ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 724
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
133
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 27
6.4. Определение параметров пунктов технического обслуживания
вагонов
Исходя из основных задач вагонного хозяйства в процессе технической эксплуатации вагонов основными параметрами работы ППВ и ПТО (показа- телями функционирования) являются параметры, определяющие экономиче- скую эффективность эксплуатации вагонов:
- вероятность и продолжительность простоя составов (групп вагонов) в ожидании ТОВ;
- вероятность и продолжительность простоя обслуживающих бригад.
Подобные задачи, связанные с организацией обслуживания решают ме- тодами теории массового обслуживания (ТМО). Эта теория основана на тео- рии вероятностей (теория случайных процессов) и на методах статистическо- го моделирования случайных процессов (с использованием ЭВМ).
С позиций теории массового обслуживания ППВ и ПТО являются сис- темами массового обслуживания.
В соответствии с терминологией ТМО составы или группы вагонов, предъявляемые для ТО, называют заявками (требованиями) на обслужива- ние, а обслуживающие бригады – каналами обслуживания (бригадой счита- ется группа рабочих, которая может обслуживать одновременно один со- став).
Система ТОВ может быть одноканальной (одна бригада) или многока- нальной (число бригад две или более).
Системой с ожиданием называют системы, в которых заявки могут ожидать обслуживания.
Каждая система массового обслуживания характеризуется потоками: входящим – заявок на обслуживание и выходящим – обслуженных заявок.
Исследованиями этих потоков ТОВ доказано, что входящий, а следова- тельно, и выходящий потоки являются потоками Пуассона ( простейшими).
Такие потоки удовлетворяют следующим требованиям:
- ординарности, т.е. одновременное или близкое по времени поступле- ние двух заявок маловероятно;
- стационарности, т.е. количество заявок в среднем в единицу времени одинаково.
Интервалы времени между заявками распределяются по экспоненци- альному (показательному) закону с параметром
λ.
λτ
λ
τ
−
=
e
f
)
(
;
λτ
τ
τ
−
=
<
e
F
)
(
,
(6.12) где
λ
– интенсивность потока заявок;
τ
– интервал поступления заявок;
τ
λ
1
=
,
(6.13)
134
где
τ
– среднее значение (математическое ожидание) интервала поступления заявок.
Вероятность поступления в систему
k
заявок за время
t
t
k
k
е
k
t
t
P
λ
λ
−
=
!
)
(
)
(
при
k
≥
0.
(6.14)
Такой поток является однородным, т.к. величина
λ
не зависит от
t.
Интенсивность потока обслуживания:
t
1
=
μ
,
(6.15) где
t
- среднее время обслуживания.
Если время обслуживания задано (
t
0
), то
0 1
t
=
μ
Функции распределения времени обслуживания: дифференциальная –
t
e
t
f
μ
μ
−
=
)
(
;
(6.16) интегральная –
t
e
t
t
F
μ
−
=
< )
(
(6.17)
Отношение
μ
λ
ρ
=
является характеристикой режима системы обслуживания и называется ко- эффициентом загрузки системы.
Если
ρ
< 1
– режим устойчивый. В случае
ρ
> 1
(
λ
>
μ
) система не справляется с потоком заявок и очередь на обслуживание растет безгранич- но.
Графически система ТОВ может быть представлена в виде графа со- стояний системы с переходами из одного состояния в другое.
Для составления графа состояний представлена железнодорожная стан- ция или парк этой станции (например, парк отправления) с количеством пу- тей
r
и количеством каналов обслуживания (бригад)
n
Далее введены следующие обозначения:
- наибольшее количество составов (заявок) в парке –
m
;
- количество заявок (составов) в парке в произвольный момент времени –
k
;
- состояние системы (по величине
k
) в произвольный момент времени –
S
i
;
- вероятность
i
– го состояния –
Р
i
135
На рис. 6.3 представлена схема парка (
r
= 3); с двумя каналами обслу- живания (
n
= 2) для условия
m
=
r
= 3.
