ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 61
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
4.3. Ламинарный режим течения в круглой трубе Рассмотрим установившееся ламинарное течение в канале постоянного сечения) параллельно горизонту (
2 1
z
z
) (рис. 4.2). Рис. 4.2. Схема ламинарного течения жидкости в трубе Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока жидкости пот 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
h
g
V
p
z
g
V
p
z
ср
ср
(4.2) Запишем основные соотношения, учитывая, что
2 1
и
2 1
z
z
r
0
p
1
r
y Профиль скорости (параболический)
p
2
l
τ
τ Эпюра касательных напряжений
х
52
S
V
S
V
Q
ср
ср
2 1
,
2 1
ср
ср
V
V
,
тр
2 1
p
p
p
h
f
, где Δp
тр
– перепад давлений, обусловленный силами трения
f
h
– потери полного напора при движении жидкости.
Спроецируем силы на ось движения жидкости
0 2
2 2
2 и выразим из последнего уравнения
:
l
r
p
2
тр
или
l
r
h
f
2
(4.3) Получили уравнение (4.1), но при движении жидкости вдоль горизонта. Определим распределение скоростей по сечению. По закону Ньютона
dy
dV
(
– динамической коэффициент вязкости так как dy=-dr то
dr
dV
(4.4) Приравняем (4.3) и (4.4), а затем выразим скорость V:
l
r
p
dr
dV
2
тр
;
rdr
l
p
dV
2
тр
;
rdr
l
p
dV
r
r
V
0 2
тр
0
; откуда
2 2
0
тр
4
r
r
l
p
V
Окончательно имеем
2 0
2 0
тр
1 4
r
r
l
r
p
V
или
2 0
2 0
1 4
r
r
l
r
h
V
f
(4.5) Из формулы (4.5) видно, что изменение скорости потока по живому сечению происходит по параболическому закону. Максимальная скорость на оси струи
l
r
p
V
m
4 2
0
тр или
l
d
p
V
m
16 2
тр
,
(4.6) где d=2r
0
– диаметр трубы. Рис. 4.3. Схема к ламинарному течению жидкости в трубе Для определения расхода потока в трубе выделим элементарное кольцо толщиной dr, тогда элементарный расход через выделенное кольцо будет
dr
V
m
V
r
0
V
ср
53
rdr
r
r
l
p
VdS
dQ
2 4
2 2
0
тр
Проинтегрировав последнее выражение по r в пределах от 0 дополучим выражение для расхода
l
r
p
Q
8 4
0
тр
Зная расход, можно определить среднюю скорость потока
S
Q
V
cp
;
2 0
r
S
;
l
r
p
V
cp
8 2
0
тр или
l
d
p
V
cp
32 2
тр
(4.7) Из сравнения (4.7) с (4.6) видно, что при ламинарном движении потока средняя скорость в трубе в 2 раза меньше максимальной (рис. 4.3):
2
m
ср
V
V
Перепишем (4.7) в виде
l
d
h
V
f
cp
32 2
, выразим из этого выражения
cp
f
V
d
l
h
2 32
(4.8) Но
/
v
, где v – кинематический коэффициент вязкости, Умножив числитель и знаменательна, получим
g
V
d
l
d
V
v
h
cp
cp
f
2 64 Учитывая, что
v
d
V
cp
Re и обозначив л,
(4.9) окончательно получим формулу для определения потерь полного напора при ламинарном движении жидкости (формула Дарси):
g
V
d
l
h
cp
f
2 л,
(4.10) где л – коэффициент гидравлических сопротивлений трения (коэффициент потерь на трение) при ламинарном течении. Из формулы (4.10) видно, что потери
h
f
при ламинарном движении пропорциональны средней скорости впервой степени, т.к. л
= f (Re
-1
) = f (V
ср
-1
). Если в (4.8) представить
4
/
2
d
Q
V
cp
, то получим формулу Пуайзеля:
54
Q
g
d
l
Q
d
l
h
f
4 4
128 128
или
2 32
gd
lV
h
cp
f
(4.12) В установившемся ламинарном течении потери полного напора, вызванные трением, прямо пропорциональны расходу (средней скорости) жидкости. Определим значение коэффициента неравномерности данного потока. Учитывая, что
2
m
ср
V
V
;
2 0
2 0
2 0
тр
1 1
4
r
r
V
r
r
l
r
p
V
m
,
rdr
dS
2
, получим
2 1
2 1
1 8
8 1
0 0
0 0
4 2
0 0
2 0
3 2
0 2
0 3
0 2
3 2
0 3
3 3
r
r
m
r
m
ср
S
r
r
r
r
d
r
r
r
V
dr
r
r
V
S
V
dS
V
Часто формулу (4.10) для ламинарного и турбулентного течений для труб некруглой формы сечения записывают через гидравлический диаметр D. Для определения сопротивления труб некруглой формы вводят специальные поправки в коэффициент гидравлического сопротивления трения λ, учитывающие влияние формы поперечного сечения труб. При этом часто коэффициент сопротивления трения труб некруглого сечения н проще определять введением в формулы для труб круглого сечения соответствующих поправочных коэффициентов (для обоих режимов течения) н н н, где л
т
,
– коэффициент сопротивления трения труб круглого сечения притом же числе Рейнольдса (режиме течения
d
V
D
V
cp
cp
Re
; н – поправочный коэффициент, учитывающий влияние формы поперечного сечения трубы (
нл
k
– для ламинарного и нт
k
– для турбулентного течений. В последней формуле для определения Re D=d, так как подразумевается, что жидкость течет по всему живому сечению трубы. Потери полного напора при ламинарном течении для труб некруглой формы сечения
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
нл
,
(4.11) где
Re
64
нл л
нл нл
k
k
, при этом
55 Например, для труб квадратной формы сечения при Re < 2300 89
,
0
нл
k
и
Re
57
Re
64 89
,
0
нл
Поясним сказанное на примере ламинарного режима течения. Выражение
(4.9) выведено для трубы круглого сечения при ее работе полным сечением, а необходимо вычислить коэффициент λ
нл для канала некруглого сечения (тоже при работе полным сечением. В этом случае поступают так вычисляют гидравлический диаметр D канала некруглого сечения, по нему вычисляют число
Рейнольдса
/
Re
D
V
cp
, в случае Re<2300 используют формулу (4.9), те. подставляют в нее вычисленное Re, а затем домножают полученный результат на поправочный коэффициент в зависимости от формы канала. Потери полного напора вычисляются по выражению (4.11). Аналогично вычисляется коэффициент λ
нт для труб некруглого сечения ив случае турбулентного режима течения, однако зависимости для вычисления коэффициента т для труб круглого сечения будут свои – см. ниже. Часто для труб некруглой формы для ламинарного режима течения вместо поправочного коэффициента k
нл используют коэффициент А
Re
Re
64
нл л
нл
A
k
k
A
, который уже учитывает коэффициент k
нл и берется из таблиц.
4.4. Начальный участок ламинарного течения Рассмотрим истечение жидкости в канал из бака бесконечного объема. Эпюры скорости в каждом сечении имеют вид (рис. 4.4). При входе жидкости из бака в трубу эпюра распределения скорости в поперечном сечении равномерная (
=1), так как напряжения трения при входе жидкости в трубу на нее не действуют в силу малости пути, прошедшего жидкостью. При движении жидкости в трубе начинает проявляться действие трения, начиная от стенки трубы, где скорость равна нулю и градиент скорости максимальный (см. формулу (1.12)), в направлении оси трубы (на оси трубы скорость максимальная и градиент скорости равен нулю. В результате чего происходит торможение прилегающих к стенке слоев жидкости с одновременным ускорением центральной части потока (с равномерным распределением скорости по поперечному сечению последнее обусловлено необходимостью прохода через неизменную площадь постоянного расхода жидкости. Это приводит к постепенной деформации эпюры скоростей из равномерной она по мере движения жидкости становится параболической (
=2). В начальном положении) средняя скорость равна действительной скорости жидкости, так как скорость равномерна по сечению, в конечном положении (4-4) – средняя скорость в 2 раза меньше максимальной.
56 Рис. 4.4. Формирование профиля скоростей на начальном участке Протяженность начального участка при закругленных входных кромках для трубы диаметра d может быть определена по формуле Шиллера: нач, а коэффициент трения л, где л, а значения k берутся из графика (рис. 4.5). На графике α – коэффициент неравномерности потока. Рис. 4.5. Зависимости коэффициентов α и k от соответствующего комплекса Из графика видно, что сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. Это объясняется тем, что значение производной
dy
dV /
(формула Ньютона
dy
dV /
) у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участках стабилизированного течения (как видно из рис. 4.4, наклон эпюры скорости к стенке в сечении 2-2 больше по сравнению с наклоном эпюры в сечении 4-4, поэтому больше значение производной, поэтому больше и касательные напряжения (при одинаковом динамическом коэффициенте вязкости μ), причем чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, тем больше сопротивление. При нач k = 1,09, те. сопротивление всего начального участка на 9% больше, чем сопротивление того же участка, взятого в области стабилизированного ламинарного течения. Когда длина трубы l больше длины начального участка нач, потеря напора складывается из потери на начальном участке и на участке стабилизированного течения
1,9 1,09 2
29
α
k
1,0 нач
α,k
3 10
Re
d
x
57
g
V
d
l
l
d
l
h
cp
f
2 09
,
1 нач л
нач л
Учитывая нач ил, получим
g
V
d
l
h
cp
f
2 64
Re
165
,
0
Re
1 Аналогичное явление наблюдается и при турбулентном течении, где длину начального участка можно найти по формуле, действительной для всех трех зон турбулентного течения (см. нижет нач, где т – коэффициент трения при турбулентном режиме течения (см. ниже. Все приведенные выше закономерности справедливы лишь для изотермического течения, когда температура жидкости равна температуре стенки.
4.5. Особые случаи ламинарного течения Течение с теплоотводом. Обычно в различных гидроприводах течение жидкости происходит степ- лоотводом вследствие того, что температура жидкости и окружающей среды отличаются. Отличие температуры движущейся жидкости по сравнению стем- пературой окружающей среды появляется в результате нагревания жидкости при ее течении вследствие трения слоев жидкости и вихреобразования в местных сопротивлениях. На рис. 4.6. представлены эпюры скоростей при различных режимах течения. Рис. 4.6. Распределение скоростей при изотермическом и неизотермическом течениях Кривая распределения скоростей, которая имеет форму параболы для изотермического потока (α=2), меняет свою форму в зависимости разницы вязкости жидкости у стенки ив остальном ядре течения. Если теплоотдача происходит от стенки трубы к жидкости (нагрев, то кривая распределения скорости кривая α<2) более полога, чем парабола (α=2), так как слои жидкости около стенок теплее и поэтому обладают меньшей вязкостью, чем жидкость близ оси трубы. Если теплоотдача происходит от жидкости к стенке (охлаждение, слои у стенок трубы обладают большей вязкостью, чем в остальном ядре потока, поэтому скоростное поле описывается кривой α>2.
α=2
α>2
α<2
q
Т
ст
Т
ж
58 При течении, сопровождающемся охлаждением жидкости, ее слои, прилегающие к стенке, имеют температуру более низкую, чем в основном ядре потока, что приводит к увеличению вязкости в этой области. Вследствие этого происходит более интенсивное торможение пристеночных слоев жидкости и уменьшение градиента скорости у стенки. При течении, сопровождающемся нагреванием жидкости, ее слои, прилегающие к стенке, имеют температуру более высокую, чем в основном ядре потока, что приводит к уменьшению вязкости в этой области. Вследствие этого происходит менее интенсивное торможение пристеночных слоев жидкости и увеличения градиента скорости у стенки. Таким образом, вследствие теплообмена через стенку трубы между жидкостью и внешней средой нарушается рассмотренный параболический закон распределения скоростей в поперечном сечении потока. При ламинарном течении вязкой жидкости в трубах с теплоотдачей (охлаждением) сопротивление получается больше, а при течении с притоком теплоты меньше, чем при изотермическом течении. Коэффициент трения в случае течения жидкости с теплоотводом может быть представлен в виде ж
ст л 'л, где л число Рейнольдса посчитано по средней скорости жидкости кинематический коэффициент вязкости ст определяется при температуре стенки Т
ст
, ж – по средней температуре жидкости Т
ж
В связи стем, что обычно при работе гидроприводов теплоотдача идет от жидкости к стенке (температура окружающей среды меньше температуры жидкости, которая нагревается вследствие трения и прохождения через местные сопротивления, и, учитывая, что трубы имеют некоторые искажения сечений, при ламинарном режиме коэффициент ламинарного сопротивления трения следует принимать
Re
75
л
Явление облитерации (заращивания. Заращивание наблюдается при протекании ряда рабочих жидкостей через узкие щели и отверстия. Часто в качестве рабочей жидкости гидравлической системы используют продукты перегонки нефти (газолин. Для улучшения смазывающих свойств газолина в него добавляют специальные вещества (присадки, которые способствуют явлению облитерации. С ростом давления заращивание протекает интенсивней, ас ростом температуры этот процесс ослабевает. В результате облитерации изменяются проходные сечения отверстий, что приводит к увеличению сопротивлений и к изменению расхода жидкости через отверстия. В ряде случаев происходит полное заращивание отверстий. В системах автоматики, управляюще-регулирующих системах и др. это явление отрицательно сказывается на работе этих систем.
59
4.6. Кавитация Кавитация – пустообразование (нарушение сплошности потока, иногда определяют как местное закипание жидкости. Кавитация происходит из-за падения давления в какой-либо части трубопровода ниже давления насыщенных паров данной жидкости приданной температуре. В результате этого внутри жидкости образуются пузырьки пара (происходит кипение жидкости, при этом поток становится двухфазным, те. состоящим из жидкой и паровой фаз. Пузырьки пара попадают в область более высоких давлений, где происходит их резкое сжатие и конденсация, те. они исчезают (схлопываются. И на их место со значительной скоростью устремляется жидкость, в результате чего происходят микровзрывы большой интенсивности (часто более 1000 ати). Негативные последствия кавитации
1. Если пузырьки находились на поверхности твердых тел, тов результате микровзрывов происходит выкрашивание металла.
2. Кавитация нарушает нормальное движение жидкости и неразрывность потока. При этом она значительно увеличивает сопротивление трубопроводов и, следовательно, уменьшается их пропускная способность, так как каверны уменьшают живые сечения потоков, скорость в которых резко возрастает (это приводит к уменьшению расхода жидкости и производительности насосов. При этом пузырьки пара действуют как местные сопротивления, повышая сопротивление трубопроводов, что приводит к снижению расхода жидкости при пропорциональном повышении давления на входе в трубопровод, которое имело место при отсутствии кавитации.
3. Кавитация приводит к шумами вибрациям гидромашин, трубопроводов и их узлов.
4. Кавитация приводит к уменьшению напора насоса Н
нас при постоянной частоте вращения. Кавитация может возникать во всех местных гидравлических сопротивлениях, где поток претерпевает местное сужение с последующим расширением, например, в кранах, вентилях, жиклерах и др. Отметим, что в жидкости, как правило, содержатся растворенные газы, которые при падении давления ниже какого-то значения также начинают выделяться из жидкости, затем, попадая в область более высоких давлений, они растворяются полностью или частично, так как процесс выделения газов протекает гораздо быстрее, чем их растворение. Таким образом, паровая кавитация часто сопровождается и газовой. Однако газы не схлопываются как пузырьки пара, так каких упругость выше. Наглядно кавитацию можно продемонстрировать на простом устройстве риса. Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1, 1-1 и 2-2 (будем полагать, что местные потери при входе жидкости в трубку Вентури равны нулю, потери на трение пренебрежимо малы вследствие малости длины трубки,
0
,
1 2
1
– течение равномерное,
2 1
z
z
):
60
g
V
p
p
H
a
2 2
1 1
;
1 2
2 2
2 2
1 1
g
V
p
g
V
p
a
, где
– коэффициент местных потерь в кране, который увеличивается с увеличением степени закрытия крана. Рис. 4.7. Схемы трубок для демонстрации кавитации Уравнение неразрывности имеет вид
2 2
1 1
S
V
S
V
, откуда
1 2
2 1
/ S
S
V
V
2 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
1 Из уравнения Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 найдем скоростной напор
1 2
2 2
g
V
p
p
H
a
a
;
1 2
2 Подставив скоростной напор в предыдущее выражение, получим
2 1
2 Из последнего выражения видно, что приуменьшении (увеличении площади проходного сечения крана) величина p
1
/γ уменьшается, так как уменьшается знаменатель дроби 1+ξ, что приводит к увеличению значения последнего слагаемого. При определенных условиях величина p
1
может достигнуть значения давления насыщенных паров данной жидкости приданной температуре p
нп
, что приведет к возникновению кавитации. При этом давление в сечении возникновения кавитации не изменяется, несмотря на увеличение расхода приуменьшении, и равно p
нп
. Приуменьшении, начиная с какого-то значения к, расход в трубопроводе при развитой кавитации остается практически постоянным, несмотря на дальнейшее уменьшение ξ. Это свойство заложено в основу работы кавитационных регуляторов расхода (при этом давление в сечении возникновения кавитации равно p
нп
). В процессе кавитации может происходить укрупнение мелких пузырьков. Для однокомпонентных жидкостей давление, соответствующее началу процесса кавитации, вполне определяется давлением насыщенных паров, зависящих только от температуры. Многокомпонентные жидкости состоят из легких и тя-
H
p
a
p
a
1 1
2 2
ξ А Зона кавитации
а) б)
61 желых фракций сначала вскипают легкие фракции, затем – тяжелые. Конденсация паров происходит в обратном порядке. Для характеристики местных гидравлических сопротивлений в отношении кавитации применяется безразмерный критерий, называемый числом кавитации рис. 4.7 (б
2
/
2 1
нп
1
V
p
p
, где p
1
и V
1
– абсолютное давление и скорость потока в сечении трубы перед местным сопротивлением p
нп
– давление насыщенных паров. Значение χ, при котором в местном сопротивлении начинается кавитация, называется критическим числом кавитации χ
кр
Зная критическое число кавитации для рассматриваемого местного сопротивления, можно определить предельно допустимую скорость перед сопротивлением кр нп
1
пр
2
p
p
V
Определим коэффициент кавитации для трубки Вентури (рис. 4.7 (б. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, считая
1 2
1
и
0
:
g
V
p
g
V
p
2 2
2 2
2 2
1 1
;
2 2
1 2
2 Подставим
1
p
в формулу для определения χ:
2 1
2 1
2 2
2 1
нп
2 Так как кавитация возникает при нп
2
p
p
, то
1 1
2 2
1 2
1 кр, где
1
S
и
2
S
– площади сечений 1-1 и 2-2.
2>2300>
4.7. Турбулентное течение в каналах постоянного сечения Структура при турбулентном движении жидкости иная, чем при ламинарном (рис. 4.8). Если рассматривать поперечное сечение потока в трубе, то у стенки трубы мы имеем пограничный слой, аза пограничным слоем – турбулентное ядро течения (рис. в. Пограничный слой состоит из ламинарного подслоя л, в котором течение жидкости происходит в ламинарном режиме, и переходного п, в котором происходит переход из ламинарного режима течения в турбулентный. Пограничный слой имеет толщину от 0,1 мм до нескольких миллиметров. При увеличении скорости потока толщина ламинарного подслоя уменьшается, так как оказывается, что число Рейнольдса для ламинарного подслоя есть величина постоянная, л л,
62 где за характерный размер принята толщина ламинарного подслоя. На распределение скоростей по живому сечению при турбулентном режиме течения влияет шероховатость стенок, ограждающих поток. Шероховатость является одной из причин появления вихрей у стенок и дополнительных гидравлических сопротивлений, а, следовательно, и потерь энергии при движении потока. Для оценки выступов шероховатости в гидравлике введено понятие абсолютной шероховатости (Δ). Абсолютная шероховатость характеризуется высотой среднего выступа шероховатой поверхности Δ. При этом важен не абсолютный размер бугорков, а отношение Одна и та же абсолютная шероховатость может совершенно не оказывать влияние на сопротивление трубы большого диаметра, но способна существенно увеличить сопротивление трубы малого диаметра. Величина
называется относительной шероховатостью. Кроме того, на сопротивление влияет характер шероховатости. Простейший случай, – когда бугорки одинакового размера и формы (равномерно-зернистая шероховатость. На практике приходится иметь дело с реальными шероховатыми трубами. Отметим, что величина
/
d
называется относительной гладкостью. Если ламинарный подслой покрывает выступы шероховатости, то труба считается гидравлически гладкой, а если нет гидравлически шероховатой. Ввиду того, что геометрические характеристики абсолютной шероховатости не могут в достаточной степени определять сопротивление трубы, введено понятие о гидравлически эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости э, которая создает такое же сопротивление, как реальная шероховатость. При турбулентном движении скорости (мгновенные) отдельных частиц жидкости (макрообъемов) в отдельных точках пространства все время меняются по величине и направлению, те. происходит пульсация скоростей (рис. б. Однако мгновенные скорости в данной точке пространства колеблются около осредненной скорости (риса. Аналогично происходит и пульсация давления по величине. Установившимся движением при турбулентном течении называют такое движение, при котором в любой точке пространства, занятого жидкостью, осредненная скорость и гидродинамическое давление не меняются стечением времени. В турбулентном потоке, кроме продольного поступательного движения частиц жидкости, существует еще и поперечное, которое приводит к перемешиванию макрообъемов жидкости, в результате чего появляются дополнительные потери энергии и возникают дополнительные касательные напряжения. Для ламинарного режима касательные напряжения равны При турбулентном движении
63 2
2
dy
dV
l
dy
dV
x
x
, где l – путь смещения, он определяется экспериментально для различных параметров течения, зон и геометрии каналов (вблзи стенок труб
Kx
l
, K=0,435,
x – расстояние отсечения зарождения турбулентного течения до рассматриваемого сечения. в) Рис. 4.8. К турбулентному режиму течения Первый член в последнем выражении характеризует вязкое трение при ламинарном движении, второй – выражает дополнительное касательное напряжение от пульсаций, возникающих при поперечном движении макрообъемов жидкости. С увеличением скорости течения (с увеличением Re) главное влияние на величину касательных напряжений оказывает второй член и при больших Re касательные напряжения (а, значит, и потери полного напора Δh
f
) оказываются пропорциональны квадрату градиента скорости. Для развитого турбулентного режима
2 2
dy
dV
l
x
, те. пренебрегаем трением при ламинарном движении. Обычно под термином вязкие напряжения подразумевают касательные напряжения при ламинарном режиме течения (вязкое трение, а под термином касательные напряжения – напряжения при турбулентном течении (вязкие и дополнительные касательные напряжения.
1. При ламинарном режиме
2
,
2
cp
m
V
/
V
2. При турбулентном режиме
10 1
05 1
,
,
,
(Re)
/
f
V
V
cp
m
– для гидрав- лически гладких труб
)
(Re,
/
f
V
V
cp
m
– для гидравлически шероховатых рис. 4.9). л
Δ Турбулентное ядро течения п
64 Рис. 4.9. К турбулентному режиму течения При турбулентном режиме течения потери по длине на трение в круглых трубах определяются по формуле Дарси в виде
g
V
d
l
h
cp
f
2 т, где т – определяется по зависимостям для турбулентного течения (см. ниже. В трубах с некруглым сечением в первом приближении потери по длине на трение определяются с использованием гидравлического диаметра в виде
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
т
Для более точного определения потерь используются гидравлический диаметр и поправочный коэффициент нт
k
, учитывающий форму сечения
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
нт
, где т
нт нт
k
(например, для труб квадратного сечения при Re > 2300 –
0
,
1
нт
k
и т
нт
); при этом
VD
Re
, Таким образом, для труб некруглого сечения коэффициент т вычисляется по выражениям для труб круглого сечения, нос использованием гидравлического диаметра.
4.8. О коэффициенте гидравлических сопротивлений трения Как показали эксперименты
Re,
f
. Но эта зависимость при разных условиях движения потока жидкости меняет свою закономерность. При малых значениях Re,
Re
f
, при больших значениях Re,
f
, при промежуточных значениях На рис. 4.10 представлены результаты экспериментальных исследований коэффициента сопротивления (И.И. Никуразде) для труб с искусственной рав- номерно-зернистой шероховатостью. Результаты исследований для труб с реальной неравномерной шероховатостью приводить не будем, отметим лишь, что закон изменения тот получается несколько иным, без подъема кривых после отклонения их от закона для гладких труб – см. ниже. Также их отличия от результатов для труб с искусственной шероховатостью заключаются в некотором изменении значений граничных чисел Re для различных режимов течения и формулами для определения коэффициента сопротивления. Рис. 4.10. Зависимости коэффициента потерь на трение от Re Однако в большинстве случае инженерных расчетов имеют дело с реальными трубами (с реальной неравномерной шероховатостью, поэтому ниже приведем выражения для определения границ зон и областей течений, а также формулы для определения λ в упрощенном виде, однако поясняя, к какому случаю последние относятся. Первая область соответствует прямой I-I и относится к ламинарному движению жидкости при Re<2300. Здесь
Re
/
64
л
Вторая область соответствует прямой II-II и относится к турбулентному движению жидкости. Это область гидравлически гладких труб (лона имеет место при
/
23
Re для неравномерной шероховатости реальных труб. Формула Блазиуса: т при Re = 2300…10 5 равномерно- зернистая шероховатость. Как видно из формулы Блазиуса, при турбулентном движении на потери в основном влияют процессы, связанные с перемешиванием потока и рассеиванием кинетической энергии вследствие вихреобразования. Вязкость жидкости играет менее существенную роль, так как она в степени 1/4. Также из этой формулы видно, что, так как число Re в степени -1/4, то и скорость в т тоже в степени -1/4, поэтому при подстановке т в формулу для потерь (Дарси) скорость будет в степени 2-1/4=1,75. Формула Конакова:
т lg
8
,
1
при Re < 10 7
(равномерная и неравномерная шероховатость. Третья область располагается правее кривой III-III, она имеет место при
/
560
Re для неравномерной шероховатости. Это область квадратичных сопротивлений (автомодельная область. Кривая т параллельна оси абсцисс (Re).
