Файл: Основы теории надежности.pdf

и вероятностями переходов P
ij
(t). Используя марковское свойство и фор- мулу полной вероятности, для любых i, j ∈ X и всех s, t > 0 мы можем написать:
P
ij
(t + s) =
r
X
k=0
P X(t + s) = j
X(0) = i, X(s) = k
P X(s) = k
X(0) = i
=
=
r
X
k=0
P X(t + s) = j
X(s) = k

|
{z
}
P
kj
(t)
P
ik
(s) =
=
r
X
k=0
P
ik
(s)P
kj
(t).
Полученные уравнения известны как уравнения Колмогорова – Чепме- на. Если вспомнить правило умножения матриц, то легко видеть, что эти уравнения можно записать в виде одного матричного уравнения
P(t + s) = P(s)P(t).
(6.15)
Заметим также, что P(0) — это единичная матрица 1, поскольку за нулевое время невозможно перейти в другое состояние (элементы главной диагонали равны 1, а все внедиагональные элементы — 0). Отметим также,
что P(t) =

P(1)

t
, причем можно показать, что последнее равенство верно и в тех случаях, когда t не является целым.
6.3
Дифференциальные уравнения Колмогорова
Прежде всего напишем уравнения Колмогорова – Чепмена для произ- вольного 4t > 0. Имеем:
P
ij
(t + 4t) =
r
X
k=0
P
ik
(4t)P
kj
(t) =
r
X
k=0, k6=i
P
ik
(4t)P
kj
(t) + P
ii
(4t)P
ij
(t).
Теперь вычтем P
ij
(t) из правой и левой частей последнего равенства, раз- делим обе части на 4t, затем перейдем к пределу при 4t → 0
+
:
lim
4t→0
+
P
ij
(t + 4t) − P
ij
(t)
4t
= lim
4t→0
+
r
X
k=0, k6=i
P
ik
(4t)
4t
P
kj
(t)−
− lim
4t→0
+
1 − P
ii
(4t)
4t
P
ij
(t).
107

Поскольку число слагаемых конечно, мы можем внести знак предела под знак суммы и, применяя соотношения (6.8) и (6.9), получаем
P
0
ij
(t) =
r
X
k=0, k6=i a
ik
P
kj
(t) − α
i
P
ij
(t) =
r
X
k=0
a ik
P
kj
(t),
(6.16)
где a ii
= −α
i
Мы получили уравнения (6.16), которые известны как обратные диф- ференциальные уравнения Колмогорова. Они называются обратными, по- скольку 4t > 0, поэтому мы идем назад к началу интервала. Обратные уравнения Колмогорова можно записать в матричной форме, как
P
0
(t) = A · P(t).
(6.17)
Если мы запишем уравнения Колмогорова – Чепмена в виде
P
ij
(t + 4t) =
r
X
k=0
P
ik
(t)P
kj
(4t)
для 4t > 0, когда мы сначала с вероятностью P
ik
(t) переходим из со- стояния i в некоторое промежуточное состояние k за время t, а затем за оставшееся время 4t с вероятностью P
kj
(4t) переходим из состояния k в состояние j, то, вычитая так же P
ij
(t) в левой и правой части, приходим к следующим уравнениям:
P
ij
(t + 4t) − P
ij
(t) =
r
X
k=0, k6=j
P
ik
(t)P
kj
(4t) − (1 − P
jj
(4t))P
ij
(t).
Теперь аналогично предыдущему разделим обе части на 4t, затем пе- рейдем к пределу при 4t → 0
+
lim
4t→0
+
P
ij
(t + 4t) − P
ij
(t)
4t
= lim
4t→0
+


r
X
k=0, k6=j
P
ik
(t)
P
kj
(4t)
4t
−
1 − P
jj
(4t)
4t
P
ij
(t)


,
и, меняя местами знак предела и знак суммирования (так как число сла- гаемых конечно), приходим к уравнениям
P
0
ij
(t) =
r
X
k=0, k6=j
P
ik
(t)a kj
− P
ij
(t)α
j
=
r
X
k=0
P
ik
(t)a kj
,
(6.18)
где a jj
= −α
j
108

