Файл: 3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены.doc
Добавлен: 30.11.2023
Просмотров: 77
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратов
3.2. Лабораторная работа № 4. Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов
3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция
3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных
- индекс последнего элемента в векторе 
с учетом значения переменной 
.
Построим линейную и квадратичную модель по формулам (3.1.8) и (3.1.9). Для этого вычислим следующие величины. Введем еще одну предопределенную переменную пакета Mathcad
. Она определяет допустимую погрешность для различных алгоритмов аппроксимации, интегрирования, решения уравнений и так далее. По умолчанию 
. Вычислим следующие величины:
Коэффициенты системы нормальных уравнений линейной модели, то есть системы (3.1.8), находятся в матрице
, коэффициенты квадратичной модели (3.1.9) - в матрице 
. Решение обеих систем линейных уравнений произведено с помощью обратной матрицы. Вектор 
содержит коэффициенты линейной модели, вектор 
- квадратичной.
Далее вычисляются невязки по обеим моделям и находятся средние квадратические ошибки
. Видно, что исходным данным хорошо удовлетворяет квадратичная модель 
Этот факт отчетливо виден и на приведенном графике.
Mathcad не назывался бы математическим пакетом
, если бы не умел решать алгебраические системы различными, в том числе и более эффективными способами. Одним из таких способов является конструкция Given – Find. Это две команды: Given (Дано) и Find (Найти). Сначала задается какое-нибудь начальное приближение, например, для квадратичной модели
затем за ключевым словом Given нужно записать анализируемую систему, связывая левые и правые части уравнений знаком «эквивалентно» (жирным знаком «равно» из панели равенств и отношений или же нажимая сразу обе клавиши
), после этого должно идти второе ключевое слово Find. Эта функция возвращает решение анализируемой системы:
Неудобство применения пары Given – Find в том, что решаемая система уравнений должна быть записана в скалярной форме. Вместо функции Find можно использовать пару Given – MinErr. Функция
дает решение системы уравнений, которое приводит к минимальным невязкам. Число неизвестных системы должно быть равно числу аргументов функции MinErr. В нашем случае
Наконец, для решения линейных систем алгебраических уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve. Она возвращает вектор решения системы, записанной в матричном виде:
Заметим, что функцию lsolve можно использовать в программируемых конструкциях, тогда как пары Given – Find и Given – MinErr этого не допускают.
Приведем в заключение подпрограмму, реализующую вычисления по формуле (3.1.7) в общем случае коэффициентов сглаживающего многочлена заданной степени. Все операторы этой подпрограммы легко отождествляются с той или иной частью формулы (3.1.7). Параметры подпрограммы:
- вектора исходных данных, 
- число точек сетки таблично заданной функции, 
- требуемая степень сглаживающего многочлена. В результате работы подпрограмма МНК выдает вектор коэффициентов многочлена
, записанных в следующем порядке: 
. Последняя 
компонента вектора результата содержит среднюю квадратическую ошибку представления исходных табличных данных построенным сглаживающим многочленом:
Для нашего примера
Видно, что для исходной таблично заданной функции многочленом наилучшего приближения является уже полученный ранее многочлен второй степени
. Дальнейшее усложнение модели (повышение степени многочлена) практически не изменяет среднюю квадратическую ошибку и, следовательно, не является оправданным.
Задание № 1. По методу наименьших квадратов аппроксимировать таблично заданную функцию
многочленом наилучшего среднеквадратического приближения 
.
Т а б л и ц а 1
Т а б л и ц а 2
Т а б л и ц а 3
с учетом значения переменной .Построим линейную и квадратичную модель по формулам (3.1.8) и (3.1.9). Для этого вычислим следующие величины. Введем еще одну предопределенную переменную пакета Mathcad
. Она определяет допустимую погрешность для различных алгоритмов аппроксимации, интегрирования, решения уравнений и так далее. По умолчанию . Вычислим следующие величины: Коэффициенты системы нормальных уравнений линейной модели, то есть системы (3.1.8), находятся в матрице
, коэффициенты квадратичной модели (3.1.9) - в матрице . Решение обеих систем линейных уравнений произведено с помощью обратной матрицы. Вектор содержит коэффициенты линейной модели, вектор - квадратичной. Далее вычисляются невязки по обеим моделям и находятся средние квадратические ошибки
. Видно, что исходным данным хорошо удовлетворяет квадратичная модель Этот факт отчетливо виден и на приведенном графике.Mathcad не назывался бы математическим пакетом
, если бы не умел решать алгебраические системы различными, в том числе и более эффективными способами. Одним из таких способов является конструкция Given – Find. Это две команды: Given (Дано) и Find (Найти). Сначала задается какое-нибудь начальное приближение, например, для квадратичной модели
затем за ключевым словом Given нужно записать анализируемую систему, связывая левые и правые части уравнений знаком «эквивалентно» (жирным знаком «равно» из панели равенств и отношений или же нажимая сразу обе клавиши
), после этого должно идти второе ключевое слово Find. Эта функция возвращает решение анализируемой системы: Неудобство применения пары Given – Find в том, что решаемая система уравнений должна быть записана в скалярной форме. Вместо функции Find можно использовать пару Given – MinErr. Функция
дает решение системы уравнений, которое приводит к минимальным невязкам. Число неизвестных системы должно быть равно числу аргументов функции MinErr. В нашем случае Наконец, для решения линейных систем алгебраических уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve. Она возвращает вектор решения системы, записанной в матричном виде:
Заметим, что функцию lsolve можно использовать в программируемых конструкциях, тогда как пары Given – Find и Given – MinErr этого не допускают.
