Файл: Федеральное агентство связи федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования.pdf

51 1
0,047619048 9,41088E-05 2
0,095238095 0,000470544 3
0,142857143 0,001411632 4
0,19047619 0,003293808 5
0,238095238 0,006587615 6
0,285714286 0,011857708 7
0,333333333 0,019762846 8
0,380952381 0,031055901 9
0,428571429 0,046583851 10 0,476190476 0,067287785 11 0,523809524 0,094202899 12 0,571428571 0,128458498 13 0,619047619 0,171277997 14 0,666666667 0,22397892 15 0,714285714 0,287972897 16 0,761904762 0,364765669 17 0,80952381 0,455957086 18 0,857142857 0,563241107 19 0,904761905 0,688405797 20 0,952380952 0,833333333
Таблица 16
Значения вероятности содержания в тестируемой программе K
i
оши- бок при различных значениях E
и
n
и
P(n
i
)
К
1
=0
E
и3
=30
К
2
=3
E
и3
=30 1
0,032258065 2,15629E-05 2
0,064516129 0,000107814 3
0,096774194 0,000323443 4
0,129032258 0,000754701 5
0,161290323 0,001509401 6
0,193548387 0,002716923 7
0,225806452 0,004528204 8
0,258064516 0,00711575 9
0,290322581 0,010673624 10 0,322580645 0,015417457 11 0,35483871 0,02158444 12 0,387096774 0,029433328 13 0,419354839 0,039244437 14 0,451612903 0,051319648 15 0,483870968 0,065982405

52 16 0,516129032 0,083577713 17 0,548387097 0,104472141 18 0,580645161 0,129053821 19 0,612903226 0,157732448 20 0,64516129 0,190939279 21 0,677419355 0,229127135 22 0,709677419 0,272770398 23 0,741935484 0,322365016 24 0,774193548 0,378428497 25 0,806451613 0,441499914 26 0,838709677 0,5121399 27 0,870967742 0,590930654 28 0,903225806 0,678475936 29 0,935483871 0,77540107 30 0,967741935 0,882352941
Графики зависимостей значений вероятности содержания в тестируе- мых программах K
i ошибок в зависимости от количества обнаруженных ис- куственных (внесенных) ошибок n
и преставлены на рис. 17,18.
Рис.17. График значений вероятности отсутствия в тестируемой про- грамме собственных ошибок

53
Рис.18. График значений вероятности присутствия в тестируемой программе трех собственных ошибок
Практическое занятие № 7

Тема: Расчет нормы распределения интенсивности отказов по подси- стемам в проектируемой ИС с учетом показателей надежности аналогов ИС и с учетом заданного в техническом задании значению показателя надежности на всю систему в целом.
Цель занятия: Освоить особенности расчета нормы распределения показателей надежности подсистем проектируемой ИС с учетом перспектив совершенствования элементов при заданном значении показателя надежности на всю проектируемую систему в целом.
7.1. Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов
Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента).
Метод наименьших квадратов (Ordinary Least Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных.
Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.

54
В качестве примера, рассмотрим методику определения аппроксимирующей функции, которая задана в виде линейной зависимости, то есть F(x)=ax+b.
В соответствии с методом наименьших квадратов условие минимума суммы квадратов отклонений записывается в следующем виде: min,
))
(
(
2 1






b
ax
y
S
i
n
i
i
где y
i
– значения аппроксимируемых данных, x
i
– значение аргумента аппроксимирующей функции, a и b – искомые коэффициенты аппроксимирующей функции минимизирующей квадрат ошибки между опытными данными и аппроксимирующей функцией.
Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b
2 1
))
(
(
b
ax
y
b)
S(a,
i
n
i
i





принимает наименьшее значение.
Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. То есть, необходимо найти частные производные функции S по переменным а и b, приравнять их к нулю и вычислить коэффи- циенты a и b.
0
)
,
(
0
)
,
(






b
b
a
S
a
b
a
S
После вычислений [6], уравнения, отражающие условие минимума суммы квадратов отклонения принимают следующий вид














n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
nb
x
a
y
x
x
b
x
a
1 1
1 1
1 2
Решая полученные уравнения относительно a и b, получим значения коэффициентов аппроксимирующей функции минимизирующей сумму квад- ратов отклонения от экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

