Файл: Лабораторная работа 1. 3 Основы теории погрешностей 3 Лабораторная работа 2. 11 Основы теории погрешностей 11.docx

Содержание

Лабораторная работа №1.«Основы теории погрешностей» 4

Лабораторная работа №2.«Основы теории погрешностей» 11

Лабораторная работа №3-4.«Решение нелинейных уравнений» 18

Лабораторная работа №5.«Решение систем линейных алгебраических уравнений» 25

Лабораторная работа №6.«Метод прогонки для трехдиагональных систем» 32

Лабораторная работа №7.« Использование итерационных численных методов для решения СЛАУ» 37

Лабораторная работа №8.« Использование итерационных численных методов для решения СЛАУ» 44

Лабораторная работа №9.«Численное решение алгебраических проблем собственных значений» 50

Лабораторная работа №10.«Интерполирование. Интерполяционные формулы» 59

Лабораторная работа №11.« Интерполирование. Интерполяционные формулы» 64

Лабораторная работа №12.«Аппроксимация, построение аппроксимирующих кривых» 70

Лабораторная работа 13.«Численное дифференцирование функции. Методы дифференцирования» 76

Лабораторная работа №14.« Численное интегрирование функции» 81

Лабораторная работа №15.«Численные методы решения дифференциальных уравнений» 88

Список использованной литературы 94

Лабораторная работа №1.

«Основы теории погрешностей»

Цель: Закрепление теоретического материала по теме значащие и верные цифры. Знакомство со средой MatLab 7.0.
Задание №1. Округлить сомнительные числа, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

Варианты заданий:

1. 
   9,86314 0,00074
   
2. 
   27,45456;
   
3. 
   0,4239
   
4. 
   13,15466;
   
5. 
   75,5242
   
6. 
   87,231;
   
7. 
   34,7856;
   
8. 
   4,1236;
   
9. 
   23,09870 0,0009
   
10. 
    3,41253 0,00023
    
11. 
    33,60457;
    
12. 
    37,848 0,0079
    
13. 
    1,12486;
    
14. 
    2,75387 0,00011
    
15. 
    5,75555;
    

Задание 2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

Варианты заданий:

1. 
   29,7387 0,0013
   
2. 
   10,12486;
   
3. 
   79,83014 0,00074
   
4. 
   5,75055;
   
5. 
   23,0981 0,0003
   
6. 
   7,42503 0,00012
   
7. 
   31,73856;
   
8. 
   48,1026;
   
9. 
   3,85508 0,00077
   
10. 
    37,63457;
    
11. 
    30,0039 0,0009
    
12. 
    12,35456;
    
13. 
    75,7242
    
14. 
    13,00466;
    
15. 
    5,10459
    

Задание №3.Определить, какое равенство точнее.

Варианты заданий:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    

Теоретический материал:

Значащей цифрой приближенного числа - называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Значащая цифра называется верной в широком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Значащая цифра называется верной в узком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

В противном случае цифра считается сомнительной.

Краткие сведения, необходимые для работы в MATLAB:

MATLAB - это популярная система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения инженерных и научных вычислений.

После запуска MATLAB на экране появляется основное окно приложения.(см. рисунок 1) Это окно содержит меню, панель инструментов и рабочую область - Command Window. Признаком готовности системы к выполнению команды является наличие знака приглашения », после которого расположен активный курсор. Рабочую область со знаком приглашения обычно называют командной строкой. Ввод команд в MATLAB осуществляется с клавиатуры. Нажатие клавиши Enter заставляет систему выполнить команду и вывести результат.

Клавиши «Стрелка вверх» ↑ и «Стрелка вниз» ↓ управляют курсором, однако в MATLAB они имеют другое назначение. Эти клавиши позволяют вернуть в командную строку ранее введенные команды или другую входную информацию, так как вся эта информация сохраняется в специальной области памяти. Так, если в пустой активной командной строке нажать клавишу ↑, то появится последняя вводимая команда, повторное нажатие вызовет предпоследнюю и так далее. Клавиша ↓ выводит команды в обратном порядке.

