ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 70
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
11 Рис. 1.6. Зависимость относительной вязкости минерального масла от давления Рис. 1.7. Зависимость давления насыщенных паров жидкости от температуры 1 – бензин, 2 – спирт, 3 – вода, 4 – керосин
6. Испаряемость. Это свойство присуще всем капельным жидкостям. Одним из показателей, характеризующих испаряемость жидкости, является температура ее кипения при нормальном атмосферном давлении чем выше температура кипения, тем меньше испаряемость жидкости (чем большую энергию должны получить молекулы, чтобы перейти в газообразное состояние, тем сильнее силы межмолекулярного притяжения, предотвращающее это, поэтому чем больше температура кипения, тем сложнее молекулам перейти в газообразное состояние и тем сложнее им испаряться (вероятность получения отдельными молекулами достаточной энергии для перехода в газообразное состояние будет меньше. В гидросистемах нормальное атмосферное давление является лишь частным случаем обычно приходится иметь дело с испарением, а иногда и кипением жидкостей в замкнутых объемах при различных температурах и давлениях. Поэтому более полной характеристикой испаряемости является давление насыщенных паров p
нп
, выраженное в функции температуры. Чем больше давление насыщенных паров приданной температуре, тем больше испаряемость жидкости. Например, при одинаковой температуре бензин испарится быстрее керосина (рис. 1.7). С увеличением температуры давление p
нп увеличивается, однако у разных жидкостей в разной степени (рис. 1.7). Конкретные данные можно найти в справочной литературе по теплофизическим свойствам жидкостей.
7. Растворимость газов в жидкостяхпроисходит при всех условиях, но количество растворенного газа в единице объема жидкости различно для разных жидкостей и зависит от давления. Относительный объем газа, растворимого в жидкости до ее полного насыщения, можно считать прямо пропорциональным давлению, те ж г ж г, где г – объем растворенного газа при нормальных условиях ж – объем жидкости и p
2
– начальное и конечное давление газа. Коэффициент k растворимости воздуха имеет следующие значения при
20 0
С для воды – 0,016, для жидкости АМГ-10 – 0,104. При понижении давления в жидкости происходит выделение растворенного в ней газа, причем газ выделяется из жидкости интенсивнее, чем растворяется в ней. Это явление может отрицательно сказываться на работе гидросистем.
12
2. ГИДРОСТАТИКА
2.1. Свойства гидростатического давления Как известно, в покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений напряжения сжатия, те. гидростатическое давление. Гидростатическое давление в жидкости имеет следующие два свойства
1. На внешней поверхности гидростатическое давление всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости. Это свойство непосредственно вытекает из определения давления как напряжения от нормальной сжимающей силы. Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхности раздела жидкости с газообразной средой или твердыми стенками, но и поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых из общего объема жидкости.
2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, те. давление не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке. Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме прямоугольного тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осями соответственно равными dx, dy ирис. Рис. 2.1. Схема для доказательства свойства гидростатического давления Пусть на выделенный объем жидкости действует единичная массовая сила сила тяжести, сила инерции переносного движения при так называемом относительном покое и др, составляющие которой равны X, Y и Z. Обозначим через гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную коси, через p
y
давление, действующее на грань, нормальную коси, и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через p
n
, а площадь этой грани – через dS. Все эти давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам. Составим уравнения равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси 0x.
y
x
z
0
dz
dy
dx
p
x
p
z
p
y
p
n
13 Проекция сил давления на ось 0x равна
x
n
dS
p
dydz
p
n
x
0
,
cos
2 1
. Масса тетраэдра равна
dxdydz
6 1
, следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси 0x, равна
X
dxdydz
6 Уравнения равновесия тетраэдра запишем в следующем виде
0 6
1 0
,
cos
2 Разделим это уравнение почленно на площадь dydz
2 1
, которая равна площади проекции наклонной грани dS на плоскость y0z, те.
x
n
dS
dydz
0
,
cos
2 Будем иметь
0 При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, будет также стремиться к нулю, а давления p
x
и будут оставаться конечными величинами. Следовательно, в пределе получим, что p
x
– p
n
= 0 или p
x
= p
n
. Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей 0y и 0z, после таких же рассуждений получим, что p
y
= p
n
, p
z
= p
n
, те) Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен, и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении идеальной жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.