66 В этой области вследствие больших скоростей, а, значит, и чисел Рейноль- дса толщина ламинарного подслоя уменьшается настолько, что бугорки шероховатости выступают за его толщину и обтекаются турбулентным потоком с вихреобразованием за каждым бугорком. Этими объясняется квадратичный закон сопротивления, характерный для этой области. Формула Никуразде: т (равномерная и неравномерная шероховатость. Первая переходная зона располагается между прямыми I-I и II-II и соответствует переходу от ламинарного к турбулентному режиму течения
(Re=2300-4000 для равномерно-зернистой шероховатости. Для неравномерной шероховатости Re кр, где Re
2
определяется по специальной зависимости, однако приводить ее не будем в силу того, что это очень узкая область и не представляет собой практического интереса. В этой области для труб с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью т возрастает с увеличением
Re. Вторая переходная зона располагается между прямыми II-II и III-III (область гидравлически шероховатых труб, она имеет место для неравномерной шероховатости при Формула АД. Альтшуля (равномерная и неравномерная шероховатость э т 11
,
0
d
или т 46
,
1 1
,
0
, где э – эквивалентная абсолютная шероховатость (приводится в таблицах.
67
5. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В гидравлике местные сопротивления делятся на 2 группы внезапные и постепенные (плавные. В каждую группу входят расширение, сужение, поворот. Более сложные местные сопротивления состоят из комбинации простейших. Местные сопротивления (коэффициенты потерь ξ) зависят в общем случае от числа Re и вида (формы) местных сопротивлений, те. формы, Re). Напомним, что потери полного напора в местных сопротивлениях определяются по формуле Вейсбаха. Коэффициенты потерь ξ при развитом турбулентном течении определяются в основном формой местных сопротивлений и практически не зависят от числа Re (изменением абсолютных размеров русла, скорости потока и вязкости
ν жидкости можно пренебречь, что означает квадратичный закон сопротивления (автомодельная область, те. формы. Ниже выведены зависимости для определения коэффициента местных сопротивлений для развитого турбулентного режима течения (автомодельной области, остальные зависимости некоторых местных сопротивлений получены на основе экспериментов.
5.1. Внезапное расширение канала При внезапном расширении поперечного сечения трубы поток срывается с угла (молекулы жидкости движутся по инерции, а вязкость жидкости мала) и расширяется не внезапно, как труба, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии – см. рис. 5.1. При этом, как показывают наблюдения, происходит непрерывный обмен частицами (а, значит, и энергией) между основным потоком и завихренной его частью. Кроме того, основной вихрь порождает другие, более мелкие вихри, которые уносятся потоком и распадаются на еще более мелкие вихри. Таким образом, потеря энергии (потери на удар) происходит не только в основном вихре, но и по длине следующего за ним участка потока l
2
= (8-10)D
2
, где D
2
– гидравлический диаметр широкого сечения. Рассмотрим установившийся развитый турбулентный режим течения жидкости (число Re определяется по диаметру и скорости до расширения. Отметим, что для данного вида местного сопротивления это число Рейнольдса является нижней границей автомодельности (потери не зависят от Re). Допустим, что объем жидкости, заключенный между сечениями
1-1 и 2-2, переместился из положения 1-2 в положение 1'-2' за время dt. Примем следующие допущения
1. τ = 0 – касательными напряжениями пренебрегаем из-за малой длины.
2. p
1
в сечении 1-1 действует по всей площади S
2
(хотя труба и расширилась, поток в сечении 1-1 сохранил свой поперечный размер, следовательно, ни скорость, ни давление не изменились. Запишем уравнение неразрывности для сечений 1-1 и 2-2:
2 2
1 1
S
V
S
V
Q
68 Потери полного давления при внезапном расширении обозначим Δh
вр
. Тогда для реальной жидкости уравнение Бернулли будет иметь вид
вр
h
g
V
p
g
V
p
2 2
2 2
2 2
1 1
;
g
V
V
p
p
h
вр
2 2
2 2
1 Рис. 5.1. Схема внезапного расширения канала Для контура, ограниченного сечениями 1-1, 2-2 и боковой стенкой канала, запишем уравнения изменения количества движения (3.10) в проекции на ось канала
1 2
2 2
1 2
2 2
2 1
V
V
V
S
V
V
Q
S
p
S
p
(5.1) Приведем преобразования (5.1):
g
V
V
V
p
p
:
|
2 1
2 2
2 1
;
g
;
g
V
V
V
p
p
2 1
2 2
2 Подставляем последнее выражение в формулу для определения потерь вр
h
, после преобразований получим
g
V
V
h
вр
2 2
2 1
(5.2) Эта формула носит наименование теоремы Борда-Карно. Потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Введя понятие степени расширения канала
1 2
S
S
n
, учитывая
n
V
S
S
V
V
1 2
1 получим
g
V
g
V
n
h
вр
2 2
1 1
2 1
1 2
1 2
вр
,
(5.3) где коэффициент сопротивления Вихревая зона
1-1
S
1
S
2
1'-1'
2-2
2'-2'
l
2
p
1
V
1
V
1
V
2
p
2
69 2
1 1
1
n
вр
или
2 2
1 1
1
S
S
вр
При истечении в большой резервуар
2
S
, поэтому
1 1
2 2
1 1
S
S
вр
Формула для Δh
вр определяет только местные потери на удар, связанные с вихреобразованием на участке l
2
. Однако для определения полных потерь при внезапном расширении необходимо еще учесть потери по длине участка l
2
на трение, что обычно делается при расчете трубопровода.
5.2. Постепенное расширение канала. Диффузор
Течение в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, а, следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления (рис. 5.2). Частицы движущейся жидкости преодолевают нарастающее давление за счет кинетической энергии, которая уменьшается вдоль диффузора (площадь поперечного сечения увеличивается) ив направлении от оси к стенке (на стенке скорость равна нулю. Слои жидкости, прилегающие к стенкам, обладают столь малой кинетической энергией (вследствие трения, что при определенных условиях оказываются не в состоянии преодолевать повышенное давление, они останавливаются и даже начинают двигаться обратно, что приводит к отрыву потока от стенки и к вихреобразованию. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла диффузора, а вместе с этим растут и потери в нем на вихреобразование. Рис. 5.2. Схема диффузора Определим коэффициент потерь диффузора (Re>10 4
,
0
,
1 2
1
). Потери полного напора складываются из двух составляющих потери на трение три потери на вихреобразование во, те. они равны
во
тр
D
h
h
h
,
V
2
α/2
V
1
p
1
p
2
dl
l
dr
r
2
r
1
70 где
вр
во
h
k
h
;
вр
h
– потери при внезапном расширении k – коэффициент смягчения, для диффузоров с малым углом полураствора
0 20
, k = sin α. Потери при вихреобразовании (местные потери) с учетом (5.3): во 1
1
sin
2 1
1 2
1 2
2 1
2
, где
1 2
S
/
S
n
– степень расширения канала. Найдем потери на трение (ниже представлены все преобразования.
l
тр
тр
тр
тр
h
d
h
g
V
d
dl
h
d
g
V
d
l
h
;
2
;
2 2
т
2
т
;
2
/
sin
dr
dl
Из уравнения неразрывности Q =VS = V
1
S
1
выразим скорость V:
2 1
1 1
1
r
r
V
S
S
V
V
, так как
2 2
1 2
2 1
1
r
r
r
r
S
S
; тогда
2
/
sin
2 1
2 4
4 1
2 1
т
dr
r
r
r
g
V
h
тр
;
2 1
2 1
4 2
1 т 2
1 т 1
2 2
/
sin
2 2
2
/
sin
2
r
r
r
r
тр
r
g
V
r
r
dr
g
V
r
h
;
g
V
r
r
h
тр
2 1
2
/
sin
8 2
1 4
2 т
g
V
S
S
h
тр
2 1
2
/
sin
8 2
1 2
2 т
g
V
n
h
тр
2 1
1 2
/
sin
8 2
1 т Потери в диффузоре с учетом потерь во и
тр
h
определяются как
g
V
h
D
D
2 2
1
,
(5.4) где
2 т 1
sin
1 1
2
/
sin
8
n
n
D
– коэффициент потерь.
(5.5) Из (5.5) следует, что существует оптимальный угол полураствора диффузора, соответствующий минимальному гидравлическому сопротивлению. Это утверждение подтверждает рис. 5.3. Рис. 5.3. Зависимость ξ
D
от α
α
опт
α
ξ
D
71 Все необходимые преобразования представлены нижет т
n
n
D
;
2 т 1
/
1 1
4
sin
n
n
опт
;
1 1
4 1
1 4
sin
2 2
т
2
n
n
n
n
T
опт
;
1 1
2 1
arcsin т
опт
n
n
(5.6) Для круглых диффузоров по (5.6) при
025 0
015 т и n = 2-4 оптимальный угол равен
0 6
опт
. На практике в случае невозможности использовать диффузоры с оптимальным углом в зависимости от решаемой задачи применяют различные типы диффузоров ступенчатые диффузоры, криволинейные и др. Подробнее об этом можно прочитать в специальной литературе.
5.3. Другие виды местных сопротивлений В большинстве случаев коэффициенты гидравлического сопротивления ξ устанавливаются опытным путем. Ниже приведем значения коэффициентов ξ для некоторых местных сопротивлений при развитом турбулентном режиме течения. Для различных сопротивлений составлены специальные справочники, например, Справочник по гидравлическим сопротивлениям И.Е. Идельчика.
– Внезапное сужение трубы Внезапное сужение трубы (рис. 5.6) всегда вызывает меньшую потерю энергии, чем внезапное расширение с таким же соотношением площадей. В этом случае потери обусловлены трением потока при входе в узкую трубу и потерями на вихреобразование. Последние вызываются тем, что поток не обтекает входной угол, а срывается с него и сужается (подробнее – см. истечение жидкости через отверстия и насадки кольцевое пространство вокруг суженной области заполняется завихренной жидкостью. В процессе дальнейшего расширения потока происходит потеря напора, определяемая формулой Борда. Рис. 5.6. Внезапное сужение канала Потери в этом случае определяются формулой (при
0
,
1 2
1
, Re>10 4
):
g
V
h
2 2
2
вс2
вс
, где вс2
можно определить по полуэмпирической зависимости И.Е. Идельчика
S
2
S
1
V
2
V
1
S
сж
72
n
S
S
1 1
5
,
0 1
5
,
0 1
2
вс2
; где
2 1
/ S
S
n
– степень сужения. При
0
/
1 2
S
S
(втекание в трубу из бесконечного резервуара)
5 0
вс2
,
Более точная формула для определения коэффициента потерь
4
/
3
вс2 1
1 5
,
0
Закруглением входной кромки можно значительно уменьшить потерю при входе в трубу, при закругленной кромке при входе в трубу из резервуара
2 0
вс2
,
Отметим, что нижнее число Рейнольдса, при котором течение считается автомодельным (потери не зависят от Re) при внезапном сужении, превышает
Re>10 4
(при внезапном расширении, как было отмечено выше, это Re>3500). Изменение коэффициента потерь от степени сжатия представлены в таблице вс
0,5 0,5 0,42 0,33 0,25 0,15
– постепенное сужение трубы (конфузор) Течение жидкости в конфузоре (рис. 5.7) сопровождается возрастанием скорости и падением давления так как давление жидкости вначале конфузора выше, чем в конце, причин к возникновению вихреобразования и срывов потока (как в диффузоре) нет. Рис. 5.7. Конфузор В конфузоре имеются лишь потери на трение. Небольшое вихреобразова- ние и отрыв потока возникает лишь на выходе из конфузора вместе соединения конической трубы с цилиндрической. Для ликвидации вихреобразования и связанным с ним потерь рекомендуется коническую часть плавно сопрягать с цилиндрической или коническую часть заменять криволинейной, плавно переходящей в цилиндрическую (сопло. При этом можно допустить значительную степень сужения n при небольшой длине вдоль оси и небольших потерях. Коэффициент сопротивления сопла будет равен
1
,
0 кв зависимости от n, плавности сужения, а также Re (большим Re соответствуют малые к и наоборот. Потери в конфузоре определяются формулой (при
0
,
1 2
1
, Re>10 4
):
g
V
h
2 2
2
к2
к
,
S
2
S
1
V
2
V
1
73 где
т к 1
1 2
/
sin
8
n
;
2 1
S
S
n
– Взаимное влияние местных сопротивлений Принцип суммирования потерь по длине трубопровода дает надежные результаты, если расстояние между отдельными местными сопротивлениями достаточно для того, чтобы искажение эпюры скоростей, вызванное одним из них, не сказывалось на сопротивлении, лежащем ниже по течению. Для этого необходимо, чтобы местные сопротивления (турбулентный режим течения) отстояли друг от друга не ближе, чем
50 т т
вл
d
l
, где т
вл
l
– длина влияния местного сопротивления т – коэффициент гидравлического трения трубы, на которой расположено местное сопротивление. При больших числах Рейнольдса в первом приближении
d
l
40 30
т вл
При малых числах Re, те. при ламинарном режиме, течении взаимное влияние местных сопротивлений проявляется слабее (меньше л
вл
l
):
Re
25
,
1
л вл
d
l
5.4. Местные сопротивления при ламинарном течении Изложенное выше относилось к местным потерям при развитом турбулентном режиме течения в трубопроводе. При ламинарном режиме местные сопротивления обычно играют малую роль по сравнению с сопротивлением трения, закон сопротивления является более сложными исследован в меньшей степени, чем при турбулентном течении. Если при развитом турбулентном течении местные потери напора можно считать пропорциональными скорости (расходу) во второй степени, а коэффициенты потерь
определяются в основном формой местного сопротивления и практически не зависят от Re, то при ламинарном течении потеря напора м
h
=
вихр тр
h
h
, где
1
ср тр
V
,
f
h
– потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил трения (вязкости) в данном местном сопротивлении
2
ср вихр
V
f
h
– потери, связанные с отрывом потока и вихреобразованием. Так, например, при течении через жиклер (рис. 5.8) слева от плоскости расширения возникает потеря напора на трение, справа – на вихреобразование. Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении (формула Дарси) с поправкой на начальный участок (формула Шиллера), а также формулу Вейс- баха для местных сопротивлений, последнее выражение можно представить
g
V
B
g
V
A
h
cp
cp
2 2
Re
2 м,
74 где Аи В – безразмерные константы, зависящие в основном от формы местного сопротивления. После деления последнего уравнения на скоростной напор, получим общее выражение для коэффициента местного сопротивления при ламинарном течении в трубопроводе
B
A
Re м
Рис. 5.8. Жиклер Рис. 5.9. Схемы местных сопротивлений В общем случае, если в местном сопротивлении преобладают потери на трение по длине (большая длина характерного размера, которая значительно превышает его поперечный размер сплавными очертаниями входа и выхода, а числа Re малы) над потерями при отрыве потока, то потери пропорциональны скорости потока впервой степени (B
0) – риса. Если преобладают потери при вихреобразовании (малая характерная длина канала, а, значит, малые потери на трение) при больших числах Re (А, то потери пропорциональны скорости потока во второй степени (В) – рис. 5.9 (б. При широком диапазоне изменения чисел Re водном и том же местном сопротивлении возможен как линейный (при малых Re, где Re вл
– максимальное значение числа Рейнольдса, при котором реализуется линейный закон сопротивления в данном местном сопротивлении, таки квадратичный (при больших Re>Re нкв
, где Re нкв
– минимальное значение числа Рейнольдса, при котором реализуется квадратичный закон сопротивления в данном местном сопротивлении) закон сопротивления, а также переходная между ними область сопротивления при средних Re вл
. Отметим, что значения Re вл и Re нкв не имеют отношения к режимам течения (ламинарный, турбулентный, то есть может быть Re вл
>Re кр (Re вл
>10 4
); Re нкв
>Re кр, Re нкв
<400).
75 Типичная для такого широкого диапазона Re зависимость ξ отв логарифмических координатах дана на рис. 5.10, где показаны результаты испытаний сопротивлений. Наклонные участки соответствуют линейному закону сопротивления обратно пропорционален Re и B=0, Re), криволинейные участки – переходной области (Re вл
), а горизонтальные прямые – квадратичному закону (коэффициент ξ не зависит от Re и A=0, Re>Re нкв
). Доказанная выше для турбулентного режима теорема о потере напора при внезапном расширении русла при ламинарном режиме неприменима (неприменимы при выводе этой теоремы допущения в случае ламинарного течения. Теорему Борда-Карно, как уже было отмечено выше, можно считать справедливой для чисел Re>3500 и при равномерной эпюре распределения скоростей по поперечному сечению. Рис. 5.10. Зависимость ξ от Re: 1 – фетровый фильтр 2 – диафрагма (n = 0,05); 3 – шариковый клапан 4 – разъемный клапан 5 – угольник 6 – тройник В случае внезапного расширения при Re<3500 экспериментально установлены сложные зависимости потери полного напора от Re и степени расширения канала, которые можно найти в специальном справочнике для упрощения вычислений на их основе построены графики и составлены специальные таблицы.
76
6. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
6.1. Общие сведения В процессе истечения жидкости из резервуаров через отверстия и насадки запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается с большими или меньшими потерями в кинетическую энергию свободной струи или капель. Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Различают малые и большие отверстия. Обычно отверстия, имеющие размеры по сечения, не превышающие d = 0,1 Н, относят к малым (где Н – напор, под которым работает отверстие, d – диаметр отверстия. Если истечение из отверстия происходит в газовую среду (в среду (жидкость) неоднородную с жидкостью струи, то такое отверстие называется незатопленным, если подуровень жидкости (в жидкость, однородную с жидкостью струи) – затопленным. При истечении жидкости через отверстия различают полное сжатие, когда струя сжимается по всему периметру и неполное, когда в определенной части струи сжатия не происходит вследствие примыкания части периметра отверстия к стенкам (рис. 6.1). Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения жидкости в резервуаре перед отверстием, в том числе, от радиального движения по стенке к осевому движению в струе. Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Рис. 6.1. Отверстие в тонкой стенке Полное сжатие струи разделяется на совершенное, когда стенки резервуара не влияют на сжатие струи (для круглого отверстия h>3d), и несовершенное, когда стенки резервуара вследствие их достаточно близкого расположения к отверстию влияют на сжатие струи. Под отверстием в тонкой стенке понимается отверстие при l < d, где l – толщина стенки. При выходе из отверстия струя претерпевает сжатия до сечения (сжатое сечение находится от отверстия на расстоянии 0,5d и диаметр струи в нем с – для маловязких жидкостей, те. при больших числах Re),
77 после которого приобретает параллельно-струйный характер. Площадь живого сечения струи св сжатом сечении
S
S
c
, где S – площадь отверстия. Коэффициент сжатия струи равен Для круглого отверстия
64 0,
, те.
S
S
c
64
,
0
, причем несов сов, неполн пол. Истечение жидкости через малые отверстия Выведем расчетную зависимость для определения расхода жидкости при ее истечении через малые отверстия. Возьмем сосуд с жидкостью, работающий под постоянным напором Н (рис. 6.2). Определим скорость течения жидкости V
ср1
в сжатом сечении 1-1. Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности 0-0 и сечения 1-1 относительно плоскости сравнения, проходящей через центр тяжести отверстия.
Рис. 6.2. Истечение через малое отверстие Кроме того, примем, что давление в рассматриваемых сечениях равно атмосферному, а V
0
=0. пот 1
0 2
h
g
V
H
cp
;
g
V
h
cp
2 2
1
вх пот
g
V
H
cp
2 2
1
вх
0
Скорость истечения жидкости в сжатом сечении равна
0 0
вх
1 2
2 1
gH
gH
V
cp
,
78 где вх
1
– коэффициент скорости. Для маловязкой жидкости при
1
коэффициент скорости равен
97 0,
, откуда при
1
1 1
2
вх
/
и вх
= 0,06. Для идеальной жидкости при
1
(
1
ср1
V
V
) и вх
= 0:
1
и
0
ид
2gH
V
Из этого следует, что коэффициент скорости есть отношение действительной скорости истечения к скорости истечения идеальной жидкости, те.
1
ид ср1
V
V
Для определения коэффициента скорости сравнивается дальнобойность струи l (измеряется длина струи в горизонтальном направлении от сжатого сечения до текущего положения на некоторой высоте ниже отверстия) с дальнобойностью струи l
ид
, которая имела бы место при истечении струи без сопротивления на выходе из отверстия. При этом считается, что струя распространяется в пространстве как свободно брошенное тело в горизонтальном направлении с некоторой начальной скоростью (со скоростью в сжатом сечении V
ср1
для реальной струи и V
ид
– для идеальной, сопротивлением воздуха (трением пограничных слоев струи о воздух) пренебрегается. Расход жидкости через малое отверстие равен
0 0
0
ср1 2
2 2
gH
S
gH
S
gH
S
S
V
Q
с
с
,
(6.1) где вх
– коэффициент расхода S – площадь отверстия Для маловязкой жидкости (большое число Re)
62 0
97 0
64 Коэффициент расхода равен отношению действительного расхода Q кто- му расходу Q
ид
, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления, те. вх
0 0
ид
1 Введенные в рассмотрение коэффициенты ε, μ, φ, ξ зависят в первую очередь от типа отверстия или насадка, а также от числа Re. В зависимости от числа Re коэффициенты расхода, сжатия струи и скорости будут разными. Коэффициент расхода может быть повышен разными путями, например, выполнением фасок на входных кромках. Об этом можно прочитать в соответствующей литературе. Отметим, что в общем случае (при разнице давлений в рассматриваемых сечениях) уравнение Бернулли примет вид пот 1
1 0
0 2
h
g
V
p
p
H
cp
;
g
V
p
p
H
cp
2 2
1
вх
1 0
0
79
6.3. Истечение жидкости через малые затопленные отверстия Рассмотрим случай, когда жидкость истекает из затопленного отверстия, находящегося ниже уровня жидкости во втором резервуаре на величину Н
2
(Н
2
= Н
0
–Н
1
) – см. рис. 6.3. Рис. 6.3. Истечение через малое затопленное отверстие Принимаем те же допущения, что ив предыдущем пункте.
Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости относительно сечений
0-0 и 1-1 и относительно той же поверхности сравнения, что ив предыдущем пункте.
g
V
g
V
p
H
p
H
cp
cp
2 2
2 1
вх
2 1
0 1
0 0
;
g
V
H
H
cp
2 2
1
вх
1 Расход в сжатом сечении определяется по формуле
1 0
2
H
H
g
S
Q
(6.2) Коэффициенты сжатия ε и расхода μ можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду.
