Файл: Федеральное агентство связи федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 181
Скачиваний: 18
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
13
Рис. 1. График значений вероятности безотказной работы ИС соглас- но табл. 2
14
Таблица 3
Расчетные значения вероятности безотказной ИС при λ
з
=
8,5·10
-7
t
(ч)
P(t)=e
-nλt
(
λ
з
=8,5·10
-7
)
n
Т
=143
n
з
=850
n
П
=354 0
1 1
1 25 0,996965862 0,982099649 0,992505723 50 0,993940931 0,964519721 0,985067611 75 0,990925177 0,94725448 0,977685241 100 0,987918574 0,930298292 0,970358197 125 0,984921093 0,913645626 0,963086064 150 0,981932706 0,897291049 0,955868431 175 0,978953387 0,881229225 0,948704888 200 0,975983108 0,865454912 0,941595031 225 0,973021841 0,849962966 0,934538457 250 0,970069559 0,834748331 0,927534768 275 0,967126234 0,819806043 0,920583565 300 0,96419184 0,805131227 0,913684457 325 0,961266349 0,790719096 0,906837053 350 0,958349735 0,776564946 0,900040965 375 0,95544197 0,762664161 0,893295809 400 0,952543027 0,749012205 0,886601203
15
Рис. 2. График значений вероятности безотказной работы ИС соглас- но табл. 3
Таблица 4
Расчетные значения вероятности безотказной ИС при λ
П
=0,72∙10
-7
t
(ч)
P(t)=e
-nλt
(
λ
3
=0,72∙10
-7
)
n
Т
=
143
n
з
=
850
n
П
=354 0
1 1
1 25 0,998506766 0,991156833 0,996307534 50 0,997015762 0,982391867 0,992628702 75 0,995526984 0,973704412 0,988963455 100 0,994040429 0,965093781 0,985311741 125 0,992556094 0,956559295 0,98167351 150 0,991073976 0,948100282 0,978048714 175 0,98959407 0,939716072 0,974437303 200 0,988116375 0,931406006 0,970839226 225 0,986640886 0,923169427 0,967254435 250 0,9851676 0,915005686 0,963682881 275 0,983696514 0,906914137 0,960124515 300 0,982227625 0,898894144 0,956579288 325 0,980760929 0,890945073 0,953047151 350 0,979296424 0,883066297 0,949528057 375 0,977834105 0,875257194 0,946021957 400 0,97637397 0,867517148 0,942528803
16
Рис. 3. График значений вероятности безотказной работы ИС соглас- но табл. 4
Практическое занятие № 2
Тема: Расчет показателей надежности невосстанавливаемых систем при использовании резервирования системы. Рассматривается вариант посто- янно подключенного резерва всей системы.
Цель занятия: Освоить особенности расчета основных показателей надежности системы при использовании резервирования всей системы для случаев постоянно подключенного резерва.
2.1. Расчет основных показателей надежности невосстанавливае-
мых ИС при использовании резервирования
Любая информационная система представляет собой совокупность элементов и связей между ними. Элементы, составляющие систему, могут быть соединены между собой различным образом. С точки зрения надѐжно- сти, такие соединения представляют собой некие структуры, каждая из ко- торых имеет свой способ расчѐта надежности. Такие структуры получили название структурных схем надѐжности [3].
Последовательное соединение в структурной схеме надѐжности – это такое соединение, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к от- казу всей системы в целом (рис. 4). Этот тип соединения в теории надѐжно- сти ещѐ называет основным соединением, так как в технике встречается наиболее часто.
Рис.4 Структурная схема надѐжности с последовательным соединением элементов
Если считать отказы элементов независимыми, то на основании теоремы умножения вероятностей вероятность безотказной работы ИС выражается следующим образом :
1 2
3 n
17
),
(
)
(
1
c
t
P
t
P
i
n
i
где P
i
(t) – вероятность безотказной работы i - го элемента;
P
c
( t ) – вероятность безотказной работы системы.
Интенсивность отказов ИС из n последовательно соединѐнных элементов определяется как сумма интенсивностей отказов отдельных элементов:
)
(
1
t
n
i
i
С
Для случая λ=const вероятность безотказной работы и интенсивность отказов для ИС определятся как
),
exp(
)
(
1
с
t
t
P
n
i
i
Параллельным соединением элементов в структурной схеме надѐжности называется такое соединение, при котором система отказывает только при отказе всех n элементов, образующих эту схему (рис. 5).
Рис.5. Структурная схема надѐжности с параллельным соединением элементов
Согласно определению
)
)
(
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1
2 1
с
n
i
i
n
i
i
n
t
p
t
q
t
q
t
q
t
q
t
Q
или
).
)
(
1
(
1
)
(
1
)
(
1
c с
n
i
i
t
p
t
Q
t
P
1 2
n
18
С учетом зависимости вероятности безотказной работы от интенсивности отказов последнее выражение принимает следующий вид
)).