2.2. Основное уравнение гидростатики Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Свободная поверхность жидкости в этом случае, как известно, является горизонтальной плоскостью. Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 2.2) и на ее свободную (внешнюю) поверхность действует давление p
0
. Найдем величину гидростатического давления p в произвольно взятой точке M, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешними направлено по нормали
14 внутрь объема, те. вверх. Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении
0 0
hdS
dS
p
pdS
, где последний член представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не войдут, так как они нормальны к этой поверхности. Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики Сократив на dS и перегруппировав члены, получим
h
p
p
0
(2.1) Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики оно позволяет определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин давления на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Величина p
0
является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля. Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня. Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Обозначим через z координату точки M, через z
0
– координату свободной поверхности жидкости и, заменив в уравнении (2.1) h на z
0
– z, получим
0 0
p
z
p
z
(2.2 а) Но так как точка M взята произвольно, то можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости
const
p
z
M
p
dS
h
z
z
0
p
0
15
const
p
z
(2.2 б) Координата z называется нивелирной высотой. Величина
/
p
имеет также линейную размерность и называется пьезометрической высотой (представляет собой высоту столба жидкости, соответствующую данному давлению
p (абсолютному или избыточному. Сумма
/
p
z
называется гидростатическим напором. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.
2.3. Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления Пьезометрическую высоту, соответствующую избыточному давлению, можно наблюдать в так называемом пьезометре – простейшем устройстве для измерения давления. Пьезометр представляет собой вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к тому объему жидкости, где измеряется давление (рис. 2.3). Рис. 2.3. Схема присоединения пъезометра к баку Применяя формулу (2.1) к жидкости, заключенной в пьезометре, получим формулу для определения давления на уровне присоединения пьезометра абс, где абс – абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра атмосферное давление. Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре равна изб абс,
(2.3) где изб – избыточное давление на том же уровне. Очевидно, что если на свободную поверхность покоящейся жидкости действует атмосферное давление, то пьезометрическая высота для любой точки рассматриваемого объема жидкости равна глубине расположения этой точки. Для определения давления в сосуде p
0
составим уравнение гидростатики относительно места присоединения пьезометра в следующем виде
p
a
h
p
h
p
1 0
;
1 абс
h
1
16 Таким образом, в точке присоединения пьезометра имеет место равновесие с одной стороны давление в этой точке определяется давлением, создаваемым давлением p
0
и давлением отвеса столба жидкости γh
1
, ас другой – давлением, создаваемым атмосферным давлением, и давлением отвеса столба жидкости Часто давление в жидкостях или газах численно выражают в виде соответствующей этому давлению пьезометрической высоты по формуле (2.3). Например одной технической атмосфере (1 атм) соответствуют 10 м вод. стили мм рт. ст. Если абсолютное давление в жидкости или газе меньше атмосферного, то говорят, что имеет место разрежение, или вакуум. За величину разрежения, или вакуума принимается недостаток до атмосферного давления абс вак
p
p
p
a
или абс вак
p
p
h
a
Напомним, что избыточное давление определяется по формуле
а
aбс
p
p
p
изб
Рис. 2.4. Схема соединения емкостей Возьмем сосуд (в котором абсолютное давление абс раз меньше атмосферного) с изогнутой трубкой и опустим ее в жидкость, находящуюся в другом сосуде (рис. 2.4). В результате разности давлений, действующих на жидкость, находящуюся в трубке на уровне А-А, со стороны давления рази давления а, жидкость поднимется по трубке на высоту h
раз
Запишем уравнение гидростатики для уровней А-А и В-В: раз раз, вак вак раз раз,
(2.4) величина разрежения (избыточного) раза раз изба величина вакуума вак раз вак
h
p
p
p
a
Нижним пределом абсолютного давления в жидкости является нуль (в замкнутом объеме 0 Па достигается, если в нем либо нет молекул, которые создают за счет соударений о стенку емкости, давление, либо при температуре 0 К, когда прекращается тепловое движение молекул, нов большинстве технических задач в рамках гидравлики считается, что 0 Па создается за счет отсутствия молекула максимальное значение вакуума численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальная высота всасывания жидкости определится из уравнения (2.4), если в нем положить раз
= 0. Таким образом, без учета
h
раз
p
раз
<p
a
p
a А А
B
B
17 упругости паров (в действительности при понижении давления ниже давления насыщенных паров данной жидкости приданной температуре, которое в любом случае несколько выше полного вакуума, произойдет вскипание жидкости и сплошность жидкости нарушится) можно записать
a
p
h
max
(2.5) При нормальном атмосферном давлении (физическая атмосфера, равная
101325 Па) высота h
max
равна для воды 10,33 м, для ртути – 760 мм. Простейшим устройством для измерения вакуума может служить, стеклянная трубка, показанная на рис. 2.5 в двух вариантах. Вакуум в жидкости может измеряться либо с помощью образной трубки, либо путем использования перевернутой образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью. Рис. 2.5. Схемы жидкостных манометров Для измерения давления жидкостей и газов пользуются манометрами, которые делятся на жидкостные, механические (металлические) и электрические. Ртутные (жидкостные) манометры. Рис. 2.6. Схема жидкостного манометра Рис. 2.7. Схема жидкостного манометра Определим избыточное давление (изб) на уровне А (рис. 2.6):
a
p
p
p
p
h
p
h
h
A
2
; изб, где р – удельный вес ртути,
– удельный вес воды. Определим разность давлений между точками Аи Б (рис. 2.7): Б 2
A
2
p
h
h
h
p
h
h
p
p
p
;
3 3
2 Б
p
a
p
a
h
вак1
h
вак1 Воздух p
a
h
p
h
2 Ар
А
Б
h
3 р
γ
γ
18 Жидкостный манометры дают высокую точность измерения (
3
max
p
ати).
