Файл: Математики.pdf

52 ведений. М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. 455 с.: ил. 5000 экз. ISBN 5-6 5. Брагина Я. М. Постановка целей и задач как основной компонент целостности системы урока // Начальная школа. 2015. № 3. С. 20-23.
6. Давыдов В. В. Концепция гуманизации российского начального образования // Начальное образование в России. Инновации и практи- ка. М., 1994.
7. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986.
8. Днепров Э. Д. Четвертая школьная реформа в России : пособие для преподавателей. М. : Фирма «Интерпракс», 1994.
9. Дъякова Л. М. Методика преподавания математики в начальных классах в вопросах и ответах. Армавир, 1995.
10. Ерденова Г. Б. Исследовательская культура ученика и педагога
// Начальная школа. 2015. № 4. С. 81-82.
11. Истомина Н. Б. Развивающее обучение // Начальная школа.
1996. № 12.
12. Истомина Н. Б. Методика обучения математики в начальных классах. М. : Издательский центр «Академия», 1998.
13. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебни- ков системы «Школа России». 1-4 классы: учеб. пособие для обще- образоват. организаций / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова и др. 2-е изд., перераб. М. : Просвещение, 2016. 124 с.
14. Подласый И. П. Педагогика : учебник. 2-е изд., доп. М. : Изда- тельство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. 574 с.
15. Педагогический энциклопедический словарь / гл. ред. Б. М.
Бим-Бад; редкол.: М. М. Безруких, В. А. Болотов, Л. С. Глебов и др. М.
: Большая Российская энциклопедия, 2002.
16. Подходова Н. С., Кожокарь О. А., Фефилова Е. Ф. Реализация
ФГОС ОО: новые решения в обучении математике : учеб.-метод. пос. для высш. учеб. заведений, ведущих подготовку по направлению «Пе- дагогическое образование». СПб. : Архангельск, 2014.
17. Осмоловская И. М., Петрова Л. Н. Формирование универсаль- ных учебных действий у учащихся начальных классов // Начальная школа. 2012. № 10. С. 6-13.
18. Русакова С. Б. Логико-поисковые задания // Начальная школа.
2015. № 1. С. 15-17.
19. Сандалова Н. Н. Формирование исследовательских умений у младших школьников // Начальная школа. 2015. № 6. С. 47-51.
20. Стефаненко Н. А., Соловьева А. Е. Стандарт нового поколения и реальные потребности младших школьников // Начальная школа.
2012. № 7. С. 1-8.

53 21. Стойлова Л. П. Исследовательские задания по математике и умение доказывать // Начальная школа. 2015. № 9. С. 58-60.
22. Тарасова О. В. Пространственная геометрия: история и совре- менность // Начальная школа. 2003. № 8. С. 81-83.
23. Теоретические основы методики обучения математике в на- чальных классах : пособие для студентов фак. подгот. учителей нач. классов заоч. отд-ния. М. : Издательство «Институт практической пси- хологии». Воронеж : НПО «МОДЭК», 1996.
24. Федеральный государственный образовательный стандарт на- чального общего образования (с изменениями на 18 мая 2015 года).
25. Хлебникова А. А. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. 2015. № 4. С. 53-55.
26. Царева С. Е. Методика преподавания математики в начальной школе : учеб. для студентов учреждений высш. образования. М., 2014.

54
Математические понятия в начальном курсе
математики, пути их формирования
Новое в преподавании математики полезно только тогда, когда на опыте проверено, что оно лучше старого.
П.Л. Чебышев
Виды математических понятий, их характеристика
Процесс обучения математике в начальной школе включает в себя овладение предметными результатами обучения, дающими представление о предмете матема- тики, ее языке и символике, специальных математиче- ских приемах, основных общенаучных методах познания.
Анализ ФГОС НОО показывает, что предметные результаты обу- чения включают освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области дея- тельности по получению нового знания, его преобразованию и приме-
нению, а также систему основополагающих элементов научного зна- ния, лежащих в основе современной научной картины мира [13].
Давая определение знания, ученые-дидакты акцентируют внимание на разных сторонах этого понятия. Так в «Педагогическом энциклопе- дическом словаре» "знание"рассматривается как «проверенный обще- ственно-исторической практикой и удостоверенный логикой результат процесса познания действительности; адекватное ее отражение в созна- нии человека в виде представлений, понятий, суждений, теорий» [6].
В методике широкое распространение получило определение, в котором знание представлено как отражение в сознании учащихся предметов и явлений окружающего мира, то есть это отражение того математического материала, который подлежит усвоению [12, с. 48].
Несмотря на различные определения понятия «знание», они не противоречат друг другу. Знания формируются в результате целена- правленного педагогического процесса, самообразования и жизненно- го опыта.
Знания классифицируют по различным основаниям: по степени общности знания разделяют на эмпирические (прак- тические) знания и теоретические знания; по способам получения - на опытные, сообщаемые и выводи- мые знания,