55
7.2. Задача 7
Проектируемая система состоит из трех подсистем A1, B1, С1 и должна обладать вероятностью безотказной работы P
сис
(t)=0,98 для t=100 ч.
Дата выпуска проектируемой системы – 2019 г.
Изменение значений интенсивности отказов по результатам анализа за 2011, 2013, 2015 и 2017 годы для подсистем А0, В0, С0, которые являются прототипами подсистем А1, В1, С1 приведены в табл. 13.
Исходные данные:
1. Для аппроксимации поведения интенсивности отказов подсистем
А0, В0, С0 в период с 2011 г. по 2019 г. использовать метод наименьших квадратов.
2. В качестве аппроксимирующей функции принять линейную функ- цию y=ax+b.
3. Вероятность безотказной работы ИС подчиняется экспоненциаль- ному закону.
При решении задачи необходимо:
1. Построить графики функций, аппроксимирующих изменение значе- ний интенсивности отказов для каждой из подсистем.
2. Определить нормы распределения интенсивности отказов по подси- стемам, входящим в состав проектируемой системы на 2019 год.
Варианты заданий для самостоятельной работы приведены в табл.13.
Таблица 13
Варианты заданий для самостоятельной работы
Подсис- тема
Год вы- пуска
Интенсивность отказов подсистем (λ
A
, λ
B
, λ
C
) 1/ч
0, 5 1, 6 2, 7 3, 8 4, 9
A0 2011 1,3·10
-4 1,55·10
-4 2,5·10
-4 2,95·10
-4 2,8·10
-4 2013 1,4·10
-4 1,48·10
-4 2,4·10
-4 2,8·10
-4 2,54·10
-4 2015 1,14·10
-4 1,4·10
-4 1,9·10
-4 1,8·10
-4 1,74·10
-4 2017 1,05·10
-4 1,03·10
-4 1,4·10
-4 1,04·10
-4 1,14·10
-4 2011 1,00·10
-4 2,6·10
-4 2,8·10
-4 1,6·10
-4 1,9·10
-4 2013 1,04·10
-4 2,4·10
-4 2,7·10
-4 1,4·10
-4 1,74·10
-4

56
B0 2015 0,9·10
-4 2,0·10
-4 2,4·10
-4 1,1·10
-4 1,24·10
-4 2017 0,75·10
-4 1,95·10
-4 2,05·10
-4 0,95·10
-4 1,05·10
-4
C0 2011 1,5·10
-4 1,7·10
-4 2,6·10
-4 2,4·10
-4 1,84·10
-4 2013 1,4·10
-4 1,49·10
-4 2,4·10
-4 2,14·10
-4 2,04·10
-4 2015 1,24·10
-4 1,4·10
-4 2,14·10
-4 1,94·10
-4 1,94·10
-4 2017 1,05·10
-4 1,05·10
-4 1,95·10
-4 1,05·10
-4 1,05·10
-4
7.3. Пример решения задачи 7
Проектируемая система состоит из трех подсистем A1, B1, С1 и должна обладать вероятностью безотказной работы P
сис
(t)=0,98 для t=100 ч.
Дата выпуска проектируемой системы – 2019 г.
Изменение значений интенсивности отказов по результатам анализа за 2011, 2013, 2015 и 2017 годы для подсистем А0, В0, С0, которые являются прототипами подсистем А1, В1, С1 приведены в табл. 14.
Таблица 14
Исходные данные для примера решения задачи 7
Год вы- пуска
2011 2013 2015 2017
A0 0,00014 0,00013 0,000105 0,00009
B0 0,00024 0,00022 0,00019 0,000105
C0 0,0024 0,002 0,0018 0,0015
В качестве аппроксимирующей функции задана функция y=ax+b.
На первом этапе решения задачи определим аппроксимирующие функции, которые описывают изменения значений интенсивности отказов для прототипов проектируемой системы в период 2011 – 2017 годы.
Аппроксимация значений интенсивности отказов для подсистемы
А0 в период 2011 – 2017 годы.
Результаты вычисления значений параметров в системе уравнений для аппроксимации λ
A0
разместим в табл.15.
Таблица 15
Результаты вычислений коэффициентов в системе уравнений
Год вы- пуска
2011 2013 2015 2017
Сумма
x
i
1 2
3 4
10
y
i
0,00014 0,00013 0,000105 0,00009 0,000465
x
i
2 1
4 9
16 30
x
i
y
i
0,00014 0,00026 0,000315 0,00036 0,001075

57
Учитывая полученные результаты, система уравнения для определе- ния коэффициентов аппроксимирующей функции будут иметь следующий вид
30a+10b=0,001075 10a+4b=0,000465 .
При решении системы уравнений используем метод подстановки.
Из второго уравнения следует
10 4
00465
,
0
b
a


, после подстановки a в первое уравнение получим
,
001075
,
0 10 10 4
00465
,
0 30



b
b
откуда b=0,00016 и далее a=-0,0000175.
Аппроксимирующая функция для λ
A0 будет иметь следующий вид
y=-0,0000175x+0,00016.
Искомая величина интенсивности отказов для подсистемы A1 в 2019 году будет соответствовать значению y при x=5.
То есть, λ
A0
=-0,0000175·5+0,00016=0,0000725.
При использовании для построения графиков программы Exsel внача- ле следует сформировать таблицу значений интенсивности отказов для под- системы A0 и функции, аппроксимирующей изменение этих значений в диа- пазоне 2011 – 2019 годов, которая в данном случае будет иметь следующий вид (табл. 16), соответствующие графики функций представлены на рис. 19.
Таблица 16
Значения интенсивности отказов для посистемы A0 и аппроксисми- рующей функции y
i
Год вы- пуска
x
i
λ
A0
y
i
2011 1
0,00014 0,0001425 2013 2
0,00013 0,000125

