (x
1
) + · · · + F (x k−1
)] ≈
≈ h
2
[y
0
+ (y
0
+ y
1
) + · · · + (y
0
+ y
1
+ · · · + y Отсюда вытекает следующее построение ординаты Φ(x k
) (рис. построив точку P , как и раньше, мы на оси OY откладываем отрезки Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[112
Рис. Проведя лучи B
1
, P B
2
, P B
3
, . . . , P B
k
, . . . строим точки, M
1
, M
2
, . . . , M
k
, . . . проводя B
1
, M
1
M
2
kP B
2
, M
2
M
3
kP B
3
, . . Эти точки и будут точками искомой приближенной кривой, начерченной, однако, в неизменном масштабе (1 : h), ибо из построения ясно,
что x
1
M
1
= hy
0
, x
2
M
2
= hy
0
+ h(y
0
+ y
1
), . . . ,
x k
M
k
= hy
0
+ h(y
0
+ y
1
) + · · · + h(y
0
+ y
1
+ · · · + y k−1
) ≈
Φ(x k
)
h в силу (52). Если длина OP есть не единица, а l, то построенная кривая дает ординату кривой Φ(x), измененную в отношении 1 : lh. Следует оговорить, что при всем удобстве указанных построений точность их невелика, и их можно употреблять лишь при сравнительно грубых расчетах.
∗
Переменную интегрирования во внутреннем интеграле, вообще говоря,
следует обозначить другой буквой, например t.
113]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 113. Площади быстро колеблющихся кривых.
Выше [110] было указано, что для успешного применения различных приближенных формул, для вычисления определенных интегралов надлежит разбивать кривую, площадь которой определяется на участки, в каждом из которых она имеет плавную форму. Это требование весьма затруднительно для кривых, ведущих себя неправильно, имеющих много колебаний вверх и вниз. Для определения площадей таких кривых по предыдущим правилам приходится вводить слишком много подразделений, что значительно усложняет вычисления.
Рис. В таких случаях полезно применять другой способа именно разбивать площадь на полоски, параллельные не оси OY , а оси OX: для приближенного определения площади кривой, изображенной на рис. откладываем на оси OY наименьшую и наибольшую ординаты α и β кривой и разделяем промежуток (α, β) на n частей в точках y
0
= α, y
1
, . . . , y i−1
, y i
, . . . , y n−1
, y n
= Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OX, мы разобьем всю площадь на полоски, состоящие из отдельных частей за приближенное выражение площади й полоски мы можем принять произведение ее основания (y i
− y i−1
) на сумму длин l отрезков любой прямой заключенных внутри рассматриваемой площади сумма эта непосредственно может быть определена на чертеже. Обозначив эту сумму через
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения i
, мы получаем для искомой площади S приближенное выражение вида y
0
(b − a) + (y
1
− y
0
)l
1
+ (y
2
− y
1
)l
2
+ · · · + (y n
− y n−1
)l которое будет тем точнее, чем больше число делений и чем круче колебания кривой.
Надлежащее развитие основной идеи этого способа привело к понятию об интеграле Лебега, значительно более общему, чем изложенное выше понятие об интеграле Римана [94, 116].
§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Предварительные понятия. Последние номера настоящей главы будут посвящены строгому аналитическому рассмотрению понятия интеграла, ив дальнейшем мы докажем существование определенного предела у суммы вида (ξ
k
)(x k
− x не только для случая непрерывных функций. Для этого нам необходимо ввести некоторые новые понятия, связанные с рассмотрением разрывных функций.
Пусть функция f (x) определена в некотором конечном промежутке. Мы будем рассматривать только ограниченные функции, те. такие функции, все значения которых в упомянутом промежутке остаются по абсолютной величине меньшими некоторого определенного положительного числа, те. функция f (x) называется ограниченной в промежутке (a, b), если существует такое положительное число B, что при всяком x из упомянутого промежутка мы имеем 6 Если функция f (x) непрерывна, то, как мы уже упоминали она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений, а потому, очевидно, будет и ограниченной. Наоборот, разрывные функции могут быть как ограниченными, таки неограниченными. В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные разрывные функции. Положим, например, что функция
114] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
357
Рис. 152.
f (x) имеет график, изображенный на рис. 152. В точке x = c мы имеем разрыв непрерывности функции, и значение функции в самой точке x = c, те, должно быть определено каким- нибудь образом путем дополнительного условия. В остальных точках промежутка, включая концы a и b, функция непрерывна. Кроме того, при стремлении переменной x к значению x = c от меньших значений, те. слева, ордината f (x) стремится к определенному пределу, геометрически изображаемому отрезком N Точно также при стремлении x кот больших значений, т. е.