Полученные уравнения (6.18) известны как прямые дифференциальные уравнения Колмогорова. Возможность поменять порядок суммирования и перехода к пределу в общем случае не имеет места, но это всегда верно,
когда пространство состояний X является конечным.
Прямые уравнения Колмогорова также можно записать в матричной форме как
P
0
(t) = P(t) · A.
(6.19)
Для марковских процессов, которые мы будем рассматривать далее,
системы как обратных, так и прямых уравнений в совокупности с началь- ным условием
(
P
0
(t) = A · P(t),
P(0) = 1
(6.20)
имеют одно и то же единственное решение:
P(t) = exp (At) ,
(6.21)
где exp (At) обозначает матричную экспоненциальную функцию:
exp (At) = 1 +
∞
X
k=1
A
k t
k k!
Далее мы будем в основном использовать прямые уравнения.
Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний.
Обозначим P
j
(t) = P X(t) = j
, j ∈ X , t ≥ 0. В силу марковского свойства и формулы полной вероятности, мы имеем:
P
j
(t) =
r
X
i=0
P X(t) = j
X(0) = i
P X(0) = i =
r
X
i=0
P
ij
(t)P
i
(0).
(6.22)
Дифференцируя обе части этого равенства по t и используя прямые уравнения Колмогорова (6.18), получаем
P
0
j
(t) =
r
X
i=0
P
0
ij
(t)P
i
(0) =
r
X
i=0
r
X
k=0
P
ik
(t)a kj
P
i
(0) =
r
X
k=0
a kj r
X
i=0
P
ik
(t)P
i
(0)
|
{z
}
P
k
(t)
,
откуда следует, что
P
0
j
(t) =
r
X
k=0
a kj
P
k
(t),
j = 0, 1, . . . , r.
(6.23)
109

Уравнения (6.23) известны как дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Введем обозначение для вектор-строки вероятностей состояний в мо- мент t:
P(t) = P
0
(t), P
1
(t), . . . , P
r
(t)
,
тогда уравнения (6.23) можно записать в векторно-матричной форме:
P
0
(t) = P(t) · A.
(6.24)
Приведем также важное соотношение, следующее из (6.22):
P(t) = P(0) · P(t),
где P(t) — матрица вероятностей перехода за время t. Отсюда и из реше- ния дифференциальных уравнений Колмогорова (6.21) следует, что если мы знаем вектор распределения вероятностей P(0) в начальный момент t = 0 и матрицу интенсивностей переходов A, то вектор P(t) распреде- ления вероятностей состояний процесса в момент времени t известен и определяется как
P(t) = P(0) · exp (At) .
(6.25)
Замечание 6.1. Следует отметить, что так как сумма элементов каждой строки матрицы A равна 0, матрица A сингулярная, ее определитель ра- вен 0, поэтому система уравнений (6.24) имеет бесконечно много решений,
но условие
P
r j=0
P
j
(t) = 1 (так как P(t) – это вектор распределения ве- роятностей), а также знание начального распределения P(0) позволяют определить вероятности всех состояний в любой момент времени t одно- значно.
Пример 6.5. Рассмотрим систему из одного элемента, который может находиться в двух состояниях: 1 — функционирует; 0 — в состояние отка- за. Переход из состояния 1 в состояние 0 означает, что элемент выходит из строя, и переход из состояния 0 в состояние 1 означает, что элемент восстановлен. Таким образом, a
10
— это интенсивность отказов элемен- та, а a
01
— интенсивность восстановления. Мы будем использовать в этом примере следующие обозначения: a
10
=: λ и a
01
=: µ. Диаграмма интен- сивностей переходов изображена на рис. 6.5.
Среднее время пребывания в состоянии 1 — это среднее время до от- каза, T
ср.
= 1/λ, а среднее время пребывания в состоянии 0 — это среднее время ремонта, T
ср.рем.
= 1/µ (или среднее время простоя устройства).
110

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний имеют вид
(P
0 0
(t), P
0 1
(t)) = (P
0
(t), P
1
(t)) ·
−µ
µ
λ
−λ