)
(
exp(
1
(
1
)
(
1 0
с
n
i
i
t
dt
t
t
P
Для случая равнонадежных элементов системы
)),
)
(
exp(
1
(
1
)
(
1
с
n
i
i
dt
t
t
P
а при
const
).
)
exp(
1
(
1
)
(
1
с
n
i
t
t
P
Если далее, для сокращения записей формул опустить аргумент t , показывающий зависимость показателей надежности от времени, то для данного вида соединений элементов получим
,
с
n
q
Q
.
p
P
n
)
(1 1
с
Таким образом, при параллельном соединении элементов надежность системы повышается при увеличении числа элементов, соответственно сред- няя наработка системы оказывается больше средней наработки ее элементов.
2.2. Задача 2
При проектировании информационной системы обеспечить надеж- ность безотказной работы системы в длительном режиме функционирова- ния P(t)≥ 0,97. Для решения задачи использовать метод резервирования всей системы.
Исходные данные:
1. Проектируемая система состоит из n элементов.
2. Средняя интенсивность отказов для элементов системы – λ.
3. Время, для которого определяется вероятность безотказной работы
ИС – t.
4. Вероятность безотказной работы системы подчиняется экспонен- циальному закону распределения, система невосстанавливаемая.
При решении задачи следует определить:
19 1.
Кратность резервирования всей системы (m), обеспечивающую тре- буемое значение вероятности безотказной работы - P(t).
2.
Построить графики зависмости надежности ИС от времени при различных значениях m. Диапазон изменения времени функциони- рования – от 0 до 400, с шагом изменения – 25. Значения m выбрать равными 0,1, 2, 3.
Варианты заданий для самостоятельной работы приведены табл.1.
2.3. Пример решения задачи 2
Рассмотрим решение задачи со следующим вариантом исходных данных: n=850, λ=0,85·10
-6
, t=250.
Вероятность безотказной работы проектируемой системы (если не принимать дополнительных мер) составляет:
Вычислим P(t) учетом исходных данных
0,83474833
Полученное значение вероятности безотказной работы ИС не удовле- творяет поставленным требованиям P(250)≥0,97.
Используем способ повышения надежности проектируемой системы предусматривающий резервирование всей системы с постоянно подключен- ным резервом. В этом случае, параллельно основной системе подключаются резервные ИС, надежность такой схемы определяется выражением
),
)
(
1
(
1
)
(
1
)
(
1
c с
n
i
i
t
p
t
Q
t
P
где n=m+1, m – искомое значение кратности резервирования системы, а p
i
= P(250) для всех i =1,2, …, n.
В этом случае последнее выражение можно представить в следующем виде
0,97=1-(1-0,83474833)
m+1
,
20 откуда искомое значение кратности резервирования системы опреде- лится как ln(1- 0,97)=(m+1)·ln(1-0,83474833) и далее
Таким образом, для обеспечения заданного значения вероятности без- отказной работы ИС для t=250 ч достаточно (после округления до ближаше- го целого числа в сторону увеличения m) однократного резервирования всей системы, то есть m=1.
Для проверки полученного результата рассчитаем вероятность безот- казной работы системы для полученного варианта резервирования.
При однократном резервировании
Полученный результат удовлетворяет поставленным требованиям.
При построении графиков с использованием программы Exsel следует сформировать таблицу значений вероятности безотказной работы ИС, кото- рая в данном случае будет иметь следующий вид (табл. 5), соответсвующие графики функции P(t) представлены на рис. 6.
Таблица 5
Расчетные значения вероятности безотказной ИС при различных зна- чениях степени резервирования
t
(ч)
P(t)=1-(1-e
-nλt
)
m+1
m=0
m=1
m=2
m=3 0
1 1 1 1
25 0,982099649 0,99968 0,999994264 0,999999897329 50 0,964519721 0,998741 0,999955336 0,999998415 75 0,94725448 0,997218 0,999853257 0,99999226 100 0,930298292 0,995142 0,999661366 0,999976397 125 0,913645626 0,992543 0,999356049 0,999944392 150 0,897291049 0,989451 0,99891651 0,999888716 175 0,881229225 0,985894 0,99832456 0,999801007 200 0,865454912 0,981898 0,997564414 0,999672304 225 0,849962966 0,977489 0,9966225 0,99949325 250 0,834748331 0,972692 0,995487289 0,999254267
21 275 0,819806043 0,96753 0,994149127 0,998945708 300 0,805131227 0,962026 0,992600085 0,998557988 325 0,790719096 0,956202 0,937067463 0,878095431 350 0,776564946 0,950077 0,93239382 0,869358235 375 0,762664161 0,943672 0,927743486 0,860707976 400 0,749012205 0,937005 0,923116346 0,852143789
Рис. 6. График значений вероятности безотказной работы ИС соглас- но табл. 5
Практическое занятие № 3
Тема: Расчет показателей надежности невосстанавливаемых систем при использовании резервирования системы. Рассматривается вариант посто- янно подключенного резерва при поэлементном резервировании системы.
