Файл: Основы теории надежности.pdf

функция интенсивности отказов
υ(t) =
f (t)
R(t)
=
λ (λ t)
k−1
e
−λt
/(k − 1)!
P
k−1
n=0
(λt)
n e
−λt
/n!
=
λ (λ t)
k−1
/(k − 1)!
P
k−1
n=0
(λt)
n
/n!
(3.17)
Если k = 2, то мы получаем υ(t) =
λ
2
t
1+λ t
. Можно сравнить эту интен- сивность отказов с рассмотренной в примере 2.2, где, как теперь видно,
мы имели дело с временем жизни объекта с распределением Erl(2, λ).
Модель Эрланга времени наработки до отказа T соответствует, напри- мер, ситуации «холодного» резервирования, когда объект имеет k дубли- рующих элементов, один из которых поставлен под нагрузку, остальные k − 1 находятся в резерве. Как только работающий элемент выходит из строя, он мгновенно заменяется резервным, и так до тех пор, пока не будет использован весь запас резервных элементов. И если время наработки до отказа одинаковых k резервных элементов имеет экспоненциальное рас- пределение с параметром λ, то время наработки до отказа такого объекта состоит из k экспоненциальных слагаемых.
Распределение Эрланга — это частный случай гамма-распределения
[T ∼ Gamma(k, λ)], с параметрами k > 0, λ > 0 и с плотностью f (t) =
λ
Γ(k)
(λ t)
k−1
e
−λt
, для t ≥ 0,
(3.18)
где Γ(k) — гамма-функция Эйлера (см. п. 7.2). В случае целого поло- жительного k гамма-распределение становится распределением Эрланга,
поскольку в этом случае Γ(k) = (k − 1)!.
3.4
Распределение Вейбулла
Распределение названо в честь шведского математика В. Вейбулла
(1887–1979), который разработал это распределение для моделирования прочности материалов. Оно также широко используется в теории надеж- ности в качестве модели распределения случайного времени наработки до отказа. Распределение Вейбулла очень гибкое и может (при подходящем выборе параметров) моделировать многие типы поведения интенсивности отказов.
Распределение времени T наработки объекта до отказа называется рас- пределением Вейбулла с параметрами α > 0 и λ > 0 [T ∼ W eibull(α, λ)],
если
F (t) = P T < t
=
(
1 − e
−(λt)
α
,
для t > 0,
0,
для t ≤ 0.
(3.19)
32

Соответствующая плотность распределения f (t) = F
0
(t) =
(
αλ
α
t
α−1
e
−(λt)
α
,
для t ≥ 0,
0,
для t < 0,
(3.20)
где λ — параметр масштаба; α — параметр формы. Заметим, что когда
α = 1, распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным распре- делением. Графики плотности f (t) при нескольких значениях параметра формы α (λ = 1) изображены на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Графики функции плотности распределения Вейбулла
Функция надежности распределения Вейбулла равна
R(t) = P T ≥ t
= e
−(λt)
α
, для t ≥ 0,
(3.21)
и функция интенсивности отказов
υ(t) =
f (t)
R(t)
= αλ
α
t
α−1
, для t ≥ 0.
(3.22)
Когда α = 1, частота отказов постоянна; когда α > 1, функция частоты отказов возрастает; когда 0 < α < 1, функция υ(t) убывает. Когда α = 2,
получается распределение, которое известно как распределение Рэлея.
Рис. 3.2. Графики функции υ(t) для распределения Вейбулла
33

Графики функции интенсивности отказов υ(t) для распределения Вей- булла с тем же набором значений параметров формы α (λ = 1), что и выше (см. рис. 3.1), представлены на рис. 3.2.
Распределение Вейбулла считается гибким, поскольку может использо- ваться для моделирования распределений времени наработки до отказа,
когда функция интенсивности отказов υ(t) убывает, постоянна или воз- растает.
Среднее время наработки до отказа для распределения Вейбулла
T
ср.
= E(T ) =
∞
Z
0
R(t) dt =
1
λ
Γ
1
α
+ 1

,
(3.23)
дисперсия T равна
D(T ) =
1
λ
2

Γ
2
α
+ 1

− Γ
2
1
α
+ 1

,
(3.24)
где Γ(.) — гамма функция Эйлера (см. п. 7.2). Распределение Вейбулла широко используется при анализе надежности (времени жизни) полупро- водников, шарикоподшипников, двигателей, биологических организмов и т.д.
Распределение Вейбулла также возникает как предельное распределе- ние для наименьшего (наибольшего) из наблюдений выборки независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин. Поэто- му распределение Вейбулла часто называют распределением самого сла- бого звена.
Мы завершим этот подраздел доказательством одного важного свой- ства распределения Вейбулла (относящегося, в частности, к экспоненци- альному распределению, когда α = 1), которое полезно иметь в виду при его использовании для анализа надежности.
Предложение 3.1. Пусть T
i
∼ W eibull(α, λ
i
), i = 1, 2, . . . , n, — неза- висимые случайные величины, имеющие распределение Вейбулла с оди- наковыми параметрами α и, вообще говоря, разными параметрами λ
i
Тогда
T = min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) ∼ W eibull
α,
h n
X
i=1
λ
α
i i
1/α
!
,
т. е. минимум из независимых случайных величин, имеющих распределе- ние Вейбулла (с одинаковыми параметрами формы), имеет снова распре- деление Вейбулла, с тем же параметром формы α и с параметром мас- штаба λ =
h
P
n i=1
λ
α
i i
1/α
. Если λ
i
≡ λ
0
, для i = 1, . . . , n, то λ = n
1/α
λ
0 34