(6.26)
Рис. 6.5. Диаграмма переходов для одного элемента (цикл восстановления)
В момент t = 0 элемент предполагается функционирующим, т. е.
P
0
(0) = 0,
P
1
(0) = 1.
Поскольку, как уже было отмечено, два уравнения, которые мы по- лучаем из (6.26), линейно зависимы, мы используем только одно из них,
например
P
0 0
(t) = −µP
0
(t) + λP
1
(t),
и так как P
0
(t) + P
1
(t) = 1, получаем уравнение
P
0 0
(t) = −µP
0
(t) + λ(1 − P
0
(t)) = λ − (λ + µ)P
0
(t),
единственным решением которого, с учетом начального условия P
0
(0) = 0,
является
P
0
(t) =
λ
λ + µ
−
λ
λ + µ
e
−(λ+µ)t
,
и так как P
1
(t) = 1 − P
0
(t), то для вероятности состояния 1 получаем
P
1
(t) =
µ
λ + µ
+
λ
λ + µ
e
−(λ+µ)t
Вероятность P
0
(t) — это вероятность того, что элемент находится в состо- янии отказа в момент t, а P
1
(t) — это вероятность готовности к работе в момент t. Из полученных нами решений видно, что эти вероятности имеют пределы при t → ∞, а именно:
P
0
= lim t→∞
P
0
(t) =
λ
λ + µ
,
P
1
= lim t→∞
P
1
(t) =
µ
λ + µ
Отметим, что если нет ремонта, т. е. µ = 0, решением уравнений будет
P
1
(t) = e
−λt
, совпадающее с функцией надежности R(t) для экспонен- циального распределения, при этом lim t→∞
P
1
(t) = 0, т. е. вероятность готовности к работе стремится к 0.
111

6.4
Стационарные вероятности
Во многих приложениях интерес представляют только долгосрочные
(стационарные) вероятности, т. е. значения P
j
(t) при t → ∞. В приме- ре 6.5 мы видели, как вероятности состояний P
j
(t) (j = 0, 1) стремились к стационарным P
j
, когда t → ∞. Точно такие же значения P
j в этом примере получились бы и в случае, если система в момент t = 0 находи- лась бы в неисправном состоянии. В этом разделе мы рассмотрим вопрос о существовании предельных (стационарных) вероятностей состояний у марковских процессов. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Определение 6.4. Марковский процесс называется неприводимым, если для любых i, j ∈ X существует 0 ≤ t < ∞ такое, что P
ij
(t) > 0. Други- ми словами, процесс неприводимый, если каждое состояние достижимо из любого другого за конечное время.
Можно показать (напр., [22]), что у неприводимого марковского про- цесса вероятности всех состояний имеют пределы lim t→∞
P
j
(t), j ∈ X ,
причем эти пределы не зависят от состояния процесса в начальный момент времени t = 0. То есть процесс, начавшийся в момент t = 0, с течением времени теряет свою зависимость от исходного состояния X(0) и сходится к процессу, у которого вероятности состояний не зависят от времени и определяются как
P
j
:= P
j
(∞) = lim t→∞
P
j
(t), j ∈ X .
Эти предельные вероятности часто называются стационарными вероят- ностями марковского процесса.
Если вероятности P
j
(t) стремятся к константам при t → ∞, то их производные — к нулю:
lim t→∞
P
0
j
(t) = 0, j ∈ X ,
поэтому стационарные вероятности P
0
, P
1
, . . . , P
r должны удовлетворять матричному уравнению, получаемому предельным переходом при t → ∞
в дифференциальных уравнениях Колмогорова:
(0, 0, . . . , 0) = (P
0
, P
1
, . . . , P
r
) ·