справа, f (x) стремится тоже к определенному пределу, изображаемому отрезком N M
2
, но этот последний предел отличен от упомянутого выше предела слева. Упомянутый предел слева обозначают обычно символом f (c − 0), а предел справа — символом f(c + 0) Этот наиболее простой разрыв непрерывности функции, при котором существуют конечные определенные пределы как слева, таки справа, называется обычно разрывом первого рода. Значение функции в самой точке x = c, те, будет, вообще говоря, отличным как от f (c − 0), таки от f(c + 0) и должно быть определенно дополнительно. Если функция непрерывна в промежутке (a, b), включая концы, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, то график такой функции состоит из конечного числа кривых, непрерывных вплоть до своих концов, и из отдельных точек в местах разрыва непрерывности (рис. Рис. Такая функция, несмотря на свою раз- рывность, будет, очевидно, ограниченной во всем промежутке. Но, конечно,
функции и с более сложными разрывами могут быть ограниченными.
В дальнейшем мы часто будем рассматривать множества всех значений,
которые некоторая функция f (x) принимает на каком-либо заданном промежутке изменения независимой пере
115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
359
Такое разбиение будем обозначать одной буквой δ; значения x называются точками деления δ. У различных разбиений число частичных промежутков и точки деления x k
, вообще говоря, различны. Длины частичных промежутков для разбиения (1) обозначим x k
− x k−1
(k = 1, 2, . . . , n). Пусть f (x) — ограниченная функция, заданная на промежутке (a, b). Напишем сумму, соответствующую разбиению δ (1), предел которой, если он существует, дает определенный интеграл от f (x) по промежутку (a, b):
σ(δ, ξ
k
) =
n
X
k=1
f (Она зависит от δ и выбора точек ξ
k
. Рассмотрим множество значений) в промежутке (x k−1
, x k
). В силу ограниченности функции f (x), это — ограниченное множество. Обозначим через m точную нижнюю и через M
k
— точную верхнюю границы значений f (x) в промежутке (x k−1
, x k
) (k = 1, 2, . . . , n) ив слагаемых суммы (заменим f (ξ
k
) на m k
, а также на M
k
. Мы получим две суммы, зависящие только от разбиения δ промежутка (a, b):
s(δ) =
n
X
k=1
m k
δ
k
;
S(δ) Из определения m и M
k непосредственно следует m
k
6
f (ξ
k
) 6 откуда ввиду положительности δ
k будем иметь s(δ) 6 σ(δ, ξ
k
) 6 Пусть, как и выше, m и M — точные нижняя и верхняя границы значений f (x) на всем промежутке (a, b). Используя лемму нетрудно видеть, что имеют место неравенства m 6 m k
6
M
k
6
M,
k = 1, 2, . . . , Эти суммы часто называют нижней и верхней суммами Дарбу соответственно Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[115
и, кроме того, очевидно n
X
k=1
δ
k
=
n
X
k=1
(x k
− x k−1
) = b − Умножая неравенства (5) на положительные числа δ
k и суммируя по k от k = 1 дополучим те. множество значений s(δ) и S(δ) при всевозможных разбиениях ограничено сверху и снизу. Обозначим буквою i точную верхнюю границу множества значений s(δ) и буквою I — точную нижнюю границу значений S(δ) при всевозможных разбиениях Отметим, что неотрицательная разность M −m называется обычно колебанием функции f (x) на промежутке (a, b). Разность M
k
− m есть колебания функции f (x) на промежутке (x k−1
, x Введем теперь некоторые новые понятия. Разбиение промежутка) назовем продолжением разбиения δ, если всякая точка деления δ есть и точка деления δ
′
, те. получается из δ добавлением новых точек деления (если не совпадает с δ). Если и два разбиения, то произведением их назовем такое разбиение (a, точки деления которого получаются объединением точек деления как δ
1
, таки. Произведение разбиений обозначим символом Это понятие применимо и для нескольких сомножителей. Разбиение является, очевидно, продолжением как разбиения δ
1
, таки разбиения Лемма. Если разбиение есть продолжение разбиения то s(δ) 6 s(δ
′
) и S(δ) > При переходе от δ к каждый из промежутков (x k−1
, x k
) подразделения может разбиться на части. Положим, например, что этот промежуток разбился натри части (x k−1
, α
k
), (α
k
, β
k
), (β
k
, x длины которых δ