2.4. Сила давления жидкости на плоскую стенку Используем основное уравнение гидростатики (2.1) для нахождения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом
(рис. 2.8). Вычислим полную силу P давления, действующую со стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S. Рис. 2.8. Схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку Ось Ox направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Oy – перпендикулярно этой линии в плоскости стенки. Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:
dS
h
dS
p
dS
h
p
pdS
dP
0 0
, где p
0
– давление на свободной поверхности h – глубина расположения площадки. Для определения полной силы P выполним интегрирование по всей площади, где y – координата центра площадки dS.
Последний интеграл, как известно из механики, представляет собой статический момент площади S относительно оси Ox и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка Ст. е. Следовательно,
S
С
D
x
y
P
и
Стенка
О
h
c
h
α
dS
y
c
1
y
19
S
h
S
p
sin
S
y
S
p
P
c
c
0 0
, где h
c
– глубина погружения центра тяжести площади S. В результате имеем
S
p
S
h
p
P
c
c
D
0
,
(2.6) те. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления (определяемого давлением на свободной поверхности жидкости и глубиной погружения центра тяжести площади S) в центре тяжести площади этой стенки на ее площадь. Сила избыточного давления столба жидкости, действующей на площадь S, равна
S
h
P
c
и
Найдем положение точки приложения и силы избыточного давления Р
и
Так как внешнее давление p
0
передается всем точкам площади S одинаково, то равнодействующая этого давления будет приложена в центре тяжести площади S:
0 0
0
y
P
ydP
S
;
S
ydS
p
Sy
p
0 0
0
;
S
y
ydS
Sy
c
S
0
, те. Для нахождения точки приложения силы избыточного давления жидкости точка D) применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы (силы избыточного давления) относительно оси Ox равен сумме моментов составляющих сил (см. также выражение (2.6)):
S
Dи
ydP
y
P
и и
и
dS
y
dP
sin и, где и
– координата точки приложения силы P
и
Выразим и
x
x
c
x
c
S
S
Dи
S
J
S
y
J
S
y
sin
dS
y
sin
P
ydP
y
2
и и, где
S
x
dS
y
J
2
– момент инерции площади S относительно оси Ox.
Учитывая, что
S
y
J
J
c
x
x
2 0
, где J
x0
– момент инерции площади S относительно оси, проходящей через центр тяжести площади S и параллельной Ox, получим и 0
(2.7) Таким образом, точка приложения силы и расположена ниже центра тяжести площади стенки на расстояние
S
y
J
y
c
x0
20 Определим центр давления y
D
от действия сил давления на свободной поверхности и избыточного давления и. Запишем уравнение моментов относительно верхней точки пластины и определим
D
D
y
P
как результирующий момент от действия моментов перечисленных выше сил давления (рис. 2.9).