a
00
a
01

которое кратко может быть записано как
0 = P · A,
(6.28)
P = (P
0
, P
1
, . . . , P
r
) — вектор неизвестных стационарных вероятностей.
Отметим, что P = 0 всегда является решением однородной системы линейных уравнений (6.28), так что решений у нее бесконечно много (так как матрица A имеет нулевой определитель). Для того чтобы определить стационарные вероятности P
j
, j = 0, 1, . . . , r, однозначно, нужно добавить к уравнениям (6.28) еще одно уравнение:
P
0
+ P
1
+ · · · + P
r
= 1,
которое, очевидно, выполняется, так как является предельным вариантом условия
P
r i=0
P
i
(t) = 1, t ≥ 0.
Отметим также, что P
j можно интерпретировать как среднюю долго- срочную долю времени, в течение которого система проводит в состоянии j ∈ X .
Пример 6.6 [37]. Рассмотрим электростанцию с двумя генераторами, 1
и 2. Каждый генератор может иметь два состояния: рабочее (1) и неис- правное (0). Во время ремонта генератор считается неисправным, т. е. на- ходящимся в состоянии (0). Генератор 1 подает 100 МВт, когда он рабо- тает, и 0 МВт, когда не работает. Генератор 2 выдает 50 МВт, когда он работает, и 0 МВт, когда не работает. Возможные состояния системы и подаваемая при них мощность приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Состояние Состояние
Состояние
Подаваемая системы генератора 1 генератора 2 мощность
3 1
1 150 МВт
2 1
0 100 МВт
1 0
1 50 МВт
0 0
0 0 МВт
Мы предполагаем, что генераторы выходят из строя независимо друг от друга и работают непрерывно. Интенсивности отказов генераторов рав- ны λ
1
и λ
2
соответственно. Когда генератор выходит из строя, немедленно начинается его ремонт, чтобы вернуть генератор к работе. Предполагает- ся, что два генератора ремонтируются независимо друг от друга двумя независимыми ремонтными бригадами. Интенсивности ремонта генерато- ров равны µ
1
и µ
2
соответственно. Диаграмма интенсивностей переходов изображена на рис. 6.6.
113

Рис. 6.6. Диаграмма переходов для генераторов в примере 6.6
Матрица интенсивностей переходов
A =




−(µ
1
+ µ
2
)
µ
2
µ
1 0
λ
2
−(λ
2
+ µ
1
)
0
µ
1
λ
1 0
−(λ
1
+ µ
2
)
µ
2 0
λ
1
λ
2
−(λ
1
+ λ
2
)




Теперь мы можем найти стационарные вероятности из уравнений (6.28),
заменяя в них последнее уравнение (так как уравнения линейно зависимы)
уравнением P
0
+P
1
+P
2
+P
3
= 1. Имеем систему линейных алгебраических уравнений











−(µ
1
+ µ
2
)P
0
+ λ
2
P
1
+ λ
1
P
2
= 0
µ
2
P
0
− (λ
2
+ µ
1
)P
1
+ λ
1
P
3
= 0
µ
1
P
0
− (λ
1
+ µ
2
)P
2
+ λ
2
P
3
= 0
P
0
+ P
1
+ P
2
+ P
3
= 1.
В результате решения этой системы получаем, что
P
0
=
λ
1
λ
2
(λ
1
+ µ
1
)(λ
2
+ µ
2
)
,
P
1
=
λ
1
µ
2
(λ
1
+ µ
1
)(λ
2
+ µ
2
)
,
P
2
=
µ
1
λ
2
(λ
1
+ µ
1
)(λ
2
+ µ
2
)
,
P
3
=
µ
1
µ
2
(λ
1
+ µ
1
)(λ
2
+ µ
2
)
Для i = 1, 2 введем обозначения:
q i
=
λ
i
λ
i
+ µ
i и p i
=
µ
i
λ
i
+ µ
i
В этих обозначениях мы получаем, что
P
0
= q
1
q
2
,
P
1
= q
1
p
2
,
P
2
= p
1
q
2
,
P
3
= p
1
p
2
(6.29)
114