(1)
k
= α
k
− x k−1
, δ
(2)
k
= β
k
− α
k
, δ
(3)
k
= x k
− β
k
, и
115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
361
пусть M
(1)
k
, M
(2)
k
, M
(3)
k
— точные верхние границы множества значений) в указанных промежутках. В силу леммы 1: M
(1)
k
, M
(2)
k и M
(3)
k
6
M
k
, и сумма δ
(1)
k
+ δ
(2)
k
+ δ
(3)
k
= δ
k
= x k
− x k−1
. Слагаемое суммы S(δ) при переходе к заменяется суммой трех слагаемых+ M
(2)
k
δ
(2)
k
+ M
(3)
k
δ
(3)
k ив силу сказанного выше+ M
(2)
k
δ
(2)
k
+ M
(3)
k
δ
(3)
k
6
M
k
(δ
(1)
k
+ δ
(2)
k
+ δ
(3)
k
) = те. при переходе от δ к каждое слагаемое M
k
δ
k суммы или заменяется конечной суммой, которая меньше или равна M
k
δ
k
, или остается без изменения. Отсюда и следует, что S(δ) > S(δ
′
). Совершенно аналогично доказывается, что s(δ) 6 s(δ
′
), и лемма доказана.
Принимая во внимание, что m k
6
M
k и δ
k положительны, легко видеть, что при одном и том же δ мы имеем s(δ) 6 S(δ). Покажем,
что такое же неравенство имеет место и для любых различных раз- биений.
Л ем м а 3. Если и δ
2
— любые два разбиения, то s(δ
1
) 6 Рассмотрим произведение разбиений и δ
2
. Поскольку есть продолжение и δ
2
, из леммы 2 следует, что s(δ
1
δ
2
) > s(δ
1
) и) 6 S(δ
2
), и пользуясь неравенством s(δ
1
δ
2
) 6 S(δ
1
δ
2
), получаем. Лемма доказана.
Из этой леммы непосредственно следует, что верхняя грань i множества значений s(δ) при всевозможных разбиениях δ и нижняя грань I для S(δ) удовлетворяют неравенствам s(δ) 6 i 6 I 6 Займемся теперь суммами σ(δ, ξ
k
), которые удовлетворяют неравенствам. При фиксированном разбиении δ, в силу определения m
k и M
k
, можно при любом k выбрать ξ
k так, чтобы f (ξ
k
) было сколько угодно близко кили даже (в некоторых случаях)
совпадало ст. е. можно выбрать ξ
k так, чтобы сумма σ(δ, была сколь угодно близкой кили даже в некоторых случаях, чтобы σ(δ, ξ
k
) совпадало с S(δ). С другой стороны, в силу (4),
, мы получаем для искомой площади S приближенное выражение вида y
0
(b − a) + (y
1
− y
0
)l
1
+ (y
2
− y
1
)l
2
+ · · · + (y n
− y n−1
)l которое будет тем точнее, чем больше число делений и чем круче колебания кривой.
Надлежащее развитие основной идеи этого способа привело к понятию об интеграле Лебега, значительно более общему, чем изложенное выше понятие об интеграле Римана [94, 116].
§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Предварительные понятия. Последние номера настоящей главы будут посвящены строгому аналитическому рассмотрению понятия интеграла, ив дальнейшем мы докажем существование определенного предела у суммы вида (ξ
k
)(x k
− x не только для случая непрерывных функций. Для этого нам необходимо ввести некоторые новые понятия, связанные с рассмотрением разрывных функций.
Пусть функция f (x) определена в некотором конечном промежутке. Мы будем рассматривать только ограниченные функции, те. такие функции, все значения которых в упомянутом промежутке остаются по абсолютной величине меньшими некоторого определенного положительного числа, те. функция f (x) называется ограниченной в промежутке (a, b), если существует такое положительное число B, что при всяком x из упомянутого промежутка мы имеем 6 Если функция f (x) непрерывна, то, как мы уже упоминали она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений, а потому, очевидно, будет и ограниченной. Наоборот, разрывные функции могут быть как ограниченными, таки неограниченными. В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные разрывные функции. Положим, например, что функция
114] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
357
Рис. 152.
f (x) имеет график, изображенный на рис. 152. В точке x = c мы имеем разрыв непрерывности функции, и значение функции в самой точке x = c, те, должно быть определено каким- нибудь образом путем дополнительного условия. В остальных точках промежутка, включая концы a и b, функция непрерывна. Кроме того, при стремлении переменной x к значению x = c от меньших значений, те. слева, ордината f (x) стремится к определенному пределу, геометрически изображаемому отрезком N Точно также при стремлении x кот больших значений, т. е.