6.4. Истечение жидкости через большие отверстия При истечении жидкости через большие отверстия скорость по сечению значительно изменяется, поэтому расход в этом случае можно получить путем суммирования элементарных расходов по всему живому сечению потока. Расход через прямоугольное отверстие высотой a и шириной b будет равен
c
gH
ba
Q
2
, где
c
H
– глубина погружения центра тяжести отверстия коэффициент расхода в зависимости от типа отверстия и условий подхода воды к отверстию колеблется в пределах
90 0
65 0
,
,
6.5. Истечение жидкости из насадков Насадок – короткая труба длиной (3-5)d, прикрепленная к отверстию. Цилиндрический внешний насадок При входе жидкости в отверстие насадка вследствие изгиба линий тока происходит сжатие струи (примерно также, как при истечении через отверстие в тонкой стенке, и на некотором расстоянии от входа в насадке образуется во- доворотная зона, в которой вследствие сжатия струи создается разрежение, величина которого зависит от скорости течения, а, следовательно, и от величины напора, под которым работает насадок (риса. Затем вследствие взаимо-
р
1
1 Н
V
ср1
р Н
0
0
80 действия сжатой части струи с окружающей ее завихренной жидкостью струя постепенно расширяется до размеров отверстия и из насадка выходит полным сечением. Рис. 6.4. Схемы насадков Полный действующий напор для насадка как бы увеличивается за счет разрежения и складывается из напора над центром тяжести входного отверстия насадка и величины разрежения в сжатом сечении, что приводит к увеличению расхода через насадок. Отметим, что диаметр струи на выходе из насадка равен диаметру насадка, те. ε = 1. Вместе стем присоединение насадка к отверстию дает дополнительные потери напора по сравнению с истечением жидкости через отверстие без насадка, вызываемые внезапным расширением потока жидкости внутри насадка и трением потока о его внутреннюю поверхность, поэтому скорость жидкости при выходе из насадка будет меньше. Описанный режим течения безотрывный. Запишем уравнение Бернулли в случае истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке относительно свободной поверхности и сжатого сечения
(1-1), давления в рассматриваемых сечениях равны, α=1, площадь в сжатом сечении площадь отверстия или насадка, ε=0,64, V
1
– скорость течения жидкости в сжатом сечении
g
V
g
V
H
2 2
2 1
1 2
1
, где H – геометрический напор. Откуда
gH
gH
V
2 2
1 1
1 1
, расход в сжатом сечении
S
V
Q
1 1
или
gH
S
Q
2
, где
– коэффициент расхода отверстия. Запишем уравнение Бернулли в случае течения жидкости через насадок относительно свободной поверхности и сечения (2-2) (допущения те же
81
g
V
g
V
g
V
H
s
s
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, где
s
2
– суммарный коэффициент потерь, приведенный к скорости который включает в себя потери на входе в насадок, потери при внезапном расширении потока жидкости и потери на трение при течении жидкости по насадку. Из последнего уравнения выразим скорость и определим расход в 2-2:
gH
gH
V
s
2 2
1 н 2
, где н – коэффициент скорости при истечении жидкости через насадок. Знаменатель в выражении для скорости V
2
истечения жидкости через насадок оказывается большим значения знаменателя
1 1
в выражении для скорости истечения жидкости V
1
через отверстие, так как появляются дополнительные потери при течении жидкости по насадку, следовательно, V
2
< Расход жидкости через насадок определяется по формуле
S
V
Q
2
или н,
(6.3) где S – площадь насадка н н – коэффициент расхода насадка, при ни коэффициент расхода н н
Таким образом, расход через насадок увеличивается на 30% по сравнению с расходом при истечении через отверстие. Однако это так, пока гидростатический напор не превышает определенной величины (на практике принимается, в частности, для воды Нм. При превышении этой величины происходит прорыв воздуха через выходное сечение насадка в водоворотную зону, вследствие чего он перестает работать полным сечением (рис. 6.4 (в. При истечении через цилиндрический насадок подуровень безотрывный режим истечения не будет отличаться от описанного выше. (Отметим, что чем больше напор H, тем больше скорость истечения через насадок. Вследствие того, что в насадке происходит сужение потока, в суженном месте разгон потока происходит с одновременным падением в нем давления) Но когда абсолютное давление внутри насадка вследствие увеличения H падает до давления насыщенных паров, переход к отрывному течению не происходит, а начинается кавитация, при этом происходит стабилизация расхода (см. выше. Недостатки цилиндрического насадка невысокий коэффициент расхода при безотрывном режиме течения и низкий коэффициент расхода на втором режиме, в том числе возможность кавитации при истечении подуровень. Для использования цилиндрического насадка в качестве жиклера, дросселей или форсунок эти недостатки следует учитывать или улучшать насадок. Внешний цилиндрический насадок может быть улучшен путем закругления входной кромки (см. штриховые линии на рис. 6.4 (били устройства конического входа с углом конусности около 60 Цилиндрический внутренний насадок насадок Борда)
Физическая сущность гидравлического явления в цилиндрическом внутреннем насадке аналогична явлению во внешнем цилиндрическом насадке, но его параметры (для идеальной жидкости) имеют следующие значения
1
(на
82 выходе из насадка,
71 0,
(рис. 6.4 (г. Степень сжатия струи в сжатом сечении увеличивается ε=0,5 (ε меньше степени сжатия при истечении жидкости через малое отверстие в тонкой стенке, так как жидкость приближается к входному отверстию насадка из всего прилежащего объема, изменяя направление своего движения до 180 Конический сходящийся насадок В коническом сходящемся насадке коэффициент расхода увеличивается в результате уменьшения гидравлических сопротивлений и, главным образом, уменьшения эффекта внезапного расширения потока. Коэффициент расхода зависит от угла конусности: он принимает максимальное значение
95 0,
при
13 0
; при дальнейшем увеличении угла конусности
начинает уменьшаться, так как при этом происходит дополнительное сжатие струи при выходе из насадка. Конический расходящийся насадок Конический расходящийся насадок применяется в тех случаях, когда нужно за счет уменьшения скорости значительно увеличить давление. Потери энергии в этом насадке на внезапное расширение значительно больше потерь в других насадках, поэтому коэффициент расхода, отнесенный к выходному сечению насадка при угле конусности 5-7 0
, равен
5 0,
. При увеличении угла конусно- сти больше 5-7 0
может произойти срыв вакуума.
Коноидальный насадок сопло) Очертания коноидального насадка по форме приблизительно совпадают с очертаниями естественно сжимающейся струи и благодаря этому обеспечивается безотрывность течения внутри насадка и параллельноструйность в выходном сечении (риса. Он имеет ε = 1,
97
,
0
, а также устойчивый режим течения без кавитации.
Диффузорный насадок
Диффузорный насадок представляет собой комбинацию сопла и диффузора см. рис. 6.5 (б. Приставка диффузора к соплу влечет за собой снижение давления в узком месте насадка, а, следовательно, увеличение скорости и расхода через него. Притом же диаметре узкого сечения, что и у сопла, и том же напоре диффузорный насадок может дать значительно больший расход (до 2,5 раз, чем сопло. Рис. 6.5. Схемы насадков
83 Запишем уравнение Бернулли, описывающее движение жидкости по соплу, относительно свободной поверхности (сечение 0-0) и среза сопла (сечение
1-1), примем, что давления в соответствующих сечениях равны между собой,
α=1:
g
V
g
V
H
2 2
2 1
1 2
1
;
1 2
1 1
2
g
V
H
, откуда
gH
V
2 1
1 1
1
;
1 1
1
S
V
Q
, где ξ
1
– коэффициент потерь в сопле, приведенный к скорости V
1
; S
1
– площадь поперечного сечения среза сопла. Для описания течения жидкости через диффузорный насадок составим уравнение Бернулли относительно свободной поверхности (сечение 0-0) и среза диффузора (сечение 2-2), которое примет вид
g
V
g
V
H
2 1
2 2
1 1
2 2
2
, где ξ
2
– коэффициент потерь в диффузорном насадке, приведенный к скорости
V
2
Из уравнения неразрывности
2 2
1 выразим
2 1
1 2
/ S
S
V
V
, где S
2
– площадь поперечного сечения среза диффузора и подставим в уравнение Бернулли
g
V
S
S
g
V
H
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
;
1 2
2 2
1 2
1 Из последнего уравнения выразим скорость
gH
n
gH
S
S
V
2
/
1 1
2 1
/
1 1
2 2
1 2
2 2
1 1
;
1 1
1
S
V
Q
, где
1 2
S
S
n
– степень расширения диффузора. Из того, что
1
/
2 1
S
S
(например,
7
,
8
/
1 2
S
S
n
, те. n
2
≈75) следует, что при достаточно малом значении слагаемого
2 2
/
1
n
знаменатель дроби будет стремиться к
1
, поэтому скорость, а, следовательно, и расход в этом сечении будет больше, чему сопла, так как для скорости на срезе сопла знаменатель дроби равен
1 Такие насадки применяют в том случае, когда заданы диаметр узкого сечения и напори требуется получить возможно больший расход. Однако диффу- зорный насадок может работать лишь при небольших напорах (H=1-4 м, так
84 как при большем напоре в узком месте насадка возникнет кавитация, в результате чего расход снизится.
3500>
6.6. Истечение через отверстия при переменном напоре опорожнение сосудов) Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда через донное отверстие или насадок с коэффициентом μ при переменном напоре (течение, строго говоря, является неустановившимся) – см. рис. 6.6. Однако если напора, следовательно, и скорость истечения меняются медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи можно применить уравнение Бернулли.
Qdt
Sdh
;
dt
gh
S
Sdh
2 0
, где dh – изменение уровня жидкости в сосуде за время dt; μ = const. Рис. 6.6. Схема истечения через отверстие при переменном напоре Время опорожнения сосуда
0 0
2 1
h
H
h
h
dh
S
g
S
t
, где S=f(h). В данном случае S = const.
0 0
2
h
H
h
h
dh
g
S
S
t
;
gH
S
SH
t
2 Время, за которое через отверстие в сосуде вытечет количество жидкости, равное его объему при постоянном напоре H можно определить из уравнения
Qt
SH
,
gH
S
SH
Q
SH
t
2 Из сравнения соответствующих формул для времени опорожнения сосуда при разных условиях истечения видно, что при переменном напоре время опорожнения сосуда в 2 раза больше, чем при постоянном.
85
7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
7.1. Общие сведения Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия вначале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии может быть создан тем или иным способом работой насоса, благодаря разности уровней жидкости, давлением газа. Трубопровод называется простым, если он не имеет ответвлений и состоит из труб одного или нескольких диаметров. Сложный трубопровод имеет магистраль с разветвлениями в разных точках. Сложные трубопроводы делятся на разветвленные (тупиковые) и замкнутые (кольцевые. Разветвленные трубопроводы имеют магистраль (основной трубопровод, от которой из узлов (мест разветвлений трубопроводов) отходят ветви (отдельные трубопроводы) с незамкнутыми концевыми участками. Замкнутый трубопровод получается из тупикового путем замыкания концов ветвей (рис. 7.1). Рис. 7.1. Виды трубопроводов В зависимости от величины местных потерь напора все трубопроводы можно разделить на гидравлически длинные и гидравлически короткие.
Гидравлически длинные трубопроводы – трубопроводы, у которых можно пренебречь местными потерями и скоростным напором по сравнению с потерями напора по длине. В отдельных случаях местные потери, составляющие 5-
10% потерь напора по длине, могут быть учтены соответствующим коэффициентом.
Гидравлически короткие трубопроводы – трубопроводы, у которых местные потери напора соизмеримы с потерями напора по длине (более 10%). Отметим, что водопроводные сети рассчитываются как гидравлически длинные трубопроводы, а трубопроводы гидроприводов, всасывающие линии насосов и т.д. – как гидравлически короткие трубопроводы.
7.2. Простой трубопровод постоянного сечения Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве, имеет общую длину l, диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений (риса. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, считая α
1
= α
2
и исключая скоростные напоры вследствие равенства диаметров трубопровода в рассматриваемых сечениях (согласно уравнению неразрывности пот 2
1 1
1
'
h
p
z
p
p
z
или пот 2
1 где
1
p
– давление, создаваемое каким-либо источником энергии (внешней нагрузкой
'
1
p
– давление, действующее на жидкость со стороны внешней среды Пьезометрический напор, стоящий в левой части уравнения, назовем потребным напором H
потр
. Если этот напор задан, то будем его называть располагаемым напором H
расп
. Как видно из формулы, этот напор складывается из геометрической высоты
1 2
z
z
z
, на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, разности пьезометрических напоров
/
'
1 2
p
p
и суммы всех потерь в трубопроводе. Рис. 7.2. Схемы трубопроводов Обозначив
'
1 2
1 ст – статический напора пот, получим ст пот ст потр
,
(7.1) где K – коэффициент сопротивления трубопровода, m зависит от режима течения. Поясним особенность составления записанного выше уравнения Бернулли на примере течения жидкости по трубопроводу в результате поступательного движения поршня площадью S
1
(рис. 7.2 (б при этом пренебрегаем изменением длины трубопровода в результате поступательного перемещения поршня и связанной с этим изменением геометрического напора z
1
(рассматриваем уравнение Бернулли для текущего положения. В этом случаев результате поступательного движения поршня потребный напор определяется усилием F
1
, прикладываемым к поршню извне, которое, в свою очередь, преобразуется в потребный напор p
1
/γ (p
1
=F
1
/S
1
). Однако жидкость движется под действием потребного напора и пьезометрического напора
/
'
1
p
, приложенного к внешней поверхности жидкости со стороны внешней среды (в сечении 1-1), поэтому в уравнении Бернулли присутствуют оба параметра (в уравнении Бернулли используются абсолютные значения давлений. Отметим, что давление '
1
p
приложено к сечению 1-1 (поверхности поршня, граничащей с жидкостью, а не к наружной поверхности поршня, так как рассматривается объект – жидкость, а поршень к жидкости не имеет непосредственного отношения (в уравнении Бернулли фигурирует только жидкость, а другие тела отсутствуют. Таким образом, потребный напор – это дополнительный напор (или давление в этом случае вводится понятие потребного давления, который необхо-
а)
б)
87 димо создать, чтобы осуществить течение жидкости поданному трубопроводу сданным расходом, либо удержать жидкость в равновесии (если она покоится. Если жидкость в трубопроводе движется в результате поступательного перемещения поршня, расположенного вначале горизонтально расположенной трубы (z
1
= z
2
), и вытекает виз трубы в атмосферу, в этом случае ст. Если жидкость вытекает самотеком из бака в атмосферу через отверстие, расположенное ниже свободной поверхности жидкости в баке, или вытекает из бака, который наддут до давления выше давления окружающей среды, в этом случае потребный напор равен нулю (при этом ст, так как к поверхности жидкости со стороны внешних тел не прикладывается дополнительного усилия. Если выражение (7.1) с учетом последнего выражения привести к размерности давления, то получим
m
m
KQ
p
p
z
z
KQ
H
p
'
1 2
1 2
ст
1
Представим потери пот в виде пот, для этого проведем преобразования с учетом уравнения неразрывности, из которого выражается скорость
2
ср
/
4
d
Q
V
:
2 2
4 2
2
ср
2
ср
2
ср пот 2
2 2
KQ
Q
d
g
d
l
g
V
d
l
g
V
d
l
g
V
h
, откуда
4 2
8
d
g
d
l
K
,
(7.2) где л, т
– сумма коэффициентов местных потерь, при этом каждый коэффициент в общем случае представляется зависимостью
B
A
Re
/
: если вл
, то B = 0 и
Re
/
A
; если Re вл
< Re < Re нкв
, то
B
A
Re
/
; если
Re > Re нкв
, то A = 0 и Отметим, что в формуле (7.2) для упрощения записи коэффициенты местных потерь ξ приведены к скорости жидкости в трубе диаметра d. Отметим, что коэффициент K является в общем случае непостоянными зависящим от Q. Это обусловлено тем, что при изменении расхода изменяется скорость в местных сопротивлениях и трубах, поэтому изменяются коэффициенты и λ, которые зависят от Re. Коэффициент K будет постоянным, если в местном сопротивлении будет реализован режим развитого турбулентного течения (коэффициент ξ не будет зависеть от Re), а коэффициент гидравлического сопротивления трения будет определяться по формуле для области квадратичных сопротивлений (λ не будет зависеть от Re). В выражении (7.2) потери представлены в виде пот, те. m=2. Однако в случае ламинарного режима при подстановке коэффициента трения л потери на трение будут пропорциональны скорости (расходу) впервой степени, те. m=1. Для турбулентного режима течения потери на трение могут быть пропорциональны скорости (расходу) в степени 1,75 или 2 – в зависимости от области течения, по которой определяется коэффициент трения.
88 Потери полного напора в местных сопротивлениях также могут быть в зависимости от области течения пропорциональны либо скорости впервой степени, либо во второй, либо в промежуточном значении между 1 ив зависимости от числа Re и граничных значений Re вл и Re нкв для конкретного местного сопротивления. Поэтому общий характер зависимости пот будет различным в зависимости от различного вида потерь, имеющих место при течении жидкости поданному трубопроводу, те. строго параболическим (m=2) он будет не для всех трубопроводов и режимов течения. Показатель степени m для автомодельной области течения равен 2, если коэффициент трения и коэффициент местных сопротивлений определяются по зависимостям для автомодельных областей. В области течения с законом сопротивления, отличным от автомодельного, показатель степени принимает значения, близкие к двум. При расчете гидравлически длинных трубопроводов коэффициент K имеет вид (учтем увеличение потери полного напора на местных сопротивлениях, которые составляют не более 10%, поправочным коэффициентом 1,1): пот
4 2
8 1
,
1
d
g
d
l
K
(7.3) Формула (7.1), дополненная выражениями (7.2) и (7.3), является основной для расчета простых трубопроводов. На основании формулы (7.1) можно построить кривую потребного напора
(КПН) – зависимость потребного напора от расхода жидкости в трубопроводе рис. 7.3 (а,б)):
Q
f
H
потр
Рис. 7.3. Зависимости потребных напоров от расхода жидкости в трубопроводе – (а,б), схема самотечного трубопровода – (в. Чем больше расход, который необходимо подавать по трубопроводу (при неизменной геометрии трубопровода со всеми местными сопротивлениями, тем больше потребный напор (так как с увеличением расхода увеличиваются потери KQ
m
, на преодоление которых тратится энергия напора. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (или близкой к прямой при учете зависимости коэффициента местного сопротивления от Re при
Re>Re вл
), при турбулентном – параболой с показателем степени, равным двум
89 при т (область квадратичных сопротивлений) и местных сопротивлений при Re>Re нкв
) или близким к двум (при учете зависимости т и коэффициента местных сопротивлений от Re). Величина ст положительна при подъеме жидкости или при движении жидкости с повышением давления (давление в конце трубопровода больше давления вначале, и отрицательна при опускании геометрическая высота в конце трубопровода меньше геометрической высоты вначале) или движении жидкости в полость с разрежением (давление в конце трубопровода меньше давления вначале. Крутизна кривых потребного напора для ламинарного и турбулентного режимов течения зависит от коэффициента сопротивления трубопровода K. В случае самотечного трубопровода (движение жидкости происходит под действием разности геометрических высот (напоров) Н рис. в при этом за начало трубопровода принимаем свободную поверхность в верхнем резервуаре, скорость которой равна нулю (жидкость в баке по мере истечения не опускается, так как площадь бака в общем случае принимается равной бесконечности, что позволяет из уравнения неразрывности принять скорость жидкости равной нулю давление вначале и конце трубопровода равно атмосферному, поэтому потребный напор равен нулю) при истечении жидкости в атмосферу (а не подуровень, в уравнение Бернулли к потерям напора добавляется скоростной напор. При истечении подуровень скоростного напора в уравнении Бернулли нет, но добавляются потери при выходе жидкости из трубопровода.
m
V
m
m
KQ
Q
K
KQ
Q
d
g
KQ
g
V
H
H
2 2
4 2
2 2
2 ст 2
, где
4 2
2 Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс
0
ст
H
H
(точка А – рис. в) определяет расход жидкости при движении самотеком. Часто вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода (ХТ). Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода
Q
f
h
пот
Таким образом, характеристика трубопровода представляет собой кривую потребного напора, совмещенную с началом координат. Кривая потребного напора начинается от ст, так как при Q=0 H
потр
= ст характеристика трубопровода начинается из 0, так как при Q=0 потери полного напора равны 0. Рассмотрим три возможные задачи при расчете простого трубопровода. Задача 1. Исходные данные расход Q, давление в конце трубопровода p
2
, геометрические высоты z
1
и z
2
, свойства жидкости (ρ, ν), размеры трубопровода, а также материал и качество поверхности трубы (шероховатость. Найти потребный напор H
потр
Решение.
1. Пои находят скорость течения V.
90 2. По V, ν, d определяют Re и режим течения.
3. Пои шероховатости
определяют коэффициент потерь на трение λ.
4. По соответствующим формулам (или опытным данным) оценивают местные сопротивления.
5. Решают основное уравнение (7.1) с учетом (7.2) и (7.3). Задача 2. Исходные данные располагаемый напор H
расп
, z
1
и z
2
, p
2
, свойства жидкости, все размеры и шероховатость трубопровода. Найти расход Q'. Решение. В общем случае решение различно для ламинарного и турбулентного режимов течения. Для простоты для ламинарного и турбулентного режимов течения решать задачу будем единообразно. При турбулентном и ламинарном течении (коэффициент местных сопро- тилвений в общем случае равен
B
A
Re
/
) задачу можно решать методом последовательных приближений или графоаналитическим способом. Рассмотрим графоаналитический способ при турбулентном режиме (при ламинарном режиме отличие будет заключаться в использовании других зависимостей для ли. Для решения задачи графоаналитическим способом строят КПН H
потр
= f(Q) для данного трубопровода с учетом переменности т и коэффициента местных потерь
при изменении расхода Q, те. считая расход заданным для получения конкретного потребного напора при конкретном расходе для ряда значений Q вычисляются потребные напоры, данные значения откладываются на графике и соединяются линией, которая и будет КПН. При этом задачу необязательно решать в форме выражения (7.1), можно использовать обычное уравнение Бернулли, в котором формулы Дарси и Вейсбаха записываются через средние скорости, а не через расходы. Отметим, что минимальное (первое) значение Q задается такое (методом проб и ошибок, чтобы потребный напор для этого расхода оказался меньше располагаемого, а при максимальном расходе Q потребный расход должен быть больше располагаемого. Для определения искомого расхода проводят горизонтальную прямую, имеющую значение H
расп
, до пересечения с построенной
КПН, после чего находят точку пересечения прямой и КПН, абсцисса данной точки и будет искомым расходом Q'. Задача 3. Исходные данные расход Q, располагаемый напор H
расп
, свойства жидкости, z
1
, z
2
, p
2
, и все размеры трубопровода, кроме диаметра. Найти диаметр трубопровода d'. Решение. Задача решается аналогично задаче 2, отличие заключается в том, что в качестве переменного задаваемого параметра вместо расхода Q будет выступать диаметр d. Задаваясь рядом значения диаметра d, вычисляются потребные напоры, значения которых откладываются на графике, при этом по оси абсцисс откладывается диаметр d. Полученные точки соединяются в кривую, а дальше аналогично ищется точка пересечения горизонтальной прямой, имеющее значение H
расп
, с полученной кривой, абсцисса данной точки и будет искомым диаметром d'.
