Файл: Сборник задач по высшей математике. РостовнаДону 2008г. 1.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 332
Скачиваний: 4
160)161) 162)163)164)165)166)Используя интегрирование и дифференцирование степенных рядов, найти сумму заданных рядов:167)168)169)170)
§4 Ряды Тейлора.Определение. Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд. Обозначим многочлен - ой степени, представляющий - ую частичную сумму ряда Тейлора:Ряд Тейлора функции сходится к самой этой функции, если . Остаточным членом ряда Тейлора называется разность Если ряд Тейлора в области сходимости имеет своей суммой , то остаточный член этого ряда при стремится к нулю и обратно.Величина дает как раз ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию многочленом .Для выяснения, стремится ли к нулю при или нет, полезна следующая теорема, устанавливающая структуру остаточного члена: Теорема: Если функция во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет
ую производную 
, то остаточный член 
для любой точки этого интервала имеет вид: 
, где 
можно записать и так:
, где 
Это остаточный член в форме Лагранжа.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно
1) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при 
и подставить их в общее выражение ряда Тейлора;
2) Исследовать остаточный член формы Лагранжа для данной функции и определить совокупность значений 
, при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых 
).
Пример. Разложить в ряд Тейлора функции:
1) 
при 
; 2) 
при 
Решение:
1) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 
Подставляем эти значения в ряд Тейлора (1) для произвольной функции, получим:
Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера. ; ; ; , если . Решая это неравенство, находим интервал: . Границы интервала исследуем особо. Подставляя в ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть ( ). Внутри этого интервала, т.е. при , ряд является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. сумма ряда. , что доказывает сходимость ряда именно к данной функции.2) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___