Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 70
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§3. Функциональные ряды. Область сходимости функциональности ряда.
3.1 Основные определения.
Определение. Ряд
называется функциональным, если его члены являются функциями переменной 
:
При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Определение. Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.
В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от , поэтому сумму функционального ряда обозначают 
.
Пример. Функциональный ряд
сходится при всех 
, т.е. в интервале (-1;1), т.к. при любом из этого интервала соответствующий числовой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
В интервале сходимости сумма ряда
При всех
этот ряд расходится.
Обозначим
сумму первых 
членов ряда. Если ряд сходится и сумма его , то
,
где
называется остатком ряда. Для всех 
в области сходимости
,
Поэтому
,
Т.е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю.
3.2 Степенные ряды.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида.
Или более общего вида
Где
- постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Ряд (2) подстановкой
преобразуется в ряд вида (1), поэтому в дальнейшем будем заниматься рядами вида (1).
Теорема Абеля.
Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении
, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении , для которого 
;
Если ряд расходится при некотором значении
, то он расходится при всяком , для которого 
Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число
, что для всех
, по модулю меньших
ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших 
, ряд расходится.
Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется такое число
, что для всех , 
, степенной ряд сходится, а для всех 
, расходится. Интервал 
называется интервалом сходимости.
3.3. Определение интервалов сходимости степенных и функциональных рядов.
Пусть имеем ряд
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Для определения сходимости этого ряда с положительными членами применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:
По признаку Даламбера ряд (2) сходится, если
, т.е. если 
, и расходится, если 
. Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, при , а если , то
и ряд (2) расходится, причем его общий член не стремится к нулю ( не выполняется необходимый признак сходимости), а значит, ряд (1) расходится.
Интервалом сходимости ряда (1) является интервал
, а радиус сходимости 
При исследовании вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости признак Даламбера не применим т.к. соответствующий предел здесь равен единице, поэтому здесь надо применить какой-либо другой признак.
Пример. Определить интервал сходимости степенного ряда:
Составляем ряд из модулей:
Как следует из ряда,
, 
Далее, используя признак Даламбера, ищем предел
И определяем, при каких значениях этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство 
Согласно признаку Даламбера, при любом значении из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при 
расходится.
Граничные точки
этого интервала, для которых 
и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.
При
получим числовой ряд с положительными членами 
, который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом 
При
получим числовой знакочередующийся ряд 
, который сходится согласно признаку Лейбница. Члены ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю. Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал 
3.4 Свойства степенного ряда.
1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
2. Если степенной ряд
имеет интервал сходимости (
), то ряд
,
полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости ( ), при этом 
,если 
, т.е внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (1).
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости
Задачи для решения.
В задачах 129-150 найти область сходимости степенных рядов:
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)
3.1 Основные определения.
Определение. Ряд
называется функциональным, если его члены являются функциями переменной : При различных значениях
из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.Определение. Совокупность значений
, при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от
, поэтому сумму функционального ряда обозначают .Пример. Функциональный ряд
сходится при всех , т.е. в интервале (-1;1), т.к. при любом из этого интервала соответствующий числовой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.В интервале сходимости сумма ряда
При всех
этот ряд расходится.Обозначим
сумму первых членов ряда. Если ряд сходится и сумма его , то ,где
называется остатком ряда. Для всех в области сходимости ,Поэтому
,Т.е. остаток
сходящегося ряда стремится к нулю.3.2 Степенные ряды.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида.
Или более общего вида
Где
- постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.Ряд (2) подстановкой
преобразуется в ряд вида (1), поэтому в дальнейшем будем заниматься рядами вида (1).Теорема Абеля.
Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении
, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении , для которого ;Если ряд расходится при некотором значении
, то он расходится при всяком , для которого Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число
, что для всех
, по модулю меньших
ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших , ряд расходится.Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется такое число
, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал называется интервалом сходимости.3.3. Определение интервалов сходимости степенных и функциональных рядов.
Пусть имеем ряд
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Для определения сходимости этого ряда с положительными членами применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:
По признаку Даламбера ряд (2) сходится, если
, т.е. если , и расходится, если . Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, при , а если , то и ряд (2) расходится, причем его общий член не стремится к нулю ( не выполняется необходимый признак сходимости), а значит, ряд (1) расходится.
Интервалом сходимости ряда (1) является интервал
, а радиус сходимости При исследовании вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости признак Даламбера не применим т.к. соответствующий предел здесь равен единице, поэтому здесь надо применить какой-либо другой признак.
Пример. Определить интервал сходимости степенного ряда:
Составляем ряд из модулей:
Как следует из ряда,
, Далее, используя признак Даламбера, ищем предел
И определяем, при каких значениях
этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство Согласно признаку Даламбера, при любом значении
из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при расходится.Граничные точки
этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.При
получим числовой ряд с положительными членами , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом
При
получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница. Члены ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю. Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал 3.4 Свойства степенного ряда.
1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.
2. Если степенной ряд
имеет интервал сходимости (
), то ряд ,полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости (
), при этом ,если , т.е внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (1).3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости
Задачи для решения.
В задачах 129-150 найти область сходимости степенных рядов:
129)
130)
131)
132)
133)
134)
135)