Файл: Федеральное агентство связи федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 182
Скачиваний: 18
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
26
Рис. 8. Графики изменения вероятности безотказной работы одного элемента ИС при различных значениях степени (m) его резервирования
Таблица 8
Значения вероятности безотказной работы для ИС
t
(ч)
Pс(t)=[1-(1-e
- t
)
m
+1
]
n
m=0
m=1
m=2
m=3 0
1 1
1 1
25 0,367879441 0,990147783 0,999901492 0,99999902 50 0,135335283 0,961542087 0,999223903 0,999984626 75 0,049787068 0,91632441 0,997421812 0,999923709 100 0,018315639 0,857387658 0,993989456 0,999763647 125 0,006737947 0,788092167 0,988465942 0,999434399 150 0,002478752 0,711974397 0,980442039 0,998850516 175 0,000911882 0,632479627 0,969567846 0,997913124 200 0,000335463 0,552742191 0,955560693 0,996511931 225 0,00012341 0,475427196 0,938212563 0,994527269 250 4,53999E-05 0,402638111 0,91739642 0,991832239 275 1,67017E-05 0,335886368 0,893070835 0,988294956 300 6,14421E-06 0,276113164 0,865282413 0,983780927 325 2,26033E-06 0,223750188 0,834165624 0,978155571 350 8,31529E-07 0,178804988 0,799939817 0,97128687 375 3,05902E-07 0,140957585 0,762903316 0,963048132 400 1,12535E-07 0,109657197 0,723424722 0,953320845
27
Рис.9. График значений вероятности безотказной работы ИС при раз- личных степенях резервирования (m)каждого элемента
Практическое занятие № 4
Тема: Расчет показателей надежности невосстанавливаемых систем при использовании частичного резервирования системы. Рассматривается ва- риант постоянно подключенного резерва всей системы.
Цель занятия: Освоить особенности расчета основных показателей надежности системы при использовании резервирования отдельной части си- стемы для случаев постоянно подключенного резерва.
4.1. Задача 4
При проектировании информационной системы необходимо обеспе- чить надежность безотказной работы системы в длительном режиме функ- ционирования P(t)≥ 0,97.
Исходные данные:
1. Проектируемая система состоит из n элементов.
2. Средняя интенсивность отказов для элементов λ
3. Вероятность безотказной работы системы подчиняется экспонен- циальному закону распределения, система невосстанавливаемая.
При решении задачи следует определить:
28 1. Состав элементов части ИС (n
р
), при резервировании которой вы- полняются требования к значению вероятности безотказной работы всей системы (рис. 10).
2. Степень резервирования данной части системы, обеспечивающий требуемые показатели надежности ИС.
3. Построить графики зависимости вероятности безотказной работы нерезервированной части ИС, вероятности безотказной работы за- резервированной части ИС и вероятности безотказной работы всей системы в целом от времени при вычисленном значении степени ре- зервирования (m) зарезервированной части системы. Диапазон из- менения времени функционирования – от 0 до 400, с шагом измене- ния – 25. Значения количества элементов нерезервированной части системы выбрать по результатам расчетов (три значения из диапа- зона разрешенных значений n
нр
).
Рис. 10. Структура системы при частичном резервировании ИС
Варианты заданий для самостоятельной работы приведены табл.1.
4.2. Пример решения задачи 4
Рассмотрим решение задачи со следующим вариантом исходных дан- ных: n=1035, λ=1,1·10
-6 1/ч, t=250 ч.
Представим ИС в виде последовательно соединения двух частей си- стемы. Одна из частей будет резервироваться, вторая часть системы останет-
29 ся без изменения. В этом случае вероятность безотказной работы системы можнопредставить в виде следующего выражения
, откуда можно определить вероятность безотказной работы зарезерви- рованной части ИС р
Следовательно, для нерезервированной части системы должно выпол- няться следующее неравенство и далее
Последнее выражение позволяет определить требования к количеству элементов нерезервированной части системы (в дальнейшем при выполнении задания время, для которого вычисляется значение вероятности указывать не будем).
Количество элементов в этой части системы определяется выражени- ем нр
110,7608.
Если определить n
нр
=50, то вероятность безотказной работы данной части системы составит
0,986344.
Вероятность безотказной работы зарезервированной части системы должна составить зр общ нр
0,98342962.
Вероятность безотказной работы резервируемой части системы до ее резервирования составляет
30 0,762712.
Определим кратность резервирования данной части системы исходя из условия
,
следовательно р
1,98480596
Для проверки полученного результата рассчитаем вероятность безот- казной работы системы для выбранного варианта резервирования.