Зона редактирования - это фактически командная строка. В ней действуют элементарные приемы редактирования:

→ - перемещение курсора вправо на один символ;

← - перемещение курсора влево на одни символ;

Ноmе - перемещение курсора в начало строки;

End - перемещение курсора в конец строки;

Del - удаление символа после курсора;

Backspace - удаление символа перед курсором.

К роме того, существуют особенности ввода команд. Если команда заканчивается точкой с запятой «;», то результат ее действия не отображается в командной строке. В противном случае, при отсутствии знака «;», результат действия команды сразу же выводится в рабочую область.
Рисунок 1. Основное окно приложения MatLab

Пример №1.

Задание: Определить, какое равенство точнее.



Решение:

Сравним границы относительных погрешностей (предельно относительных погрешностей) , определив границы абсолютных погрешностей . Для этого вычислим значения исходных равенств с большим числом знаков после запятой:










В свою очередь





Так как 0,06% > 0,12%, то равенство

Вычисления в MatLab:

>> a1=50/19

a1 =

2.6316

>> x1=2.63

x1 =

2.6300

>> a2=sqrt(27)

a2 =

5.1962

>> x2=5.19

x2 =

5.1900

>> h1=abs(x1-a1)

h1 =

0.0016

>> h2=abs(x2-a2)

h2 =

0.0062

>> e1=h1/a1*100

e1 =

0.0600

>> e2=h2/a2*100

e2 =

0.1184

Пример №2.

Задание: Округлить сомнительные числа, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

1,784;

Решение:

Используем определение:

Цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы десятичного разряда, выраженного этой цифрой.

Найдем абсолютную погрешность исходного числа

h=(0.352%*1.784)/100%=0.0063 (более точное вычисления не требуется, т.к. нас интересует, превосходит ли эта погрешность половину единицы десятичного разряда или нет).

0,0063 > 0,0005 4 – сомнительная цифра в узком смысле.

0,0063 > 0,005 – сомнительная цифра в узком смысле.

0,0063< 0,05 – верная цифра в узком смысле, занимает разряд десятичных долей, т.е. округляем до десятых:

1,784

Проверим, все ли цифры получившегося числа являются верными. Для этого вычислим погрешность результата:



0,0223<0.05 в числе 1,8 цифра 8 а, следовательно, и все предыдущие верны в узком смысле. Итак, ответ 1,8 0,0223
Пример №3.

Задание: Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

0,85637;

Решение:

Используем определение:

Цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выраженного этой цифрой.

Вычислим абсолютную погрешность исходного числа:

H=(0,85637*0,21%)/100%=0,0018

0,0018 > 0.00001 -7- сомнительная цифра в широком смысле;

0,0018 > 0.0001 -3- сомнительная цифра в широком смысле;
0,0018 > 0.001 -6- сомнительная цифра в широком смысле;
0,0018 < 0.01 -5- верная цифра в широком смысле;

Таким образом, округлим исходное число до верных в широком смысле цифр:

0,85637

Проверим верность цифр округленного числа. Для этого вычислим погрешность результата


0,00543<0.01 – e у числа 0,86 все цифры верные в широком смысле.

Содержание отчета:

1. Титульный лист.

2. Цель лабораторной работы.

3. Исходные данные, указываемые в задании и необходимые для достижения поставленной цели.

4. Расчетная часть: описание выполнения задания в среде MatLab.

5. Выводы и анализ полученных результатов.
Контрольные вопросы:

1. 
   Дайте определение приближенного числа
   
2. 
   Сформулируйте правила округления чисел.
   
3. 
   Как находится абсолютная погрешность приближенного числа.
   
4. 
   Как находится относительная погрешность приближенного числа.
   
5. 
   Верной цифрой в узком смысле называется …..
   
6. 
   Верной цифрой в широком смысле называется …..
   
7. 
   Как в среде MatLab записать элементарные математические функции:
   
   1. 
      Синус числа Х
      
   2. 
      Косинус числа Х
      
   3. 
      Тангенс числа Х
      
   4. 
      Котангенс числа Х
      
   5. 
      Корень квадратный из числа Х
      
   6. 
      Модуль числа Х
      
   7. 
      Экспонента числа Х
      
   8. 
      Натуральный логарифм числа Х