Файл: 38. 03. 01 Экономика, 38. 03. 02 Менеджмент.pdf

40
котором строится график Лоренца. Следовательно, диагональ квадрата, соединяющая нижний левый угол с верхним правым, может рассматриваться как линия равномерного распределения.
Всякое отклонение от нее — признак неравномерности распреде- ления. И чем больше эмпирическая кривая Лоренца отклоняется от диагонали квадрата, тем больше неравномерность распределе- ния и выше уровень относительной концентрации объема изучае- мого явления у отдельных единиц.
Пример. По данным табл. 5 необходимо построить кривую Лоренца.
Таблица 5
распределение среднедушевых денежных доходов
населения рФ в 2006 г.
группы населения по среднедушевому денежному доходу, тыс. руб. в месяц процент населения к итогу, ω
i
0,5−1,0 0,5 1,0−1,5 1,4 1,5−2,0 2,4 2,0−3,0 7,3 3,0−4,0 8,9 4,0−5,0 9,1 5,0−7,0 16,4 7,0−12,0 26,5 12,0−17,0 27,5
итого
100
Р е ш е н и е. Для построения кривой Лоренца необходимо найти сле- дующие показатели: накопленные удельные веса численности населе­
ния ; размер дохода для каждой группы населения; долю дохода каждой группы населения в процентах к итогу; накопленные удельные веса дохо- дов населения . Расчет недостающих показателей представим в табл. 6.

41
Таблица 6
распределение населения рФ по размеру среднедушевых
денежных доходов в 2006 г.
группы насе- ления по сред- недушевому денежному доходу, тыс. руб. в месяц про- цент насе- ления к ито- гу, ω
i
накоплен- ный удель- ный вес чи- сленности населения, средний доход насе- ления в группе, тыс. руб.
доход насе- ления груп- пы, тыс. руб.
доход населе- ния в % к итогу,
d
yi
накоплен- ный удель- ный вес доходов населения,
1 2
3 4
5 = гр.4 · гр.2 6
7 0,5−1,0 0,5 0,5 500 250 0,03 0,03 1,0−1,5 1,4 1,9 1 250 1 750 0,21 0,24 1,5−2,0 2,4 4,3 1 750 4 200 0,50 0,73 2,0−3,0 7,3 11,6 2 500 18 250 2,16 2,89 3,0−4,0 8,9 20,5 3 500 31 150 3,68 6,58 4,0−5,0 9,1 29,6 4 500 40 950 4,84 11,42 5,0−7,0 16,4 46 6 000 98 400 11,64 23,06 7,0−12,0 26,5 72,5 9 500 251 750 29,78 52,84 12,0−17,0 27,5 100 14 500 398 750 47,16 100,00
итого
100 845 450
Для построения графика Лоренца по оси абсцисс откладываем нако- пленные удельные веса численности населения
, по оси ординат — зна- чения накопленных удельных весов доходов населения
(см. табл. 6, гр. 3 и 7). Соединив все точки, получаем кривую Лоренца (см. рис. 5).
контрольные вопросы
1. в чем суть сводки данных?
2. что такое централизованная и децентрализованная сводка?
3. что такое группировка данных?
4. какие виды группировок существуют?
5. какие задачи решают с помощью группировки данных?
6. как определяется число групп?
7. какой признак называется дискретным?
8. какой признак называется непрерывным?

42 9. что такое ряд распределения? назовите виды рядов распреде- ления.
10. что такое вариационный ряд распределения и какие элементы он содержит?
11. как строятся вариационные ряды по разным признакам с рав- ными и неравными интервалами?
12. что такое вторичная группировка?
13. чем отличается классификация от группировки?
14. как графически изобразить вариационный ряд распределения?
15. что представляет собой кривая лоренца и какова ее роль в стати- стическом анализе?
16. назовите основные элементы статистической таблицы.
17. что такое подлежащее и сказуемое таблицы?
18. какие таблицы называют простыми?
19. какие таблицы называют комбинационными?
глава 4
Статистические показатели:
виды и содержание
Статистический показатель — количественно выраженное определенное свойство или качество совокупности. любой стати- стический показатель может быть получен путем суммирования конкретных видов признаков и их функций и путем действий, про- изводимых с этими суммами.
в статистике к статистическому показателю предъявляются следующие требования:
1) наличие единицы измерения показателя;
2) указание метода расчета показателя;
3) содержание показателя (что является предметом исследования);
4) время и период учета;
5) группа объектов, к которым относится изучаемый объект;
6) возможны специальные уточнения (например, стоимость продукции фирмы указана в сопоставимых ценах).