Цель занятия: Освоить особенности расчета основных показателей надежности системы при использовании поэлементного резервирования си- стемы для случев постоянно подключенного резерва.
22
3.1. Задача 3
При проектировании информационной системы обеспечить надеж- ность безотказной работы системы в длительном режиме функционирова- ния P(t)≥ 0,97. Для решения задачи использовать метод поэлементного ре- зервирования системы.
Исходные данные:
1. Проектируемая система состоит из n элементов.
2. Средняя интенсивность отказов для элементов системы – λ.
3. Время, для которого определяется вероятность безотказной работы
ИС – t.
4. Вероятность безотказной работы системы подчиняется экспонен- циальному закону распределения, система невосстанавливаемая.
При решении задачи следует определить:
1. Кратность поэлементного резервирования системы, обеспечивающую требуемое значение вероятности безотказной работы P(t).
2. Построить графики зависимости вероятности безотказной работы ИС и вероятности безотказной работы одного элемента ИС от времени при различных значениях степени резервирования (m) отдельных эле- ментов системы. Диапазон изменения времени функционирования – от
0 до 400, с шагом изменения – 25. Значения m выбрать равными - 0, 1,
2.
Варианты заданий для самостоятельной работы приведены табл.6.
Таблица 6
Варианты заданий для самостоятельной работы
По- след- няя цифра номера зачет- ки
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
n
100 120 130 110 150 100 140 115 125 110
23
λ (1/ч)
t
(ч)
150 200 250 100 150 250 200 250 150 100
3.2.
Пример решения задачи 3
Рассмотрим решение задачи со следующим вариантом исходных данных: n=100, λ=4·10
-4 1/ч, t=150 ч. Структура системы при поэлементном резервировании имеет вид, представленный на рис. 7.
Рис.7. Структура системы при поэлементном резервировании
Вероятность безотказной работы системы без резервирования составляет:
Р
0,002478752.
Надежность проектируемой системы не удовлетворяет заданным тре- бованиям. При этом вероятность безотказной работы одного элемента систе- мы будет равно следующей величине
и
0,941765.
24
Определим условие, при котором вероятность безотказной работы си- стемы удовлетворяет поставленным требованиям, то есть
Из последнего выражения можно определить значение интенсивности отказов одного элемента системы, при котором система будет удовлетворять поставленным требованиям м
Вероятность безотказной работы при этом для каждого модернизированно- го элемента составит м
Содержание операции модернизирования каждого элемента будет за- ключаться в его резервировании, причем вероятность безотказной работы элемента после его резервирования определяется как
Из последнего выражения нетрудно определить m необходимую кратность резервирования для каждого элемента ИС
После округления принимаем m=2.
Таким образом, двухкратное резервирование каждого элемента системы позволяет обеспечить заданные требования к вероятности безотказной работы про- ектируемой информационной системы.
Для проверки полученного результата рассчитаем вероятность безот- казной работы системы при двухкратном резервировании каждого элемента системы.
При двухкратном резервировании одного элемента ИС вероятность его безотказной работы составит
м
(
и
)
25 что соответствует следующему значению интенсивности отказов этого элемента
Значение вероятности безотказной работы для всей системы при од- нократном резервировании каждого элемента системы составит
Полученный результат удовлетворяет поставленным требованиям.
Для построения требуемых графиков с использованием программы
Exsel следует сформировать таблицы значений параметров надежности ИС, которые в данном случае будут иметь следующий вид (табл. 7, табл.8), соот- ветсвующие графики функций представлены на рис. 8, 9.
Таблица 7
Значения вероятности безотказной работы для одного элемента ИС
t
(ч)
P1м(t)=1-(1-e
- t
)
m
+1
m=0
m=1
m=2
m=3 0
1 1,000000000 1,00000000000 1,000000000000 25 0,990049834 0,999900994 0,99999901488 0,999999990198 50 0,980198673 0,999607907 0,99999223605 0,999999846263 75 0,970445534 0,999126534 0,99997418516 0,999999237056 100 0,960789439 0,998462532 0,99993971501 0,999997636192 125 0,951229425 0,997621431 0,99988399582 0,999994342409 150 0,941764534 0,996608630 0,99980250201 0,999988498613 175 0,93239382 0,995429404 0,99969099949 0,999979109656 200 0,923116346 0,994088904 0,99954553333 0,999965058942 225 0,913931185 0,992592159 0,99936241592 0,999945123894 250 0,904837418 0,990944083 0,99913821556 0,999917990367 275 0,895834135 0,989149473 0,99886974543 0,999882266056 300 0,886920437 0,987213012 0,99855405302 0,999836492947 325 0,878095431 0,985139276 0,99818840985 0,999779158883 350 0,869358235 0,982932729 0,99777030164 0,999708708272 375 0,860707976 0,980597732 0,99729741885 0,999623552003 400 0,852143789 0,978138541 0,99676764748 0,999522076604