Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 335
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
67) 68) .69) .70) .71) .72) .В задачах 73-98 исследовать на сходимость ряды:73) .74) .75) 76) 77) 78) 79) .80) .81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93)
94) 95) 96) 97) 98) §2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости знакочередующегося ряда.Определение. Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов:Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (2) расходится.Всякий абсолютно сходящийся ряд, есть ряд сходящийся.Признак Лейбница.Знакочередующийся ряд , сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е., если и При этом сумма ряда положительна и не превосходит первого члена.Пример. Исследовать на сходимость:1) ; 2) ; 3) ; 4) 1) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: и Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли абсолютно или условно, исследуем ряд с положительными членами
, составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применим предельный признак сравнения. Рядом сравнения к ряду является расходящийся гармонический ряд (т.к. )Следовательно, ряд из абсолютных значений членов ряда расходится, а значит, исходный ряд сходится условно.2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где - любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными членами. Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией , которая является сходящимся рядом. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена геометрической прогрессии.Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: , Поэтому согласно признаку Лейбница, он сходится. Ряд также сходится согласно признаку Даламбера: Следовательно, данный ряд абсолютно сходится.4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: - не существует.Следовательно, ряд расходится.Задачи для решения.В задачах 99-128 выяснить, сходится ли абсолютно
126)127)128)1>1>
94) 95) 96) 97) 98) §2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Признак сходимости знакочередующегося ряда.Определение. Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов:Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд (2) расходится.Всякий абсолютно сходящийся ряд, есть ряд сходящийся.Признак Лейбница.Знакочередующийся ряд , сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е., если и При этом сумма ряда положительна и не превосходит первого члена.Пример. Исследовать на сходимость:1) ; 2) ; 3) ; 4) 1) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: и Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли абсолютно или условно, исследуем ряд с положительными членами
, составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применим предельный признак сравнения. Рядом сравнения к ряду является расходящийся гармонический ряд (т.к. )Следовательно, ряд из абсолютных значений членов ряда расходится, а значит, исходный ряд сходится условно.2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где - любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными членами. Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией , которая является сходящимся рядом. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена геометрической прогрессии.Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: , Поэтому согласно признаку Лейбница, он сходится. Ряд также сходится согласно признаку Даламбера: Следовательно, данный ряд абсолютно сходится.4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: - не существует.Следовательно, ряд расходится.Задачи для решения.В задачах 99-128 выяснить, сходится ли абсолютно
, условно или расходится ряд:
99)
100)
101)
102)
103) 
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)
115)
116)
117)
118)
119)
120)
121)
122)
123)
124)
125)
126)127)128)1>1>