называется фигура, состоящая из точек и соединяющих их отрезков .

Точки называют вершинами многоугольника, а отрезки – его сторонами. Две вершины назыаются смежными, если они соединяются стороной многоугольника.

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несмежные вершины.

Многоугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую сторону.

Сумма внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле, где – число сторон (углов) многоугольника.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.

Многоугольник называется правильным, все его стороны равны и все его углы равны.

1.3. Треугольники

Сумма углов любого треугольника равна.

Любая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан.

• 
  Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
  

точкой в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

• 
  Медиана делит треугольник на два равновеликих (имеющих одинаковые площади) треугольника.
  
• 
  Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликих треугольника.
  

Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая его внутренний угол пополам.

Свойства биссектрис.

• 
  Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
  
• 
  Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла в точке касания.
  
• 
  Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
  
• 
  Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
  

---

Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника.

В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же – коэффициентом подобия): стороны, медианы, биссектрисы, векторы, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр.

Отношение площадей подобных треугольников равно.

1.4. Четырехугольники

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называются параллелограммом.

Свойства параллелограмма.

• 
  Противоположные стороны параллелограмма равны.
  
• 
  Противоположные углы параллелограмма равны.
  
• 
  Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
  
• 
  Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
  

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Диагонали ромбы взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его внутренних углов.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Теоремы.

• 
  В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
  
• 
  Параллелограмм можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.
  

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две - нет, называется трапецией.

Теоремы.

• 
  В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма боковых сторон равна сумме оснований.
  
• 
  Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобочная.
  
• 
  В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.
  
• 
  Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны .
  

---

1.5. Окружность и круг

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равноудаленные от центра окружности хорды равны.

Диаметр – хорда, проходящая через центр.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.

Теоремы, относящиеся к окружности.

• 
  Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
  
• 
  Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
  
• 
  Квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть.
  
• 
  Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается.
  
• 
  Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или дополняет его половину до 180^.
  
• 
  Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.
  
• 
  Произведение секущей на ее внешнюю часть – величина постоянная.
  

1.6. Основные формулы планиметрии

1. Произвольный треугольник (– стороны; –противолежащие им углы; - полупериметр; – радиус описанной окружности; – радиус вписанной окружности; – площадь; - высота, проведенная к стороне)

(теорема косинусов); (теорема синусов);.

2. Прямоугольный треугольник (– катеты; – гипотенуза; – проекции на гипотенузу)

---

;.

3. Равносторонний треугольник;; .

4. Произвольный выпуклый четырехугольник (и –диагонали, – угол между ними, – площадь)

5. Параллелограмм (и – смежные стороны, – угол между ними, – высота, проведенная к стороне ) ;; .

6. Ромб.

7. Прямоугольник .

8. Квадрат ( – диагональ) .

9. Трапеция (и – основания, – расстояние между ними, – средняя линия) ;.

10. Описанный многоугольник (– полупериметр, – радиус вписанной окружности) .

11. Правильный многоугольник (– сторона правильного – угольника, – радиус описанной окружности, – радиус вписанной окружности) .

12. Окружность, круг (– радиус, – длина окружности,– площадь круга) ;.

13. Сектор (– длина дуги, ограничивающей сектор, – градусная мера центрального угла, – радиальная мера центрального угла) ; .

§2. Решение задач и задач ЕГЭ с применением математического пакета Geogebra

2.1. Произвольный треугольник

Задача 1. Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Создание чертежа. Пусть – медианы, – точка их пресечения

Шаги создания чертежа в GeoGebra (таб. 1):

Таблица 1

№	Имя	Иконка GeoGebra	Определение
1	Треугольник		Произвольный треугольник, проходящий через точки .
2	Точка		Середины сторон треугольника соответственно.
3	Отрезки		Отрезки .
4	Точка		Точка пересечения прямых .
5	Окружность		Окружность через три точки . Так же строим и остальные окружности.
6	Прямая		Касательная к окружности в точке .
7	Прямая		Прямая через точку, перпендикулярная .
8	Точка		Точка пересечения прямой и окружности .
7	Точка–центр окружности		Середина отрезка (аналогично находятся и другие точки ).
8	Многоугольник		Шестиугольник, проходящий через точки .
9	Окружность		Окружность через любые три точки .

---

Из чертежа (рис. 15) видно, центры описанных окружностей треугольниковлежат на одной окружности. Далее можно проводить доказательство.



Рис. 15

1   2   3   4   5   6   7

---

Смотрите также файлы

• Вариант 1 Как называется 19 век в русской литературе.docx

• Интервал между текстом и таблицей не менее 12 пунктов, но не более 24 пунктов.docx

• Введение обзор литературы.docx

• Рабство в Древнем Риме.docx

• Разработка алгоритмов и программ с использованием массивов в среде С.docx