Файл: Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Реферат

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.12.2023

Просмотров: 371

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейная, т. к. dyпропорционален xв первой степени.
Теорема

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала является существование производной функции.

    1. Дифференциал независимой переменной


Рассмотрим
Вывод

y x,

yx 1,

y x

dy x

(см. (*)).

dx x

приращению.

дифференциал независимой переменной равен ее

С учетом полученного:

dy yx x yx dx.




– формула для вычисления первого дифференциала.

Вывод

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Отсюда





– производная есть отношение дифференциалов.

      1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА


    1. Геометрический смысл производной.

    2. Геометрический смысл дифференциала.

    3. Приближенное вычисление малых приращений функции.

    1. Геометрический смысл производной


Рассмотрим график функции

yfx.


fx0  xP
y


fx0 M
x0 x0  x

x

Точки графика секущей MP.

Определение

Px0  x, fx0  x,

Mx0, fx0 

принадлежат

Касательнойк графику

y fx

в точке

x0 называется предельное

положение секущей при

Теорема

x 0

( PM).

Еслифункция

yfxимеет в точке

x0 производную

fx0 ,

то график функции в точке

fx0.

Доказательство

x0 имеет касательную с угловым коэффициентом


Угловой коэффициент секущей равен

tg   y.

x


Если
x 0 , то

tg   lim

y

fx.

x0 x 0
Такимобразом:

      1. существует предельное положение секущей;

      1. kкасат

fx0.

Уравнение касательной к графику функции в точке

Mx0 , fx0 





Определение

Нормальюк графику функции
fx в точке
x0 называется прямая, проходящая

через точку

Mx0 , fx0  перпендикулярно касательной в этой точке.

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной:

kн 

1 .

fx0

Уравнение нормали к графику функции в точке

Mx0, fx0 :



Пример

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y ln x

в точке

x 1.


Решение

y1  0 .


y 1 ,

x

y1  1.


yx 1
– уравнение касательной.

– уравнение нормали.



    1. Геометрический смысл дифференциала


Рассмотрим график функции

Mx x, y y.

yfx. Точки графика –

Mx, y,
xMT– касательнаякграфикувточкеM.

В треугольнике

MNT:

MN x,

NT x tg   xyx. Таким образом





Вывод

Дифференциал функции
yfx
в точке x есть приращение ординаты

касательной к графику этой функции, когда xполучает приращение x.

Приращение функции

NM  yNT.





Для вогнутой кривой (выпуклой вниз)

y dy.

Для выпуклой кривой (выпуклой вверх)

y dy.

Для линейной функции

y ax b:

y dy.

Пример

Рассмотрим функцию
y x2 .



yxx2x2.y2xxx2.dy2xx.y–площадьокрашеннойчастиквадрата,dy–тажеплощадьзавычетомx2.

Если

x 20,

x 0,1,
y 2  20  0,1  0,12 4,01.

dy 2 20 0,1 4,00 .

Итак, y

и dyотличаются на величину

0,01, что существенно

меньше x.

    1. Приближенное вычисление малых приращений функции


Если x

  • мало, то

fx  dfx.




Геометрический смысл приближенного равенства: данная функция на

участке xзаменяется своей касательной, то есть, линейной функцией.
Примеры

      1. Вычислить приближенно 3 1,1 .

Решение

y ,

x 1,

x 0,1.

yx x – ?

yx x  yx  yxx

Смотрите также файлы