Приведем в заключение подпрограмму, реализующую вычисления по формуле (3.1.7) в общем случае коэффициентов сглаживающего многочлена заданной степени. Все операторы этой подпрограммы легко отождествляются с той или иной частью формулы (3.1.7). Параметры подпрограммы:
- вектора исходных данных, - число точек сетки таблично заданной функции,
- требуемая степень сглаживающего многочлена. В результате работы подпрограмма МНК выдает вектор коэффициентов многочлена
, записанных в следующем порядке: . Последняя компонента вектора результата содержит среднюю квадратическую ошибку представления исходных табличных данных построенным сглаживающим многочленом: Для нашего примера
Видно, что для исходной таблично заданной функции многочленом наилучшего приближения является уже полученный ранее многочлен второй степени
. Дальнейшее усложнение модели (повышение степени многочлена) практически не изменяет среднюю квадратическую ошибку и, следовательно, не является оправданным.Задание № 1. По методу наименьших квадратов аппроксимировать таблично заданную функцию
многочленом наилучшего среднеквадратического приближения .Т а б л и ц а 1
-
Номера вариантов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1
3.15
20.95
2.20
6.00
3.13
0.07
12.28
-9.10
9.84
3.09
0.2
3.04
20.51
2.18
7.04
3.19
0.17
12.53
-9.21
10.01
3.31
0.3
3.02
21.96
1.87
7.21
3.17
0.21
12.50
-8.99
11.10
3.72
0.4
2.97
21.83
1.85
7.40
3.52
0.31
12.53
-8.95
12.16
3.77
0.5
2.87
21.79
1.77
7.20
3.62
1.10
12.75
-9.13
13.05
3.78
0.6
2.98
22.72
1.62
7.70
3.72
1.09
12.85
-9.23
14.35
3.97
0.7
2.81
25.80
1.57
7.36
4.03
1.12
12.77
-9.21
15.19
4.00
0.8
2.70
27.33
1.27
7.61
4.39
-0.37
12.76
-9.43
15.50
4.51
0.9
2.66
28.21
1.05
7.56
4.72
-0.22
12.73
-9.57
15.74
4.43
1.0
2.50
30.45
0.68
7.50
4.85
-0.48
12.85
-9.44
16.03
4.58
1.1
2.60
30.37
0.55
7.51
5.12
-0.84
12.51
-9.44
16.56
4.58
1.2
2.36
34.51
-0.10
7.53
5.38
-0.93
12.34
-9.83
17.49
4.54
1.3
2.09
36.29
-0.41
7.45
5.96
-1.15
12.22
-9.78
17.79
4.82
1.4
2.07
38.53
-1.00
7.27
6.40
-1.44
11.84
-9.81
18.03
4.90
1.5
2.01
41.90
-1.19
7.20
6.58
-1.90
11.67
-10.06
18.82
4.77
1.6
1.81
44.52
-1.56
7.25
7.09
-2.25
11.27
-10.41
19.50
4.81
1.7
1.53
48.91
-2.08
7.35
7.32
-2.65
11.06
-10.40
20.28
5.00
1.8
1.64
50.68
-2.61
6.97
7.94
-3.06
10.73
-10.70
21.21
4.97
1.9
1.29
56.36
-3.37
7.20
8.47
-3.66
10.35
-10.96
22.63
5.08
2.0
1.11
59.14
-3.86
7.06
9.00
-4.01
10.09
-11.91
22.90
5.08
Т а б л и ц а 2
-
Номера вариантов
