Файл: Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически.docx

Скачать файл (0,17Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Реферат

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.12.2023

Просмотров: 112

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы Министерства РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий

имени Героя Российской Федерации генерала армии Е.Н. Зиничева»

Кафедра высшей математики системного моделирования сложных процессов

Реферат
Высшая математика
Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически

Выполнил обучающийся
Группа

Проверил преподаватель

Санкт-Петербург

2022

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1.1. Определение производной функции

1.2. Односторонние производные функции

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1. Определение дифференциала функции

2.2. Дифференциал независимой переменной

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

3.1. Геометрический смысл производной

3.2. Геометрический смысл дифференциала

3.3. Приближенное вычисление малых приращений функции

4. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

4.1. Свойства производных (правила дифференцирования)

4.2. Производная обратной функции

4.3. Производные элементарных функций

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

5.1. Производная сложной функции

5.2. Производная неявной функции

5.3. Логарифмическая производная

5.4. Производная функции, заданной параметрически

6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

6.1. Производные высших порядков

6.2. Дифференциалы высших порядков

7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

7.1. Теорема Ролля

7.2. Теорема Лагранжа

7.3. Теорема Коши

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Определение производной функции.
Односторонние производные.

Определение производной функции

Рассмотрим следующую задачу, которая

позволит лучше понять смысл производной.

Материальная точка совершает прямолинейное неравномерное движение.

Пусть

s₀ ^–^путь,^{пройденный}^за^время

t₀ ^,s^–^путь,^{пройденный}^за^времяt^.

Отрезок пути

s s s₀

точка пройдет за промежуток времени

t t t₀^.

^{Средняя}^{скорость}^на^{интервале}^{времени}^отt₀

s, равна:

^доt^,^или^на^{участке}^пути

v ^^s^.

ср __t

Средняя скорость зависит от

t. При уменьшении t

соответствующий

промежуток пути s

^{времени}t₀ ^:

уменьшается. Мгновенная скорость движения в момент

v lim

s_.

t0 __t

Перейдем к определению понятия производной.

Рассмотрим функцию

fx^,^{определенную}^на^{интервале}^^a^,^b^^,

^x^^^a^,^b^–

фиксированная точка. Число x

таково, что точка

^x^^^x^^^a^,^b^.

Отношение

y(x,x)

x

зависит от xи

x.

Определение

Производной функции

приращений
fx
^в^точкеx^{называется}^предел^{отношения}

lim

y_
lim

fxxfx _,

x0 __x

при условии, что он существует.
Обозначение

x0 __x

Примеры

^y^^sin^x.

2cos^x ^^x^sin ^^x

sinxxsinx

⁰

 ₂ ₂

y^x 

lim _

 __

lim ^^



 cos x.

x0 _x

⁰

x0 _x

yx  log _ax^,

0  a 1.

y log

x x  log
x log

^1  ^^x^^,

a




log

a

_₁_x_

_a _x

1

_a 

y^x 

lim

 ^x _^⁰^_

lim

log

^1  ^^x^x 

x0 __x

_₀_

x0 ^a^_x^




1

 ^x ^x

a _





 lim

log

^₁_^^x^^x^

 ¹log e^.

x0

_ _x __x_a

 

Частный случай при

a e:

Односторонние производные функции

Одностороннимипроизводныминазываются односторонние пределы:

^y^⁽^x⁾^^lim^^y– левая производная в точке x,

^x0 __x

^y^⁽^x⁾^^lim^^y– правая производная в точке x.

^x0 __x

Для существования производной функции

y f(x)

^{в точке}x

необходимо и достаточно существование и равенство односторонних ^{производных}^{функции в}^точкеx^.