Dи
c
D
D
y
P
y
P
y
P
и
0
;
D
Dи
c
D
P
y
P
y
P
y
и
0
S
h
p
S
y
J
S
h
Sy
p
y
c
c
x
c
c
D
0 Рис. 2.9. Схема приложения сил давлений к стенке В частном случае, когда стенка имеет прямоугольную форму, причем одна из сторон прямоугольника совпадает со свободной поверхностью жидкости, положение центра давления находится из геометрических соображений. Так как эпюра давления жидкости на стенку изображается прямоугольным треугольником (рис. 2.10), центр тяжести которого отстоит от основания на 1/3 высоты b треугольника, то и центр давления жидкости будет расположен на том же расстоянии от основания
b
/
y
D
3 и,
sin и
и
D
D
y
h
Если стенка вертикальная, то
b
/
y
D
3 2
и
В машиностроении часто приходится сталкиваться с действием силы давления на плоские стенки, например на стенки поршней или цилиндров гидравлических машин. Обычно p
0
при этом бывает настолько высоким, что центр давления можно считать совпадающим с центром тяжести площади стенки.
b
0
b/3
b/2
C
D
x
y и
P
D и
P
0
и
y
D
y
c
21 Рис. 2.10. Эпюра давления жидкости на прямоугольную стенку Найдем статические моменты, моменты инерции и положения центров тяжестей для прямоугольной и треугольной пластин. Найдем статический момент, момент инерции и положение центра тяжести прямоугольной пластины, представленной на риса. Рис. 2.11. Схемы для нахождения характеристик пластины
2 2
2 0
2 0
0
ab
ay
yady
ydS
S
b
b
b
x
;
ab
S
;
2
b
S
S
y
x
c
2 2
2 2
2 0
0 2
0 0
0
ab
b
dx
y
dx
ydy
dx
ydxdy
ydS
S
a
b
a
b
a
S
S
x
3 3
3 0
3 0
2 0
2
ab
ay
ady
y
dS
y
J
b
b
b
x
3 3
3 3
3 0
0 3
0 0
2 0
2 Найдем статический момент и момент инерции прямоугольной пластины в случае прохождения оси x через центр тяжести площади (рис. 2.11 (б.
12 12 3
3 3
0 2
/
2
/
3 0
2
/
2
/
2 При этом очевидно, что
0 2
2
/
2
/
2 Найдем статический момент, момент инерции и положение центра тяжести треугольной пластины, представленной на рис. 2.12. Рис. 2.12 Схемы для нахождения характеристик пластины
y ха ха ха а) б)
22
6 3
2 2
2 2
0 3
2 2
2 2
0 2
/
0 2
0
/
0 0
ab
x
a
b
a
b
dx
x
y
dx
ydy
dx
S
a
a
x
a
b
a
x
a
b
a
x
;
2
ab
S
;
3
b
S
S
y
x
c
12 4
3 3
3 3
0 4
3 3
3 3
0 3
/
0 3
0
/
0 2
0
ab
x
a
b
a
b
dx
x
y
dx
dy
y
dx
J
a
a
x
a
b
a
x
a
b
a
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12
2.5. Закон Архимеда Пусть в жидкость погружен параллелепипед объемом W (рис. 2.13). На него действуют следующие силы сверху сила давления от столба жидкости, снизу –
2 2
Sh
P
, где S – площади нижней и верхней граней параллелепипеда равнодействующая сил давлений, действующих на боковые грани, равна нулю, так как они равны и противоположно направлены. Рис. 2.13. Схема для доказательства закона Архимеда Спроектируем силы на вертикальную ось, вес тела учитывать не будем. Отметим, что согласно закону Паскаля давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково, поэтому давление на внешней поверхности действует по всем граням одинаково и во взаимно противоположных направлениях, поэтому результирующая сила равна нулю.
A
F
P
P
2 1
, откуда
A
F
Sh
Sh
1 2
;
W
h
h
S
F
A
1 Закон Архимеда на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Сила Архимеда имеет место, когда жидкость, включая газовую среду, взаимодействует с полностью замкнутым контуром тела. В случае погруженного в жидкость тела произвольной формы закон Архимеда выводится, привлекая дополнительные рассуждения.
