Файл: Лабораторная работа 1. 3 Основы теории погрешностей 3 Лабораторная работа 2. 11 Основы теории погрешностей 11.docx

Теоретический материал:
Формула Лагранжа:

Наиболее общей формулой параболического интерполирования является интерполяционная формула Лагранжа.

---

Интерполяционная схема Эйткена

Применение формулы Лагранжа для вычисления интерполяционного многочлена в точке неудобно из-за ее громоздкости. Существенно упростить расчет интерполяционного многочлена в конкретной точке можно, используя интерполяционную схему Эйткена, которая заключается в следующем.

На первом этапе строится последовательность многочленов первой степени по двум рядом стоящим узлам:









Очевидно, что все построенные многочлены являются многочленами Лагранжа (здесь   ) На втором этапе строится последовательность многочленов Лагранжа 2-й степени, при этом используются многочлены, вычисленные на предыдущем этапе. Расчеты выполняются по формулам







Количество таких многочленов будет на 1 меньше, чем на предыдущем этапе. Наконец на n-м этапе строится многочлен Лагранжа степени n по формуле

Это и будет значение многочлена Лагранжа степени n  в точке   x , построенного по узлам  

Пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа в среде MatLab7.0 по таблице:

x	-1	0	1	2	X
y	4	2	0	1	1.5

1.Введем данные:

>> x = [-1 0 1 2]

>> y = [4 2 0 1]

---

2.Построим интерполяционный многочлен (аппроксимация третьей степени):

>> p = polyfit(x, y, 3)

Коэффициенты интерполяции

p = 0.5000 0.0000 -2.5000 2.0000

Многочлен Лагранжа

L=0.5*x.^3-2.5*x+2

3.Построим график функции и узлы интерполяции (см. Рисунок 4). Для графика зададим больше значений, чем в исходной таблице

>> x1=[-1:0.1:2];

>> L=0.5*x1.^3-2.5*x1+2 ;

>> plot(x1, L, 'r', x, y, '*')


Рисунок 4. График функции
Содержание отчета:

1. 
   Титульный лист.
   
2. 
   Цель лабораторной работы.
   
3. 
   Исходные данные, указываемые в задании и необходимые для достижения поставленной цели.
   
4. 
   Расчетная часть: описание выполнения задания
   
5. 
   Проверка результатов в среде MatLab.
   
6. 
   Выводы и анализ полученных результатов.
   

Контрольные вопросы:

1. 
   Постановка задачи теории интерполирования;
   
2. 
   Интерполяционный многочлен Лагранжа;
   
3. 
   Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа и его оценка;
   
4. 
   Вычислительная схема Эйткена;
   
5. 
   Какими командами реализуется построение графиков в среде MatLab;
   
6. 
   Что означает запись: 0.5*x.^3 в среде MatLab;
   

Лабораторная работа №11.

« Интерполирование. Интерполяционные формулы»

Цель: научиться применять интерполяционные формулы для заданной совокупности данных.
Задание:

1.      Подобрать интерполяционный полином по формулам Ньютона для следующей совокупности данных x_i, y_i., найти значение полинома в точках z1 и z2, найти погрешность.

2.      Вычислить значения функции в точках z3 и z4, используя сплайн-интерполяцию.

3.      Найти значения функции в точках z1, z2, z3, z4 используя среду MatLab.

Варианты заданий:

Вариант	xi	1	2	3	4	5	z1	z2	z3	z4
	yi	0,7	1,9	1,1	2,2	3,5	2,2	4,8	2,1	1,1
	yi	0,8	2,4	1,5	2,3	4,0	1,2	4,6	4,6	1,1
	yi	2,1	3,0	1,5	3,2	4,1	1,8	4,4	1,1	3,3
	yi	2,2	4,8	1,9	3,9	5,5	2,2	4,9	3,5	2,5
	yi	1,0	3,5	5,0	5,6	3,8	1,1	4,8	2,1	4,8
	yi	2,6	1,1	1,6	3,2	2,4	1,5	3,9	4,5	3,9
	yi	3,5	4,8	3,5	1,8	1,5	2,1	4,2	1,3	2,1
	yi	6,0	3,2	1,9	1,3	1,2	1,9	4,1	4,9	1,9
	yi	1,5	1,8	2,5	4,0	7,0	2,2	4,8	4,8	3,6
	yi	0	6,0	2,0	1,3	6,0	1,2	4,9	1,2	2,2
	yi	3,5	1,2	0	1,7	2,0	1,1	3,8	3,8	4,7
	yi	1,4	2,7	6,0	0	4,8	1,9	4,9	1,9	2,3
	yi	2,1	3,1	5,1	5,8	6,0	2,1	4,8	2,1	3,3
	yi	1,3	2,4	6,0	0	4,6	1,1	4,7	1,1	2,9
	yi	1,0	3,5	5,0	5,6	3,8	1,1	4,8	2,1	4,8

---

Теоретический материал:
Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.



Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.



Примеры решения задач интерполяции в MatLab:
1. Интерполяция кубическими сплайнами в среде Matlab осуществляется с помощью функции spline, которая имеет вид:

Y_i = spline(x, у, xi).

Здесь:

• 
  x — вектор узлов интерполяции;
  
• 
  у — вектор значений функции в узлах интерполяции;
  
• 
  xi — вектор аргументов функции y(x) из области ее определения, зада­ваемый пользователем.
  

Вместо вектора у функция у =f(x) может быть задана в виде формулы.

Функция spline не позволяет получить функцию интерполяции в виде фор­мулы. В этом ее существенный недостаток.

Пусть в результате опыта получены данные:

	Значение переменных
x	1	4	7	9	13	18	21	27
y	0.4	1.55	2.9	3.9	5.86	8.3	9.8	12.8

Необходимо найти значения функции при

---

x = 3, 6, 10, 14, 20. Процедуры интерполяции будут иметь вид:

x= [1 4 7 9 13 18 21 27];

у= [0.4, 1.55, 2.9, 3.9, 5.86, 8.3, 9.8, 12.8];

xi =[3 6 10 14 20];

Yi = spline(х, у, xi)

После нажатия клавиши <Enter> на экране увидим ответ:

Yi= 1.1458 2.4261 4.3980 6.3444 9.2975
2.Функция interpl наиболее универсальна, она позволяет решать задачи интерполяции несколькими методами.

Функция имеет вид:

Y_i = interpl (х, у, xi ,метод).

Здесь:

• 
  х, у, — векторы узлов и значений функции интерполяции;
  
• 
  xi — вектор значений аргументов, задаваемый пользователем;
  
• 
  метод— аргумент, позволяющий пользователю выбрать метод интерполяции.
  

Методами интерполяции в Matlab являются:

• 
  ‘nearest’— ступенчатая;
  
• 
  ‘linear’ — линейная;
  
• 
  ‘cubic’— кубическая;
  
• 
  ‘spline’ — кубическими сплайнами.
  

Если метод не указан, то реализуется линейная интерполяция.

Пусть функция у = f(х) задана в виде таблицы значений

	Значения переменных
x	2	3	8	12	20	25	36
y	1	2.5	4.6	6.8	5.1	3.9	3

Необходимо определить значения функции при значениях аргументов x= 4, 6, 15, 30.

x=[2,

---