7.3. Соединение простых трубопроводов Последовательное соединение соединение нескольких труб переменного диаметра) Последовательное соединение трубопроводов представлено на рис. 7.4. Очевидно, что при подаче жидкости расход во всех трубах будет один и тот же, а полная потеря напора между точками M и N равна сумме потерь напора пот во всех последовательно соединенных трубах, те. имеем следующие основные уравнения
const
Q
Q
l
; пот
n
r
r
l
h
h
1
,
(7.5) где k – количество участков трубопровода
l
h
– суммарные потери на участке трубопровода l; n – количество потерь на местных сопротивлениях и потери на трение по длине трубопровода l (в каждом трубопроводе. В данном случае (см. рис. 7.4):
Q
Q
Q
Q
3 2
1
;
3 пот
1 Эти уравнения определяют правило построения характеристик последовательно соединенных труб. Пусть даны характеристики трубопроводов 1, 2 ирис (б. Чтобы построить суммарную характеристику всего последовательного соединения M-N, следует в соответствии с выражение (7.5) сложить потери напора при одинаковых расходах, те. сложить ординаты всех трех кривых при равных абсциссах. Другими словами, для получения суммарной характеристики последовательно соединенных трубопроводов необходимо при одинаковых расходах сложить потери. Рис. 7.4. Последовательное соединение трубопроводов
Для определения потребного напора в точке M необходимо к суммарной характеристике трубопровода пот в соответствии с уравнением (7.1) прибавить статический напор ст (в данном примере
M
N
z
z
, ист, где
M
p'
– давление внешней среды в точке (сечении) М. Если разностью скоростных напоров вначале и конце трубопровода пренебречь, то получим выражение для потребного напора в следующем виде ст потр 'Параллельное соединение трубопроводов Для простоты предположим, что трубопроводы расположены в горизонтальной плоскости – см. рис. 7.5. Обозначим средние полные напоры в точках
M и N соответственно через полн и полн, расход в основной магистрали (те. до разветвления) через – Q, а в параллельных трубопроводах – через Q
1
, Q
2
и
Q
3
; суммарные потери напора (в местных сопротивлениях и на трение) в этих трубопроводах – через
h
1
,
h
2
и Запишем следующее очевидное уравнение
k
l
l
Q
Q
1
,
(7.6) где k – количество трубопроводов вместе разветвления. Рис. 7.5. Параллельное соединение трубопроводов В данном случае количество трубопроводов вместе разветвления 3 (см. риса Рассмотрим параллельный трубопровод, состоящий из двух ветвей (рис. в. В сечении M-M давления p
M
и действуют на две ветви одинаково. Геометрический напор z
M
действует также одинаково (на рисунке не показан. Скоростные напоры также действуют на две ветви одинаково. В сечении N-N аналогично пьезометрические, геометрические и скоростные напоры действуют на две ветви одинаково. Это позволяет составить уравнения Бернулли для двух ветвей независимо друг от друга, используя параметры в сечениях M-M и N-N. Те же выводы относительно составления уравнения Бернулли справедливы и для большего числа ветвей, поэтому составим уравнения Бернулли для трех ветвей. Составим уравнение Бернулли для первой ветви
1 2
ср
2
ср
2 2
'
h
g
V
p
z
g
V
p
p
z
N
N
N
N
M
M
M
M
M
, где
h
1
– потери полного напора впервой ветви. Полные средние напоры в начальном и конечном сечениях равны
g
V
p
p
z
H
M
M
M
M
M
M
2
'
2
ср полн
g
V
p
z
H
N
N
N
N
N
2 2
ср полн, после чего представим предыдущее выражение в виде полн полн
h
H
H
N
M
Уравнения Бернулли для остальных ветвей будут иметь вид полн полн полн полн
h
H
H
N
M
В общем виде уравнение Бернулли для любой ветви будет иметь вид полн полн,
(7.7) откуда полн полн полн полн полн полн полн полн
3
N
M
H
H
h
Отсюда
const
h
l
или в данном случаете. потери в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде через соответствующие расходы
const
Q
K
h
l
m
l
l
l
,
(7.8) где K
l
и m
l
– определяются в зависимости от режима течения пои. В данном случае
1 1
1 1
m
Q
K
h
;
2 2
2 2
m
Q
K
h
;
3 3
3 На основании последних выражений можно записать следующее
3 2
1 3
3 2
2 Из последних выражений следует, что при параллельном соединении трубопроводов расходы между ветвями распределяются таким образом, чтобы обеспечить равенство потерь в этих ветвях. В случае равенства коэффициентов сопротивления трубопроводов
(K
1
=K
2
=K
3
) расходы в ветвях будут равны (Q
1
=Q
2
=Q
3
). Если K
1
>K
2
>K
3
, то
Q
1
<Q
2
<Q
3
94 Система уравнений (7.6), (7.7) и (7.8) позволяет решать, например, следующую типичную задачу даны расход в основной магистрали Q, свойства жидкости, шероховатость труб, местные сопротивления и все размеры трубопроводов требуется определить расходы в параллельных трубопроводах Q
l
и потребный напор H
потр
. Другой задачей является определение диаметров трубопроводов, если известен расход в основной магистрали Q. При параллельном подключении трубопроводов число уравнений равно числу неизвестных. Выразим потери напора в каждом из трубопроводов через средние полные напоры в точках M ив общем случае (пренебрежем для простоты разностью скоростных напоров в сечениях) и определим потребный напор H
M
:
l
N
N
M
M
M
h
p
z
p
p
z
'
; Н
l
m
l
l
M
Q
K
H
Н
ст
Из уравнений (7.6) и (7.8) вытекает следующее важное правило для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (потерях –
h
l
). Другими словами, для получения суммарной характеристики параллельно соединенных трубопроводов необходимо при одинаковых потерях сложить расходы. Для определения потребного напора в точке M необходимо к суммарной характеристике трубопровода пот в соответствии с уравнением (7.1) прибавить статический напор ст (в данном примере
M
N
z
z
, ист. Изложенные соотношения и правила для параллельных трубопроводов справедливы в том случае, когда трубопроводы не сходятся водной точке N, а подают жидкость в разные места, нос одинаковыми пьезометрическими и геометрическими напорами (разветвленный трубопровод – см. ниже. Другими словами, разветвленный трубопровод можно считать параллельным, если геометрические и пьезометрические напоры в конце каждой ветви равны между собой. Перечисленные выше задачи можно решить графоаналитически. Для построения суммарной КПН надо, задаваясь расходом, построить характеристики отдельных трубопроводов (
l
l
Q
f
h
) и сложить абсциссы расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах потерях. После этого к суммарной характеристике трубопроводов надо прибавить статический напор ст, в результате чего будет получена суммарная кривая потребного напора параллельного соединения. По известному суммарному расходу в главной магистрали можно определить потребный напори расходы в ветвях. Для этого надо после построения суммарной КПН провести вертикальную линию, соответствующую значению известного суммарного расхода, и найти соответствующую точку пересечения этой прямой и суммарной КПН (ордината точки – интересующий потребный напор, после чего найти точку пересечения данной вертикальной прямой и суммарной характеристики трубопровода, и провести горизонтальную линию
95 через эту точку до пересечения с характеристиками отдельных трубопроводов абсциссы этих точек – расходы в параллельных ветвях. Если требуется по располагаемому напору определить требуемый расход в главной магистрали ив ветвях, нужно после построения суммарной КПН провести горизонтальную линию, имеющую значение, равное располагаемому напору, и найти соответствующую точку пересечения этой прямой и КПН, после чего провести вертикальную линию через данную точку до оси абсцисс и найти точку пересечения данной прямой с суммарной характеристикой трубопровода (абсцисса данной точки будет суммарным расходом в главной магистрали через эту точку провести горизонтальную линию до пересечения с характеристиками интересующих трубопроводов – абсциссы данных точек и будут интересующими расходами в параллельных ветвях. Разветвленное соединение Условимся называть разветвленным соединением совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления (или смыкания) труб. Разветвленное соединение представлено на рис. 7.6. Найдем связь между потребным напором
/
M
M
p
H
в точке Ми расходами в трубопроводах, считая направление течения в них заданным. Также, как и для параллельных трубопроводов, будем иметь Для данного трубопровода (см. рис. 7.6) запишем последнее уравнение
3 Рис. 7.6. Разветвленное соединение трубопроводов В точке разветвления (сечение M-M, на риса) данное сечение обозначено, как M), как ив случае параллельного соединения (см. рис. в, геометрический и пьезометрический напоры действуют на ветви одинаково. Отличие от параллельного соединения заключается в том, что в конечных ветвях геометрические и пьезометрические напоры между собой будут различаться в общем случае скоростной напор в сечении M-M можно считать одинаковым для
96 всех ветвей. Все это позволяет записать уравнения Бернулли для ветвей независимо друг от друга. Запишем уравнение Бернулли для точки Ми конечного сечения какого- либо трубопровода, обозначенного в общем случае индексом l (пренебрегаем разностью скоростных напоров для простоты, так как уравнения Бернулли для каждой ветви будут отличаться в правых частях только разными геометрическими напорами (z
1
, z
2
, z
3
), пьезометрическими напорами (p
1
/γ, p
2
/γ, p
3
/γ) и потерями, что отражается в различных индексах у этих слагаемых Откуда потребный напор в точке M будет равен Н или
l
m
l
l
l
M
Q
K
H
Н
ст
Для данного трубопровода запишем последнее уравнение для боковых ветвей (см. рис. 7.6):
1 1
1 1
ст
m
M
Q
K
H
Н
;
2 2
2 2
ст
m
M
Q
K
H
Н
;
3 3
3 3
ст
m
M
Q
K
H
Н
, где
M
M
p
p
z
z
H
'
1 ст,
M
M
p
p
z
z
H
'
2 ст,
M
M
p
p
z
z
H
'
3 3
3
ст
Отсюда, в частности, имеем следующие равенства
3 2
1 3
3 ст ст ст, при этом при записи статических напоров в развернутом виде z
M
ив данных равенствах сокращаются. Из последних выражений следует, что при разветвленном соединении трубопроводов расход в ветвях распределяется таким образом, чтобы обеспечить равенство потребных напоров. Также из последних выражений следует правило построения суммарной кривой потребного напора разветвленного трубопровода для получения суммарной кривой потребного напора (не суммарной характеристики трубопровода, как в двух выше рассмотренных случаях) необходимо при одинаковых потребных напорах сложить расходы (рис. 7.6). Кривая потребного напора для всего разветвления обозначена буквами ABCD. Из графика видно, что условием подачи жидкости вовсе ветви является неравенство H
М
>H
ст1
. В частности, при значении потребного напора меньше величины ст будет работать только третья ветвь, через остальные ветви жидкость течь не будет, так как потребного напора не хватит, чтобы преодолеть статические напоры в этих ветвях. Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными и H
М
Основной задачей по расчету разветвленного трубопровода является следующая даны расход в точке М, все размеры ветвей, включая геометрические высоты, давления в конечных точках и все местные сопротивления. Требуется определить расходы
3 2
1
Q
,
Q
,
Q
, а также потребный напор М
97 Данная задача решается графоаналитическим методом строятся КПН, которые складываются по правилу для разветвленного соединения трубопроводов при одинаковых потребных напорах складываются расходы проводится вертикальная линия, имеющая абсциссу, равную значению суммарного расхода в точке M, после чего ищется точка пересечения этой линии с суммарной КПН, ордината этой точки даст искомый потребный напор. Через последнюю точку проводится горизонтальная прямая, и ищутся точки пересечения этой прямой с
КПН ветвей, абсциссы этих точек и будут искомыми расходами. Если разностью скоростных напоров не пренебрегать, то получим следующие выражения для потребных напоров ветвей
l
l
l
l
l
M
M
M
M
M
h
p
g
V
z
g
V
p
p
z
2
ср
2
ср
2 2
'
;
l
M
M
l
l
M
l
M
l
M
M
h
g
V
V
p
p
z
z
p
Н
2
ср
2
ср
2
'
;
l
m
l
l
l
l
l
M
Q
K
Q
C
H
Н
2
ст
,
4 4
2 1
1 Для данного трубопровода для двух боковых ветвей будем иметь
2 2
ср
2 2
ср
2 2
2 1
2
ср
2 1
ср
1 1
1 2
'
2
'
h
g
V
V
p
p
z
z
h
g
V
V
p
p
z
z
M
M
M
M
M
M
M
M
;
2 1
2 2
2 2
ср
2 2
2 1
1 2
1
ср
1 1
1 2
2
m
m
Q
K
g
V
p
z
Q
K
g
V
p
z
7.4. Сложные трубопроводы Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательными параллельным их соединением или разветвлением. Разомкнутый сложный трубопровод Рассмотрим разомкнутый трубопровод (рис. 7.7) с разветвлениями и раздачей жидкости в конечных сечениях (точках) ветвей. Рис. 7.7. Разомкнутый сложный трубопровод Магистральный трубопровод разветвляется в точках Аи С. Жидкость подается к точкам сечениями с соответствующими расходами (см. рис.
7.7). Пусть известны размеры магистрали и всех ветвей (простых трубопроводов, заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек (B, D, E), отсчитываемые от плоскости M-N, проведенной через начальную точку трубопровода, и давления в конечных точках p
B
, p
D
и p
E
. В этом случае могут быть две основные задачи по расчету указанного трубопровода. Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали M-A. Определить расходы в каждой ветви Q
B
, Q
D
и Q
E
, а также потребный напор в точке М
/
M
M
p
Н
Задача 2. Дан располагаемый напор в точке М – расп
M
Н
. Определить расход в основной магистрали Q и расходы в каждой ветви. Обе задачи решаются на основе одной и той же системы уравнений, число которых на единицу больше числа конечных ветвей, а именно (при расчете идем от конечных точек к начальной, те. против течения жидкости
– уравнение расходов
E
D
C
Q
Q
Q
;
E
D
B
Q
Q
Q
Q
– равенства потребных напоров для ветвей CD и CE НС = const):
CD
m
D
CD
D
D
M
C
C
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
CE
m
E
CE
E
E
M
C
C
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
CD
m
D
CD
M
D
C
D
C
C
Q
K
p
p
z
z
p
H
/
'
/
; ст ист, где ст,
/
'
E
ст
M
E
C
E
p
p
z
z
H
В выражениях для потребных напоров в качестве пьезометрического напора на свободной поверхности жидкости со стороны входа используется
/
'
M
p
, так как этот пьезометрический напор передается вовсе точки жидкости без изменения со стороны входа в трубопровод. Окончательно имеем
CE
CD
m
E
CE
m
D
CD
Q
K
H
Q
K
H
E
ст
D
ст и Если
oc
E
D
p
p
p
, то Равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода
ACED НА
= const):
AB
m
B
AB
B
B
M
A
A
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
AC
CD
m
C
AC
m
D
CD
D
D
M
A
A
Q
K
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
;
/
'
/
'
/
AC
CD
AB
m
C
AC
m
D
CD
M
D
A
D
m
B
AB
M
B
A
B
A
A
Q
K
Q
K
p
p
z
z
Q
K
p
p
z
z
p
H
AC
CD
AB
m
C
AC
m
D
CD
m
B
AB
Q
K
Q
K
H
Q
K
H
D
ст
B
ст или, учитывая
E
D
C
Q
Q
Q
,
AC
CD
AB
m
E
D
AC
m
D
CD
m
B
AB
Q
Q
K
Q
K
H
Q
K
H
D
ст
B
ст
В правой части равенства стоит сумма потерь
AC
CD
m
E
D
AC
m
D
CD
Q
Q
K
Q
K
, так как трубопроводы AC и CD представляют собой последовательное соединение, при котором потери суммируются. Выражение для потребного напора в точке М
99
AB
MA
AB
MA
m
B
AB
m
C
B
MA
m
B
AB
m
MA
M
M
Q
K
H
Q
Q
K
Q
K
H
Q
K
p
H
B
ст
B
ст
/
Определим отдельно потребный напор для точки А (давление p
Са
– абсолютное
/
'
/
а
M
C
m
A
AC
C
A
A
p
p
Q
K
z
p
H
AC
Потребный напор в точке С Уравнение Бернулли для трубопровода CD будет иметь вида
CD
m
D
CD
D
C
D
C
Q
K
p
z
z
p
/
/
а
Выразим потребный напор в точке Ас учетом последнего выражения
CD
AC
m
D
CD
M
D
C
D
m
A
AC
C
A
A
Q
K
p
p
z
z
Q
K
z
p
H
/
'
/
, откуда Из последнего выражения следует, что для промежуточных ветвей в выражение для определения потребного напора статический напор (сего составляющими и p
C
/γ) не входит. Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, тес применением кривых потребного напора или характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора H
потр для всего сложного трубопровода можно построить следующим образом
1. сложный трубопровод разбить наряд простых (MA, AB, AC, CD, CE);
2. построить КПН для каждого из простых трубопроводов, причем для ветвей с конечной раздачей (AB, CD, CE) – с учетом статического напора ста для промежуточных участков (АС, МА) – без учета ст, те. характеристики трубопроводов (в данном подразделе ХТ можно считать и КПН);
3. складываем полученные кривые в направлении против течения, те. от конечных точек к начальной сложить КПН для ветвей (и параллельных линий
– если они имеются) по правилу сложения потребных напоров разветвленных параллельных) трубопроводов (КПН ветви CD сложить с КПН ветви CE как разветвленное соединение, те. при постоянных потребных напорах сложить расходы
4. полученную таким образом суммарную КПН сложить с характеристикой последовательно соединенного трубопровода AC по правилу сложения последовательно соединенных трубопроводов (при постоянных расходах сложить потребные напоры суммарной КПН с потерями характеристики ветви AC). Отметим, что при сложении суммарной КПН с ХТ как последовательно соединенных трубопроводов, в отличие от выше рассмотренного правила получения суммарной ХТ, в данном случае складывается КПН и ХТ, а не характеристики трубопроводов. Руководствуясь этим правилом, можно построить кривую потребного напора для любого сложного трубопровода как при ламинарном, таки при турбулентном режимах течения. Кривая потребного напора H
потр необходима для расчета сложного трубопровода с насосной подачей.
100
7.5. Трубопроводы с насосной подачей жидкости Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом и принцип расчета трубопровода с насосной подачей жидкости. Трубопровод с насосной подачей может быть разомкнутым (жидкость перекачивается из одной емкости в другую) или замкнутым (кольцевым. Рассмотрим разомкнутый трубопровод. Высота расположения оси насоса H
1
относительно нижнего уровня, откуда засасывается жидкость (сечение 0-0), называется геометрической высотой всасывания, а трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу всасывающим трубопроводом (рис. 7.8). Высота расположения конечного сечения трубопровода, или верхнего уровня жидкости H
2
(сечение 3-3), называется геометрической высотой нагнетания, а трубопровод, по которому жидкость движется от насоса напорным. Составим уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе, те. для сечений 0-0 и 1-1 (принимая α = 1):
1 0
2 1
1 1
0 2
h
g
V
p
H
p
,
(7.9) где
1 0
h
– потери при движении жидкости во всасывающем трубопроводе. В уравнении Бернулли в сечении 0-0 отсутствует скоростной напори, так как подразумевается, что уровень жидкости в баке при перекачивании ее насосом не опускается, что позволяет считать параметры течения жидкости и работы насоса неизменными во времени. Скорость опускания жидкости в баке б конечных размеров при перекачивании ее насосом с расходом Q можно определить из уравнения неразрывности б б
б
; б
б
S
Q
V
, где б – площадь поперечного сечения бака в сечении 0-0; h – высота опускания жидкости в баке за время Δt. Рис. 7.8. Трубопроводы с насосной подачей Уравнение (7.9) является основным для расчета всасывающих трубопроводов. Оно показывает, что подъем жидкости на высоту H
1
(преодоление гидравлических сопротивлений, сообщение жидкости кинетической энергии) происходит за счет использования насосом давления p
0
. Для безкавитационной работы насоса необходимо, чтобы перед входом в насос давление p
1
было не меньше минимально допустимого значения доп, те. p
1
≥ p
1доп
В подавляющем большинстве случаев минимально допустимое давление жидкости перед входом в насос в 20-40 и более раз больше давления насыщенных паров жидкости (доп
≥(20-40)p
нп
). Это связано стем, что в силу конструктивных особенностей насосов основное падение давления происходит у рабочих элементов насоса (например, ушестеренного насоса – во впадинах зубьев, поэтому кавитация возникает именно там. Измерить давление, например, во впадинах зубьев шестеренного насоса очень сложно, поэтому расчетными экспериментальным путями определяется минимально допустимое давление жидкости перед входом в насос доп, обеспечивающее бескавитационную работу последнего (например, определяется значение давления перед входом в насос, при котором происходит нарушение линейной зависимости между действительной производительностью насоса и частотой вращения его вала при увеличении частоты последнего, и это значение указывается в характеристике (паспорте) насоса. Возможны следующие задачи на расчет всасывающего трубопровода. Задача 1. Даны все размеры трубопровода, высота всасывания H
1
, свойства жидкости, расход и требуется найти абсолютное давление p
1
перед входом в насос. Абсолютное давление p
1
, полученное по уравнению (7.9):
1 0
2 1
1 0
1 2
h
g
V
H
p
p
, сравнивают с давлением, которое является минимально допустимым для этого случая (это значение должно быть больше минимально допустимого давления перед входом в насос, те. p
1
≥ p
1доп
Задача 2. Дано минимально допустимое значение давления перед входом в насос доп и требуется найти одну из следующих предельно допустимых величин. В общем случае задача решается графоаналитиче- ским методом (см. выше. При расчетах всасывающего трубопровода иногда указывается вакууммет- рическая высота всасывания H
вак
, которая представляет собой разницу давления со стороны свободной поверхности засасываемой насосом жидкости и давления перед входом в насос при течении жидкости по всасывающему трубопроводу
1 0
2 1
1 1
0
вак
2
h
g
V
H
p
p
H
Это значение должно быть меньше допустимой вакуумметрической высоты всасывания доп вак
H
данного насоса приданной производительности, которая указывается в характеристиках (паспорте) насоса, те. доп вак вак
H
H
Насос для обеспечения течения жидкости поданному трубопроводу с заданным расходом выбирается таким образом, чтобы при заданном расходе напор насоса был больше или равен потребному напору трубопровода (для проталкивания жидкости по трубопроводу с заданным расходом, а также
102 должно быть выполнено условие доп вак вак
H
H
(для обеспечения бескавитацион- ной работы. Введем понятие напор насоса. Напор насоса нас – приращение энергии жидкости в насосе он равен разности напоров после насоса H
вых и передним
H
вх
, те. нас H
вых
– H
вх
Энергия жидкости перед входом в насос и на выходе из него равна сумме пьезометрического и скоростного напоров. Определим напор насоса нас. Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости по всасывающему трубопроводу, те. для сечений 0-0 и 1-1 (см. уравнение) и выразим из него энергию жидкости перед насосом
1 0
2 1
1 1
0 2
h
g
V
p
H
p
;
1 0
1 0
2 1
1 2
h
H
p
g
V
p
;
1 0
1 0
вх
h
H
p
H
(7.10) Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости по напорному трубопроводу, те. для сечений 2-2 ив сечении 3-3 скоростной напор равен нулю для обеспечения постоянства высоты H
2
):
3 2
3 2
2 2
2 2
h
p
H
g
V
p
;
3 2
3 2
вых
h
p
H
H
Для нахождения нас вычтем из последнего выражения выражение (7.10):
3 2
1 0
0 3
2 1
2 1
1 2
2 нас 2
h
h
p
p
H
H
g
V
p
g
V
p
H
, или
m
KQ
p
p
z
H
0 нас,
(7.11) где
2 1
H
H
z
– полная геометрическая высота подъема жидкости
m
KQ – сумма гидравлических потерь во всасывающем и напорном трубопроводах,
3 2
1 0
3 Последнее уравнение можно переписать в виде ст нас,
(7.11') где
0 3
ст
p
p
z
H
Сравнивая выражение (7.11') с выражением (7.1), приходим к выводу, что потр нас) При установившемся течении жидкости в трубопроводе насос развивает напор, равный потребному. Другими словами, насос развивает ровно такой
103 напор, который требуется на проталкивание жидкости поданному трубопроводу сданным расходом, не больше и не меньше. На равенстве (7.12) основывается метод расчетов трубопроводов, питаемых насосом, который заключается в совместном построении водном и том же масштабе и на одном графике двух кривых кривой потребного напора трубопровода
Q
f
H
H
1
потр нас и характеристики насоса
Q
f
H
2
хар
, которая приводится в специальных каталогах и паспорте насоса, – и нахождении их точки пересечения (риса. Характеристикой насоса называется зависимость напора (давления, создаваемого насосом, от его производительности (объема жидкости, перекачиваемого насосом в единицу времени) при постоянной частоте вращения вала насоса. Отметим, что характеристика насоса – это не напор насоса, определенный по выражению (7.11). Рис. 7.9. Графическое нахождение рабочей точки В точке пересечения кривой потребного напора и характеристики насоса точка А) имеем равенство между потребным напором и напором, создаваемым насосом, те. равенство (7.12). Эта точка называется рабочей точкой, так как всегда реализуется режим работы насоса, ей соответствующей. Таким образом, рабочая точка – это точка пересечения характеристики насоса и кривой потребного напора трубопровода. Чтобы получить другую рабочую точку, необходимо или изменить открытие регулировочного крана, те. изменить характеристику трубопровода, или изменить частоту вращения вала насоса. Указанный расчетный прием для нахождения рабочей точки применим в том случае, когда частота вращения привода насоса не зависит от мощности им потребляемой, те. от нагрузки навалу насоса. В случае если расход жидкости, получаемый в рабочей точке, при ее перекачивании насосом не устраивает (например, недостаточный, а параметры трубопровода (сам трубопровод) менять нецелесообразно, то нужно взять насос с другой характеристикой. В общем случае рабочая точка будет изменяться, если будут меняться параметры трубопровода, статический напори параметры насоса (как частота вращения, таки тип насоса. Рассмотрим определение величины потерь на задвижке зад, установленной на напорном трубопроводе после насоса, при расчете трубопроводов с а) б)
104 насосной подачей (см. рис. 7.11, либо риса, на котором задвижка не обозначена. Считаем, что вначале расчетов задвижка полностью открыта, те. ξ=0. Для требуемого расхода Q
тр определяем расчетный потребный напор
H
потр_р
, выбираем насос (его характеристика показана на графике – см. рис. б) с учетом рекомендаций, указанных выше строим КПН, пересекающую характеристику насосав рабочей точке А, в которой расход Q
A
оказывается больше требуемого. Для уменьшения расхода до значения Q
тр увеличиваем значение коэффициента местных потерь задвижки ξ до тех пор, пока новая КПН, имеющая большую кривизну, не пересечет характеристику насосав точке B, абсцисса которой равна Q
тр
, при этом действительный потребный напор будет равен H
потр_д
. Величина местных потерь на задвижке зад будет равна величине отрезка BC, те. Δh
зад
=H
потр_д
–H
потр_р
. В частности, при построении линии полного напора в сечении 2-2 с учетом потерь на задвижке зад напор на выходе из насоса будет равен H
вых
=H
вх
+H
потр_д см. рис. 7.11). Для замкнутого трубопровода геометрическая высота подъема жидкости равна нулю (Δz = 0), следовательно, при V
1
= V
2
:
1 пот потр
p
p
h
H
, те. между потребным напором и напором, создаваемым насосом, справедливо тоже равенство. Замкнутый трубопровод обязательно должен иметь расширительный (компенсационный бачок, соединенный с одним из сечений трубопровода, чаще всего с сечением у входа в насос, где давление имеет минимальное значение рис. б. Без этого бачка абсолютное давление внутри замкнутого трубопровода было бы неопределенным, а также переменным в связи с колебаниями температуры и утечками. При наличии расширительного бачка, присоединенного к трубопроводу, давление перед входом в насос
0 По величине p
1
можно подсчитать давление в любом сечении замкнутого трубопровода. Если давление в бачке p
0
изменится на некоторую величину, то во всех точках системы давление изменится на туже самую величину. Бачок можно включить в замкнутый трубопровод в область нагнетания трубопровод внутри бачка при этом должен иметь разрыв.