Вероятность безотказной работы резервируемой части системы после ее резервирования с кратностью m=2 составит зр р
0,013361=0,986639.
Для нерезвируемой части системы вероятность безотказной работы
(как было вычислено ранее) составляет
0.
Для всей системы вероятность безотказной работы определяется сле- дующим образом
=0,973166.
Таким образом, двукратное резервирование только части проектиру- емой системы позволяет удовлетворить поставленные требования по ее надежности.
Для построения требуемых графиков с использованием программы
Exsel следует сформировать таблицы значений параметров надежности ИС, которые в данном случае будут иметь следующий вид (табл. 9, табл. 10, табл.
11), соответсвующие графики функций представлены на рис. 11, 12, 13.
31
Таблица 8
Значения вероятности безотказной работы для ИС при n
нр
=50 t
(
ч
)
P
нр
,
n
нр
=50
P
зр
,
n
зр
=985
P
с
,
m=2 0
1 1
1 25 0,998625945 0,999980915 0,998606886 50 0,997253778 0,999853356 0,997107537 75 0,995883496 0,999524565 0,995410018 100 0,994515097 0,99891722 0,993438256 125 0,993148579 0,997967723 0,991130226 150 0,991783938 0,996624652 0,988436322 175 0,990421172 0,994847351 0,985317879 200 0,989060279 0,99260467 0,981745852 225 0,987701255 0,989873818 0,977699612 250 0,986344099 0,986639329 0,973165881 275 0,984988808 0,982892138 0,968137756 300 0,983635379 0,978628739 0,962613851 325 0,98228381 0,973850437 0,956597518 350 0,980934098 0,968562672 0,950096151 375 0,979586241 0,962774414 0,943120569 400 0,978240235 0,956497626 0,935684462
.
Рис.11. График значений вероятности безотказной работы ИС при
n
нр
=50 и кратностью резервирования m=2 остальной части системы
32
Таблица 9
Значения вероятности безотказной работы для ИС при n
нр
=100
t
(ч)
P
нр
,
n
нр
=100
P
зр
,
n
зр
=935
P
с
,
m=2 0
1 1
1 25 0,997253778 0,999983642 0,997237465 50 0,994515097 0,999874059 0,994389847 75 0,991783938 0,999590863 0,991378162 100 0,989060279 0,999066345 0,988136838 125 0,986344099 0,998244143 0,98461222 150 0,983635379 0,99707802 0,980761216 175 0,980934098 0,995530758 0,976550066 200 0,978240235 0,99357316 0,971953241 225 0,97555377 0,991183128 0,966952437 250 0,972874683 0,988344845 0,961535677 275 0,970202952 0,98504802 0,955696497 300 0,96753856 0,981287212 0,949433216 325 0,964881484 0,977061219 0,942748279 350 0,962231705 0,972372518 0,935647666 375 0,959589203 0,967226773 0,928140368 400 0,956953957 0,961632381 0,920237912
Рис.12. График значений вероятности безотказной работы ИС при
n
нр
=100 и кратностью резервирования m=2 остальной части системы
33
Таблица 10
Значения вероятности безотказной работы для ИС при n
нр
=10
t
(ч)
P
нр
,
n
нр
=10
P
зр
,
n
зр
=935
P
с
,
m=2 0
1 1
1 25 0,999725038 0,999978529 0,999703573 50 0,999450151 0,999835295 0,999285537 75 0,99917534 0,999466869 0,998642649 100 0,998900605 0,998787757 0,997689695 125 0,998625945 0,99772833 0,996357396 150 0,998351361 0,996232955 0,994590526 175 0,998076852 0,994258319 0,992346213 200 0,997802418 0,991771913 0,989592413 225 0,99752806 0,988750675 0,986306543 250 0,997253778 0,985179769 0,982474247 275 0,996979571 0,981051494 0,978088297 300 0,996705439 0,9763643 0,973147609 325 0,996431383 0,971121917 0,967656355 350 0,996157402 0,965332568 0,961623183 375 0,995883496 0,959008274 0,955060512 400 0,995609666 0,952164233 0,947983914
Рис.13. График значений вероятности безотказной работы ИС при
n
нр
=10 и кратностью резервирования m=2 остальной части системы
34
Практическое занятие № 5
1 2 3 4
Тема: Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем при использовании резервирования системы. Рассматривается вариант постоянно подключенного резерва всей системы.
Цель занятия: Освоить особенности расчета основных показателей надежности восстанавливаемой системы при использовании резервирования для случая постоянно подключенного резерва.
5.1. Расчет основных показателей надежности восстанавливае-
мых ИС при использовании резервирования
Большинство ИС является системами длительного использования, ко- торые после отказов восстанавливаются и продолжают функционировать.