2.6. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью Ранее мы рассматривали равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолиней- ном движении, тона частицы жидкости помимо собственного веса действуют
h
1
h
2
p
1
p
2
23 еще силы инерции переносного движения, под действием которых, если они постоянны во времени, жидкость принимает новое положение равновесия. Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем. При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от горизонтальной поверхности. При определении формы и положения такой свободной поверхности, находящейся в относительном покое, следует учитывать основное свойство всякой поверхности уровня. Равнодействующая массовой силы всегда действует по нормали к поверхности уровня. Это свойство вытекает из условия отсутствия движения жидкости. Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости а) в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно б) в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси. Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению a
(те.
a
), и силы тяжести
g
(рис. 2.14). Рис. 2.14. Силы, действующие при относительном покое жидкости в прямолинейном равноускоренном движении емкости Обозначив вектор равнодействующей силы, отнесенной к единице массы, через получим
g
a
j
, где и векторы единичных сил инерции и тяжести соответственно. Отметим, что ищется геометрическая сумма векторов
g
a
, а не арифметическая. В частном случае, когда емкость с жидкостью поднимается на лифте, движущимся вертикально с ускорением a
, вектор будет равен
g
a
j
, а модуль вектора – Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны этим силам, поэтому все поверхности уровняв том числе и свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе Для полного решения о положении свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, те. нужно знать объем жидкости в сосуде, выразить его через размеры сосуда и первоначальный уровень жидкости. Давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости может быть получено аналогично тому, как это определялось при выводе основного уравнения гидростатики
h
j
p
p
0
(2.9) В частном случае, когда a
=0 и соответственно
g
j
, формула (2.9) превращается в основное уравнение гидростатики (2.1).
2.7. Равномерное вращение сосуда с жидкостью Вращение сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость
вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет туже угловую скорость, что и сосуда свободная поверхность ее видоизменится в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.15). Рис. 2.15. Вращение открытого сосуда вокруг вертикальной оси
На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила инерции, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и
r
2
. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности. Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим А
B
p
0
p
0
H
h
r
0
ω
2
r
g
j
z
α
ω
r
25
g
r
dr
dz
tg
2
, отсюда или после интегрирования
C
g
r
z
2 В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения при r=0 и z=h получим C=h и, поэтому окончательно будем иметь
g
V
h
g
r
h
z
2 2
2 2
2
,
(2.10) где Таким образом, свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения. Максимальную высоту подъема жидкости можно определить, используя выражение (2.10) и исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости вовремя вращения. Запишем закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и глубины h’ относительно верхней точки жидкости (без вывода
2 2
2 2
'
0 2
2
'
0 2
'
0 Вращение сосуда с жидкостью вокруг горизонтальной оси При таком вращении угловая скорость
столь велика, что
r
g
2
(действие силы тяжести можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса рис. 2.16). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила. Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp разложили p вряд Тейлора, но так как в данном случае p зависит только от r, то dr/dr сократился, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса
0 2
rdrdS
dS
dp
p
pdS
или После интегрирования получим
C
r
p
2 Постоянную C найдем из условия, что при r = r
0
p = p
0
(p
0
– абсолютное давление, следовательно,
2 2
0 2
0
r
p
C
26 Рис. 2.16. Вращение сосуда вокруг горизонтальной оси
Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p ив следующем виде
2 0
2 2
0 2
r
r
p
p
(2.11) Очевидно, что поверхностями уровняв данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости. Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим
rdr
r
r
p
pdS
dP
2 2
2 0
2 2
0
, а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах
2 2
0 ц ц 2
0 2
2 0
2 т 2
2
ц
0
r
r
r
p
rdr
r
r
p
r
p
F
r
r
Если
0
p
равно давлению окружающей среды, то
2 2
0 2
ц
2
т
4
r
r
F
При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления б на боковую стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления. Приведем выражение для определения силы б без вывода
r
r+dr
p
p+dp
p
0
dS ц
l
p
0
p
0
r
0
ω
p-p
0 Эпюры распределения давления
27 ц ц б 2
, где l – длина цилиндра p
0
– абсолютное давление, действующее на боковую стенку. Сила от избыточного давления, действующего на боковую стенку, будет равна ц 0
2
ц
2
oc
0
б
2 2
, где ос – давление окружающей среды.