2 1
z
z
) (рис. 4.2). Рис. 4.2. Схема ламинарного течения жидкости в трубе Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока жидкости пот 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
h
g
V
p
z
g
V
p
z
ср
ср
(4.2) Запишем основные соотношения, учитывая, что
2 1
и
2 1
z
z
r
0
p
1
r
y Профиль скорости (параболический)
p
2
l
τ
τ Эпюра касательных напряжений
х
52
S
V
S
V
Q
ср
ср
2 1
,
2 1
ср
ср
V
V
,
тр
2 1
p
p
p
h
f
, где Δp
тр
– перепад давлений, обусловленный силами трения
f
h
– потери полного напора при движении жидкости.
Спроецируем силы на ось движения жидкости
0 2
2 2
2 и выразим из последнего уравнения
:
l
r
p
2
тр
или
l
r
h
f
2
(4.3) Получили уравнение (4.1), но при движении жидкости вдоль горизонта. Определим распределение скоростей по сечению. По закону Ньютона
dy
dV
(
– динамической коэффициент вязкости так как dy=-dr то
dr
dV
(4.4) Приравняем (4.3) и (4.4), а затем выразим скорость V:
l
r
p
dr
dV
2
тр
;
rdr
l
p
dV
2
тр
;
rdr
l
p
dV
r
r
V
0 2
тр
0
; откуда
2 2
0
тр
4
r
r
l
p
V
Окончательно имеем
2 0
2 0
тр
1 4
r
r
l
r
p
V
или
2 0
2 0
1 4
r
r
l
r
h
V
f
(4.5) Из формулы (4.5) видно, что изменение скорости потока по живому сечению происходит по параболическому закону. Максимальная скорость на оси струи
l
r
p
V
m
4 2
0
тр или
l
d
p
V
m
16 2
тр
,
(4.6) где d=2r
0
– диаметр трубы. Рис. 4.3. Схема к ламинарному течению жидкости в трубе Для определения расхода потока в трубе выделим элементарное кольцо толщиной dr, тогда элементарный расход через выделенное кольцо будет
dr
V
m
V
r
0
V
ср
53
rdr
r
r
l
p
VdS
dQ
2 4
2 2
0
тр
Проинтегрировав последнее выражение по r в пределах от 0 дополучим выражение для расхода
l
r
p
Q
8 4
0
тр
Зная расход, можно определить среднюю скорость потока
S
Q
V
cp
;
2 0
r
S
;
l
r
p
V
cp
8 2
0
тр или
l
d
p
V
cp
32 2
тр
(4.7) Из сравнения (4.7) с (4.6) видно, что при ламинарном движении потока средняя скорость в трубе в 2 раза меньше максимальной (рис. 4.3):
2
m
ср
V
V
Перепишем (4.7) в виде
l
d
h
V
f
cp
32 2
, выразим из этого выражения
cp
f
V
d
l
h
2 32
(4.8) Но
/
v
, где v – кинематический коэффициент вязкости, Умножив числитель и знаменательна, получим
g
V
d
l
d
V
v
h
cp
cp
f
2 64 Учитывая, что
v
d
V
cp
Re и обозначив л,
(4.9) окончательно получим формулу для определения потерь полного напора при ламинарном движении жидкости (формула Дарси):
g
V
d
l
h
cp
f
2 л,
(4.10) где л – коэффициент гидравлических сопротивлений трения (коэффициент потерь на трение) при ламинарном течении. Из формулы (4.10) видно, что потери
h
f
при ламинарном движении пропорциональны средней скорости впервой степени, т.к. л
= f (Re
-1
) = f (V
ср
-1
). Если в (4.8) представить
4
/
2
d
Q
V
cp
, то получим формулу Пуайзеля:
54
Q
g
d
l
Q
d
l
h
f
4 4
128 128
или
2 32
gd
lV
h
cp
f
(4.12) В установившемся ламинарном течении потери полного напора, вызванные трением, прямо пропорциональны расходу (средней скорости) жидкости. Определим значение коэффициента неравномерности данного потока. Учитывая, что
2
m
ср
V
V
;
2 0
2 0
2 0
тр
1 1
4
r
r
V
r
r
l
r
p
V
m
,
rdr
dS
2
, получим
2 1
2 1
1 8
8 1
0 0
0 0
4 2
0 0
2 0
3 2
0 2
0 3
0 2
3 2
0 3
3 3
r
r
m
r
m
ср
S
r
r
r
r
d
r
r
r
V
dr
r
r
V
S
V
dS
V
Часто формулу (4.10) для ламинарного и турбулентного течений для труб некруглой формы сечения записывают через гидравлический диаметр D. Для определения сопротивления труб некруглой формы вводят специальные поправки в коэффициент гидравлического сопротивления трения λ, учитывающие влияние формы поперечного сечения труб. При этом часто коэффициент сопротивления трения труб некруглого сечения н проще определять введением в формулы для труб круглого сечения соответствующих поправочных коэффициентов (для обоих режимов течения) н н н, где л
т
,
– коэффициент сопротивления трения труб круглого сечения притом же числе Рейнольдса (режиме течения
d
V
D
V
cp
cp
Re
; н – поправочный коэффициент, учитывающий влияние формы поперечного сечения трубы (
нл
k
– для ламинарного и нт
k
– для турбулентного течений. В последней формуле для определения Re D=d, так как подразумевается, что жидкость течет по всему живому сечению трубы. Потери полного напора при ламинарном течении для труб некруглой формы сечения
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
нл
,
(4.11) где
Re
64
нл л
нл нл
k
k
, при этом
55 Например, для труб квадратной формы сечения при Re < 2300 89
,
0
нл
k
и
Re
57
Re
64 89
,
0
нл
Поясним сказанное на примере ламинарного режима течения. Выражение
(4.9) выведено для трубы круглого сечения при ее работе полным сечением, а необходимо вычислить коэффициент λ
нл для канала некруглого сечения (тоже при работе полным сечением. В этом случае поступают так вычисляют гидравлический диаметр D канала некруглого сечения, по нему вычисляют число
Рейнольдса
/
Re
D
V
cp
, в случае Re<2300 используют формулу (4.9), те. подставляют в нее вычисленное Re, а затем домножают полученный результат на поправочный коэффициент в зависимости от формы канала. Потери полного напора вычисляются по выражению (4.11). Аналогично вычисляется коэффициент λ
нт для труб некруглого сечения ив случае турбулентного режима течения, однако зависимости для вычисления коэффициента т для труб круглого сечения будут свои – см. ниже. Часто для труб некруглой формы для ламинарного режима течения вместо поправочного коэффициента k
нл используют коэффициент А
Re
Re
64
нл л
нл
A
k
k
A
, который уже учитывает коэффициент k
нл и берется из таблиц.
4.4. Начальный участок ламинарного течения Рассмотрим истечение жидкости в канал из бака бесконечного объема. Эпюры скорости в каждом сечении имеют вид (рис. 4.4). При входе жидкости из бака в трубу эпюра распределения скорости в поперечном сечении равномерная (
=1), так как напряжения трения при входе жидкости в трубу на нее не действуют в силу малости пути, прошедшего жидкостью. При движении жидкости в трубе начинает проявляться действие трения, начиная от стенки трубы, где скорость равна нулю и градиент скорости максимальный (см. формулу (1.12)), в направлении оси трубы (на оси трубы скорость максимальная и градиент скорости равен нулю. В результате чего происходит торможение прилегающих к стенке слоев жидкости с одновременным ускорением центральной части потока (с равномерным распределением скорости по поперечному сечению последнее обусловлено необходимостью прохода через неизменную площадь постоянного расхода жидкости. Это приводит к постепенной деформации эпюры скоростей из равномерной она по мере движения жидкости становится параболической (
=2). В начальном положении) средняя скорость равна действительной скорости жидкости, так как скорость равномерна по сечению, в конечном положении (4-4) – средняя скорость в 2 раза меньше максимальной.
56 Рис. 4.4. Формирование профиля скоростей на начальном участке Протяженность начального участка при закругленных входных кромках для трубы диаметра d может быть определена по формуле Шиллера: нач, а коэффициент трения л, где л, а значения k берутся из графика (рис. 4.5). На графике α – коэффициент неравномерности потока. Рис. 4.5. Зависимости коэффициентов α и k от соответствующего комплекса Из графика видно, что сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. Это объясняется тем, что значение производной
dy
dV /
(формула Ньютона
dy
dV /
) у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участках стабилизированного течения (как видно из рис. 4.4, наклон эпюры скорости к стенке в сечении 2-2 больше по сравнению с наклоном эпюры в сечении 4-4, поэтому больше значение производной, поэтому больше и касательные напряжения (при одинаковом динамическом коэффициенте вязкости μ), причем чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, тем больше сопротивление. При нач k = 1,09, те. сопротивление всего начального участка на 9% больше, чем сопротивление того же участка, взятого в области стабилизированного ламинарного течения. Когда длина трубы l больше длины начального участка нач, потеря напора складывается из потери на начальном участке и на участке стабилизированного течения
1,9 1,09 2
29
α
k
1,0 нач
α,k
3 10
Re
d
x
57
g
V
d
l
l
d
l
h
cp
f
2 09
,
1 нач л
нач л
Учитывая нач ил, получим
g
V
d
l
h
cp
f
2 64
Re
165
,
0
Re
1 Аналогичное явление наблюдается и при турбулентном течении, где длину начального участка можно найти по формуле, действительной для всех трех зон турбулентного течения (см. нижет нач, где т – коэффициент трения при турбулентном режиме течения (см. ниже. Все приведенные выше закономерности справедливы лишь для изотермического течения, когда температура жидкости равна температуре стенки.
4.5. Особые случаи ламинарного течения Течение с теплоотводом. Обычно в различных гидроприводах течение жидкости происходит степ- лоотводом вследствие того, что температура жидкости и окружающей среды отличаются. Отличие температуры движущейся жидкости по сравнению стем- пературой окружающей среды появляется в результате нагревания жидкости при ее течении вследствие трения слоев жидкости и вихреобразования в местных сопротивлениях. На рис. 4.6. представлены эпюры скоростей при различных режимах течения. Рис. 4.6. Распределение скоростей при изотермическом и неизотермическом течениях Кривая распределения скоростей, которая имеет форму параболы для изотермического потока (α=2), меняет свою форму в зависимости разницы вязкости жидкости у стенки ив остальном ядре течения. Если теплоотдача происходит от стенки трубы к жидкости (нагрев, то кривая распределения скорости кривая α<2) более полога, чем парабола (α=2), так как слои жидкости около стенок теплее и поэтому обладают меньшей вязкостью, чем жидкость близ оси трубы. Если теплоотдача происходит от жидкости к стенке (охлаждение, слои у стенок трубы обладают большей вязкостью, чем в остальном ядре потока, поэтому скоростное поле описывается кривой α>2.
α=2
α>2
α<2
q
Т
ст
Т
ж
58 При течении, сопровождающемся охлаждением жидкости, ее слои, прилегающие к стенке, имеют температуру более низкую, чем в основном ядре потока, что приводит к увеличению вязкости в этой области. Вследствие этого происходит более интенсивное торможение пристеночных слоев жидкости и уменьшение градиента скорости у стенки. При течении, сопровождающемся нагреванием жидкости, ее слои, прилегающие к стенке, имеют температуру более высокую, чем в основном ядре потока, что приводит к уменьшению вязкости в этой области. Вследствие этого происходит менее интенсивное торможение пристеночных слоев жидкости и увеличения градиента скорости у стенки. Таким образом, вследствие теплообмена через стенку трубы между жидкостью и внешней средой нарушается рассмотренный параболический закон распределения скоростей в поперечном сечении потока. При ламинарном течении вязкой жидкости в трубах с теплоотдачей (охлаждением) сопротивление получается больше, а при течении с притоком теплоты меньше, чем при изотермическом течении. Коэффициент трения в случае течения жидкости с теплоотводом может быть представлен в виде ж
ст л 'л, где л число Рейнольдса посчитано по средней скорости жидкости кинематический коэффициент вязкости ст определяется при температуре стенки Т
ст
, ж – по средней температуре жидкости Т
ж
В связи стем, что обычно при работе гидроприводов теплоотдача идет от жидкости к стенке (температура окружающей среды меньше температуры жидкости, которая нагревается вследствие трения и прохождения через местные сопротивления, и, учитывая, что трубы имеют некоторые искажения сечений, при ламинарном режиме коэффициент ламинарного сопротивления трения следует принимать
Re
75
л
Явление облитерации (заращивания. Заращивание наблюдается при протекании ряда рабочих жидкостей через узкие щели и отверстия. Часто в качестве рабочей жидкости гидравлической системы используют продукты перегонки нефти (газолин. Для улучшения смазывающих свойств газолина в него добавляют специальные вещества (присадки, которые способствуют явлению облитерации. С ростом давления заращивание протекает интенсивней, ас ростом температуры этот процесс ослабевает. В результате облитерации изменяются проходные сечения отверстий, что приводит к увеличению сопротивлений и к изменению расхода жидкости через отверстия. В ряде случаев происходит полное заращивание отверстий. В системах автоматики, управляюще-регулирующих системах и др. это явление отрицательно сказывается на работе этих систем.
59
4.6. Кавитация Кавитация – пустообразование (нарушение сплошности потока, иногда определяют как местное закипание жидкости. Кавитация происходит из-за падения давления в какой-либо части трубопровода ниже давления насыщенных паров данной жидкости приданной температуре. В результате этого внутри жидкости образуются пузырьки пара (происходит кипение жидкости, при этом поток становится двухфазным, те. состоящим из жидкой и паровой фаз. Пузырьки пара попадают в область более высоких давлений, где происходит их резкое сжатие и конденсация, те. они исчезают (схлопываются. И на их место со значительной скоростью устремляется жидкость, в результате чего происходят микровзрывы большой интенсивности (часто более 1000 ати). Негативные последствия кавитации
1. Если пузырьки находились на поверхности твердых тел, тов результате микровзрывов происходит выкрашивание металла.
2. Кавитация нарушает нормальное движение жидкости и неразрывность потока. При этом она значительно увеличивает сопротивление трубопроводов и, следовательно, уменьшается их пропускная способность, так как каверны уменьшают живые сечения потоков, скорость в которых резко возрастает (это приводит к уменьшению расхода жидкости и производительности насосов. При этом пузырьки пара действуют как местные сопротивления, повышая сопротивление трубопроводов, что приводит к снижению расхода жидкости при пропорциональном повышении давления на входе в трубопровод, которое имело место при отсутствии кавитации.
3. Кавитация приводит к шумами вибрациям гидромашин, трубопроводов и их узлов.
4. Кавитация приводит к уменьшению напора насоса Н
нас при постоянной частоте вращения. Кавитация может возникать во всех местных гидравлических сопротивлениях, где поток претерпевает местное сужение с последующим расширением, например, в кранах, вентилях, жиклерах и др. Отметим, что в жидкости, как правило, содержатся растворенные газы, которые при падении давления ниже какого-то значения также начинают выделяться из жидкости, затем, попадая в область более высоких давлений, они растворяются полностью или частично, так как процесс выделения газов протекает гораздо быстрее, чем их растворение. Таким образом, паровая кавитация часто сопровождается и газовой. Однако газы не схлопываются как пузырьки пара, так каких упругость выше. Наглядно кавитацию можно продемонстрировать на простом устройстве риса. Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1, 1-1 и 2-2 (будем полагать, что местные потери при входе жидкости в трубку Вентури равны нулю, потери на трение пренебрежимо малы вследствие малости длины трубки,
0
,
1 2
1
– течение равномерное,
2 1
z
z
):
60
g
V
p
p
H
a
2 2
1 1
;
1 2
2 2
2 2
1 1
g
V
p
g
V
p
a
, где
– коэффициент местных потерь в кране, который увеличивается с увеличением степени закрытия крана. Рис. 4.7. Схемы трубок для демонстрации кавитации Уравнение неразрывности имеет вид
2 2
1 1
S
V
S
V
, откуда
1 2
2 1
/ S
S
V
V
2 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
1 Из уравнения Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 найдем скоростной напор
1 2
2 2
g
V
p
p
H
a
a
;
1 2
2 Подставив скоростной напор в предыдущее выражение, получим
2 1
2 Из последнего выражения видно, что приуменьшении (увеличении площади проходного сечения крана) величина p
1
/γ уменьшается, так как уменьшается знаменатель дроби 1+ξ, что приводит к увеличению значения последнего слагаемого. При определенных условиях величина p
1
может достигнуть значения давления насыщенных паров данной жидкости приданной температуре p
нп
, что приведет к возникновению кавитации. При этом давление в сечении возникновения кавитации не изменяется, несмотря на увеличение расхода приуменьшении, и равно p
нп
. Приуменьшении, начиная с какого-то значения к, расход в трубопроводе при развитой кавитации остается практически постоянным, несмотря на дальнейшее уменьшение ξ. Это свойство заложено в основу работы кавитационных регуляторов расхода (при этом давление в сечении возникновения кавитации равно p
нп
). В процессе кавитации может происходить укрупнение мелких пузырьков. Для однокомпонентных жидкостей давление, соответствующее началу процесса кавитации, вполне определяется давлением насыщенных паров, зависящих только от температуры. Многокомпонентные жидкости состоят из легких и тя-
H
p
a
p
a
1 1
2 2
ξ А Зона кавитации
а) б)
61 желых фракций сначала вскипают легкие фракции, затем – тяжелые. Конденсация паров происходит в обратном порядке. Для характеристики местных гидравлических сопротивлений в отношении кавитации применяется безразмерный критерий, называемый числом кавитации рис. 4.7 (б
2
/
2 1
нп
1
V
p
p
, где p
1
и V
1
– абсолютное давление и скорость потока в сечении трубы перед местным сопротивлением p
нп
– давление насыщенных паров. Значение χ, при котором в местном сопротивлении начинается кавитация, называется критическим числом кавитации χ
кр
Зная критическое число кавитации для рассматриваемого местного сопротивления, можно определить предельно допустимую скорость перед сопротивлением кр нп
1
пр
2
p
p
V
Определим коэффициент кавитации для трубки Вентури (рис. 4.7 (б. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, считая
1 2
1
и
0
:
g
V
p
g
V
p
2 2
2 2
2 2
1 1
;
2 2
1 2
2 Подставим
1
p
в формулу для определения χ:
2 1
2 1
2 2
2 1
нп
2 Так как кавитация возникает при нп
2
p
p
, то
1 1
2 2
1 2
1 кр, где
1
S
и
2
S
– площади сечений 1-1 и 2-2.
2>2300>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12
4.7. Турбулентное течение в каналах постоянного сечения Структура при турбулентном движении жидкости иная, чем при ламинарном (рис. 4.8). Если рассматривать поперечное сечение потока в трубе, то у стенки трубы мы имеем пограничный слой, аза пограничным слоем – турбулентное ядро течения (рис. в. Пограничный слой состоит из ламинарного подслоя л, в котором течение жидкости происходит в ламинарном режиме, и переходного п, в котором происходит переход из ламинарного режима течения в турбулентный. Пограничный слой имеет толщину от 0,1 мм до нескольких миллиметров. При увеличении скорости потока толщина ламинарного подслоя уменьшается, так как оказывается, что число Рейнольдса для ламинарного подслоя есть величина постоянная, л л,
62 где за характерный размер принята толщина ламинарного подслоя. На распределение скоростей по живому сечению при турбулентном режиме течения влияет шероховатость стенок, ограждающих поток. Шероховатость является одной из причин появления вихрей у стенок и дополнительных гидравлических сопротивлений, а, следовательно, и потерь энергии при движении потока. Для оценки выступов шероховатости в гидравлике введено понятие абсолютной шероховатости (Δ). Абсолютная шероховатость характеризуется высотой среднего выступа шероховатой поверхности Δ. При этом важен не абсолютный размер бугорков, а отношение Одна и та же абсолютная шероховатость может совершенно не оказывать влияние на сопротивление трубы большого диаметра, но способна существенно увеличить сопротивление трубы малого диаметра. Величина
называется относительной шероховатостью. Кроме того, на сопротивление влияет характер шероховатости. Простейший случай, – когда бугорки одинакового размера и формы (равномерно-зернистая шероховатость. На практике приходится иметь дело с реальными шероховатыми трубами. Отметим, что величина
/
d
называется относительной гладкостью. Если ламинарный подслой покрывает выступы шероховатости, то труба считается гидравлически гладкой, а если нет гидравлически шероховатой. Ввиду того, что геометрические характеристики абсолютной шероховатости не могут в достаточной степени определять сопротивление трубы, введено понятие о гидравлически эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости э, которая создает такое же сопротивление, как реальная шероховатость. При турбулентном движении скорости (мгновенные) отдельных частиц жидкости (макрообъемов) в отдельных точках пространства все время меняются по величине и направлению, те. происходит пульсация скоростей (рис. б. Однако мгновенные скорости в данной точке пространства колеблются около осредненной скорости (риса. Аналогично происходит и пульсация давления по величине. Установившимся движением при турбулентном течении называют такое движение, при котором в любой точке пространства, занятого жидкостью, осредненная скорость и гидродинамическое давление не меняются стечением времени. В турбулентном потоке, кроме продольного поступательного движения частиц жидкости, существует еще и поперечное, которое приводит к перемешиванию макрообъемов жидкости, в результате чего появляются дополнительные потери энергии и возникают дополнительные касательные напряжения. Для ламинарного режима касательные напряжения равны При турбулентном движении
63 2
2
dy
dV
l
dy
dV
x
x
, где l – путь смещения, он определяется экспериментально для различных параметров течения, зон и геометрии каналов (вблзи стенок труб
Kx
l
, K=0,435,
x – расстояние отсечения зарождения турбулентного течения до рассматриваемого сечения. в) Рис. 4.8. К турбулентному режиму течения Первый член в последнем выражении характеризует вязкое трение при ламинарном движении, второй – выражает дополнительное касательное напряжение от пульсаций, возникающих при поперечном движении макрообъемов жидкости. С увеличением скорости течения (с увеличением Re) главное влияние на величину касательных напряжений оказывает второй член и при больших Re касательные напряжения (а, значит, и потери полного напора Δh
f
) оказываются пропорциональны квадрату градиента скорости. Для развитого турбулентного режима
2 2
dy
dV
l
x
, те. пренебрегаем трением при ламинарном движении. Обычно под термином вязкие напряжения подразумевают касательные напряжения при ламинарном режиме течения (вязкое трение, а под термином касательные напряжения – напряжения при турбулентном течении (вязкие и дополнительные касательные напряжения.
1. При ламинарном режиме
2
,
2
cp
m
V
/
V
2. При турбулентном режиме
10 1
05 1
,
,
,
(Re)
/
f
V
V
cp
m
– для гидрав- лически гладких труб
)
(Re,
/
f
V
V
cp
m
– для гидравлически шероховатых рис. 4.9). л
Δ Турбулентное ядро течения п
64 Рис. 4.9. К турбулентному режиму течения При турбулентном режиме течения потери по длине на трение в круглых трубах определяются по формуле Дарси в виде
g
V
d
l
h
cp
f
2 т, где т – определяется по зависимостям для турбулентного течения (см. ниже. В трубах с некруглым сечением в первом приближении потери по длине на трение определяются с использованием гидравлического диаметра в виде
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
т
Для более точного определения потерь используются гидравлический диаметр и поправочный коэффициент нт
k
, учитывающий форму сечения
g
V
D
l
h
cp
f
2 2
нт
, где т
нт нт
k
(например, для труб квадратного сечения при Re > 2300 –
0
,
1
нт
k
и т
нт
); при этом
VD
Re
, Таким образом, для труб некруглого сечения коэффициент т вычисляется по выражениям для труб круглого сечения, нос использованием гидравлического диаметра.
4.8. О коэффициенте гидравлических сопротивлений трения Как показали эксперименты
Re,
f
. Но эта зависимость при разных условиях движения потока жидкости меняет свою закономерность. При малых значениях Re,
Re
f
, при больших значениях Re,
f
, при промежуточных значениях На рис. 4.10 представлены результаты экспериментальных исследований коэффициента сопротивления (И.И. Никуразде) для труб с искусственной рав- номерно-зернистой шероховатостью. Результаты исследований для труб с реальной неравномерной шероховатостью приводить не будем, отметим лишь, что закон изменения тот получается несколько иным, без подъема кривых после отклонения их от закона для гладких труб – см. ниже. Также их отличия от результатов для труб с искусственной шероховатостью заключаются в некотором изменении значений граничных чисел Re для различных режимов течения и формулами для определения коэффициента сопротивления. Рис. 4.10. Зависимости коэффициента потерь на трение от Re Однако в большинстве случае инженерных расчетов имеют дело с реальными трубами (с реальной неравномерной шероховатостью, поэтому ниже приведем выражения для определения границ зон и областей течений, а также формулы для определения λ в упрощенном виде, однако поясняя, к какому случаю последние относятся. Первая область соответствует прямой I-I и относится к ламинарному движению жидкости при Re<2300. Здесь
Re
/
64
л
Вторая область соответствует прямой II-II и относится к турбулентному движению жидкости. Это область гидравлически гладких труб (лона имеет место при
/
23
Re для неравномерной шероховатости реальных труб. Формула Блазиуса: т при Re = 2300…10 5 равномерно- зернистая шероховатость. Как видно из формулы Блазиуса, при турбулентном движении на потери в основном влияют процессы, связанные с перемешиванием потока и рассеиванием кинетической энергии вследствие вихреобразования. Вязкость жидкости играет менее существенную роль, так как она в степени 1/4. Также из этой формулы видно, что, так как число Re в степени -1/4, то и скорость в т тоже в степени -1/4, поэтому при подстановке т в формулу для потерь (Дарси) скорость будет в степени 2-1/4=1,75. Формула Конакова:
т lg
8
,
1
при Re < 10 7
(равномерная и неравномерная шероховатость. Третья область располагается правее кривой III-III, она имеет место при
/
560
Re для неравномерной шероховатости. Это область квадратичных сопротивлений (автомодельная область. Кривая т параллельна оси абсцисс (Re).