Процесс восстановления заключается в обнаружении и устранении от- каза и так же как и процесс возникновения отказов, является вероятностным.
В качестве случайной величины здесь выступает время восстановле- ния работоспособности ИС, зависящее от таких факторов как характер воз- никшего отказа, приспособленность аппаратуры к быстрому обнаружению отказа, степени подготовки обслуживающего персонала, быстроты замены отказавшего элемента и др.
Под восстанавливаемостью принято понимать свойство системы восстанавливать свою работоспособность после возникновения отказа с уче- том качества обслуживания.
Количественно восстанавливаемость системы оценивается следую- щими показателями: вероятностью восстановления Р
в
(t), средним временем восстановления Т
в
и интенсивностью восстановления μ(t).
Под вероятностью восстановления понимается вероятностьтого, что система будет восстановлена после отказа в течение заданного времени при определенных условиях ремонта. По аналогии с вероятностью отказа этот показатель можно представить как вероятность того, что случайное время восстановления системы ε будет не больше заданного:
Статистически вероятность восстановления можно оценить как
35
̅
где n
в
(τ)- число изделий, восстановленных за время t, а N
в
- число из- делий, которое надо восстановить.
Количественно функция Р
в
(t) обычно определяется через другие пока- затели восстанавливаемости: среднее время восстановления и интенсивность восстановления.
Наиболее наглядным показателем восстанавливаемости является
среднее время восстановления, под которым понимается математическое ожидание времени восстановления системы:
∫
Интенсивность восстановления ИС оценивается как в
1
T
Средняя наработка на отказ – это математическое ожидание интер- вала времени между соседними восстанавливаемыми отказам
∫
, где F
k
(t) – функция распределения случайного времени T
k
исправной работы изделия между (k-1)-м и k-м отказами (рис.1).
T
1
Рис.1. Распределение отказов ИС во времени (T
i
– время наработки на отказ, t
i
– время восстановления работоспособности ИС)
Статистически наработка на отказ определяется как среднее арифме- тическое значений реализации случайного времени T
i
исправной работы ИС между (k-1)-м и k-м отказами
∫
,
T
2
T
n
t
2
t
1
t
n-1
t
n
t
…
36 где F
k
(t) – функция распределения случайного времени T
k
исправной работы изделия между (k-1)-м и k-м отказами (рис.1).
Статистически наработка на отказ определяется как среднее арифме- тическое значений реализации случайного времени T
i
исправной работы ИС между (k-1)-м и k-м отказами без учета времени ремонта
̅ ∑
где m – число отказов ИС.
Коэффициент готовности – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в данный момент времени.
Используется в качестве показателя надежности, в том случае, когда кроме факта отказа ИС необходимо учитывать и время восстановления си- стемы. Вычисляется согласноо следующего выражнния
,
в o
o г
T
T
T
K
5.2. Взаимозависимости отдельных показателей надежности ИС
Для вычисления основных показателей надежности ИС достаточно часто возможно использование одного известного значения из этих основ- ных показателей надежности (P(t), λ(t), T
ср
).
В частности существует аналитическая связь между значениями веро- ятности безотказной работы P(t) и интенсивностью отказов λ(t).
Учитывая, что после интегрирования и преобразований [2] выражение для P(t) можно записать как
∫
Для большинства практических задач предполагается, что
λ(t)=λ=const. В этом случае
37 то есть в период нормальной эксплуатации ИС вероятность ее безот- казной работы снижается по экспоненциальному закону.
Существует зависимость между средней наработкой до отказа T
ср
и вероятностью безотказной работы P(t), которая определяется как [2]
∫
В случае, когда λ=const
ср
,
5.3. Задача 5
При проектировании информационной системы необходимо обеспе- чить условия функционирования ИС, при которых значение ее коэффициента готовности было бы не менее 0,97 (K
г
≥ 0,97).
Исходные данные:
1. Проектируемая система состоит из n элементов.
2. Средняя интенсивность отказов для элементов λ
3. Вероятность безотказной работы системы подчиняется экспонен- циальному закону распределения.
4. Система восстанавливаемая, время восстановления системы подчи- няется экспоненциальному закону распределения.
5. Среднее время восстановления работоспособности системы T
в
При решении задачи следует определить:
1. Значение стационарного коэффициента готовности исходной си- стемы при наличии одной ремонтной бригады.
2. Степень резервирования данной части системы, обеспечивающая за- данное значение коэффициент готовности при наличии одной бри- гады ремонтников.
3. Построить графики зависимости значений коэффициента готовности и времени наработки до отказа ИС от параметра γ=μ/λ
с для исход-