справа, f (x) стремится тоже к определенному пределу, изображаемому отрезком N M
2
, но этот последний предел отличен от упомянутого выше предела слева. Упомянутый предел слева обозначают обычно символом f (c − 0), а предел справа — символом f(c + 0) Этот наиболее простой разрыв непрерывности функции, при котором существуют конечные определенные пределы как слева, таки справа, называется обычно разрывом первого рода. Значение функции в самой точке x = c, те, будет, вообще говоря, отличным как от f (c − 0), таки от f(c + 0) и должно быть определенно дополнительно. Если функция непрерывна в промежутке (a, b), включая концы, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, то график такой функции состоит из конечного числа кривых, непрерывных вплоть до своих концов, и из отдельных точек в местах разрыва непрерывности (рис. Рис. Такая функция, несмотря на свою раз- рывность, будет, очевидно, ограниченной во всем промежутке. Но, конечно,
функции и с более сложными разрывами могут быть ограниченными.
В дальнейшем мы часто будем рассматривать множества всех значений,
которые некоторая функция f (x) принимает на каком-либо заданном промежутке изменения независимой пере
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[115
менной. Если взятая функция ограничена в рассматриваемом промежутке, то множество ее значений в этом промежутке ограничено сверху и снизу, а потому это множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы [39]. Если, например, f (x) непрерывна в рассматриваемом промежутке (замкнутом, то, как известно она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений. В данном случае эти наибольшее и наименьшее значения функции и будут точными верхней и нижней границами значений f (x) в рассматриваемом промежутке.
Рассмотрим другой пример. Если функция f (x) есть возрастающая функция, то она принимает наибольшее значение на правом конце промежутка и наименьшее — на левом. Эти значения, также как ив предыдущем случае, будут точными верхней и нижней границами значений f (x). В обоих рассмотренных примерах точные границы значений функции сами являлись частными значениями функции, те. сами принадлежали к рассматриваемой совокупности значений функции. В более сложных случаях разрывной функции точные границы значений функции могут сами и не являться значениями функции, те. могут и не принадлежать к множеству значений функции.
Пусть m — точная нижняя граница множества значений ограниченной функции f (x) на некотором конечном промежутке (a, b) и — точная верхняя граница. Возьмем новый промежуток (a
′
, который является частью (a, Пусть и M
′
— точные нижняя и верхняя границы множества значений f (x) на (a
′
, b
′
). Так как множество значений f (x) на (a
′
, содержится в множестве значений f (x) на более широком промежутке, то можно утверждать, что m
′
>
m и M
′
6
M , т. е.
имеет место
Л ем м а 1. Если некоторый промежуток заменить его частью, то точная верхняя граница значений f (x) не может увеличиться, а точная нижняя граница не может уменьшиться. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. Пусть конечный промежуток (a, b) разбит наконечное число частей промежуточными значениями x:
a = x
0
< x
1
< x
2
< · · · < x k−1
< x k
< · · · < x n−1
< x n
= b.
(1)
[115
менной. Если взятая функция ограничена в рассматриваемом промежутке, то множество ее значений в этом промежутке ограничено сверху и снизу, а потому это множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы [39]. Если, например, f (x) непрерывна в рассматриваемом промежутке (замкнутом, то, как известно она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений. В данном случае эти наибольшее и наименьшее значения функции и будут точными верхней и нижней границами значений f (x) в рассматриваемом промежутке.
Рассмотрим другой пример. Если функция f (x) есть возрастающая функция, то она принимает наибольшее значение на правом конце промежутка и наименьшее — на левом. Эти значения, также как ив предыдущем случае, будут точными верхней и нижней границами значений f (x). В обоих рассмотренных примерах точные границы значений функции сами являлись частными значениями функции, те. сами принадлежали к рассматриваемой совокупности значений функции. В более сложных случаях разрывной функции точные границы значений функции могут сами и не являться значениями функции, те. могут и не принадлежать к множеству значений функции.