66 В этой области вследствие больших скоростей, а, значит, и чисел Рейноль- дса толщина ламинарного подслоя уменьшается настолько, что бугорки шероховатости выступают за его толщину и обтекаются турбулентным потоком с вихреобразованием за каждым бугорком. Этими объясняется квадратичный закон сопротивления, характерный для этой области. Формула Никуразде: т (равномерная и неравномерная шероховатость. Первая переходная зона располагается между прямыми I-I и II-II и соответствует переходу от ламинарного к турбулентному режиму течения
(Re=2300-4000 для равномерно-зернистой шероховатости. Для неравномерной шероховатости Re кр, где Re
2
определяется по специальной зависимости, однако приводить ее не будем в силу того, что это очень узкая область и не представляет собой практического интереса. В этой области для труб с искусственной равномерно-зернистой шероховатостью т возрастает с увеличением
Re. Вторая переходная зона располагается между прямыми II-II и III-III (область гидравлически шероховатых труб, она имеет место для неравномерной шероховатости при Формула АД. Альтшуля (равномерная и неравномерная шероховатость э т 11
,
0
d
или т 46
,
1 1
,
0
, где э – эквивалентная абсолютная шероховатость (приводится в таблицах.
67
5. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В гидравлике местные сопротивления делятся на 2 группы внезапные и постепенные (плавные. В каждую группу входят расширение, сужение, поворот. Более сложные местные сопротивления состоят из комбинации простейших. Местные сопротивления (коэффициенты потерь ξ) зависят в общем случае от числа Re и вида (формы) местных сопротивлений, те. формы, Re). Напомним, что потери полного напора в местных сопротивлениях определяются по формуле Вейсбаха. Коэффициенты потерь ξ при развитом турбулентном течении определяются в основном формой местных сопротивлений и практически не зависят от числа Re (изменением абсолютных размеров русла, скорости потока и вязкости
ν жидкости можно пренебречь, что означает квадратичный закон сопротивления (автомодельная область, те. формы. Ниже выведены зависимости для определения коэффициента местных сопротивлений для развитого турбулентного режима течения (автомодельной области, остальные зависимости некоторых местных сопротивлений получены на основе экспериментов.
5.1. Внезапное расширение канала При внезапном расширении поперечного сечения трубы поток срывается с угла (молекулы жидкости движутся по инерции, а вязкость жидкости мала) и расширяется не внезапно, как труба, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии – см. рис. 5.1. При этом, как показывают наблюдения, происходит непрерывный обмен частицами (а, значит, и энергией) между основным потоком и завихренной его частью. Кроме того, основной вихрь порождает другие, более мелкие вихри, которые уносятся потоком и распадаются на еще более мелкие вихри. Таким образом, потеря энергии (потери на удар) происходит не только в основном вихре, но и по длине следующего за ним участка потока l
2
= (8-10)D
2
, где D
2
– гидравлический диаметр широкого сечения. Рассмотрим установившийся развитый турбулентный режим течения жидкости (число Re определяется по диаметру и скорости до расширения. Отметим, что для данного вида местного сопротивления это число Рейнольдса является нижней границей автомодельности (потери не зависят от Re). Допустим, что объем жидкости, заключенный между сечениями
1-1 и 2-2, переместился из положения 1-2 в положение 1'-2' за время dt. Примем следующие допущения
1. τ = 0 – касательными напряжениями пренебрегаем из-за малой длины.
2. p
1
в сечении 1-1 действует по всей площади S
2
(хотя труба и расширилась, поток в сечении 1-1 сохранил свой поперечный размер, следовательно, ни скорость, ни давление не изменились. Запишем уравнение неразрывности для сечений 1-1 и 2-2:
2 2
1 1
S
V
S
V
Q
68 Потери полного давления при внезапном расширении обозначим Δh
вр
. Тогда для реальной жидкости уравнение Бернулли будет иметь вид
вр
h
g
V
p
g
V
p
2 2
2 2
2 2
1 1
;
g
V
V
p
p
h
вр
2 2
2 2
1 Рис. 5.1. Схема внезапного расширения канала Для контура, ограниченного сечениями 1-1, 2-2 и боковой стенкой канала, запишем уравнения изменения количества движения (3.10) в проекции на ось канала
1 2
2 2
1 2
2 2
2 1
V
V
V
S
V
V
Q
S
p
S
p
(5.1) Приведем преобразования (5.1):
g
V
V
V
p
p
:
|
2 1
2 2
2 1
;
g
;
g
V
V
V
p
p
2 1
2 2
2 Подставляем последнее выражение в формулу для определения потерь вр
h
, после преобразований получим
g
V
V
h
вр
2 2
2 1
(5.2) Эта формула носит наименование теоремы Борда-Карно. Потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Введя понятие степени расширения канала
1 2
S
S
n
, учитывая
n
V
S
S
V
V
1 2
1 получим
g
V
g
V
n
h
вр
2 2
1 1
2 1
1 2
1 2
вр
,
(5.3) где коэффициент сопротивления Вихревая зона
1-1
S
1
S
2
1'-1'
2-2
2'-2'
l
2
p
1
V
1
V
1
V
2
p
2
69 2
1 1
1
n
вр
или
2 2
1 1
1
S
S
вр
При истечении в большой резервуар
2
S
, поэтому
1 1
2 2
1 1
S
S
вр
Формула для Δh
вр определяет только местные потери на удар, связанные с вихреобразованием на участке l
2
. Однако для определения полных потерь при внезапном расширении необходимо еще учесть потери по длине участка l
2
на трение, что обычно делается при расчете трубопровода.
5.2. Постепенное расширение канала. Диффузор
Течение в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, а, следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления (рис. 5.2). Частицы движущейся жидкости преодолевают нарастающее давление за счет кинетической энергии, которая уменьшается вдоль диффузора (площадь поперечного сечения увеличивается) ив направлении от оси к стенке (на стенке скорость равна нулю. Слои жидкости, прилегающие к стенкам, обладают столь малой кинетической энергией (вследствие трения, что при определенных условиях оказываются не в состоянии преодолевать повышенное давление, они останавливаются и даже начинают двигаться обратно, что приводит к отрыву потока от стенки и к вихреобразованию. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла диффузора, а вместе с этим растут и потери в нем на вихреобразование. Рис. 5.2. Схема диффузора Определим коэффициент потерь диффузора (Re>10 4
,
0
,
1 2
1
). Потери полного напора складываются из двух составляющих потери на трение три потери на вихреобразование во, те. они равны
во
тр
D
h
h
h
,
V
2
α/2
V
1
p
1
p
2
dl
l
dr
r
2
r
1
70 где
вр
во
h
k
h
;
вр
h
– потери при внезапном расширении k – коэффициент смягчения, для диффузоров с малым углом полураствора
0 20
, k = sin α. Потери при вихреобразовании (местные потери) с учетом (5.3): во 1
1
sin
2 1
1 2
1 2
2 1
2
, где
1 2
S
/
S
n
– степень расширения канала. Найдем потери на трение (ниже представлены все преобразования.
l
тр
тр
тр
тр
h
d
h
g
V
d
dl
h
d
g
V
d
l
h
;
2
;
2 2
т
2
т
;
2
/
sin
dr
dl
Из уравнения неразрывности Q =VS = V
1
S
1
выразим скорость V:
2 1
1 1
1
r
r
V
S
S
V
V
, так как
2 2
1 2
2 1
1
r
r
r
r
S
S
; тогда
2
/
sin
2 1
2 4
4 1
2 1
т
dr
r
r
r
g
V
h
тр
;
2 1
2 1
4 2
1 т 2
1 т 1
2 2
/
sin
2 2
2
/
sin
2
r
r
r
r
тр
r
g
V
r
r
dr
g
V
r
h
;
g
V
r
r
h
тр
2 1
2
/
sin
8 2
1 4
2 т
g
V
S
S
h
тр
2 1
2
/
sin
8 2
1 2
2 т
g
V
n
h
тр
2 1
1 2
/
sin
8 2
1 т Потери в диффузоре с учетом потерь во и
тр
h
определяются как
g
V
h
D
D
2 2
1
,
(5.4) где
2 т 1
sin
1 1
2
/
sin
8
n
n
D
– коэффициент потерь.
(5.5) Из (5.5) следует, что существует оптимальный угол полураствора диффузора, соответствующий минимальному гидравлическому сопротивлению. Это утверждение подтверждает рис. 5.3. Рис. 5.3. Зависимость ξ
D
от α
α
опт
α
ξ
D
71 Все необходимые преобразования представлены нижет т
n
n
D
;
2 т 1
/
1 1
4
sin
n
n
опт
;
1 1
4 1
1 4
sin
2 2
т
2
n
n
n
n
T
опт
;
1 1
2 1
arcsin т
опт
n
n
(5.6) Для круглых диффузоров по (5.6) при
025 0
015 т и n = 2-4 оптимальный угол равен
0 6
опт
. На практике в случае невозможности использовать диффузоры с оптимальным углом в зависимости от решаемой задачи применяют различные типы диффузоров ступенчатые диффузоры, криволинейные и др. Подробнее об этом можно прочитать в специальной литературе.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 12
5.3. Другие виды местных сопротивлений В большинстве случаев коэффициенты гидравлического сопротивления ξ устанавливаются опытным путем. Ниже приведем значения коэффициентов ξ для некоторых местных сопротивлений при развитом турбулентном режиме течения. Для различных сопротивлений составлены специальные справочники, например, Справочник по гидравлическим сопротивлениям И.Е. Идельчика.
– Внезапное сужение трубы Внезапное сужение трубы (рис. 5.6) всегда вызывает меньшую потерю энергии, чем внезапное расширение с таким же соотношением площадей. В этом случае потери обусловлены трением потока при входе в узкую трубу и потерями на вихреобразование. Последние вызываются тем, что поток не обтекает входной угол, а срывается с него и сужается (подробнее – см. истечение жидкости через отверстия и насадки кольцевое пространство вокруг суженной области заполняется завихренной жидкостью. В процессе дальнейшего расширения потока происходит потеря напора, определяемая формулой Борда. Рис. 5.6. Внезапное сужение канала Потери в этом случае определяются формулой (при
0
,
1 2
1
, Re>10 4
):
g
V
h
2 2
2
вс2
вс
, где вс2
можно определить по полуэмпирической зависимости И.Е. Идельчика
S
2
S
1
V
2
V
1
S
сж
72
n
S
S
1 1
5
,
0 1
5
,
0 1
2
вс2
; где
2 1
/ S
S
n
– степень сужения. При
0
/
1 2
S
S
(втекание в трубу из бесконечного резервуара)
5 0
вс2
,
Более точная формула для определения коэффициента потерь
4
/
3
вс2 1
1 5
,
0
Закруглением входной кромки можно значительно уменьшить потерю при входе в трубу, при закругленной кромке при входе в трубу из резервуара
2 0
вс2
,
Отметим, что нижнее число Рейнольдса, при котором течение считается автомодельным (потери не зависят от Re) при внезапном сужении, превышает
Re>10 4
(при внезапном расширении, как было отмечено выше, это Re>3500). Изменение коэффициента потерь от степени сжатия представлены в таблице вс
0,5 0,5 0,42 0,33 0,25 0,15
– постепенное сужение трубы (конфузор) Течение жидкости в конфузоре (рис. 5.7) сопровождается возрастанием скорости и падением давления так как давление жидкости вначале конфузора выше, чем в конце, причин к возникновению вихреобразования и срывов потока (как в диффузоре) нет. Рис. 5.7. Конфузор В конфузоре имеются лишь потери на трение. Небольшое вихреобразова- ние и отрыв потока возникает лишь на выходе из конфузора вместе соединения конической трубы с цилиндрической. Для ликвидации вихреобразования и связанным с ним потерь рекомендуется коническую часть плавно сопрягать с цилиндрической или коническую часть заменять криволинейной, плавно переходящей в цилиндрическую (сопло. При этом можно допустить значительную степень сужения n при небольшой длине вдоль оси и небольших потерях. Коэффициент сопротивления сопла будет равен
1
,
0 кв зависимости от n, плавности сужения, а также Re (большим Re соответствуют малые к и наоборот. Потери в конфузоре определяются формулой (при
0
,
1 2
1
, Re>10 4
):
g
V
h
2 2
2
к2
к
,
S
2
S
1
V
2
V
1
73 где
т к 1
1 2
/
sin
8
n
;
2 1
S
S
n
– Взаимное влияние местных сопротивлений Принцип суммирования потерь по длине трубопровода дает надежные результаты, если расстояние между отдельными местными сопротивлениями достаточно для того, чтобы искажение эпюры скоростей, вызванное одним из них, не сказывалось на сопротивлении, лежащем ниже по течению. Для этого необходимо, чтобы местные сопротивления (турбулентный режим течения) отстояли друг от друга не ближе, чем
50 т т
вл
d
l
, где т
вл
l
– длина влияния местного сопротивления т – коэффициент гидравлического трения трубы, на которой расположено местное сопротивление. При больших числах Рейнольдса в первом приближении
d
l
40 30
т вл
При малых числах Re, те. при ламинарном режиме, течении взаимное влияние местных сопротивлений проявляется слабее (меньше л
вл
l
):
Re
25
,
1
л вл
d
l
5.4. Местные сопротивления при ламинарном течении Изложенное выше относилось к местным потерям при развитом турбулентном режиме течения в трубопроводе. При ламинарном режиме местные сопротивления обычно играют малую роль по сравнению с сопротивлением трения, закон сопротивления является более сложными исследован в меньшей степени, чем при турбулентном течении. Если при развитом турбулентном течении местные потери напора можно считать пропорциональными скорости (расходу) во второй степени, а коэффициенты потерь
определяются в основном формой местного сопротивления и практически не зависят от Re, то при ламинарном течении потеря напора м
h
=
вихр тр
h
h
, где
1
ср тр
V
,
f
h
– потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил трения (вязкости) в данном местном сопротивлении
2
ср вихр
V
f
h
– потери, связанные с отрывом потока и вихреобразованием. Так, например, при течении через жиклер (рис. 5.8) слева от плоскости расширения возникает потеря напора на трение, справа – на вихреобразование. Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении (формула Дарси) с поправкой на начальный участок (формула Шиллера), а также формулу Вейс- баха для местных сопротивлений, последнее выражение можно представить
g
V
B
g
V
A
h
cp
cp
2 2
Re
2 м,
74 где Аи В – безразмерные константы, зависящие в основном от формы местного сопротивления. После деления последнего уравнения на скоростной напор, получим общее выражение для коэффициента местного сопротивления при ламинарном течении в трубопроводе
B
A
Re м
Рис. 5.8. Жиклер Рис. 5.9. Схемы местных сопротивлений В общем случае, если в местном сопротивлении преобладают потери на трение по длине (большая длина характерного размера, которая значительно превышает его поперечный размер сплавными очертаниями входа и выхода, а числа Re малы) над потерями при отрыве потока, то потери пропорциональны скорости потока впервой степени (B
0) – риса. Если преобладают потери при вихреобразовании (малая характерная длина канала, а, значит, малые потери на трение) при больших числах Re (А, то потери пропорциональны скорости потока во второй степени (В) – рис. 5.9 (б. При широком диапазоне изменения чисел Re водном и том же местном сопротивлении возможен как линейный (при малых Re
– максимальное значение числа Рейнольдса, при котором реализуется линейный закон сопротивления в данном местном сопротивлении, таки квадратичный (при больших Re>Re нкв
, где Re нкв
– минимальное значение числа Рейнольдса, при котором реализуется квадратичный закон сопротивления в данном местном сопротивлении) закон сопротивления, а также переходная между ними область сопротивления при средних Re вл
>10 4
); Re нкв
>Re кр, Re нкв
75 Типичная для такого широкого диапазона Re зависимость ξ отв логарифмических координатах дана на рис. 5.10, где показаны результаты испытаний сопротивлений. Наклонные участки соответствуют линейному закону сопротивления обратно пропорционален Re и B=0, Re
). Доказанная выше для турбулентного режима теорема о потере напора при внезапном расширении русла при ламинарном режиме неприменима (неприменимы при выводе этой теоремы допущения в случае ламинарного течения. Теорему Борда-Карно, как уже было отмечено выше, можно считать справедливой для чисел Re>3500 и при равномерной эпюре распределения скоростей по поперечному сечению. Рис. 5.10. Зависимость ξ от Re: 1 – фетровый фильтр 2 – диафрагма (n = 0,05); 3 – шариковый клапан 4 – разъемный клапан 5 – угольник 6 – тройник В случае внезапного расширения при Re<3500 экспериментально установлены сложные зависимости потери полного напора от Re и степени расширения канала, которые можно найти в специальном справочнике для упрощения вычислений на их основе построены графики и составлены специальные таблицы.
76
6. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
6.1. Общие сведения В процессе истечения жидкости из резервуаров через отверстия и насадки запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается с большими или меньшими потерями в кинетическую энергию свободной струи или капель. Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Различают малые и большие отверстия. Обычно отверстия, имеющие размеры по сечения, не превышающие d = 0,1 Н, относят к малым (где Н – напор, под которым работает отверстие, d – диаметр отверстия. Если истечение из отверстия происходит в газовую среду (в среду (жидкость) неоднородную с жидкостью струи, то такое отверстие называется незатопленным, если подуровень жидкости (в жидкость, однородную с жидкостью струи) – затопленным. При истечении жидкости через отверстия различают полное сжатие, когда струя сжимается по всему периметру и неполное, когда в определенной части струи сжатия не происходит вследствие примыкания части периметра отверстия к стенкам (рис. 6.1). Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения жидкости в резервуаре перед отверстием, в том числе, от радиального движения по стенке к осевому движению в струе. Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Рис. 6.1. Отверстие в тонкой стенке Полное сжатие струи разделяется на совершенное, когда стенки резервуара не влияют на сжатие струи (для круглого отверстия h>3d), и несовершенное, когда стенки резервуара вследствие их достаточно близкого расположения к отверстию влияют на сжатие струи. Под отверстием в тонкой стенке понимается отверстие при l < d, где l – толщина стенки. При выходе из отверстия струя претерпевает сжатия до сечения (сжатое сечение находится от отверстия на расстоянии 0,5d и диаметр струи в нем с – для маловязких жидкостей, те. при больших числах Re),
77 после которого приобретает параллельно-струйный характер. Площадь живого сечения струи св сжатом сечении
S
S
c
, где S – площадь отверстия. Коэффициент сжатия струи равен Для круглого отверстия
64 0,
, те.
S
S
c
64
,
0
, причем несов сов, неполн пол. Истечение жидкости через малые отверстия Выведем расчетную зависимость для определения расхода жидкости при ее истечении через малые отверстия. Возьмем сосуд с жидкостью, работающий под постоянным напором Н (рис. 6.2). Определим скорость течения жидкости V
ср1
в сжатом сечении 1-1. Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности 0-0 и сечения 1-1 относительно плоскости сравнения, проходящей через центр тяжести отверстия.
Рис. 6.2. Истечение через малое отверстие Кроме того, примем, что давление в рассматриваемых сечениях равно атмосферному, а V
0
=0. пот 1
0 2
h
g
V
H
cp
;
g
V
h
cp
2 2
1
вх пот
g
V
H
cp
2 2
1
вх
0
Скорость истечения жидкости в сжатом сечении равна
0 0
вх
1 2
2 1
gH
gH
V
cp
,
78 где вх
1
– коэффициент скорости. Для маловязкой жидкости при
1
коэффициент скорости равен
97 0,
, откуда при
1
1 1
2
вх
/
и вх
= 0,06. Для идеальной жидкости при
1
(
1
ср1
V
V
) и вх
= 0:
1
и
0
ид
2gH
V
Из этого следует, что коэффициент скорости есть отношение действительной скорости истечения к скорости истечения идеальной жидкости, те.
1
ид ср1
V
V
Для определения коэффициента скорости сравнивается дальнобойность струи l (измеряется длина струи в горизонтальном направлении от сжатого сечения до текущего положения на некоторой высоте ниже отверстия) с дальнобойностью струи l
ид
, которая имела бы место при истечении струи без сопротивления на выходе из отверстия. При этом считается, что струя распространяется в пространстве как свободно брошенное тело в горизонтальном направлении с некоторой начальной скоростью (со скоростью в сжатом сечении V
ср1
для реальной струи и V
ид
– для идеальной, сопротивлением воздуха (трением пограничных слоев струи о воздух) пренебрегается. Расход жидкости через малое отверстие равен
0 0
0
ср1 2
2 2
gH
S
gH
S
gH
S
S
V
Q
с
с
,
(6.1) где вх
– коэффициент расхода S – площадь отверстия Для маловязкой жидкости (большое число Re)
62 0
97 0
64 Коэффициент расхода равен отношению действительного расхода Q кто- му расходу Q
ид
, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления, те. вх
0 0
ид
1 Введенные в рассмотрение коэффициенты ε, μ, φ, ξ зависят в первую очередь от типа отверстия или насадка, а также от числа Re. В зависимости от числа Re коэффициенты расхода, сжатия струи и скорости будут разными. Коэффициент расхода может быть повышен разными путями, например, выполнением фасок на входных кромках. Об этом можно прочитать в соответствующей литературе. Отметим, что в общем случае (при разнице давлений в рассматриваемых сечениях) уравнение Бернулли примет вид пот 1
1 0
0 2
h
g
V
p
p
H
cp
;
g
V
p
p
H
cp
2 2
1
вх
1 0
0
79
6.3. Истечение жидкости через малые затопленные отверстия Рассмотрим случай, когда жидкость истекает из затопленного отверстия, находящегося ниже уровня жидкости во втором резервуаре на величину Н
2
(Н
2
= Н
0
–Н
1
) – см. рис. 6.3. Рис. 6.3. Истечение через малое затопленное отверстие Принимаем те же допущения, что ив предыдущем пункте.
Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости относительно сечений
0-0 и 1-1 и относительно той же поверхности сравнения, что ив предыдущем пункте.
g
V
g
V
p
H
p
H
cp
cp
2 2
2 1
вх
2 1
0 1
0 0
;
g
V
H
H
cp
2 2
1
вх
1 Расход в сжатом сечении определяется по формуле
1 0
2
H
H
g
S
Q
(6.2) Коэффициенты сжатия ε и расхода μ можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду.