55 по степени систематичности и достоверности - обыденные и научные знания, по типу реальных объектов - на знания о предметах, о процес- сах, об отношениях и др.
По психологическому уровню выделяют: знание – узнавание – воспроизведение – понимание – применение – автоматические дейст- вия – потребность.
По степени обобщенности: факты – явления, понятия – терми- ны, связи – закономерности, гипотезу – теории, методологические знания, оценочные знания [10].
В традиционном понимании, знания – отражение характеристик реальности в виде представлений, понятий, суждений, умозаклю-
чений и рассуждений.
Представления – чувственный образ предметов и явлений дей- ствительности, ранее воздействовавших на органы чувств. Кроме на- учного, термин «представления» имеет обиходное значение неполно- го, приблизительного, предварительного знания [6, с. 213].
Представления вместе с понятиями составляет одно из условий, обеспечивающих ориентировку в действительности, дают основу для решения теоретических и практических задач. Однако представления не проникают в сущность предмета. В практике обучения представле- ния, как правило, выступают в роли чувственной опоры при форми- ровании понятий.

56
В логике под понятием понимается мысль, в которой обобщают- ся и выделяются предметы некоторого класса по определенным об- щим и в совокупности специфическим для них признакам [4].
В понятиях можно выразить то, что невозможно представить на- глядным образом. То есть понятие шире, чем представление. Так, нам не удается мысленно увидеть геометрическую фигуру, имеющую сто углов, но понятие «стоугольник» имеется, и мы знаем, что практиче- ски такая фигура может существовать [9, с. 17].
Формирование понятий – сложный психический процесс, кото- рый начинается с простейших форм познания и протекает по сле- дующей схеме:
ощущения – восприятие – представление – понятие. Обычно этот процесс разделяют на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Л.П. Стойлова, анализируя природу математиче- ских понятий, которые изучаются в начальной школе, выделяет четыре большие группы. В первую включа- ются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вто- рую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, неравен- ство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т. д. Четвертую группу образуют по- нятия, связанные с величинами и их измерением [11].
Понятие закрепляется в слове. Для каждого понятия выделяют его объем и содержание.
Объем понятия – множество всех объектов, обозначаемых одним термином [11, с. 45], т.е. это множество всех объектов, к которым применимо данное понятие.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии [11, с. 45]. Содержание понятия раскрывается при помощи определения.
Например, у понятия уравнение содержание составляют следую- щие признаки: а) быть равенством; б) иметь неизвестный компонент; в) неизвестный компонент обозначен буквой латинского алфавита.
В предложенном примере объемом понятия «уравнение» будет мно- жество всех существующих уравнений.
Содержание понятия раскрывается при помощи определений.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть

57 нового термина (или обозначения) [11, с. 48].
Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существен- ных признаков формируемого понятия.
В логике понятия классифицируют по различным основаниям: единичные и общие, конкретные и абстрактные, относительные и безотносительные.
В математике определения понятий подразделяют на явные и не- явные (рис. 8).
Рис. 8 –Виды определений понятий
Чаще в математике используются определения через род и видо- вое отличие, т.е. явные.
Например, периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон (2 класс, 1 часть); уравнение – это равенство, содержащее не- известное число, которое надо найти (2 класс).
В курсе математики начальной школы встречаются явные опре- деления понятий, в которых не всегда четко выделяются род и видо- вое отличие, хотя они присутствуют и, как правило, введение такого понятия сопровождается наглядностью, что объясняется возрастными особенностями младших школьников.
В качестве примера можно привести введение понятия ломаной
линии (1 класс, 1 часть).