43
по структуре можно выделить три группы статистических показателей:
1) абсолютные величины;
2) относительные величины;
3) средние величины.
рассмотрим более подробно каждую из этих групп показа- телей.
абсолютные величины
Эта группа показателей отражает объем распространения изучаемого признака в совокупности и является результатом агре- гирования первичной информации, полученной в ходе статисти- ческого наблюдения, а также показатели численности единиц и суммы по группам и в целом по совокупности. так, основная масса экономических абсолютных показателей фиксируется в пер- вичных учетных документах.
абсолютные величины являются именованными числами, измеряющими определенное свойство совокупности в опреде- ленное время и в определенном месте в конкретных единицах; эти величины могут принимать как положительные значения, так и отрицательные (убыль, потери и т. п.).
единицы измерения признака:
•
натуральные:
– простые (килограммы, тонны, штуки, литры и др.);
– сложные, являющиеся комбинацией нескольких разно- именных величин (например, производство электроэнер- гии выражается в киловатт-часах, грузооборот железно- дорожного транспорта — в тонно-километрах и др.);
•
условно-натуральные (например, различные виды топлива пересчитываются в условное топливо);
•
стоимостные (используются для измерения объема разно- родной продукции в денежной форме).

44
с точки зрения конкретного исследования совокупность абсо- лютных величин можно рассматривать как состоящую из показа- телей:
•
индивидуальных, характеризующих размер признака у отдельных единиц совокупности,
•
и суммарных, характеризующих итоговое значение при- знака по определенной части совокупности.
все абсолютные величины можно отнести к одной из двух групп:
1) абсолютные пространственные величины;
2) абсолютные динамические величины.
к группе абсолютных пространственных величин относятся:
1) максимальное значение признака — x
max
;
2) минимальное значение признака — x
min
;
3) размах вариации (R), рассчитываемый по формуле
R = x
max
− x
min
;
4) мода (или модальное значение признака в совокупности);
5) система порядковых статистик, включая медиану (или медианное значение признака в совокупности).
рассмотрим подробнее четвертую и пятую подгруппы абсо- лютных пространственных величин.
Мода (модальное значение признака в совокупности) — наибо- лее часто повторяющееся значение варианта или, проще, вариант с наибольшей частотой.
в ранжированном дискретном ряду мода — это значение при- знака с наибольшей частотой.
Пример. По данным табл. 7 об объеме продаж мужской обуви в бутике необходимо определить модальное значение.
Таблица 7
распределение количества пар
мужской обуви различного размера, проданных в бутике
размер обуви
40 41 42 43 44
количество проданных пар
30 45 38 44 36

45
В этом дискретном ряду значение моды составляет 41, поскольку именно обуви данного размера было продано больше всего — 45 пар.
в интервальном ряду распределения модальное значение при- знака определяется по формуле и находится в интервале с наиболь- шей частотой (частостью), если интервалы в группировке равны, или в интервале с наибольшей плотностью распределения, если интервалы в группировке неравные.
для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:
(
) (
)
1 1
1
,
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
f
f
Mo x
h
f
f
f
f
−
−
+
−
=
+
⋅
−
+
−
где x
Mo
— нижняя граница модального интервала; f
Mo
— число частот или частостей модального интервала; f
Mo −1
— то же для интервала, предшествующего модальному; f
Mo +1
— то же для интервала, сле- дующего за модальным; h
Mo
— величина модального интервала.
для интервального ряда с неравными интервалами величина моды определяется, исходя из плотностей распределения:
(
) (
)
1 1
1
,
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo
Mo x
h
−
−
+
ρ − ρ
=
+
⋅
ρ − ρ
+ ρ − ρ
где x
Mo
— нижняя граница модального интервала; ρ
Mo
— плотность распределения (абсолютная или относительная) модального интер- вала; ρ
Mo −1
— то же для интервала, предшествующего модальному;
ρ
Mo +1
— то же для интервала, следующего за модальным; h
Mo
— величина модального интервала.
Система порядковых статистик — это система показате- лей, делящих совокупность на две части — либо равные (в случае с медианой), либо неравные (для всех остальных случаев).
к системе порядковых статистик относятся:
1) медиана;
2) квартили;
3) квинтили;
4) децили;
5) процентили.

