§3. Функциональные ряды. Область сходимости функциональности ряда.3.1 Основные определения.Определение. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями переменной :При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.Определение. Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от , поэтому сумму функционального ряда обозначают .Пример. Функциональный ряд сходится при всех , т.е. в интервале (-1;1), т.к. при любом из этого интервала соответствующий числовой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.В интервале сходимости сумма ряда При всех этот ряд расходится.Обозначим сумму первых членов ряда. Если ряд сходится и сумма его , то ,где

---

называется остатком ряда. Для всех в области сходимости ,Поэтому ,Т.е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю.3.2 Степенные ряды.Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида.Или более общего видаГде - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.Ряд (2) подстановкой преобразуется в ряд вида (1), поэтому в дальнейшем будем заниматься рядами вида (1).Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении , для которого ;Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех

---

, по модулю меньших ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших , ряд расходится.
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется такое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал называется интервалом сходимости.
3.3. Определение интервалов сходимости степенных и функциональных рядов.
Пусть имеем ряд



Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов.



Для определения сходимости этого ряда с положительными членами применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:



По признаку Даламбера ряд (2) сходится, если , т.е. если , и расходится, если . Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, при , а если , то

и ряд (2) расходится, причем его общий член не стремится к нулю ( не выполняется необходимый признак сходимости), а значит, ряд (1) расходится.

---

Интервалом сходимости ряда (1) является интервал , а радиус сходимости При исследовании вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости признак Даламбера не применим т.к. соответствующий предел здесь равен единице, поэтому здесь надо применить какой-либо другой признак.Пример. Определить интервал сходимости степенного ряда:Составляем ряд из модулей: Как следует из ряда, , Далее, используя признак Даламбера, ищем пределИ определяем, при каких значениях этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство Согласно признаку Даламбера, при любом значении из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при расходится.Граничные точки этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.При получим числовой ряд с положительными членами , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом

---

При получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница. Члены ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю. Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал 3.4 Свойства степенного ряда.1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.2. Если степенной рядимеет интервал сходимости ( ), то ряд ,полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости ( ), при этом ,если , т.е внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (1).3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимостиЗадачи для решения.В задачах 129-150 найти область сходимости степенных рядов:129)130) 131)132)133) 134) 135)

---

Смотрите также файлы

• Теория вероятностей.doc

• Суть стартапа, что это такое.docx

• История Болезни Ф. И. О. больного Чуркин Сергей Геннадьевич 17 лет. Диагноз.doc

• Олимпиада по русскому языку i тур Найди общее начало для частей слов, которые находятся справа, и впиши его.docx

• Основные значения сигналов, подаваемых светофорами (независимо от места установки и их назначения), следующие.pdf