Заметим, что p i
и q i
совпадают со стационарными вероятностями от- каза и нормальной работы каждого из генераторов, т. е. для i = 1, 2 как рассматриваемых по отдельности. Так как в этом простом примере гене- раторы выходят из строя и ремонтируются независимо друг от друга, то полученное решение (6.29) объясняется и прямыми рассуждениями:
P
0
= P{1-й отказал } · P{ 2-й отказал } = q
1
q
2
,
P
1
= P{1-й отказал } · P{ 2-й работает} = q
1
p
2
,
P
2
= P{1-й работает} · P{ 2-й отказал } = p
1
q
2
,
P
3
= P{1-й работает} · P{ 2-й работает} = p
1
p
2
Таким образом, в этом простом примере, где все отказы и восстановле- ния являются независимыми событиями, нам на самом деле не нужно ис- пользовать методы марковских процессов для определения вероятностей стационарных состояний, их можно легко найти на основе теоремы умно- жения вероятностей для независимых событий. Однако так будет только в случае систем с независимыми отказами и ремонтами.
Характеристики эксплуатационных качеств системы. Приведем несколько показателей производительности системы, которые могут ис- пользоваться в стационарной (установившейся) ситуации.
Частота посещения. Начнем с прямых уравнений Колмогорова в форме
P
0
ij
(t) =
r
X
k=0, k6=j a
kj
P
ik
(t) − α
j
P
ij
(t).
Когда t → ∞, мы имеем P
ij
(t) → P
j и P
0
ij
(t) → 0. Тогда при t → ∞
получаем
0 =
r
X
k=0, k6=j a
kj
P
k
− α
j
P
j
,
откуда получаем
α
j
P
j
=
r
X
k=0, k6=j a
kj
P
k
(6.30)
Вероятность того, что процесс X(t) находится в состоянии j в момент t и выходит из этого состояния в интервале времени (t, t + 4t), равна r
X
k=0, k6=j
P
(X(t + 4t) = k) ∩ (X(t) = j) =
=
r
X
k=0, k6=j
P X(t + 4t) = k
X(t) = j
P X(t) = j =
r
X
k=0, k6=j
P
jk
(4t) · P
j
(t).
115

Когда t → ∞, эта вероятность стремится к
P
r k=0, k6=j
P
jk
(4t)·P
j
. И сле- довательно, с теми же рассуждениями, которые использовались при по- лучении (6.7)–(6.9) интенсивность выхода из состояния j равна
υ
вых.
j
= lim
4t→0
+
P
r k=0, k6=j
P
jk
(4t) · P
j
4t
= P
j
α
j
Следовательно, левая часть (6.30) есть стационарная интенсивность вы- ходов из состояния j. Интенсивность выходов из состояния j рассматри- вается как доля времени P
j
, проведенного в состоянии j, умноженное на интенсивность выхода из этого состояния α
j
. Аналогично интенсивность переходов из состояния k в состояние j составляет P
k a
kj
. Следовательно,
общая интенсивность (частота) вхождения в состояние j есть
υ
вх.
j
=
r
X
k=0, k6=j
P
k a
kj
Уравнение (6.30) означает, что в стационарном режиме интенсивность выхода из состояния j равна интенсивности входа в состояние j для всех j = 0, 1, . . . r и поэтому иногда эти уравнения называют уравнениями ба- ланса. Таким образом, в стационарной ситуации мы определяем интенсив- ность посещений состояния j как
υ
j
= α
j
P
j
=
r
X
k=0, k6=j a
kj
P
k
,
(6.31)
и среднее время между двумя посещениями состояния j равно 1/υ
j
Среднее время пребывания. Когда процесс приходит в состояние j,
система будет оставаться в этом состоянии время Υ
j до тех пор, пока процесс не выйдет из этого состояния, j = 0, 1, . . . , r. Мы назвали Υ
j вре- менем пребывания в состоянии j и отметили, что (в случае марковского процесса) Υ
j экспоненциально распределено с параметром α
j
. Следова- тельно, среднее время пребывания или средняя продолжительность посе- щения состояния j
θ
j
= E (Υ
j
) =
1
α
j для j = 0, 1, . . . , r.
(6.32)
Из (6.31) и (6.32) следует, что
υ
j
= α
j
P
j
=
P
j
θ
j
,
P
j
= υ
j
θ
j
(6.33)
116