46
Медиана (медианное значение признака в совокупности) —
величина признака, которая делит ранжированную последователь- ность его значений на две равные по численности части. в итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не пре- вышает медианного уровня, а у другой половины оно не меньше этого уровня.
расчет медианы зависит от вида ряда:
•
в дискретном ранжированном ряду с нечетным числом чле- нов ряда медиана — это вариант, стоящий строго в центре ряда.
•
в дискретном ранжированном ряду с четным числом чле- нов медиана определяется как средняя арифметическая из двух центральных вариант.
•
в интервальном ряду распределения медиана находится по следующей формуле:
1 1/ 2
,
i
Me
Me
Me
Me
f S f
Me x
h
f
−
−
=
+
⋅
∑
где x
Me
— нижняя граница медианного интервала; h
Me
— величина медианного интервала; f
i
— частоты ряда; Sf
Me−1
— сумма частот (частостей), предшествующих медианному интервалу; f
Me
— частота медианного интервала.
Важно! Медианное значение признака находится в том интервале, куда попало (n + 1)/2 единиц совокупности или первые
50 % единиц.
остальные порядковые статистики делят совокупность следу- ющим образом:
•
квартили (Q
1
, Q
2
, Q
3
) — на 4 части по 25 %;
•
квинтили (K
1
, K
2
, K
3
, K
4
) — на 5 частей по 20 %;
•
децили (d
1
, d
2
, d
3
, …, d
9
) — на 10 частей по 10 %;
•
процентили (P
1
, P
2
, P
3
, …, P
99
) — на 100 частей.

47
все представленные величины можно рассчитать по формуле, аналогичной формуле медианы в интервальном ряду:
где x
пс
i
— нижняя граница интервала, куда входит i-я порядковая статистика; f
пс
i
— число частот или частостей соответствующего интервала, куда входит i-я порядковая статистика;
— сумма частот (частостей), предшествующих i-й порядковой статистике;
h
пс
i
— величина данного интервала, куда входит i-я порядковая статистика; i — номер соответствующей порядковой статистики, для которой производится расчет; j — количество частей, на кото- рые делит совокупность соответствующая порядковая статистика.
так, децили — признаки, делящие совокупность на 10 равных частей, — могут быть рассчитаны по формуле:
1
/10
,
i
di
i
di
di
di
i
f S f
d
x
h
f
−
−
=
+
⋅
∑
где i — номер соответствующего дециля, для которого произво- дится расчет.
поэтому первый дециль d
1 будет рассчитываться в интервале, куда входят первые 10 % единиц совокупности, по формуле:
1 1
1 1
1 1
1/10
i
d
d
d
d
f S f
d
x
h
f
−
−
=
+
⋅
∑
девятый дециль d
9
будет рассчитываться в интервале, куда входят накопленным итогом первые 90 % единиц совокупности, по формуле:
9 9
9 9
1 9
9 /10
i
d
d
d
d
f S f
d
x
h
f
−
−
=
+
⋅
∑