6.4. Истечение жидкости через большие отверстия При истечении жидкости через большие отверстия скорость по сечению значительно изменяется, поэтому расход в этом случае можно получить путем суммирования элементарных расходов по всему живому сечению потока. Расход через прямоугольное отверстие высотой a и шириной b будет равен
c
gH
ba
Q
2
, где
c
H
– глубина погружения центра тяжести отверстия коэффициент расхода в зависимости от типа отверстия и условий подхода воды к отверстию колеблется в пределах
90 0
65 0
,
,
6.5. Истечение жидкости из насадков Насадок – короткая труба длиной (3-5)d, прикрепленная к отверстию. Цилиндрический внешний насадок При входе жидкости в отверстие насадка вследствие изгиба линий тока происходит сжатие струи (примерно также, как при истечении через отверстие в тонкой стенке, и на некотором расстоянии от входа в насадке образуется во- доворотная зона, в которой вследствие сжатия струи создается разрежение, величина которого зависит от скорости течения, а, следовательно, и от величины напора, под которым работает насадок (риса. Затем вследствие взаимо-
р
1
1 Н
V
ср1
р Н
0
0
80 действия сжатой части струи с окружающей ее завихренной жидкостью струя постепенно расширяется до размеров отверстия и из насадка выходит полным сечением. Рис. 6.4. Схемы насадков Полный действующий напор для насадка как бы увеличивается за счет разрежения и складывается из напора над центром тяжести входного отверстия насадка и величины разрежения в сжатом сечении, что приводит к увеличению расхода через насадок. Отметим, что диаметр струи на выходе из насадка равен диаметру насадка, те. ε = 1. Вместе стем присоединение насадка к отверстию дает дополнительные потери напора по сравнению с истечением жидкости через отверстие без насадка, вызываемые внезапным расширением потока жидкости внутри насадка и трением потока о его внутреннюю поверхность, поэтому скорость жидкости при выходе из насадка будет меньше. Описанный режим течения безотрывный. Запишем уравнение Бернулли в случае истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке относительно свободной поверхности и сжатого сечения
(1-1), давления в рассматриваемых сечениях равны, α=1, площадь в сжатом сечении площадь отверстия или насадка, ε=0,64, V
1
– скорость течения жидкости в сжатом сечении
g
V
g
V
H
2 2
2 1
1 2
1
, где H – геометрический напор. Откуда
gH
gH
V
2 2
1 1
1 1
, расход в сжатом сечении
S
V
Q
1 1
или
gH
S
Q
2
, где
– коэффициент расхода отверстия. Запишем уравнение Бернулли в случае течения жидкости через насадок относительно свободной поверхности и сечения (2-2) (допущения те же
81
g
V
g
V
g
V
H
s
s
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, где
s
2
– суммарный коэффициент потерь, приведенный к скорости который включает в себя потери на входе в насадок, потери при внезапном расширении потока жидкости и потери на трение при течении жидкости по насадку. Из последнего уравнения выразим скорость и определим расход в 2-2:
gH
gH
V
s
2 2
1 н 2
, где н – коэффициент скорости при истечении жидкости через насадок. Знаменатель в выражении для скорости V
2
истечения жидкости через насадок оказывается большим значения знаменателя
1 1
в выражении для скорости истечения жидкости V
1
через отверстие, так как появляются дополнительные потери при течении жидкости по насадку, следовательно, V
2
< Расход жидкости через насадок определяется по формуле
S
V
Q
2
или н,
(6.3) где S – площадь насадка н н – коэффициент расхода насадка, при ни коэффициент расхода н н
Таким образом, расход через насадок увеличивается на 30% по сравнению с расходом при истечении через отверстие. Однако это так, пока гидростатический напор не превышает определенной величины (на практике принимается, в частности, для воды Нм. При превышении этой величины происходит прорыв воздуха через выходное сечение насадка в водоворотную зону, вследствие чего он перестает работать полным сечением (рис. 6.4 (в. При истечении через цилиндрический насадок подуровень безотрывный режим истечения не будет отличаться от описанного выше. (Отметим, что чем больше напор H, тем больше скорость истечения через насадок. Вследствие того, что в насадке происходит сужение потока, в суженном месте разгон потока происходит с одновременным падением в нем давления) Но когда абсолютное давление внутри насадка вследствие увеличения H падает до давления насыщенных паров, переход к отрывному течению не происходит, а начинается кавитация, при этом происходит стабилизация расхода (см. выше. Недостатки цилиндрического насадка невысокий коэффициент расхода при безотрывном режиме течения и низкий коэффициент расхода на втором режиме, в том числе возможность кавитации при истечении подуровень. Для использования цилиндрического насадка в качестве жиклера, дросселей или форсунок эти недостатки следует учитывать или улучшать насадок. Внешний цилиндрический насадок может быть улучшен путем закругления входной кромки (см. штриховые линии на рис. 6.4 (били устройства конического входа с углом конусности около 60 Цилиндрический внутренний насадок насадок Борда)
Физическая сущность гидравлического явления в цилиндрическом внутреннем насадке аналогична явлению во внешнем цилиндрическом насадке, но его параметры (для идеальной жидкости) имеют следующие значения
1
(на
82 выходе из насадка,
71 0,
(рис. 6.4 (г. Степень сжатия струи в сжатом сечении увеличивается ε=0,5 (ε меньше степени сжатия при истечении жидкости через малое отверстие в тонкой стенке, так как жидкость приближается к входному отверстию насадка из всего прилежащего объема, изменяя направление своего движения до 180 Конический сходящийся насадок В коническом сходящемся насадке коэффициент расхода увеличивается в результате уменьшения гидравлических сопротивлений и, главным образом, уменьшения эффекта внезапного расширения потока. Коэффициент расхода зависит от угла конусности: он принимает максимальное значение
95 0,
при
13 0
; при дальнейшем увеличении угла конусности
начинает уменьшаться, так как при этом происходит дополнительное сжатие струи при выходе из насадка. Конический расходящийся насадок Конический расходящийся насадок применяется в тех случаях, когда нужно за счет уменьшения скорости значительно увеличить давление. Потери энергии в этом насадке на внезапное расширение значительно больше потерь в других насадках, поэтому коэффициент расхода, отнесенный к выходному сечению насадка при угле конусности 5-7 0
, равен
5 0,
. При увеличении угла конусно- сти больше 5-7 0
может произойти срыв вакуума.
Коноидальный насадок сопло) Очертания коноидального насадка по форме приблизительно совпадают с очертаниями естественно сжимающейся струи и благодаря этому обеспечивается безотрывность течения внутри насадка и параллельноструйность в выходном сечении (риса. Он имеет ε = 1,
97
,
0
, а также устойчивый режим течения без кавитации.
Диффузорный насадок
Диффузорный насадок представляет собой комбинацию сопла и диффузора см. рис. 6.5 (б. Приставка диффузора к соплу влечет за собой снижение давления в узком месте насадка, а, следовательно, увеличение скорости и расхода через него. Притом же диаметре узкого сечения, что и у сопла, и том же напоре диффузорный насадок может дать значительно больший расход (до 2,5 раз, чем сопло. Рис. 6.5. Схемы насадков
83 Запишем уравнение Бернулли, описывающее движение жидкости по соплу, относительно свободной поверхности (сечение 0-0) и среза сопла (сечение
1-1), примем, что давления в соответствующих сечениях равны между собой,
α=1:
g
V
g
V
H
2 2
2 1
1 2
1
;
1 2
1 1
2
g
V
H
, откуда
gH
V
2 1
1 1
1
;
1 1
1
S
V
Q
, где ξ
1
– коэффициент потерь в сопле, приведенный к скорости V
1
; S
1
– площадь поперечного сечения среза сопла. Для описания течения жидкости через диффузорный насадок составим уравнение Бернулли относительно свободной поверхности (сечение 0-0) и среза диффузора (сечение 2-2), которое примет вид
g
V
g
V
H
2 1
2 2
1 1
2 2
2
, где ξ
2
– коэффициент потерь в диффузорном насадке, приведенный к скорости
V
2
Из уравнения неразрывности
2 2
1 выразим
2 1
1 2
/ S
S
V
V
, где S
2
– площадь поперечного сечения среза диффузора и подставим в уравнение Бернулли
g
V
S
S
g
V
H
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
;
1 2
2 2
1 2
1 Из последнего уравнения выразим скорость
gH
n
gH
S
S
V
2
/
1 1
2 1
/
1 1
2 2
1 2
2 2
1 1
;
1 1
1
S
V
Q
, где
1 2
S
S
n
– степень расширения диффузора. Из того, что
1
/
2 1
S
S
(например,
7
,
8
/
1 2
S
S
n
, те. n
2
≈75) следует, что при достаточно малом значении слагаемого
2 2
/
1
n
знаменатель дроби будет стремиться к
1
, поэтому скорость, а, следовательно, и расход в этом сечении будет больше, чему сопла, так как для скорости на срезе сопла знаменатель дроби равен
1 Такие насадки применяют в том случае, когда заданы диаметр узкого сечения и напори требуется получить возможно больший расход. Однако диффу- зорный насадок может работать лишь при небольших напорах (H=1-4 м, так
84 как при большем напоре в узком месте насадка возникнет кавитация, в результате чего расход снизится.
3500>
1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6.6. Истечение через отверстия при переменном напоре опорожнение сосудов) Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда через донное отверстие или насадок с коэффициентом μ при переменном напоре (течение, строго говоря, является неустановившимся) – см. рис. 6.6. Однако если напора, следовательно, и скорость истечения меняются медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи можно применить уравнение Бернулли.
Qdt
Sdh
;
dt
gh
S
Sdh
2 0
, где dh – изменение уровня жидкости в сосуде за время dt; μ = const. Рис. 6.6. Схема истечения через отверстие при переменном напоре Время опорожнения сосуда
0 0
2 1
h
H
h
h
dh
S
g
S
t
, где S=f(h). В данном случае S = const.
0 0
2
h
H
h
h
dh
g
S
S
t
;
gH
S
SH
t
2 Время, за которое через отверстие в сосуде вытечет количество жидкости, равное его объему при постоянном напоре H можно определить из уравнения
Qt
SH
,
gH
S
SH
Q
SH
t
2 Из сравнения соответствующих формул для времени опорожнения сосуда при разных условиях истечения видно, что при переменном напоре время опорожнения сосуда в 2 раза больше, чем при постоянном.
85
7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
7.1. Общие сведения Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия вначале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии может быть создан тем или иным способом работой насоса, благодаря разности уровней жидкости, давлением газа. Трубопровод называется простым, если он не имеет ответвлений и состоит из труб одного или нескольких диаметров. Сложный трубопровод имеет магистраль с разветвлениями в разных точках. Сложные трубопроводы делятся на разветвленные (тупиковые) и замкнутые (кольцевые. Разветвленные трубопроводы имеют магистраль (основной трубопровод, от которой из узлов (мест разветвлений трубопроводов) отходят ветви (отдельные трубопроводы) с незамкнутыми концевыми участками. Замкнутый трубопровод получается из тупикового путем замыкания концов ветвей (рис. 7.1). Рис. 7.1. Виды трубопроводов В зависимости от величины местных потерь напора все трубопроводы можно разделить на гидравлически длинные и гидравлически короткие.
Гидравлически длинные трубопроводы – трубопроводы, у которых можно пренебречь местными потерями и скоростным напором по сравнению с потерями напора по длине. В отдельных случаях местные потери, составляющие 5-
10% потерь напора по длине, могут быть учтены соответствующим коэффициентом.
Гидравлически короткие трубопроводы – трубопроводы, у которых местные потери напора соизмеримы с потерями напора по длине (более 10%). Отметим, что водопроводные сети рассчитываются как гидравлически длинные трубопроводы, а трубопроводы гидроприводов, всасывающие линии насосов и т.д. – как гидравлически короткие трубопроводы.
7.2. Простой трубопровод постоянного сечения Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве, имеет общую длину l, диаметр d и содержит ряд местных сопротивлений (риса. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, считая α
1
= α
2
и исключая скоростные напоры вследствие равенства диаметров трубопровода в рассматриваемых сечениях (согласно уравнению неразрывности пот 2
1 1
1
'
h
p
z
p
p
z
или пот 2
1 где
1
p
– давление, создаваемое каким-либо источником энергии (внешней нагрузкой
'
1
p
– давление, действующее на жидкость со стороны внешней среды Пьезометрический напор, стоящий в левой части уравнения, назовем потребным напором H
потр
. Если этот напор задан, то будем его называть располагаемым напором H
расп
. Как видно из формулы, этот напор складывается из геометрической высоты
1 2
z
z
z
, на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, разности пьезометрических напоров
/
'
1 2
p
p
и суммы всех потерь в трубопроводе. Рис. 7.2. Схемы трубопроводов Обозначив
'
1 2
1 ст – статический напора пот, получим ст пот ст потр
,
(7.1) где K – коэффициент сопротивления трубопровода, m зависит от режима течения. Поясним особенность составления записанного выше уравнения Бернулли на примере течения жидкости по трубопроводу в результате поступательного движения поршня площадью S
1
(рис. 7.2 (б при этом пренебрегаем изменением длины трубопровода в результате поступательного перемещения поршня и связанной с этим изменением геометрического напора z
1
(рассматриваем уравнение Бернулли для текущего положения. В этом случаев результате поступательного движения поршня потребный напор определяется усилием F
1
, прикладываемым к поршню извне, которое, в свою очередь, преобразуется в потребный напор p
1
/γ (p
1
=F
1
/S
1
). Однако жидкость движется под действием потребного напора и пьезометрического напора
/
'
1
p
, приложенного к внешней поверхности жидкости со стороны внешней среды (в сечении 1-1), поэтому в уравнении Бернулли присутствуют оба параметра (в уравнении Бернулли используются абсолютные значения давлений. Отметим, что давление '
1
p
приложено к сечению 1-1 (поверхности поршня, граничащей с жидкостью, а не к наружной поверхности поршня, так как рассматривается объект – жидкость, а поршень к жидкости не имеет непосредственного отношения (в уравнении Бернулли фигурирует только жидкость, а другие тела отсутствуют. Таким образом, потребный напор – это дополнительный напор (или давление в этом случае вводится понятие потребного давления, который необхо-
а)
б)
87 димо создать, чтобы осуществить течение жидкости поданному трубопроводу сданным расходом, либо удержать жидкость в равновесии (если она покоится. Если жидкость в трубопроводе движется в результате поступательного перемещения поршня, расположенного вначале горизонтально расположенной трубы (z
1
= z
2
), и вытекает виз трубы в атмосферу, в этом случае ст. Если жидкость вытекает самотеком из бака в атмосферу через отверстие, расположенное ниже свободной поверхности жидкости в баке, или вытекает из бака, который наддут до давления выше давления окружающей среды, в этом случае потребный напор равен нулю (при этом ст, так как к поверхности жидкости со стороны внешних тел не прикладывается дополнительного усилия. Если выражение (7.1) с учетом последнего выражения привести к размерности давления, то получим
m
m
KQ
p
p
z
z
KQ
H
p
'
1 2
1 2
ст
1
Представим потери пот в виде пот, для этого проведем преобразования с учетом уравнения неразрывности, из которого выражается скорость
2
ср
/
4
d
Q
V
:
2 2
4 2
2
ср
2
ср
2
ср пот 2
2 2
KQ
Q
d
g
d
l
g
V
d
l
g
V
d
l
g
V
h
, откуда
4 2
8
d
g
d
l
K
,
(7.2) где л, т
– сумма коэффициентов местных потерь, при этом каждый коэффициент в общем случае представляется зависимостью
B
A
Re
/
: если вл
, то B = 0 и
Re
/
A
; если Re вл
< Re < Re нкв
, то
B
A
Re
/
; если
Re > Re нкв
, то A = 0 и Отметим, что в формуле (7.2) для упрощения записи коэффициенты местных потерь ξ приведены к скорости жидкости в трубе диаметра d. Отметим, что коэффициент K является в общем случае непостоянными зависящим от Q. Это обусловлено тем, что при изменении расхода изменяется скорость в местных сопротивлениях и трубах, поэтому изменяются коэффициенты и λ, которые зависят от Re. Коэффициент K будет постоянным, если в местном сопротивлении будет реализован режим развитого турбулентного течения (коэффициент ξ не будет зависеть от Re), а коэффициент гидравлического сопротивления трения будет определяться по формуле для области квадратичных сопротивлений (λ не будет зависеть от Re). В выражении (7.2) потери представлены в виде пот, те. m=2. Однако в случае ламинарного режима при подстановке коэффициента трения л потери на трение будут пропорциональны скорости (расходу) впервой степени, те. m=1. Для турбулентного режима течения потери на трение могут быть пропорциональны скорости (расходу) в степени 1,75 или 2 – в зависимости от области течения, по которой определяется коэффициент трения.
88 Потери полного напора в местных сопротивлениях также могут быть в зависимости от области течения пропорциональны либо скорости впервой степени, либо во второй, либо в промежуточном значении между 1 ив зависимости от числа Re и граничных значений Re вл и Re нкв для конкретного местного сопротивления. Поэтому общий характер зависимости пот будет различным в зависимости от различного вида потерь, имеющих место при течении жидкости поданному трубопроводу, те. строго параболическим (m=2) он будет не для всех трубопроводов и режимов течения. Показатель степени m для автомодельной области течения равен 2, если коэффициент трения и коэффициент местных сопротивлений определяются по зависимостям для автомодельных областей. В области течения с законом сопротивления, отличным от автомодельного, показатель степени принимает значения, близкие к двум. При расчете гидравлически длинных трубопроводов коэффициент K имеет вид (учтем увеличение потери полного напора на местных сопротивлениях, которые составляют не более 10%, поправочным коэффициентом 1,1): пот
4 2
8 1
,
1
d
g
d
l
K
(7.3) Формула (7.1), дополненная выражениями (7.2) и (7.3), является основной для расчета простых трубопроводов. На основании формулы (7.1) можно построить кривую потребного напора
(КПН) – зависимость потребного напора от расхода жидкости в трубопроводе рис. 7.3 (а,б)):
Q
f
H
потр
Рис. 7.3. Зависимости потребных напоров от расхода жидкости в трубопроводе – (а,б), схема самотечного трубопровода – (в. Чем больше расход, который необходимо подавать по трубопроводу (при неизменной геометрии трубопровода со всеми местными сопротивлениями, тем больше потребный напор (так как с увеличением расхода увеличиваются потери KQ
m
, на преодоление которых тратится энергия напора. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (или близкой к прямой при учете зависимости коэффициента местного сопротивления от Re при
Re>Re вл
), при турбулентном – параболой с показателем степени, равным двум
89 при т (область квадратичных сопротивлений) и местных сопротивлений при Re>Re нкв
) или близким к двум (при учете зависимости т и коэффициента местных сопротивлений от Re). Величина ст положительна при подъеме жидкости или при движении жидкости с повышением давления (давление в конце трубопровода больше давления вначале, и отрицательна при опускании геометрическая высота в конце трубопровода меньше геометрической высоты вначале) или движении жидкости в полость с разрежением (давление в конце трубопровода меньше давления вначале. Крутизна кривых потребного напора для ламинарного и турбулентного режимов течения зависит от коэффициента сопротивления трубопровода K. В случае самотечного трубопровода (движение жидкости происходит под действием разности геометрических высот (напоров) Н рис. в при этом за начало трубопровода принимаем свободную поверхность в верхнем резервуаре, скорость которой равна нулю (жидкость в баке по мере истечения не опускается, так как площадь бака в общем случае принимается равной бесконечности, что позволяет из уравнения неразрывности принять скорость жидкости равной нулю давление вначале и конце трубопровода равно атмосферному, поэтому потребный напор равен нулю) при истечении жидкости в атмосферу (а не подуровень, в уравнение Бернулли к потерям напора добавляется скоростной напор. При истечении подуровень скоростного напора в уравнении Бернулли нет, но добавляются потери при выходе жидкости из трубопровода.
m
V
m
m
KQ
Q
K
KQ
Q
d
g
KQ
g
V
H
H
2 2
4 2
2 2
2 ст 2
, где
4 2
2 Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс
0
ст
H
H
(точка А – рис. в) определяет расход жидкости при движении самотеком. Часто вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода (ХТ). Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода
Q
f
h
пот
Таким образом, характеристика трубопровода представляет собой кривую потребного напора, совмещенную с началом координат. Кривая потребного напора начинается от ст, так как при Q=0 H
потр
= ст характеристика трубопровода начинается из 0, так как при Q=0 потери полного напора равны 0. Рассмотрим три возможные задачи при расчете простого трубопровода. Задача 1. Исходные данные расход Q, давление в конце трубопровода p
2
, геометрические высоты z
1
и z
2
, свойства жидкости (ρ, ν), размеры трубопровода, а также материал и качество поверхности трубы (шероховатость. Найти потребный напор H
потр
Решение.
1. Пои находят скорость течения V.
90 2. По V, ν, d определяют Re и режим течения.
3. Пои шероховатости
определяют коэффициент потерь на трение λ.
4. По соответствующим формулам (или опытным данным) оценивают местные сопротивления.
5. Решают основное уравнение (7.1) с учетом (7.2) и (7.3). Задача 2. Исходные данные располагаемый напор H
расп
, z
1
и z
2
, p
2
, свойства жидкости, все размеры и шероховатость трубопровода. Найти расход Q'. Решение. В общем случае решение различно для ламинарного и турбулентного режимов течения. Для простоты для ламинарного и турбулентного режимов течения решать задачу будем единообразно. При турбулентном и ламинарном течении (коэффициент местных сопро- тилвений в общем случае равен
B
A
Re
/
) задачу можно решать методом последовательных приближений или графоаналитическим способом. Рассмотрим графоаналитический способ при турбулентном режиме (при ламинарном режиме отличие будет заключаться в использовании других зависимостей для ли. Для решения задачи графоаналитическим способом строят КПН H
потр
= f(Q) для данного трубопровода с учетом переменности т и коэффициента местных потерь
при изменении расхода Q, те. считая расход заданным для получения конкретного потребного напора при конкретном расходе для ряда значений Q вычисляются потребные напоры, данные значения откладываются на графике и соединяются линией, которая и будет КПН. При этом задачу необязательно решать в форме выражения (7.1), можно использовать обычное уравнение Бернулли, в котором формулы Дарси и Вейсбаха записываются через средние скорости, а не через расходы. Отметим, что минимальное (первое) значение Q задается такое (методом проб и ошибок, чтобы потребный напор для этого расхода оказался меньше располагаемого, а при максимальном расходе Q потребный расход должен быть больше располагаемого. Для определения искомого расхода проводят горизонтальную прямую, имеющую значение H
расп
, до пересечения с построенной
КПН, после чего находят точку пересечения прямой и КПН, абсцисса данной точки и будет искомым расходом Q'. Задача 3. Исходные данные расход Q, располагаемый напор H
расп
, свойства жидкости, z
1
, z
2
, p
2
, и все размеры трубопровода, кроме диаметра. Найти диаметр трубопровода d'. Решение. Задача решается аналогично задаче 2, отличие заключается в том, что в качестве переменного задаваемого параметра вместо расхода Q будет выступать диаметр d. Задаваясь рядом значения диаметра d, вычисляются потребные напоры, значения которых откладываются на графике, при этом по оси абсцисс откладывается диаметр d. Полученные точки соединяются в кривую, а дальше аналогично ищется точка пересечения горизонтальной прямой, имеющее значение H
расп
, с полученной кривой, абсцисса данной точки и будет искомым диаметром d'.