58 2015 3
0,000105 0,0001075 2017 4
0,00009 0,000090 2019 5
0,0000725
Рис. 19. График значений интенсивности отказов для подсистемы A0 и функции, аппроксимирующей изменение этих значений в диапазоне 2011 –
2019 годов.
Аналогично решаются задачи аппроксимации значений интенсивно- сти отказов для подсистем B0 и C0.
Аппроксимация значений интенсивности отказов для подсистемы
B0 в период 2011 – 2017 годы.
Результаты вычисления значений параметров в системе уравнений для аппроксимации λ
B0
разместим в табл.17.
Таблица 17
Результаты вычислений коэффициентов в системе уравнений
Год вы- пуска
2011 2013 2015 2017
Сумма
x
i
1 2
3 4
10
y
i
0,00024 0,00022 0,00019 0,000105 0,000755
x
i
2 1
4 9
16 30
x
i
y
i
0,00024 0,00044 0,00057 0,00042 0,00167

59
Учитывая полученные результаты, система уравнения для определе- ния коэффициентов аппроксимирующей функции будут иметь следующий вид
30a+10b=0,00167 10a+4b=0,000755.
При решении системы уравнений методом подстановки получим ап- проксимирующую функцию
y=-0,0000435x+0,0002975.
То есть, для 2019 года можно определить
λ
B0
=-0,0000435·5+0,0002975=0,00008.
Таблица значений интенсивности отказов для подсистемы B0 и функ- ции, аппроксимирующей изменение этих значений в диапазоне 2011 – 2019 годов, в данном случае будет иметь следующий вид (табл. 18), соответству- ющие графики функций представлены на рис. 20.
Таблица 18
Значения интенсивности отказов для посистемы A0 и аппроксисми- рующей функции y
i
Год вы- пуска
x
i
λ
B0
y
i
2011 1
0,00024 0,000254 2013 2
0,00022 0,0002105 2015 3
0,00019 0,000167 2017 4
0,000105 0,000124 2019 5
0,00008

60
Рис. 20. График значений интенсивности отказов для подсистемы B0 и функции, аппроксимирующей изменение этих значений в диапазоне 2011 –
2019 годов.
Аппроксимация значений интенсивности отказов для подсистемы
C0 в период 2011 – 2017 годы.
Результаты вычисления значений параметров в системе уравнений для аппроксимации λ
B0
разместим в табл.19.
Таблица 19
Результаты вычислений коэффициентов в системе уравнений
Год вы- пуска
2011 2013 2015 2017
Сумма
x
i
1 2
3 4
10
y
i
0,0024 0,002 0,0018 0,0015 0,0077
x
i
2 1
4 9
16 30
x
i
y
i
0,0024 0,004 0,0054 0,006 0,0178
Учитывая полученные результаты, система уравнения для определе- ния коэффициентов аппроксимирующей функции будут иметь следующий вид
30a+10b= 0,00167 10a+4b=0,000755.

61
При решении системы уравнений методом подстановки получим ап- проксимирующую функцию
y=-0,0000435x+0,0002975.
То есть, для 2019 года можно определить
λ
C0
=-0,0000435·5+0,0002975=0,0012.
Таблица значений интенсивности отказов для подсистемы B0 и функ- ции, аппроксимирующей изменение этих значений в диапазоне 2011 – 2019 годов, в данном случае будет иметь следующий вид (табл. 20), соответству- ющие графики функций представлены на рис. 21.
Таблица 20
Значения интенсивности отказов для посистемы C0 и аппроксисми- рующей функции y
i
Год вы- пуска
x
i
λ
C0
y
i
2011 1
0,0024 0,00236 2013 2
0,002 0,00207 2015 3
0,0018 0,00178 2017 4
0,0015 0,00149 2019 5
0,0012

62
Рис. 21. График значений интенсивности отказов для подсистемы C0 и функции, аппроксимирующей изменение этих значений в диапазоне 2011 –
2019 годов.
Далее вычислим коэффициенты учитывающих долю отказов соответ- ствующих подсистем в общем потоке отказов для системы прототипа
,
0,053604 10
)
120 0
,
8 25
,
7
(
10 25
,
7 5
5 0
0 0
0











С
B
A
A
A
K




,
0,05915 10
)
120 0
,
8 25
,
7
(
10 0
,
8 5
5 0
0 0
0











С
B
A
B
B
K




0,887246.
10
)
120 0
,
8 25
,
7
(
10 0
,
120 5
5 0
0 0
0











С
B
A
C
C
K




Значение интенсивности отказов для проектируемой системы определим с использованием заданного значения Р
сис
(t)
1 10 2
100 98
,
0 1
)
(
1
)
(
4
сис сис
ч
t
t
P
t








Нормы распределения интенсивности отказов по подсистемам в проек- тируемой системе вычислим с использованием полученных выше долевых коэффициентов
1 10 07
,
1 10 2
2
,
0 5
4
сис
1
ч
K
A
A











1 10 18
,
1 10 2
8
,
0 5
4
сис
1
ч
K
В
В











1 10 0
,
17 10 2
8
,
0 5
4
сис
1
ч
K
С
С