Пусть m — точная нижняя граница множества значений ограниченной функции f (x) на некотором конечном промежутке (a, b) и — точная верхняя граница. Возьмем новый промежуток (a
′
, который является частью (a, Пусть и M
′
— точные нижняя и верхняя границы множества значений f (x) на (a
′
, b
′
). Так как множество значений f (x) на (a
′
, содержится в множестве значений f (x) на более широком промежутке, то можно утверждать, что m
′
>
m и M
′
6
M , т. е.
имеет место
Л ем м а 1. Если некоторый промежуток заменить его частью, то точная верхняя граница значений f (x) не может увеличиться, а точная нижняя граница не может уменьшиться. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. Пусть конечный промежуток (a, b) разбит наконечное число частей промежуточными значениями x:
a = x
0
< x
1
< x
2
< · · · < x k−1
< x k
< · · · < x n−1
< x n
= b.
(1)
115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
359
Такое разбиение будем обозначать одной буквой δ; значения x называются точками деления δ. У различных разбиений число частичных промежутков и точки деления x k
, вообще говоря, различны. Длины частичных промежутков для разбиения (1) обозначим x k
− x k−1
(k = 1, 2, . . . , n). Пусть f (x) — ограниченная функция, заданная на промежутке (a, b). Напишем сумму, соответствующую разбиению δ (1), предел которой, если он существует, дает определенный интеграл от f (x) по промежутку (a, b):
σ(δ, ξ
k
) =
n
X
k=1
f (Она зависит от δ и выбора точек ξ
k
. Рассмотрим множество значений) в промежутке (x k−1
, x k
). В силу ограниченности функции f (x), это — ограниченное множество. Обозначим через m точную нижнюю и через M
k
— точную верхнюю границы значений f (x) в промежутке (x k−1
, x k
) (k = 1, 2, . . . , n) ив слагаемых суммы (заменим f (ξ
k
) на m k
, а также на M
k
. Мы получим две суммы, зависящие только от разбиения δ промежутка (a, b):
s(δ) =
n
X
k=1
m k
δ
k
;
S(δ) Из определения m и M
k непосредственно следует m
k
6
f (ξ
k
) 6 откуда ввиду положительности δ
k будем иметь s(δ) 6 σ(δ, ξ
k
) 6 Пусть, как и выше, m и M — точные нижняя и верхняя границы значений f (x) на всем промежутке (a, b). Используя лемму нетрудно видеть, что имеют место неравенства m 6 m k
6
M
k
6
M,
k = 1, 2, . . . , Эти суммы часто называют нижней и верхней суммами Дарбу соответственно Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[115
и, кроме того, очевидно n
X
k=1
δ
k
=
n
X
k=1
(x k
− x k−1
) = b − Умножая неравенства (5) на положительные числа δ
k и суммируя по k от k = 1 дополучим те. множество значений s(δ) и S(δ) при всевозможных разбиениях ограничено сверху и снизу. Обозначим буквою i точную верхнюю границу множества значений s(δ) и буквою I — точную нижнюю границу значений S(δ) при всевозможных разбиениях Отметим, что неотрицательная разность M −m называется обычно колебанием функции f (x) на промежутке (a, b). Разность M
k
− m есть колебания функции f (x) на промежутке (x k−1
, x Введем теперь некоторые новые понятия. Разбиение промежутка) назовем продолжением разбиения δ, если всякая точка деления δ есть и точка деления δ
′
, те. получается из δ добавлением новых точек деления (если не совпадает с δ). Если и два разбиения, то произведением их назовем такое разбиение (a, точки деления которого получаются объединением точек деления как δ
1
, таки. Произведение разбиений обозначим символом Это понятие применимо и для нескольких сомножителей. Разбиение является, очевидно, продолжением как разбиения δ
1
, таки разбиения Лемма. Если разбиение есть продолжение разбиения то s(δ) 6 s(δ
′
) и S(δ) > При переходе от δ к каждый из промежутков (x k−1
, x k
) подразделения может разбиться на части. Положим, например, что этот промежуток разбился натри части (x k−1
, α
k
), (α
k
, β
k
), (β
k
, x длины которых δ
(1)
k
= α
k
− x k−1
, δ
(2)
k
= β
k
− α
k
, δ
(3)
k
= x k
− β
k
, и
115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
361
пусть M
(1)
k
, M
(2)
k
, M
(3)
k
— точные верхние границы множества значений) в указанных промежутках. В силу леммы 1: M
(1)
k
, M
(2)
k и M
(3)
k
6
M
k
, и сумма δ
(1)
k
+ δ
(2)
k
+ δ
(3)
k
= δ
k
= x k
− x k−1
. Слагаемое суммы S(δ) при переходе к заменяется суммой трех слагаемых+ M
(2)
k
δ
(2)
k
+ M
(3)
k
δ
(3)
k ив силу сказанного выше+ M
(2)
k
δ
(2)
k
+ M
(3)
k
δ
(3)
k
6
M
k
(δ
(1)
k
+ δ
(2)
k
+ δ
(3)
k
) = те. при переходе от δ к каждое слагаемое M
k
δ
k суммы или заменяется конечной суммой, которая меньше или равна M
k
δ
k
, или остается без изменения. Отсюда и следует, что S(δ) > S(δ
′
). Совершенно аналогично доказывается, что s(δ) 6 s(δ
′
), и лемма доказана.