28
3. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ
3.1. Основные гидравлические элементы потока Идеальная жидкость – это воображаемая жидкость, которая лишена вязкости, те. при движении жидкости отсутствуют касательные напряжения, а существуют только нормальные напряжения сжатия (давление. Вязкая жидкость – это жидкость, при движении которой помимо нормальных напряжений, действующих на жидкость, вследствие вязкости появляются и касательные напряжения. Живое сечение потока – поверхность, к каждой точке которой линии тока направлены по нормали. В общем случае живое сечение имеет форму криволинейной поверхности. Для случая параллельно-струйного движения живое сечение будет плоскостью. В этом случае живое сечение – поперечное сечение потока, нормальное к общему продольному его течению (рис. 3.3 – сечения 1 и 2). Линия тока – кривая, касательная к каждой точке которой совпадает с вектором скорости. Расход – объем жидкости, протекающий в единицу времени через данное живое сечение расход обозначается Q мс. Расход для целого потока равен сумме элементарных расходов по всему живому сечению
S
VdS
Q
, если скорость по живому сечению неравномерна (в сечении трубы на стенке трубы скорость равна нулю, в остальных точках сечения – отличается от нуля. Живое сечение разбиваем на элементарные трубки тока с площадью поперечного сечения dS и считаем в каждой трубке скорость постоянной, но изменяющейся от трубки к трубке. Средняя скорость потока – это фиктивная скорость жидкости, с которой должны двигаться все частицы жидкости так, чтобы расход жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение, был равен действительному расходу через это же сечение при действительных скоростях течения (на рис.
3.3 эпюры распределения действительных скоростей по сечениями обозначены как V
1
и V
2
, средние скорости в этих сечениях обозначены как V
ср1
и V
ср2
). По теореме о среднем будем иметь
S
V
VdS
Q
cp
S
;
S
V
Q
cp
, где V
ср
– средняя скорость по живому сечению, S – площадь живого сечения. Таким образом, площадь эпюры распределения скорости по поперечному сечению при действительных скоростях равна площади эпюры при средней скорости, те. выполняется равенство расходов. Смоченный периметр – периметр поперечного сечения потока в пределах соприкосновения с ограждающими его стенками, исключая поверхность, отделяющую поток от газообразной среды обозначается χ. Гидравлический радиус R – отношение площади живого сечения потока к его смоченному периметру
/
S
R
29 Для круглого сечения при полном заполнении сечения потока
2 2
2
r
r
r
R
, где r – геометрический радиус трубы. Гидравлический диаметр равен Для круглого сечения при полном заполнении сечения потока D=2r=d (d – геометрический диаметр, те. гидравлический диаметр равен геометрическому. Для круглого сечения при заполнении жидкостью половины сечения гидравлический диаметр также равен геометрическому, те. D=d. При течении жидкости по кольцевому каналу, внутренний диаметр которого равен в, а наружный – н, гидравлический диаметр равен в н
в н
2
в
2
н
4
/
4
/
4 Гидравлический диаметр канала квадратного сечения со стороной a при полном заполнении сечения жидкостью равен
a
a
a
S
D
4 4
4 В гидродинамике различают два основных вида движения жидкости установившееся (стационарное) и неустановившееся (нестационарное. При установившемся движении скорость течения V и давление p являются функциями только координат движущейся жидкости V=f
1
(x,y,z), p=f
2
(x,y,z). При неустановившемся движении для скорости и давления имеем следующие функциональные зависимости V=f
1
(x,y,z,t), p=f
2
(x,y,z,t). По воздействию давления на поток движение жидкости делится на напорное и безнапорное. Напорное движение жидкости осуществляется под действием гидродинамического давления и силы тяжести. Безнапорное движение жидкости осуществляется под действием только силы тяжести.
3.2. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости Рассмотрим установившееся, плавно изменяющееся течение идеальной жидкости, находящееся под воздействием только одной массовой силы – веса жидкости (рис. 3.1). Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными. За бесконечно малый промежуток времени
t участок струйки переместится в положение Выведем уравнение неразрывности (сохранения массы. Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях, можно представить в виде двух составляющих (рис. 3.1):
30
W
W
W
1 1 2 1 1
,
W
W
W
2 1 2 2 2
Масса жидкости, заключенная в объемах W
1
и W
2
, определится как
1 1
W
M
,
2 Так как приток массы извне в рассматриваемой струйке отсутствует, то,
M
1
= M
2
, следовательно, учитывая, что плотность жидкости постоянна, получим
W
1
= Нетрудно заметить, что
2 1
W
для рассматриваемых положений является общим, тогда объемы
2 2
'
1 1
W
W
и равны dW , те.