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.1
8.15
-6.90
0.17
3.30
1.04
0.08
3.09
-0.86
0.00
-0.65
0.3
8.41
-7.01
0.07
2.49
1.47
0.14
3.25
-0.77
-0.09
-1.00
0.5
8.58
-7.19
0.17
3.02
1.78
0.37
3.48
-0.56
-0.26
-0.87
0.7
8.84
-7.11
0.05
3.27
2.01
0.36
3.47
-0.46
-0.20
-0.89
0.9
9.28
-7.31
0.12
3.43
2.19
0.44
3.55
-0.28
-0.29
-0.75
1.1
9.46
7.78
0.00
3.70
2.60
0.48
3.59
-0.24
-0.14
-0.59
1.3
10.02
-7.64
0.01
3.70
2.93
0.27
3.28
-0.36
-0.26
-0.44
1.5
10.11
-7.85
-0.05
3.85
3.22
0.39
3.50
-0.43
-0.45
-0.61
1.7
10.61
-8.18
-0.21
3.89
3.50
0.50
3.61
-0.56
-0.43
-0.17
1.9
11.03
-8.39
-0.50
3.98
4.01
0.48
3.59
-0.59
-0.71
0.13
2.1
11.34
-8.79
-0.50
4.02
4.22
0.69
3.80
-0.70
-0.70
0.53
2.3
11.86
-9.02
-0.86
4.21
4.71
0.50
3.61
-1.01
-1.00
0.67
2.5
12.33
-9.48
-1.24
4.22
5.23
0.31
3.42
-1.03
-1.01
1.00
2.7
12.81
-9.93
-1.47
4.37
5.78
0.37
3.48
-1.47
-1.17
1.34
2.9
13.21
-10.26
-1.79
4.36
6.27
0.43
3.54
-1.68
-1.39
1.49
3.1
13.67
-10.91
-2.25
4.39
6.75
0.33
3.44
-1.93
-1.22
1.81
3.3
14.23
-11.41
-2.55
4.54
7.16
0.31
3.42
-2.28
-1.43
2.37
3.5
14.68
-11.91
-3.18
4.33
7.76
0.09
3.20
-2.53
-1.81
2.72
3.7
15.35
-12.30
-3.60
4.54
8.30
0.08
3.19
-2.93
-1.84
3.03
3.9
15.93
-13.00
-3.93
4.53
9.00
0.03
3.14
-3.07
-1.99
3.51
Т а б л и ц а 3
-
Номера вариантов
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.15
0.16
1.89
-1.92
1.10
-2.80
0.00
4.01
0.12
4.13
2.97
0.30
0.02
2.07
-1.60
1.20
-2.66
0.01
4.06
0.31
4.11
3.07
0.45
0.28
2.30
-1.57
1.18
-2.36
0.24
3.88
0.48
3.87
3.04
0.60
0.42
2.26
-1.41
1.14
-2.41
0.74
3.98
0.45
3.74
3.30
0.75
0.31
2.34
-1.36
1.17
-2.13
1.02
4.36
0.84
3.85
3.27
0.90
0.41
2.66
-0.97
1.00
-1.82
1.31
4.18
0.73
3.71
3.54
1.05
0.42
2.88
-0.59
0.99
-1.74
1.53
4.16
0.77
3.53
3.79
1.20
0.36
2.85
-0.71
0.95
-1.76
1.90
4.51
0.64
3.56
4.07
1.35
0.45
3.16
-0.15
0.54
-1.64
2.29
4.53
0.74
3.19
4.30
1.50
0.65
3.49
0.01
0.32
-1.46
2.61
4.38
0.53
3.04
4.51
1.65
0.67
3.88
0.22
0.15
-1.30
3.15
4.76
0.28
2.83
4.83
1.80
0.53
4.22
0.63
0.02
-1.27
3.42
4.66
0.24
2.54
5.06
1.95
0.50
4.45
1.07
-0.30
-1.22
3.89
4.82
0.00
2.41
5.40
2.10
0.35
4.99
1.42
-0.40
-1.11
4.58
4.77
0.03
1.97
5.83
2.25
0.35
5.36
1.68
-0.90
-1.02
4.82
5.12
0.35
1.78
6.54
2.40
0.13
5.71
2.49
-1.37
0.89
5.42
5.23
0.46
1.53
6.68
2.55
0.39
6.51
2.57
-1.65
0.89
6.07
5.40
0.88
1.04
7.36
2.70
0.14
7.35
3.09
-2.00
-1.02
6.44
5.84
1.27
0.86
7.91
2.85
0.14
8.02
3.40
-2.42
0.97
7.15
5.86
1.68
0.48
8.39
3.00
0.09
8.96
4.00
-3.13
0.99
7.66
6.01
1.98
-0.09
8.98