Файл: В. Н. Коваленко надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.doc

4.2 Примеры решения типовых задач

Пример 4.2.1. План испытаний [ n, Б, t₀ ]. При испытании устройств в течении, t₀ =500 час. зарегистрировано d=6 отказов устройств. Отказавшие устройства проработали до выхода из строя соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 часов. Необходимо определить оценку и двусторонний доверительный интервал для при

Решение.

1 Определяем суммарную наработку по формуле из табл. 3.1 /2/

= 50+150 +200 +300 + 350 + 450 + (50 – 6)500 =

= 1500 + 22000 = 23500 час.

2. Определяем статистическую оценку формуле из табл. 3.1 /2/

= =

3. Определяем верхнюю границу. Для определения воспользуемся формулой из табл. 3.1 /2/, значения квантилей взять из табл. П.В.1

.

4. Определяем нижнюю границу. Для определения воспользуемся формулой из табл. 3.1 /2/

.

Пример 4.2.2. Испытания 100 ламп накаливания, срок службы которых подчиняется нормальному закону, продолжались в течении За время испытаний отказало 5 ламп с наработкой до отказа в часах соответственно

---

=50, = 150, = 250, = 300, = 450. Требуется определить среднюю наработку до отказа ламп и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1.Определяем квантили нормального распределения (см. табл. П.Б.1) для вероятностей , , соответственно, которые равны: ; ; , , .

2. Составляем систему уравнений:











Полученную систему уравнений решаем по методу наименьших квадратов, для чего умножаем левую и правую части каждого уравнения соответственно на , ,

---

, , и затем все уравнения сложим, в результате получим первое, так называемое нормальное уравнение, которое имеет следующий вид



Второе нормальное уравнение получают суммированием уравнений исходной системы, которое имеет следующий вид



Решая полученные нормальные уравнения, получим час., =566,2 час.

Для оценки точности полученных значений и определяем

.

Затем по табл. П.7.7 /4/ находим .

Тогда




Вычисляя, получим = 314,2 час., = 186,9 час.

Как следует из полученных значений, точность определения параметров распределения в условиях данного примера невысокая. Доверительные интервалы величиной , что соответствует вероятности 95%, в нашем случае составляют

час.

час.
Пример 4.2.3 Партия изделий, надежность которой нужно проконтролировать, состоит из N=50 экземпляров. Партия считается хорошей, если в ней содержится не более 10% дефектных изделий, и плохой – при содержании 20% дефектных изделий. Риск поставщика и риск заказчика приняты равными и составляют α = β = 0,10. Определить приемное (А

---

₀) и браковочное (А₁) числа дефектных изделий в выборке объемом n = 20 экземпляров.

Решение. Так как партия малая , а объем выборки относительно велик, то контроль необходимо осуществлять, исходя из гипергеометрического распределения.

1 Число дефектных изделий при 10% дефектных изделий в партии составляет D₀ =Nq₀ = 50×0,10 = 5; при 20% дефектных изделий D₁ = Nq₁ = 50×0,20 = 10.

2 Для определения приемочного числа дефектных изделий воспользуемся формулой , суммирование вероятностей гипергеометрического распределения производим до тех пор, пока накопленная вероятность не приблизиться к 1-α, т.е.



Таким образом,











Полученная величина близка к 1-α = 0,90, т.е. фактически риск поставщика близок к принятому : .

Поэтому приемочное число можно взять равным трем (A₀=3). Если принять A₀=2, то риск поставщика стал бы неприемлемо велик .

3 Аналогичным образом может быть рассчитано браковочное число A₁. Для этого по формуле накапливаем вероятности R до тех пор, пока выполняется условие

---

Следовательно, с риском , близким к первоначально установленному (β = 0,10), при d₁= 2 дефектным изделиям в выборке партию можно принять, а при d₁ = 3 дефектным изделиям нужно браковать.

Приемочное и браковочное A₀ = A₁ = 3. Это значит, что одиночный контроль не может производиться одновременно в интересах поставщика и заказчика.

Пример 4.2.4 Контролю надежности подлежит партия из N = 200 устройств. Необходимо определить приемочное (А₀) и браковочное (А₁) числа дефектных изделий в выборке из n = 40 изделий. Партия считается хорошей, если в ней содержится 5%, и плохой – если 10% дефектных устройств. Риск поставщика принят равным 0,20, а риск заказчика – 0,10.

Решение. Учитывая относительно большой объем контролируемой партии и небольшие значения доли дефектных изделий, целесообразно производить решение, исходя из f-биноминального распределения, в соответствии с формулами ,

1. Рассчитываем величины f, D₀ и D₁:

D₀=Nq₀=10; .
2. Приемочное число А₀ определяется суммированием вероятностей f-биноминального распределения до величины близкой к :



Далее вычисляем вероятности R(d) и суммируем их:

---