7.3. Соединение простых трубопроводов Последовательное соединение соединение нескольких труб переменного диаметра) Последовательное соединение трубопроводов представлено на рис. 7.4. Очевидно, что при подаче жидкости расход во всех трубах будет один и тот же, а полная потеря напора между точками M и N равна сумме потерь напора пот во всех последовательно соединенных трубах, те. имеем следующие основные уравнения
const
Q
Q
l
; пот
n
r
r
l
h
h
1
,
(7.5) где k – количество участков трубопровода
l
h
– суммарные потери на участке трубопровода l; n – количество потерь на местных сопротивлениях и потери на трение по длине трубопровода l (в каждом трубопроводе. В данном случае (см. рис. 7.4):
Q
Q
Q
Q
3 2
1
;
3 пот
1 Эти уравнения определяют правило построения характеристик последовательно соединенных труб. Пусть даны характеристики трубопроводов 1, 2 ирис (б. Чтобы построить суммарную характеристику всего последовательного соединения M-N, следует в соответствии с выражение (7.5) сложить потери напора при одинаковых расходах, те. сложить ординаты всех трех кривых при равных абсциссах. Другими словами, для получения суммарной характеристики последовательно соединенных трубопроводов необходимо при одинаковых расходах сложить потери. Рис. 7.4. Последовательное соединение трубопроводов
Для определения потребного напора в точке M необходимо к суммарной характеристике трубопровода пот в соответствии с уравнением (7.1) прибавить статический напор ст (в данном примере
M
N
z
z
, ист, где
M
p'
– давление внешней среды в точке (сечении) М. Если разностью скоростных напоров вначале и конце трубопровода пренебречь, то получим выражение для потребного напора в следующем виде ст потр 'Параллельное соединение трубопроводов Для простоты предположим, что трубопроводы расположены в горизонтальной плоскости – см. рис. 7.5. Обозначим средние полные напоры в точках
M и N соответственно через полн и полн, расход в основной магистрали (те. до разветвления) через – Q, а в параллельных трубопроводах – через Q
1
, Q
2
и
Q
3
; суммарные потери напора (в местных сопротивлениях и на трение) в этих трубопроводах – через
h
1
,
h
2
и Запишем следующее очевидное уравнение
k
l
l
Q
Q
1
,
(7.6) где k – количество трубопроводов вместе разветвления. Рис. 7.5. Параллельное соединение трубопроводов В данном случае количество трубопроводов вместе разветвления 3 (см. риса Рассмотрим параллельный трубопровод, состоящий из двух ветвей (рис. в. В сечении M-M давления p
M
и действуют на две ветви одинаково. Геометрический напор z
M
действует также одинаково (на рисунке не показан. Скоростные напоры также действуют на две ветви одинаково. В сечении N-N аналогично пьезометрические, геометрические и скоростные напоры действуют на две ветви одинаково. Это позволяет составить уравнения Бернулли для двух ветвей независимо друг от друга, используя параметры в сечениях M-M и N-N. Те же выводы относительно составления уравнения Бернулли справедливы и для большего числа ветвей, поэтому составим уравнения Бернулли для трех ветвей. Составим уравнение Бернулли для первой ветви
1 2
ср
2
ср
2 2
'
h
g
V
p
z
g
V
p
p
z
N
N
N
N
M
M
M
M
M
, где
h
1
– потери полного напора впервой ветви. Полные средние напоры в начальном и конечном сечениях равны
g
V
p
p
z
H
M
M
M
M
M
M
2
'
2
ср полн
g
V
p
z
H
N
N
N
N
N
2 2
ср полн, после чего представим предыдущее выражение в виде полн полн
h
H
H
N
M
Уравнения Бернулли для остальных ветвей будут иметь вид полн полн полн полн
h
H
H
N
M
В общем виде уравнение Бернулли для любой ветви будет иметь вид полн полн,
(7.7) откуда полн полн полн полн полн полн полн полн
3
N
M
H
H
h
Отсюда
const
h
l
или в данном случаете. потери в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде через соответствующие расходы
const
Q
K
h
l
m
l
l
l
,
(7.8) где K
l
и m
l
– определяются в зависимости от режима течения пои. В данном случае
1 1
1 1
m
Q
K
h
;
2 2
2 2
m
Q
K
h
;
3 3
3 На основании последних выражений можно записать следующее
3 2
1 3
3 2
2 Из последних выражений следует, что при параллельном соединении трубопроводов расходы между ветвями распределяются таким образом, чтобы обеспечить равенство потерь в этих ветвях. В случае равенства коэффициентов сопротивления трубопроводов
(K
1
=K
2
=K
3
) расходы в ветвях будут равны (Q
1
=Q
2
=Q
3
). Если K
1
>K
2
>K
3
, то
Q
1
<Q
2
<Q
3
94 Система уравнений (7.6), (7.7) и (7.8) позволяет решать, например, следующую типичную задачу даны расход в основной магистрали Q, свойства жидкости, шероховатость труб, местные сопротивления и все размеры трубопроводов требуется определить расходы в параллельных трубопроводах Q
l
и потребный напор H
потр
. Другой задачей является определение диаметров трубопроводов, если известен расход в основной магистрали Q. При параллельном подключении трубопроводов число уравнений равно числу неизвестных. Выразим потери напора в каждом из трубопроводов через средние полные напоры в точках M ив общем случае (пренебрежем для простоты разностью скоростных напоров в сечениях) и определим потребный напор H
M
:
l
N
N
M
M
M
h
p
z
p
p
z
'
; Н
l
m
l
l
M
Q
K
H
Н
ст
Из уравнений (7.6) и (7.8) вытекает следующее важное правило для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (потерях –
h
l
). Другими словами, для получения суммарной характеристики параллельно соединенных трубопроводов необходимо при одинаковых потерях сложить расходы. Для определения потребного напора в точке M необходимо к суммарной характеристике трубопровода пот в соответствии с уравнением (7.1) прибавить статический напор ст (в данном примере
M
N
z
z
, ист. Изложенные соотношения и правила для параллельных трубопроводов справедливы в том случае, когда трубопроводы не сходятся водной точке N, а подают жидкость в разные места, нос одинаковыми пьезометрическими и геометрическими напорами (разветвленный трубопровод – см. ниже. Другими словами, разветвленный трубопровод можно считать параллельным, если геометрические и пьезометрические напоры в конце каждой ветви равны между собой. Перечисленные выше задачи можно решить графоаналитически. Для построения суммарной КПН надо, задаваясь расходом, построить характеристики отдельных трубопроводов (
l
l
Q
f
h
) и сложить абсциссы расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах потерях. После этого к суммарной характеристике трубопроводов надо прибавить статический напор ст, в результате чего будет получена суммарная кривая потребного напора параллельного соединения. По известному суммарному расходу в главной магистрали можно определить потребный напори расходы в ветвях. Для этого надо после построения суммарной КПН провести вертикальную линию, соответствующую значению известного суммарного расхода, и найти соответствующую точку пересечения этой прямой и суммарной КПН (ордината точки – интересующий потребный напор, после чего найти точку пересечения данной вертикальной прямой и суммарной характеристики трубопровода, и провести горизонтальную линию
95 через эту точку до пересечения с характеристиками отдельных трубопроводов абсциссы этих точек – расходы в параллельных ветвях. Если требуется по располагаемому напору определить требуемый расход в главной магистрали ив ветвях, нужно после построения суммарной КПН провести горизонтальную линию, имеющую значение, равное располагаемому напору, и найти соответствующую точку пересечения этой прямой и КПН, после чего провести вертикальную линию через данную точку до оси абсцисс и найти точку пересечения данной прямой с суммарной характеристикой трубопровода (абсцисса данной точки будет суммарным расходом в главной магистрали через эту точку провести горизонтальную линию до пересечения с характеристиками интересующих трубопроводов – абсциссы данных точек и будут интересующими расходами в параллельных ветвях. Разветвленное соединение Условимся называть разветвленным соединением совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления (или смыкания) труб. Разветвленное соединение представлено на рис. 7.6. Найдем связь между потребным напором
/
M
M
p
H
в точке Ми расходами в трубопроводах, считая направление течения в них заданным. Также, как и для параллельных трубопроводов, будем иметь Для данного трубопровода (см. рис. 7.6) запишем последнее уравнение
3 Рис. 7.6. Разветвленное соединение трубопроводов В точке разветвления (сечение M-M, на риса) данное сечение обозначено, как M), как ив случае параллельного соединения (см. рис. в, геометрический и пьезометрический напоры действуют на ветви одинаково. Отличие от параллельного соединения заключается в том, что в конечных ветвях геометрические и пьезометрические напоры между собой будут различаться в общем случае скоростной напор в сечении M-M можно считать одинаковым для
96 всех ветвей. Все это позволяет записать уравнения Бернулли для ветвей независимо друг от друга. Запишем уравнение Бернулли для точки Ми конечного сечения какого- либо трубопровода, обозначенного в общем случае индексом l (пренебрегаем разностью скоростных напоров для простоты, так как уравнения Бернулли для каждой ветви будут отличаться в правых частях только разными геометрическими напорами (z
1
, z
2
, z
3
), пьезометрическими напорами (p
1
/γ, p
2
/γ, p
3
/γ) и потерями, что отражается в различных индексах у этих слагаемых Откуда потребный напор в точке M будет равен Н или
l
m
l
l
l
M
Q
K
H
Н
ст
Для данного трубопровода запишем последнее уравнение для боковых ветвей (см. рис. 7.6):
1 1
1 1
ст
m
M
Q
K
H
Н
;
2 2
2 2
ст
m
M
Q
K
H
Н
;
3 3
3 3
ст
m
M
Q
K
H
Н
, где
M
M
p
p
z
z
H
'
1 ст,
M
M
p
p
z
z
H
'
2 ст,
M
M
p
p
z
z
H
'
3 3
3
ст
Отсюда, в частности, имеем следующие равенства
3 2
1 3
3 ст ст ст, при этом при записи статических напоров в развернутом виде z
M
ив данных равенствах сокращаются. Из последних выражений следует, что при разветвленном соединении трубопроводов расход в ветвях распределяется таким образом, чтобы обеспечить равенство потребных напоров. Также из последних выражений следует правило построения суммарной кривой потребного напора разветвленного трубопровода для получения суммарной кривой потребного напора (не суммарной характеристики трубопровода, как в двух выше рассмотренных случаях) необходимо при одинаковых потребных напорах сложить расходы (рис. 7.6). Кривая потребного напора для всего разветвления обозначена буквами ABCD. Из графика видно, что условием подачи жидкости вовсе ветви является неравенство H
М
>H
ст1
. В частности, при значении потребного напора меньше величины ст будет работать только третья ветвь, через остальные ветви жидкость течь не будет, так как потребного напора не хватит, чтобы преодолеть статические напоры в этих ветвях. Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными и H
М
Основной задачей по расчету разветвленного трубопровода является следующая даны расход в точке М, все размеры ветвей, включая геометрические высоты, давления в конечных точках и все местные сопротивления. Требуется определить расходы
3 2
1
Q
,
Q
,
Q
, а также потребный напор М
97 Данная задача решается графоаналитическим методом строятся КПН, которые складываются по правилу для разветвленного соединения трубопроводов при одинаковых потребных напорах складываются расходы проводится вертикальная линия, имеющая абсциссу, равную значению суммарного расхода в точке M, после чего ищется точка пересечения этой линии с суммарной КПН, ордината этой точки даст искомый потребный напор. Через последнюю точку проводится горизонтальная прямая, и ищутся точки пересечения этой прямой с
КПН ветвей, абсциссы этих точек и будут искомыми расходами. Если разностью скоростных напоров не пренебрегать, то получим следующие выражения для потребных напоров ветвей
l
l
l
l
l
M
M
M
M
M
h
p
g
V
z
g
V
p
p
z
2
ср
2
ср
2 2
'
;
l
M
M
l
l
M
l
M
l
M
M
h
g
V
V
p
p
z
z
p
Н
2
ср
2
ср
2
'
;
l
m
l
l
l
l
l
M
Q
K
Q
C
H
Н
2
ст
,
4 4
2 1
1 Для данного трубопровода для двух боковых ветвей будем иметь
2 2
ср
2 2
ср
2 2
2 1
2
ср
2 1
ср
1 1
1 2
'
2
'
h
g
V
V
p
p
z
z
h
g
V
V
p
p
z
z
M
M
M
M
M
M
M
M
;
2 1
2 2
2 2
ср
2 2
2 1
1 2
1
ср
1 1
1 2
2
m
m
Q
K
g
V
p
z
Q
K
g
V
p
z
1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7.4. Сложные трубопроводы Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательными параллельным их соединением или разветвлением. Разомкнутый сложный трубопровод Рассмотрим разомкнутый трубопровод (рис. 7.7) с разветвлениями и раздачей жидкости в конечных сечениях (точках) ветвей. Рис. 7.7. Разомкнутый сложный трубопровод Магистральный трубопровод разветвляется в точках Аи С. Жидкость подается к точкам сечениями с соответствующими расходами (см. рис.
7.7). Пусть известны размеры магистрали и всех ветвей (простых трубопроводов, заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек (B, D, E), отсчитываемые от плоскости M-N, проведенной через начальную точку трубопровода, и давления в конечных точках p
B
, p
D
и p
E
. В этом случае могут быть две основные задачи по расчету указанного трубопровода. Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали M-A. Определить расходы в каждой ветви Q
B
, Q
D
и Q
E
, а также потребный напор в точке М
/
M
M
p
Н
Задача 2. Дан располагаемый напор в точке М – расп
M
Н
. Определить расход в основной магистрали Q и расходы в каждой ветви. Обе задачи решаются на основе одной и той же системы уравнений, число которых на единицу больше числа конечных ветвей, а именно (при расчете идем от конечных точек к начальной, те. против течения жидкости
– уравнение расходов
E
D
C
Q
Q
Q
;
E
D
B
Q
Q
Q
Q
– равенства потребных напоров для ветвей CD и CE НС = const):
CD
m
D
CD
D
D
M
C
C
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
CE
m
E
CE
E
E
M
C
C
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
CD
m
D
CD
M
D
C
D
C
C
Q
K
p
p
z
z
p
H
/
'
/
; ст ист, где ст,
/
'
E
ст
M
E
C
E
p
p
z
z
H
В выражениях для потребных напоров в качестве пьезометрического напора на свободной поверхности жидкости со стороны входа используется
/
'
M
p
, так как этот пьезометрический напор передается вовсе точки жидкости без изменения со стороны входа в трубопровод. Окончательно имеем
CE
CD
m
E
CE
m
D
CD
Q
K
H
Q
K
H
E
ст
D
ст и Если
oc
E
D
p
p
p
, то Равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода
ACED НА
= const):
AB
m
B
AB
B
B
M
A
A
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
AC
CD
m
C
AC
m
D
CD
D
D
M
A
A
Q
K
Q
K
p
z
p
p
z
/
/
'
/
;
;
/
'
/
'
/
AC
CD
AB
m
C
AC
m
D
CD
M
D
A
D
m
B
AB
M
B
A
B
A
A
Q
K
Q
K
p
p
z
z
Q
K
p
p
z
z
p
H
AC
CD
AB
m
C
AC
m
D
CD
m
B
AB
Q
K
Q
K
H
Q
K
H
D
ст
B
ст или, учитывая
E
D
C
Q
Q
Q
,
AC
CD
AB
m
E
D
AC
m
D
CD
m
B
AB
Q
Q
K
Q
K
H
Q
K
H
D
ст
B
ст
В правой части равенства стоит сумма потерь
AC
CD
m
E
D
AC
m
D
CD
Q
Q
K
Q
K
, так как трубопроводы AC и CD представляют собой последовательное соединение, при котором потери суммируются. Выражение для потребного напора в точке М
99
AB
MA
AB
MA
m
B
AB
m
C
B
MA
m
B
AB
m
MA
M
M
Q
K
H
Q
Q
K
Q
K
H
Q
K
p
H
B
ст
B
ст
/
Определим отдельно потребный напор для точки А (давление p
Са
– абсолютное
/
'
/
а
M
C
m
A
AC
C
A
A
p
p
Q
K
z
p
H
AC
Потребный напор в точке С Уравнение Бернулли для трубопровода CD будет иметь вида
CD
m
D
CD
D
C
D
C
Q
K
p
z
z
p
/
/
а
Выразим потребный напор в точке Ас учетом последнего выражения
CD
AC
m
D
CD
M
D
C
D
m
A
AC
C
A
A
Q
K
p
p
z
z
Q
K
z
p
H
/
'
/
, откуда Из последнего выражения следует, что для промежуточных ветвей в выражение для определения потребного напора статический напор (сего составляющими и p
C
/γ) не входит. Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, тес применением кривых потребного напора или характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора H
потр для всего сложного трубопровода можно построить следующим образом
1. сложный трубопровод разбить наряд простых (MA, AB, AC, CD, CE);
2. построить КПН для каждого из простых трубопроводов, причем для ветвей с конечной раздачей (AB, CD, CE) – с учетом статического напора ста для промежуточных участков (АС, МА) – без учета ст, те. характеристики трубопроводов (в данном подразделе ХТ можно считать и КПН);
3. складываем полученные кривые в направлении против течения, те. от конечных точек к начальной сложить КПН для ветвей (и параллельных линий
– если они имеются) по правилу сложения потребных напоров разветвленных параллельных) трубопроводов (КПН ветви CD сложить с КПН ветви CE как разветвленное соединение, те. при постоянных потребных напорах сложить расходы
4. полученную таким образом суммарную КПН сложить с характеристикой последовательно соединенного трубопровода AC по правилу сложения последовательно соединенных трубопроводов (при постоянных расходах сложить потребные напоры суммарной КПН с потерями характеристики ветви AC). Отметим, что при сложении суммарной КПН с ХТ как последовательно соединенных трубопроводов, в отличие от выше рассмотренного правила получения суммарной ХТ, в данном случае складывается КПН и ХТ, а не характеристики трубопроводов. Руководствуясь этим правилом, можно построить кривую потребного напора для любого сложного трубопровода как при ламинарном, таки при турбулентном режимах течения. Кривая потребного напора H
потр необходима для расчета сложного трубопровода с насосной подачей.
100
7.5. Трубопроводы с насосной подачей жидкости Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом и принцип расчета трубопровода с насосной подачей жидкости. Трубопровод с насосной подачей может быть разомкнутым (жидкость перекачивается из одной емкости в другую) или замкнутым (кольцевым. Рассмотрим разомкнутый трубопровод. Высота расположения оси насоса H
1
относительно нижнего уровня, откуда засасывается жидкость (сечение 0-0), называется геометрической высотой всасывания, а трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу всасывающим трубопроводом (рис. 7.8). Высота расположения конечного сечения трубопровода, или верхнего уровня жидкости H
2
(сечение 3-3), называется геометрической высотой нагнетания, а трубопровод, по которому жидкость движется от насоса напорным. Составим уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе, те. для сечений 0-0 и 1-1 (принимая α = 1):
1 0
2 1
1 1
0 2
h
g
V
p
H
p
,
(7.9) где
1 0
h
– потери при движении жидкости во всасывающем трубопроводе. В уравнении Бернулли в сечении 0-0 отсутствует скоростной напори, так как подразумевается, что уровень жидкости в баке при перекачивании ее насосом не опускается, что позволяет считать параметры течения жидкости и работы насоса неизменными во времени. Скорость опускания жидкости в баке б конечных размеров при перекачивании ее насосом с расходом Q можно определить из уравнения неразрывности б б
б
; б
б
S
Q
V
, где б – площадь поперечного сечения бака в сечении 0-0; h – высота опускания жидкости в баке за время Δt. Рис. 7.8. Трубопроводы с насосной подачей Уравнение (7.9) является основным для расчета всасывающих трубопроводов. Оно показывает, что подъем жидкости на высоту H
1
(преодоление гидравлических сопротивлений, сообщение жидкости кинетической энергии) происходит за счет использования насосом давления p
0
. Для безкавитационной работы насоса необходимо, чтобы перед входом в насос давление p
1
было не меньше минимально допустимого значения доп, те. p
1
≥ p
1доп
В подавляющем большинстве случаев минимально допустимое давление жидкости перед входом в насос в 20-40 и более раз больше давления насыщенных паров жидкости (доп
≥(20-40)p
нп
). Это связано стем, что в силу конструктивных особенностей насосов основное падение давления происходит у рабочих элементов насоса (например, ушестеренного насоса – во впадинах зубьев, поэтому кавитация возникает именно там. Измерить давление, например, во впадинах зубьев шестеренного насоса очень сложно, поэтому расчетными экспериментальным путями определяется минимально допустимое давление жидкости перед входом в насос доп, обеспечивающее бескавитационную работу последнего (например, определяется значение давления перед входом в насос, при котором происходит нарушение линейной зависимости между действительной производительностью насоса и частотой вращения его вала при увеличении частоты последнего, и это значение указывается в характеристике (паспорте) насоса. Возможны следующие задачи на расчет всасывающего трубопровода. Задача 1. Даны все размеры трубопровода, высота всасывания H
1
, свойства жидкости, расход и требуется найти абсолютное давление p
1
перед входом в насос. Абсолютное давление p
1
, полученное по уравнению (7.9):
1 0
2 1
1 0
1 2
h
g
V
H
p
p
, сравнивают с давлением, которое является минимально допустимым для этого случая (это значение должно быть больше минимально допустимого давления перед входом в насос, те. p
1
≥ p
1доп
Задача 2. Дано минимально допустимое значение давления перед входом в насос доп и требуется найти одну из следующих предельно допустимых величин. В общем случае задача решается графоаналитиче- ским методом (см. выше. При расчетах всасывающего трубопровода иногда указывается вакууммет- рическая высота всасывания H
вак
, которая представляет собой разницу давления со стороны свободной поверхности засасываемой насосом жидкости и давления перед входом в насос при течении жидкости по всасывающему трубопроводу
1 0
2 1
1 1
0
вак
2
h
g
V
H
p
p
H
Это значение должно быть меньше допустимой вакуумметрической высоты всасывания доп вак
H
данного насоса приданной производительности, которая указывается в характеристиках (паспорте) насоса, те. доп вак вак
H
H
Насос для обеспечения течения жидкости поданному трубопроводу с заданным расходом выбирается таким образом, чтобы при заданном расходе напор насоса был больше или равен потребному напору трубопровода (для проталкивания жидкости по трубопроводу с заданным расходом, а также
102 должно быть выполнено условие доп вак вак
H
H
(для обеспечения бескавитацион- ной работы. Введем понятие напор насоса. Напор насоса нас – приращение энергии жидкости в насосе он равен разности напоров после насоса H
вых и передним
H
вх
, те. нас H
вых
– H
вх
Энергия жидкости перед входом в насос и на выходе из него равна сумме пьезометрического и скоростного напоров. Определим напор насоса нас. Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости по всасывающему трубопроводу, те. для сечений 0-0 и 1-1 (см. уравнение) и выразим из него энергию жидкости перед насосом
1 0
2 1
1 1
0 2
h
g
V
p
H
p
;
1 0
1 0
2 1
1 2
h
H
p
g
V
p
;
1 0
1 0
вх
h
H
p
H
(7.10) Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости по напорному трубопроводу, те. для сечений 2-2 ив сечении 3-3 скоростной напор равен нулю для обеспечения постоянства высоты H
2
):
3 2
3 2
2 2
2 2
h
p
H
g
V
p
;
3 2
3 2
вых
h
p
H
H
Для нахождения нас вычтем из последнего выражения выражение (7.10):
3 2
1 0
0 3
2 1
2 1
1 2
2 нас 2
h
h
p
p
H
H
g
V
p
g
V
p
H
, или
m
KQ
p
p
z
H
0 нас,
(7.11) где
2 1
H
H
z
– полная геометрическая высота подъема жидкости
m
KQ – сумма гидравлических потерь во всасывающем и напорном трубопроводах,
3 2
1 0
3 Последнее уравнение можно переписать в виде ст нас,
(7.11') где
0 3
ст
p
p
z
H
Сравнивая выражение (7.11') с выражением (7.1), приходим к выводу, что потр нас) При установившемся течении жидкости в трубопроводе насос развивает напор, равный потребному. Другими словами, насос развивает ровно такой
103 напор, который требуется на проталкивание жидкости поданному трубопроводу сданным расходом, не больше и не меньше. На равенстве (7.12) основывается метод расчетов трубопроводов, питаемых насосом, который заключается в совместном построении водном и том же масштабе и на одном графике двух кривых кривой потребного напора трубопровода
Q
f
H
H
1
потр нас и характеристики насоса
Q
f
H
2
хар
, которая приводится в специальных каталогах и паспорте насоса, – и нахождении их точки пересечения (риса. Характеристикой насоса называется зависимость напора (давления, создаваемого насосом, от его производительности (объема жидкости, перекачиваемого насосом в единицу времени) при постоянной частоте вращения вала насоса. Отметим, что характеристика насоса – это не напор насоса, определенный по выражению (7.11). Рис. 7.9. Графическое нахождение рабочей точки В точке пересечения кривой потребного напора и характеристики насоса точка А) имеем равенство между потребным напором и напором, создаваемым насосом, те. равенство (7.12). Эта точка называется рабочей точкой, так как всегда реализуется режим работы насоса, ей соответствующей. Таким образом, рабочая точка – это точка пересечения характеристики насоса и кривой потребного напора трубопровода. Чтобы получить другую рабочую точку, необходимо или изменить открытие регулировочного крана, те. изменить характеристику трубопровода, или изменить частоту вращения вала насоса. Указанный расчетный прием для нахождения рабочей точки применим в том случае, когда частота вращения привода насоса не зависит от мощности им потребляемой, те. от нагрузки навалу насоса. В случае если расход жидкости, получаемый в рабочей точке, при ее перекачивании насосом не устраивает (например, недостаточный, а параметры трубопровода (сам трубопровод) менять нецелесообразно, то нужно взять насос с другой характеристикой. В общем случае рабочая точка будет изменяться, если будут меняться параметры трубопровода, статический напори параметры насоса (как частота вращения, таки тип насоса. Рассмотрим определение величины потерь на задвижке зад, установленной на напорном трубопроводе после насоса, при расчете трубопроводов с а) б)
104 насосной подачей (см. рис. 7.11, либо риса, на котором задвижка не обозначена. Считаем, что вначале расчетов задвижка полностью открыта, те. ξ=0. Для требуемого расхода Q
тр определяем расчетный потребный напор
H
потр_р
, выбираем насос (его характеристика показана на графике – см. рис. б) с учетом рекомендаций, указанных выше строим КПН, пересекающую характеристику насосав рабочей точке А, в которой расход Q
A
оказывается больше требуемого. Для уменьшения расхода до значения Q
тр увеличиваем значение коэффициента местных потерь задвижки ξ до тех пор, пока новая КПН, имеющая большую кривизну, не пересечет характеристику насосав точке B, абсцисса которой равна Q
тр
, при этом действительный потребный напор будет равен H
потр_д
. Величина местных потерь на задвижке зад будет равна величине отрезка BC, те. Δh
зад
=H
потр_д
–H
потр_р
. В частности, при построении линии полного напора в сечении 2-2 с учетом потерь на задвижке зад напор на выходе из насоса будет равен H
вых
=H
вх
+H
потр_д см. рис. 7.11). Для замкнутого трубопровода геометрическая высота подъема жидкости равна нулю (Δz = 0), следовательно, при V
1
= V
2
:
1 пот потр
p
p
h
H
, те. между потребным напором и напором, создаваемым насосом, справедливо тоже равенство. Замкнутый трубопровод обязательно должен иметь расширительный (компенсационный бачок, соединенный с одним из сечений трубопровода, чаще всего с сечением у входа в насос, где давление имеет минимальное значение рис. б. Без этого бачка абсолютное давление внутри замкнутого трубопровода было бы неопределенным, а также переменным в связи с колебаниями температуры и утечками. При наличии расширительного бачка, присоединенного к трубопроводу, давление перед входом в насос
0 По величине p
1
можно подсчитать давление в любом сечении замкнутого трубопровода. Если давление в бачке p
0
изменится на некоторую величину, то во всех точках системы давление изменится на туже самую величину. Бачок можно включить в замкнутый трубопровод в область нагнетания трубопровод внутри бачка при этом должен иметь разрыв.
1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12