48
при этом первый дециль d
1
будет показывать максимальное значение признака у первых 10 % единиц совокупности и мини- мальное значение признака у оставшихся 90 %, а последний, девя- тый, дециль d
9 будет показывать минимальное значение признака у последних 10 % единиц совокупности и максимальное значение признака у первых 90 % единиц совокупности.
Пример. По данным табл. 8 о распределении населения страны по размеру среднедушевого денежного дохода надо определить:
1) среднедушевой денежный доход на основании моды и медианы;
2) первый и третий квартили;
3) первый и девятый децили совокупности.
Все необходимые расчеты представим в табличном виде (табл. 9).
Таблица 8
распределение населения рФ по размеру
среднедушевого денежного дохода
группы населения по среднедушевому денежному доходу в месяц, руб.
процент населения к итогу до 1 000,0 0,5 1 000,0–1 500,0 1,4 1 500,0–2 000,0 2,4 2 000,0–3 000,0 7,3 3 000,0–4 000,0 8,9 4 000,0–5 000,0 9,1 5 000,0–7 000,0 16,4 7 000,0–12 000,0 26,5
свыше 12 000,0 27,5
итого
100,0
Р е ш е н и е:
1. Поскольку ряд распределения интервальный, а величины интерва- лов в совокупности неравны, рассчитаем показатель относительной плот- ности распределения признака (см. табл. 9, гр. 3).

49
Таблица 9
вспомогательная таблица расчетов
группы населения по среднедушевому денежному доходу в месяц, тыс. руб.
процент населения к итогу относительная плотность распределения, накопленный процент населе- ния к итогу
1 2
3 4
0,5–1 0,5 1,0 0,5 1,0–1,5 1,4 2,8 1,9 1,5–2,0 2,4 4,8 4,3 2,0–3,0 7,3 7,3 11,6 3,0–4,0 8,9 8,9 20,5 4,0–5,0 9,1 9,1 29,6 5,0–7,0 16,4 8,2 46,0 7,0–12,0 26,5 5,3 72,5 12,0–17,0 27,5 5,5 100,0
итого
100,0 286,9
Чтобы рассчитать значение моды, выбираем интервал с наибольшей плотностью распределения. Это интервал от 4,0 до 5,0 тыс. руб. Тогда зна- чение моды составляет:
Таким образом, наиболее часто встречающийся среднедушевой денежный доход в данной совокупности составляет 4,8 тыс. руб.
Чтобы рассчитать значение медианы, выбираем интервал, в который входят первые 50 % единиц совокупности. По данным табл. 9, гр. 4, пер- вые 50 % единиц совокупности входят в интервал от 7,0 до 12,0 тыс. руб.
Тогда значение медианы равно
Это значит, что первые 50 % населения получают среднедушевой денежный доход менее 7,75 тыс. руб., а вторые 50 % населения — больше этой суммы.

50 2. Находим значения первого и третьего квартилей. Квартиль делит совокупность на 4 части по 25 %, поэтому для нахождения первого квар- тиля нам необходимо знать интервал, куда входят первые 25 % населения, а для нахождения третьего квартиля — интервал, в который входят пер- вые 75 % единиц представленной совокупности.
По данным табл. 9, гр. 4, первые 25 % населения входят в интервал от
4,0 до 5,0 тыс. руб., тогда значение первого квартиля Q
1
составляет:
Значение третьего квартиля Q
3 находится в интервале от 12,0 до
17,0 тыс. руб. (поскольку туда входят первые 75 % единиц совокупности) и равно:
Значение первого квартиля показывает максимальный среднедуше- вой денежный доход первых 25 % населения и минимальный доход 75 % населения, а третий квартиль, который составляет 12,54 тыс. руб., харак- теризует максимальный доход первых 75 % населения и минимальный доход последних 25 % населения данной совокупности.
3. Определяем первый и девятый децили. Дециль делит совокуп- ность, как мы это уже говорили выше, на 10 частей по 10 %, тогда первый дециль d
1
находится в интервале от 2,0 до 3,0 тыс. руб., а последний, d
9
, — в интервале 12,0–17,0 тыс. руб. Подставив в формулы для расчета значе- ний децилей соответствующие значения, получим:
Соответственно максимальный среднедушевой денежный доход пер- вых 10 % населения данной совокупности не превышает 2,78 тыс. руб., а минимальный доход последних 10 % населения не ниже чем
15,18 тыс. руб.
Абсолютные динамические величины — вторая группа абсо- лютных величин. поскольку абсолютные показатели — это основа всех форм учета и приемов количественного анализа, то следует