Рис. 6.3. Схема формирования графа состояний системы ТОВ: наибольшее количество составов (заявок) в парке –
m
= 3; количество путей в парке
r
= 3; количество бригад (каналов обслуживания) –
n
= 2
Процесс ТОВ в рассматриваемом случае представляет случайный про- цесс (цепь) Маркова с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Систему массового обслуживания с потоками Пуассона (простейшими) и дискретными состояниями называют системой Маркова.
Для расчета вероятностей
k
состояний (
k
≤
m
+ 1) системы Маркова
(однородной) составляют систему дифференциальных уравнений, используя граф состояний. Применяют мнемоническое правило: дуги графа, направлен- ные к вершине, положительны; от вершины – отрицательны. Количество членов в каждом уравнении равно количеству дуг, направленных к вершинам и из вершины.
136
В соответствии с этим правилом получается следующая система диф- ференциальных уравнений:
);
(
)
(
)
(
1 0
0
t
P
t
P
dt
t
dP
μ
λ
+
−
=
);
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
0 1
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP
μ
μ
λ
λ
+
+
−
=
(6.18)
);
(
2
)
(
2
)
(
)
(
3 2
1 2
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP
μ
μ
λ
+
−
=
)
(
2
)
(
)
(
3 2
3
t
P
t
P
dt
t
dP
μ
λ
−
=
Систему массового обслуживания называют транзитивной, если на графе состояний нет ни одного состояния без входа или выхода. По теореме
Маркова любой транзитивный однородный процесс обладает так называе- мым эргодическим свойством, т.е. существует предельный стационарный режим, когда распределение вероятностей состояний устанавливается и не меняется во времени.
Для
t
→ ∞ существует предельный стационарный режим с предельны- ми вероятностями состояний
)
(
lim
t
P
P
i
t
i
∞
→
=
(
i
= 0, 1, 2, 3 …
k
)
0
)
(
lim
=
∞
→
dt
t
dP
i
t
Поэтому приведенная выше система дифференциальных уравнений превращается в систему алгебраических уравнений
0 1
0
=
+
−
P
P
μ
λ
;
0 2
)
(
2 1
0
=
+
+
−
P
P
P
μ
μ
λ
λ
;
(6.19)
0 2
)
2
(
3 2
1
=
+
+
−
P
P
P
μ
μ
λ
λ
;
0 2
3 2
=
− P
P
μ
λ
Последнее (
m
+ 1) уравнение находят из очевидного условия
137 1
1 1
3 2
1 0
=
=
+
+
+
∑
+
=
=
m
k
i
i
P
P
P
P
P
(6.20)
Решением системы алгебраических уравнений для постоянных
λ и
μ
определяют значения
Р
i
для стационарного режима.
По численным величинам вероятностей состояний и интенсивностей переходов определяют:
– вероятность простоя составов в ожидании ТО
)
(
)
(
)
(
3 3
c
c
c
t
N
t
n
t
P
=
,
(6.21) где
c
t
– продолжительность смены;
)
(
3
c
t
n
– количество заявок (составов), ожидающих ТО за время
c
t
;
)
(
c
t
N
– количество заявок за
c
t
; вероятность простоя бригад:
0 0
0
)
(
1 1
nt
t
t
N
K
P
c
б
−
=
−
=
,
(6.22) где
б
K
– коэффициент использования бригад;
0
t
– установленное время обслуживания;
n
– количество бригад.
Для расчета численных значений параметров используют следующие методы:
- аналитический;
- графоаналитический;
- статистического моделирования (Монте-Карло).
Аналитический метод основан на решении системы уравнений (6.19) для классической системы массового обслуживания с ожиданием.
Теорией массового обслуживания определены расчетные формулы ве- роятностей состояний системы простоя бригад и ожидания составами обслу- живания.
Коэффициент простоя обслуживаемых заявок (составов)
m
М
К
1 1
=
,
(6.23) где
1
М
–
среднее количество заявок, ожидающих ТО (длина очереди);
m
– наибольшее количество заявок в системе.