Принимая во внимание, что m k
6
M
k и δ
k положительны, легко видеть, что при одном и том же δ мы имеем s(δ) 6 S(δ). Покажем,
что такое же неравенство имеет место и для любых различных раз- биений.
Л ем м а 3. Если и δ
2
— любые два разбиения, то s(δ
1
) 6 Рассмотрим произведение разбиений и δ
2
. Поскольку есть продолжение и δ
2
, из леммы 2 следует, что s(δ
1
δ
2
) > s(δ
1
) и) 6 S(δ
2
), и пользуясь неравенством s(δ
1
δ
2
) 6 S(δ
1
δ
2
), получаем. Лемма доказана.
Из этой леммы непосредственно следует, что верхняя грань i множества значений s(δ) при всевозможных разбиениях δ и нижняя грань I для S(δ) удовлетворяют неравенствам s(δ) 6 i 6 I 6 Займемся теперь суммами σ(δ, ξ
k
), которые удовлетворяют неравенствам. При фиксированном разбиении δ, в силу определения m
k и M
k
, можно при любом k выбрать ξ
k так, чтобы f (ξ
k
) было сколько угодно близко кили даже (в некоторых случаях)
совпадало ст. е. можно выбрать ξ
k так, чтобы сумма σ(δ, была сколь угодно близкой кили даже в некоторых случаях, чтобы σ(δ, ξ
k
) совпадало с S(δ). С другой стороны, в силу (4),
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, ξ
k
) 6 S(δ). Отсюда следует, что S(δ) есть точная верхняя граница значений σ(δ, ξ
k
) при всевозможных выборах ξ
k
. Аналогично доказывается, что s(δ) есть точная нижняя граница значений, ξ
k
), те. имеет место
Л ем м а 4. При фиксированном разбиении δ величина s(δ) есть точная нижняя граница значений σ(δ, ξ
k
) при всевозможных выборах, а S(δ) есть точная верхняя граница множества значений) при тех же условиях. Интегрируемые функции. Укажем теперь необходимое и достаточное условие существования интеграла у ограниченной функции f (x) или, как говорят, необходимое и достаточное условие интегрируемости f (x). Через µ(δ) в дальнейшем будем обозначать наибольшую из длин частичных промежутков, входящих в подразделение Теорема. Необходимое и достаточное условие интегрируемо- сти ограниченной функции f (x) наконечном промежутке (a, состоит в том, чтобы разность) − s(δ) =
k
) 6 S(δ). Отсюда следует, что S(δ) есть точная верхняя граница значений σ(δ, ξ
k
) при всевозможных выборах ξ
k
. Аналогично доказывается, что s(δ) есть точная нижняя граница значений, ξ
k
), те. имеет место
Л ем м а 4. При фиксированном разбиении δ величина s(δ) есть точная нижняя граница значений σ(δ, ξ
k
) при всевозможных выборах, а S(δ) есть точная верхняя граница множества значений) при тех же условиях. Интегрируемые функции. Укажем теперь необходимое и достаточное условие существования интеграла у ограниченной функции f (x) или, как говорят, необходимое и достаточное условие интегрируемости f (x). Через µ(δ) в дальнейшем будем обозначать наибольшую из длин частичных промежутков, входящих в подразделение Теорема. Необходимое и достаточное условие интегрируемо- сти ограниченной функции f (x) наконечном промежутке (a, состоит в том, чтобы разность) − s(δ) =
1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 43