dW
W
W
2 2
'
1 В результате можно записать V dtdS
V dtdS
1 1
2 2
, или
V dS
V dS
1 1
2 Это выражение представляет собой уравнение неразрывности для элементарной струйки. В случае течения идеальной жидкости в трубе (с конечными площадями поперечных сечений) уравнение неразрывности примет вид
2 2
1 При течении реальной вязкой жидкости в уравнении неразрывности используются средние скорости
2 2
ср
1 1
ср
S
V
S
V
Рис. 3.1. Схема для вывода уравнения Бернулли Выведем уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости. Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки
dG
1
dG
2 1
1
2 2
dS
1
dS
2
z
1
z
2
V
1
p
1
V
2
p
2
31
dA
dA
dE
p
G
k
(3.1) Работа поверхностных сил давления
1 1
1 1
1 1
,
cos
V
n
p
dt
V
dS
p
dA
;
2 2
2 2
2 Знак минус во второй формуле появляется, так как работа силы давления совершается против направления перемещения струйки жидкости, аи. Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки, равна нулю вследствие ортогональности векторов давления и скорости. Суммарная работа поверхностных сил определится выражением (с учетом уравнения неразрывности)
dW
p
p
dW
p
dW
p
dt
dS
V
p
dt
dS
V
p
dA
dA
dA
p
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
1 1
2 Элементарная работа массовых сил (силы тяжести) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы
)
(
2
п
1
п п
E
E
d
dE
dA
G
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки в начальном и конечном положениях, поэтому она определяется как разность энергий положений жидкости в объемах 1-2 и 1
-2
. При этом энергия положения промежуточного объема 1
-2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1-1
и 2-2
. Из уравнения неразрывности следует, что объемы, а, следовательно, и силы тяжести элементов 1-1
и 2-2
равны между собой
dW
gdW
dt
dS
gV
dt
dS
gV
dG
2 2
1 Тогда работа силы тяжести равна произведению разности высот насилу тяжести dG:
dG
z
z
dA
G
2 Изменение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки равно изменению кинетической энергии положения участка струйки в конечном и начальном положениях, поэтому она определяется как разность энергий положения жидкости в объемах 1
-2
и 1-2. При этом энергия положения промежуточного объема 1
-2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов
1-1
и 2-2
. Поэтому, учитывая, что
dW
W
W
'
2 2
'
1 1
, получим
)
(
1 2
k
k
k
E
E
d
dE
;
dG
g
V
V
dW
V
V
V
dW
V
dW
dE
k
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
2 Подставляя полученные выражения в выражение (3.1), получим
g
dG
V
V
dG
z
z
dW
p
dW
p
2 2
1 2
2 2
1 После преобразований, с учетом того, что
dG
dW
, получим
32
g
V
g
V
z
z
p
p
2 2
2 1
2 2
2 1
2 или, после перегруппирования членов,
const
g
V
p
z
g
V
p
z
2 2
2 2
2 2
2 1
1 Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости. Последнее выражение можно представить в виде
const
g
V
p
z
H
2 2
(3.2) Величина z называется геометрическим напором,
/
p
– пьезометрическим напором,
g
/
V
2 2
– скоростным напором, а величина
g
V
p
z
H
2
/
/
2
получила название полного напора. Отметим, что в ряде случае геометрический и пьезометрический напоры называют высотами. Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму геометрического, пьезометрического и скоростного напоров и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение рисунком (см. рис. 3.2), где показано изменение всех трех напоров вдоль струйки. Рис. 3.2. Изменение скоростного и пьезометрического напоров вдоль струйки идеальной жидкости На представленном рисунке видно, как меняются напоры вдоль струйки в зависимости от положения сечений струйки относительно горизонта и изменения поперечных сечений. Линия изменения пьезометрических напоров называется пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки (перпендикулярно движению жидкости.
V
g
1 2
2
1
p
z
1
V
g
2 2
2
V
g
3 Пьезометрическая линия
33 Введем понятие удельной энергии жидкости. Удельной энергией жидкости называют энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы. Если уравнение (3.2) домножить навес жидкости
mg
, то будем иметь
2 2
2 2
2 2
mV
W
p
mg
z
mV
m
p
mg
z
g
mgV
g
mg
p
mg
z
mg
H
, где
mg
z
– энергия положения частицы массы жидкости
m
;
W
p
– работа сил давления
2
/
2
mV
– кинетическая энергия частицы массы жидкости
m
;
mg
H
– полная механическая энергия движущейся жидкости. Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости (отнесенной к единице веса жидкости.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12
3.3. Уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости Рассмотрим установившееся движение реальной вязкой жидкости (рис.