Коэффициент простоя каналов обслуживания (бригад)
138
n
М
К
2 2
=
,
(6.24) где
2
М
– среднее количество свободных каналов (бригад);
n
– количество каналов в системе;
∑
+
=
−
=
m
n
k
k
P
n
k
М
1 1
)
(
,
(6.25) где
k
– количество заявок в системе в момент
t
;
k
P
– вероятность состояния (
k
>
n
);
∑
−
=
−
=
1 0
2
)
(
n
k
k
P
k
n
М
,
(6.26)
0
)!
!(
!
P
k
m
n
n
m
P
k
n
k
k
ρ
−
=
−
,
(6.27) где
ρ
=
λ
/
μ
,
0
P
– вероятность состояния (
k
= 0)
1 1
0 0
)!
!(
!
)!
!(
!
−
+
=
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∑
∑
−
+
−
=
k
m
n
k
n
k
n
k
k
m
n
n
m
k
m
k
m
P
ρ
(6.28)
Вероятности промежуточных состояний (
k
≤
n
) определяют по формуле
0
)!
!(
!
P
k
m
k
m
Р
k
ko
ρ
−
=
(6.29)
Следует иметь в виду, что в случае
m
=
k
выражение
)!
(
k
m
−
= 1 (осо- бенность гамма-функции).
Расчеты по формулам (6.24 – 6.29) могут быть существенно упрощены, если принять
k
n
k
k
k
m
n
n
m
P
P
ρ
)!
!(
!
0
−
=
−
;
k
ko
k
m
k
m
P
P
ρ
)!
!(
!
0
−
=
и использовать условие
139
Р
0
+
Р
1
+
Р
2
+ . . . +
Р
n
= 1
Обозначив
1 2
1
a
Р
Р
=
;
2 0
2
a
Р
Р
=
и т.д. , получим
n
o
a
a
a
Р
+
+
+
+
=
1 1
2 1
(6.30)
Если в результате расчетов получатся большие значения
K
1
или
K
2
, следует изменить количество бригад (
n
).
Графоаналитический способ применяют в случае небольшого объема работы ПТО (до 20 заявок в смену), т.к. расчет выполняют вручную. Для расчета используют график исполненной работы ПТО или график исполнен- ной работы станции.
Расчет производят в следующей последовательности. Определяют ин- тенсивность потока заявок
λ
Задаются интенсивностью ТО
μ
(должно быть
μ>λ
). Для заданного времени обслуживания
t
0
ориентировочно определяют количество бригад
n
≥
μ
t
0
(ближайшее целое число, больше
μ
t
0
). Затем график исполненной работы преобразуют к виду, удобному для расчета (рис.
6.4).
На преобразованном графике наносят время ТОВ –
t
0
для каждого со- става. Из-за неравномерности интервалов между заявками (
τ
i
) в некоторых случаях бригада закончит работу позднее, чем будет предъявлена следующая заявка. В таком случае возможно ожидание составом ТО (задержка поезда –
t
3
). В других случаях работа будет закончена раньше, чем предъявят следую- щий состав, и будет простаивать бригада (
t
n
). Количество случаев
t
3
за смену составит
n
3
, а их продолжительность – время ожидания составом ТО. Сум- марное время
t
n
определит простой обслуживающих бригад.
Вероятность задержки отправления поезда составит
)
(
)
(
3 3
c
c
t
N
t
n
Р
=
,
(6.31) где
t
с
– продолжительность смены,
N(t
c
)
– количество поездов, отправленных за смену.
140
Рис. 6.4. Схема расчета
0
P
и
3
P
с использованием графика исполнен- ной работы ПТО (I бригада) а) фрагмент реального графика; б) график, преобразованный для расчета
Коэффициент использования бригад (
n
– количество бригад)
c
n
б
nt
t
К
∑
=
(6.32)
Метод статистического моделирования (Монте-Карло) в принципе ана- логичен графоаналитическому и может быть использован для любых разме- ров движения в двух случаях:
– для расчета показателей работы крупных ПТО или ППВ при техноло- гическом проектировании;
– для оперативного планирования работы ПТО.
Метод статистического моделирования основан на использовании
ЭВМ, в том числе персональных. Поэтому становится возможным планиро- вание работы бригад и коррекция плана оператором ПТО.