58
ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ. ЗВЕНО ЛОМАНОЙ
Ломаная линия состоит из отрезков, которые не лежат на одной прямой.
Конец одного отрезка – начало другого.
Каждый такой отрезок – звено ломаной.
Концы каждого звена – вершины ломаной.
Неявные определения в свою очередь делятся на остенсивные и контекстуальные.
Остенсивные определения «используются для введения терми- нов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозна- чают» [11, с. 54]. Эти определения носят название «определение пу- тем показа конкретных объектов».
Например, так вводятся понятия равенства и неравенства (1 класс, 1 часть).
РАВЕНСТВО. НЕРАВЕНСТВО
Равенства:
Неравенства:
4 = 4
4+1=5
4 > 3
4-1<4
Контекстуальные определения раскрывают его сущность через контекст, т.е. через часть текста, «через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста уста- навливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание» [11, с. 54]. Например,

59 так вводится понятие буквенного выражения (2 класс, 1 часть).
БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Если подставить в «окошко» карточку, которую несѐт ѐжик, то полу- чится выражение 2 + 5. Найдѐм значение этого выражения:
2 + 5 = 7
Подставляй в «окошко» другие числа и вычисляй значения получае- мых выражений.
1. В следующих записях подставляй в «окошки» те же числа и вычис- ляй значения получаемых выражений.
Почему в последней табличке не стоит подставлять в «окошко» числа
7, 8, 9?
В математике вместо «окошек» записывают маленькие латинские бу- квы. Их надо научиться писать и читать.
Например, буква а читается «а», буква b читается «бэ», буква с чита- ется «цэ», буква k читается «ка».
Наряду с определениями существуют логические формы, кото- рые не являются понятиями, но близки к определению и иногда заме- няют или дополняют его. Описание понятия применяется в том слу- чае, когда невозможно или нецелесообразно вводить определение.
Таким способом вводятся первичные (основные) математические по- нятия. В определении определяемое понятие сводится к уже извест- ному понятию, но самое первое понятие не к чему сводить, поэтому ввести его через определение невозможно.

60
Например, это можно продемонстрировать на примере введения понятий геометрических фигур в 1 классе:
Понятие многоугольника. 1 класс (1 часть)
Знание представлено в готовом виде, проведена классификации
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Это треугольники. Это четырѐхугольники
Почему они так называются?
Назови каждый многоугольник и покажи его углы, стороны, вершины. Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника? у шестиугольника? у десятиугольника?
Понятие прямоугольника 2 класс (2 часть).
ПРЯМОУГОЛЬНИК
1. Найди четырехугольники, у которых все углы прямые.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

61
Понятие квадрата 2 класс (2 часть) С. 30
КВАДРАТ
1. Проверь с помощью модели прямого угла, что все эти четырѐх- угольники - прямоугольники.
2. Найди среди прямоугольников такие, у которых все стороны рав- ны. Выпиши их номера.
Понятие многоугольника не определяется в начальной школе, оно взято за исходное (хотя дается определение в эвклидовой геометрии), поскольку многоугольник – плоскостная фигура, а понятие плоскости не вводится в начальной школе. Понятие четырехугольника вводится путем классификации: все многоугольники распределяются на тре- угольники и четырехугольники. После знакомства с понятием четы- рехугольника вводится понятие прямоугольника. При этом опреде- ляемое понятие сводится к уже известному понятию четырехуголь-
ник, а понятие квадрат – к понятию прямоугольник.
Из курса математики вы помните, что объемы понятий могут на- ходится в следующих видах отношений: тождества, частичного пере- сечения и включения.
В нашем случае понятия находятся в отношении включения. А – множество многоугольников, В – множество четырехугольников, С – множество прямоугольников, D – множество квадратов (рис. 9).
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны

62
Рис. 9
В этом случае понятие многоугольник является родовым для по- нятия четырехугольник, а четырехугольник – видовым по отношению к понятию многоугольник, аналогично можно выделить пары четы- рехугольник-прямоугольник, прямоугольник - квадрат.
Методические требования к усвоению понятий:
1. Введение понятия должно осуществляться в ходе продуктив-
ной деятельности, которая связана с процессом мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях как анализ и син- тез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение и связана с приемами преобразования, выбора, сравнения, конструирования.
2. Введение понятия должно осуществляться с выделением суще-
ственных признаков данного понятия, при этом сам термин может
быть введен учителем.
3. Для этой цели могут быть использованы различные методиче- ские приемы (А.М. Матюшкин): организация целенаправленного наблюдения; анализ математических объектов с различных точек зрения; ус- тановление соответствия между предметной - вербальной - графиче- ской - символической моделями.
4. Следует ориентировать школьников на смысловое, логическое запоминание, которое должно стать результатом осмысливания опре- деления, его структуры в процессе изучения и применения. многоугольники четырехугольники прямоугольники квадраты