2.2. Квадрат

Задача 2. Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Шаги создания чертежа в GeoGebra (таб. 2):

Таблица 2

№	Имя	Иконка GeoGebra	Определение
1	Квадрат		Квадрат, проходящий через точки .
2	Прямые		Прямая, проходящая через точки
3	Прямые		Прямая, проходящая через точку и параллельная .
4	Отрезки ,		Отрезки
5	Прямые		Прямая, проходящая через точки .
6	Прямые		Прямая, проходящая через точку и параллельная .
7	Отрезки ,		Отрезки
8	Прямые		Прямая, проходящая через точку , перпендикулярная .
9	Прямая		Прямая, проходящая через точку , перпендикулярная .
10	Прямая		Прямая, проходящая через точку, перпендикулярная.
11	Прямая		Прямая, проходящая через точку, перпендикулярная.
12	Многоугольник		Искомый квадрат

---

Рис. 16

2.3. Расположение точек на прямой

Задача 3. (ЕГЭ, 2010) Через середину стороны квадрата проведена прямая, пересекающая прямые и в точках и соответственно и образующая с прямой угол , . Найдите площадь треугольника , если сторона квадрата равна 4.

Решение. 1-й случай: пусть прямая, проходящая через середину сторона , пересекает отрезок и продолжение отрезка за точку (рис. 3).

Тогда

Шаги построения в GeoGebre (таб. 3):

Таблица 3

№	Имя	Иконка GeoGebra	Определение
1	Отрезок		Отрезок c длиной 4.
2	Квадрат		Квадрат c длиной 4.
3	Точка		Середина отрезка .
4	Угол		Угол между образующей и прямой .
5	Точка		Точка пересечения прямых.
6	Треугольник		Многоугольник через три точки .
7	Площадь треугольника		Указывая на многоугольник , находим ее площадь равная 2.

---

Рис.17

2-й случай: пусть прямая, проходящая через середину стороны , пересекает отрезок и продолжение отрезка за точку (рис. 18). Тогда




Рис. 18

Ответ: 2 и 10.

2.4. Расположение точек внепрямой

Задача 4. (ЕГЭ, 2010) В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 8 и . Найдите длину диагонали трапеции.

Решение. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.

1-й случай: пусть центр окружности лежит вне трапеции (рис. 19). Так как прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит эту хорду пополам, то и. Из прямоугольных треугольников и FD находим

и

Высота трапеции равна длине отрезка. Длина отрезка равна длине средней линии .

Находим диагональ из прямоугольного треугольника
Шаги построения в GeoGebra (таб. 4):

Таблица 4

№	Имя	Иконка GeoGebra	Определение
1	Отрезок		Отрезок c длиной.
2	Окружность		Окружность с радиусом .
3	Отрезок		Отрезок c длиной .
4	Отрезок		Отрезок c длиной .
5	Многоуголь-ник		Равнобедренная трапеция
6	Отрезок		Соединяем точки и находим длину диагонали .

---

Рис. 19

2-й случай: пусть центр окружности лежит внутри трапеции (рис. 20). Высота трапеции равна длине отрезка .

Находим диагональ из прямоугольного треугольника


Рис. 20

2.5. Выбор некоторого элемента фигуры

Задача 5. (ЕГЭ, 2012) Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 4 углом . Внутрь треугольника вписаны две равные окружности таким образом, что окружности касаются друг друга и каждая окружность касаются двух сторон треугольника. Найдите радиус окружностей.

Решение. В данном треугольнике углы при основании, основание и высота, опущенная на основание, соответственно равны , .

Существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.

1-й случай: пусть каждая из окружностей касается основания и боковой стороны (рис. 21). В этом случае каждая из этих окружностей вписывается в прямоугольный треугольник со стороной 2, 2 и 4. Рассмотрим, например, прямоугольный треугольник. Радиус вписанной в него окружности находим по формуле:
Шаги построения в GeoGebre (таб. 5):

Таблица 5

№	Имя	Иконка GeoGebra	Определение
1	Окружность		Окружность с радиусом .
2	Угол		Угол между радиусами и .
3	Многоугольник		Равнобедренный треугольник .
4	Прямая		Прямая через , перпендикулярная .
5	Точка		Точка пересечения прямыхи.
4	Отрезок		Соединим точки .
5	Точка		Точка пересечения перпендикуляра и прямой .
6	Точка		Точка пересечения биссектрис треугольника
7	Окружность		Окружность по центру и точке
8	Точка		Точка пересечения биссектрис треугольника .
9	Окружность		Окружность по центру и точке
10	Отрезок		Отрезок 0,73

---

Рис. 21

2-й случай: пусть обе окружности касаются одной из боковых сторон (рис. 22). Так как центры окружностей лежат на биссектрисах, радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны стороне и , то получим
Найдем по формуле
Тогда получим, Отсюда



Рис.22

1   2   3   4   5   6   7

---

Смотрите также файлы

• Вариант 1 Как называется 19 век в русской литературе.docx

• Интервал между текстом и таблицей не менее 12 пунктов, но не более 24 пунктов.docx

• Введение обзор литературы.docx

• Рабство в Древнем Риме.docx

• Разработка алгоритмов и программ с использованием массивов в среде С.docx