3.3). Будем считать, что по всему поперечному сечению z + p/γ = const. Строго говоря, это утверждение справедливо только для параллельных трубок тока. Выделим в общем потоке элементарную струйку, такую тонкую, что изменением параметров в поперечном сечении будем пренебрегать. От трубки к трубке скорость потока будем считать переменной. Рис. 3.3. Схема течения реальной вязкой жидкости Введем понятие элементарной мощности потока dN, которая переносится элементарной струйкой. Известно, что мощность равна
dt
dE
N
, где dE – приращение энергии. Тогда элементарная мощность равна Полный напор элементарной струйки равен (согласно энергетическому смыслу уравнения Бернулли – см. выше)
dG
dE
g
V
p
z
H
2 Из последнего выражения выразим
V
1
V
2
V
cp1
V
cp2 2
1
l
1 2
34 и, учитывая последнее выражение, представим элементарную мощность в виде
dt
dG
d
H
dN
Проведем преобразования
dW
dG
;
dt
dW
dt
dG
;
Q
dt
dW
;
Q
dt
dG
, где Q – объемный расход жидкости
g
– удельный вес жидкости. Тогда
dQ
H
dN
, где Мощность всего потока определится как Пользуясь теоремой о среднем
Q
H
N
ср
, можем записать
Q
HdQ
Q
HdQ
Q
N
H
ср
;
(3.3)
S
V
VdS
dQ
Q
ср
Подставляя выражение полного напора в (3.3), получим
S
V
VdS
g
V
p
z
H
ср
S
ср
)
(
2 2
;
g
S
V
V
V
dS
V
S
V
VdS
p
z
H
ср
ср
ср
ср
ср
2 2
2 3
;
g
V
p
z
H
ср
ср
2 2
, где
S
V
dS
V
ср
3 3
– коэффициент неравномерности потока (Кориолиса). Экспериментально установлено следующее пот 1
h
H
H
ср
ср
,
(3.4) где пот суммарные потери полного напора в канале между сечениями 1 и 2. Уравнение (3.4) – это уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости. Развернутая форма уравнения Бернулли имеет вид пот 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
h
g
V
p
z
g
V
p
z
ср
ср
(3.5)
3.4 Виды потерь полного напора При течении жидкости в канале существует два вида потерь полного напора. потери по длине потока Δh
f
на трение они обуславливаются вязкостью реальной жидкости при ламинарном режиме течения и касательными напряжениями при турбулентном режиме, для их существования необходима достаточная длина канала (подробнее о режимах течения, – см. ниже
2. местные потери Δh
j
. Они возникают в тех местах (внезапные расширение, сужение, поворот потока и др, где изменяется конфигурация потока, приводящая к деформации эпюр распределения скоростей в поперечном сечении трубы, сопровождающиеся отрывом потока от стенок русла и возникновением вихреобразования. Местные потери могут быть оценены с помощью формулы Вейсбаха:
g
V
h
ср
j
2 2
,
(3.6) где ξ – коэффициент местного сопротивления. В общем случае,
2
/
/
2
cp
V
p
– это есть отношение потерянного напора давления, которое как бы тратится, чтобы протолкнуть жидкость) к скоростному напору в рассматриваемом сечении. Для местных сопротивлений V
cp
– средняя по сечению скорость в трубе, в которой установлено данное местное сопротивление. Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента сопротивления ξ, которое во многих случаях приближенно можно считать постоянным для данной формы местного сопротивления (при развитом турбулентном течении, подробнее – см. ниже. Нахождение численных значений коэффициента ξ для различных местных сопротивлений подробно рассмотрено ниже. Коэффициент ξ аналитически определяется лишь для некоторых местных сопротивлений (при развитом турбулентном режиме, в остальных случаях он определяется экспериментально (для ряда местных сопротивлений составлены справочники. Коэффициент ξ обычно приводится к большему скоростному напору (при большей скорости течения) жидкости в данном местном сопротивлении, например, в случае установки в трубе диаметром d (скорость в трубе V) шайбы с внутренним диаметром ш (ш, коэффициент ξ приводится к большему скоростному напору (при скорости течения ш, соответствующей меньшему диаметру проходного сечения, тек скоростному напору в отверстии шайбы см. уравнение неразрывности. Коэффициент ξ можно привести и к меньшему скоростному напору, тек скоростному напору в трубе, но таким образом, чтобы выполнялось постоянство потерь полного напора для данного местного сопротивления, те.
g
V
g
V
h
j
2 2
2 ш ш, где ш – коэффициент местного сопротивления, приведенный к скоростному напору при скорости ш, ξ – коэффициент местного сопротивления, приведенный к скоростному напору при скорости в трубе V. Отсюда следует, что