Файл: Лекции Концептуальные положения начального математического образования.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 258
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1. Учащимся сообщают, что точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l. Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т. е. не совпадает с какойлибо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.
Рассмотрим пример применения опыта для открытия переместительного свойства сложения. Допустим, что в одной коробке имеется т синих палочек, а в другой n красных палочек. Нужно освободить одну коробку. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки в коробку, где синие палочки, и тогда в ней окажется (т + п) палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в коробку, где красные палочки, и тогда в ней окажется (п + т) палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в коробке одно и то же множество палочек. Следовательно, т + п = п + т.
Разумеется, в конкретном опыте т и п обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посылок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел: «т + п = п + т для любых натуральных чисел т и п».
Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичные квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого выражаются натуральными числами, является опытом, с помощью которого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.
Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами
Сравнение и аналогия – логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении в качестве метода.
С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и различных свойств.
Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон. Устанавливается и различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника – четыре.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:
А обладает свойствами a, b, c, d.
В обладает свойствами a, b, c.
Вероятно (возможно) В обладает и свойством d.
Заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение вычислительных приемов в курсе математики начальных классов опирается на сходство приемов вычислений.
В практике обучения математике аналогия все еще используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям.
Однако не следует опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». Нередко учитель не дает учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся в этом случае является лишь репродуктивной деятельностью, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить следует безошибочно.
В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить. Именно на этой особенности аналогии строится проблемно-диалогические методы обучения, используемые в развивающих технологиях обучения и необходимых для реализации идей заложенных в образовательном стандарте второго поколения.
Обобщение и абстрагирование – два логических
приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.
Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.
Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или различных свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.
Когда мы говорим «несущественные свойства», то имеем в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, физикой или математикой. Для физики существенны одни его свойства, для математики другие. Математика изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.
Из приведенного краткого разъяснения вытекает, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.
Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переходе от представлений к понятиям. В этом случае их рассматривают как эвристические методы.
Под обобщением понимают переход от единичного к общему, от менее общего к более общему, а под конкретизацией понимают обратный переход – от более общего к менее общему, от общего к единичному.
Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Рассмотрим переход от единичного к общему, Например, формирование понятия «квадрат» на раннем этапе обучения начинается с показа множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, цветом, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, в размерах, цвете, материале. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку – по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрат состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые.
3. Методы проблемно – диалогического обучения
В развивающих системах обучения широко используется технология проблемно-диалогического обучения[54], которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания
В данной технологии различают две больших группы методов.
В первую группу методов автор включает три основных метода постановки учебной проблемы:
Побуждающий от проблемной ситуации диалог
наиболее сложен для учителя, поскольку требует последовательного осуществления четырёх педагогических действий:
Подводящий к теме диалог проще, чем предыдущий, т.к. не требует создания проблемной ситуации. Он представляет собой систему (логическую цепочку) посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию темы урока. В структуру подводящего диалога могут входить разные типы вопросов и заданий: репродуктивные (вспомнить, выполнить по образцу); мыслительные (на анализ, сравнение, обобщение). Но все звенья подведения опираются на уже пройденный классом материал, а последний обобщающий вопрос позволяет ученикам сформулировать тему урока.
Третий метод – сообщение темы с мотивирующим приемом – наиболее простой из группы методов постановки учебной проблемы. Он заключается в том, что учитель сам сообщает тему урока, но вызывает к ней интерес детей применением одного из двух мотивирующих приемов.
Используя методы поиска решения учебной проблемы, учитель помогает ученикам «открыть» новое знание. На уроке существуют три основные возможности обеспечить такое «открытие».
Наиболее трудным для учителя является первый из названных методов, поскольку он требует осуществления четырёх педагогических действий.
Другой метод из группы методов поиска решения учебной проблемы – проще предыдущего, поскольку не требует выдвижения и проверки гипотез. Подводящий диалог (от проблемы или без проблемы) представляет собой логическую цепочку посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию нового знания.
Оформим описанные выше методы в виде таблицы.
Таблица 1
Особенности использования на уроке тех или иных методов обучения можно найти в книге «Выбор методов обучения», созданной под редакцией Ю.К. Бабанского [21].
4. Описание методов, используемых на разных этапах изучения нового материала
Работа над программным материалом включает в себя несколько этапов: подготовку к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление полученных знаний.
Кратко рассмотрим использование методов на каждом этапе изучения темы [71].
Подготовительная работа обеспечивает необходимые условия для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. На этой ступени можно использовать как метод беседы, так и метод самостоятельной работы с последующим обобщением.
При ознакомлении с новым материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами, с некоторыми приемами вычислений), во время инструктажа учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля и т.п.) и в других подобных случаях используется метод объяснения.
Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным по времени. При этом по мере необходимости используются наглядные пособия – наглядный метод.
Рассмотрим пример применения опыта для открытия переместительного свойства сложения. Допустим, что в одной коробке имеется т синих палочек, а в другой n красных палочек. Нужно освободить одну коробку. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки в коробку, где синие палочки, и тогда в ней окажется (т + п) палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в коробку, где красные палочки, и тогда в ней окажется (п + т) палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в коробке одно и то же множество палочек. Следовательно, т + п = п + т.
Разумеется, в конкретном опыте т и п обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посылок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел: «т + п = п + т для любых натуральных чисел т и п».
Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичные квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого выражаются натуральными числами, является опытом, с помощью которого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.
Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами
Сравнение и аналогия – логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении в качестве метода.
С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и различных свойств.
Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон. Устанавливается и различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника – четыре.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
-
сравниваемые понятия однородны; -
сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:
А обладает свойствами a, b, c, d.
В обладает свойствами a, b, c.
Вероятно (возможно) В обладает и свойством d.
Заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение вычислительных приемов в курсе математики начальных классов опирается на сходство приемов вычислений.
В практике обучения математике аналогия все еще используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям.
Однако не следует опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». Нередко учитель не дает учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся в этом случае является лишь репродуктивной деятельностью, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить следует безошибочно.
В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить. Именно на этой особенности аналогии строится проблемно-диалогические методы обучения, используемые в развивающих технологиях обучения и необходимых для реализации идей заложенных в образовательном стандарте второго поколения.
Обобщение и абстрагирование – два логических
приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.
Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.
Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или различных свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.
Когда мы говорим «несущественные свойства», то имеем в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, физикой или математикой. Для физики существенны одни его свойства, для математики другие. Математика изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.
Из приведенного краткого разъяснения вытекает, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.
Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переходе от представлений к понятиям. В этом случае их рассматривают как эвристические методы.
Под обобщением понимают переход от единичного к общему, от менее общего к более общему, а под конкретизацией понимают обратный переход – от более общего к менее общему, от общего к единичному.
Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Рассмотрим переход от единичного к общему, Например, формирование понятия «квадрат» на раннем этапе обучения начинается с показа множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, цветом, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, в размерах, цвете, материале. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку – по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрат состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые.
3. Методы проблемно – диалогического обучения
В развивающих системах обучения широко используется технология проблемно-диалогического обучения[54], которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания
В данной технологии различают две больших группы методов.
-
Методы постановки учебной проблемы. -
Методы поиска решения учебной проблемы.
В первую группу методов автор включает три основных метода постановки учебной проблемы:
-
побуждающий от проблемной ситуации диалог; -
подводящий к теме диалог; -
сообщение темы с мотивирующим приёмом.
Побуждающий от проблемной ситуации диалог
наиболее сложен для учителя, поскольку требует последовательного осуществления четырёх педагогических действий:
-
создание проблемной ситуации; -
побуждения к осознанию противоречия проблемной ситуации; -
побуждения к формулированию учебной проблемы; -
принятия предлагаемых учениками формулировок учебной проблемы.
Подводящий к теме диалог проще, чем предыдущий, т.к. не требует создания проблемной ситуации. Он представляет собой систему (логическую цепочку) посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию темы урока. В структуру подводящего диалога могут входить разные типы вопросов и заданий: репродуктивные (вспомнить, выполнить по образцу); мыслительные (на анализ, сравнение, обобщение). Но все звенья подведения опираются на уже пройденный классом материал, а последний обобщающий вопрос позволяет ученикам сформулировать тему урока.
Третий метод – сообщение темы с мотивирующим приемом – наиболее простой из группы методов постановки учебной проблемы. Он заключается в том, что учитель сам сообщает тему урока, но вызывает к ней интерес детей применением одного из двух мотивирующих приемов.
-
«Яркое пятно» (сообщение классу интригующего материала, захватывающего внимание учеников, но при этом связанного с темой урока). -
«Актуальность» (обнаружение смысла, значимости предлагаемой темы для каждого ученика).
Используя методы поиска решения учебной проблемы, учитель помогает ученикам «открыть» новое знание. На уроке существуют три основные возможности обеспечить такое «открытие».
-
Побуждающий к гипотезам диалог. -
Подводящий к знаниям от проблемы диалог. -
Подводящий к знаниям без проблемы диалог.
Наиболее трудным для учителя является первый из названных методов, поскольку он требует осуществления четырёх педагогических действий.
-
Побуждения к выдвижению гипотез. -
Принятия выдвигаемых учениками гипотез. -
Побуждения к проверке гипотез. -
Принятия предлагаемых учениками проверок.
Другой метод из группы методов поиска решения учебной проблемы – проще предыдущего, поскольку не требует выдвижения и проверки гипотез. Подводящий диалог (от проблемы или без проблемы) представляет собой логическую цепочку посильных ученику вопросов и заданий, которые пошагово приводят класс к формулированию нового знания.
Оформим описанные выше методы в виде таблицы.
Таблица 1
| Методы постановки учебной проблемы | Методы поиска решения учебной проблемы | ||||
| Побуждающий от проблемной ситуации диалог | Подводящий к теме диалог | Сообщение темы с мотивирующим приемом | Побуждающий к гипотезам диалог | Подводящий к знаниям от проблемы диалог | Подводящий к знаниям без проблемы диалог |
Особенности использования на уроке тех или иных методов обучения можно найти в книге «Выбор методов обучения», созданной под редакцией Ю.К. Бабанского [21].
4. Описание методов, используемых на разных этапах изучения нового материала
Работа над программным материалом включает в себя несколько этапов: подготовку к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление полученных знаний.
Кратко рассмотрим использование методов на каждом этапе изучения темы [71].
Подготовительная работа обеспечивает необходимые условия для успешного усвоения материала всеми учащимися класса. На этой ступени можно использовать как метод беседы, так и метод самостоятельной работы с последующим обобщением.
При ознакомлении с новым материалом типа сведений (правила порядка выполнения арифметических действий в выражениях, ознакомление с терминами, с некоторыми приемами вычислений), во время инструктажа учеников по использованию инструментов (линейки, циркуля и т.п.) и в других подобных случаях используется метод объяснения.
Изложение материала должно быть четким, доступным, непродолжительным по времени. При этом по мере необходимости используются наглядные пособия – наглядный метод.