Доказательство предложения 3.1. Рассмотрим функцию надежности для T = min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
). Имеем
R
T
(t) = P T ≥ t
= P min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) ≥ t
=
= P T
1
≥ t, T
2
≥ t, . . . , T
n
≥ t
=
n
Y
i=1
P T
i
≥ t
=
=
n
Y
i=1
e
−(λ
i t)
α
= e
−
P
n i=1
(λ
i t)
α
= e
−[
P
n i=1
λ
α
i
]t
α
Из полученного равенства, того, что F
T
(t) = 1 − R
T
(t), и определе- ния (3.19) следует справедливость предложения 3.1.
Например, если система состоит из n независимых (в смысле надеж- ности) элементов, причем работоспособность каждого из них необходима для функционирования всей системы, то время жизни такой системы бу- дет равно минимуму из времен жизни ее элементов, и если времена жизни элементов имеют распределения Вейбулла (с одинаковыми параметрами формы), то в силу предложения 3.1 время жизни всей системы будет так- же иметь распределение Вейбулла с параметром, вычисляемым по приве- денной выше формуле.
Из предложения 3.1 непосредственно вытекает следствие для α = 1.
Следствие 3.1. Пусть T
i
∼ Exp(λ
i
), i = 1, 2, . . . , n, — независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами λ
i
,
соответственно. Тогда
T = min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) ∼ Exp n
X
i=1
λ
i
!
,
т. е. минимум независимых экспоненциально распределенных случайных величин имеет снова экспоненциальное распределение с параметром λ =
=
P
n i=1
λ
i
Часто рассматривают распределение Вейбулла с тремя параметра- ми, вводя дополнительно параметр положения (локализации), обозначим его t
0
. Тогда функция распределения будет иметь вид
F (t) = P T < t
=
(
1 − e
−[λ(t−t
0
)]
α
,
для t > t
0
,
0,
для t ≤ t
0
(3.25)
Соответствующая плотность распределения f (t) = F
0
(t) = αλ
α
(t − t
0
)
α−1
e
−[λ(t−t
0
)]
α
, для t ≥ t
0
(3.26)
35

Третий параметр t
0
иногда называют параметром гарантии (или по- рога), поскольку вероятность отказа до момента времени t
0
у этого рас- пределения равна нулю. Поскольку (T − t
0
) ∼ W eibull(α, λ), т. е. имеет двухпараметрическое распределение Вейбулла, среднее время до отказа у этого распределения равно t
0
+ T
ср.
, где T
ср.
— среднее значение двухпара- метрического распределения, данное в формуле (3.23), дисперсия совпа- рает с величиной D(T ) из формулы (3.24), так как дисперсия не зависит от локализации.
3.5
Нормальное (гауссовское) распределение
Одним из часто используемых в теории надежности распределений явля- ется нормальное (или гауссовское) распределение. Говорят, что случайная величина T нормально распределена со средним значением µ и дисперси- ей σ
2
, T ∼ N (µ, σ
2
), если функция плотности распределения T равна f (t) =
1
√
2π σ
e
−(t−µ)
2
/2σ
2
(3.27)
Распределение N (0, 1) называется стандартным нормальным распре- делением. Стандартная нормальная функция распределения обычно обо- значается через Φ(.). Функция плотности стандартного нормального рас- пределения равна
φ(t) = Φ
0
(t) =
1
√
2π
e
−t
2
/2
(3.28)
Функция распределения случайной величины T ∼ N (µ, σ
2
) может быть выражена с помощью функции Φ следующим образом:
F (t) = P T < t
= Φ
t − µ
σ

,
(3.29)
в этом случае функция надежности
R(t) = P T ≥ t
= 1 − Φ
t − µ
σ

,
(3.30)
функция интенсивности отказов
υ(t) = −
R
0
(t)
R(t)
=
1
σ
φ
t−µ
σ

1 − Φ
t−µ
σ
.
(3.31)
36

Рис. 3.3. График υ(t) для стандартного нормального распределения
Если обозначить υ
Φ
(t) = φ(t)/(1 − Φ(t)) интенсивность отказов при стандартном нормальном распределении, то можно видеть, что имеет ме- сто соотношение
υ(t) =
1
σ
υ
Φ
t − µ
σ

Функция интенсивности отказов стандартного нормального распреде- ления υ
Φ
(t) представлена на рис. 3.3. Функция интенсивности отказов воз- растает при всех t и приближается к υ(t) = t, когда t → +∞.
Нормально распределенная случайная величина принимает отрица- тельные значения с ненулевой вероятностью, поэтому не всегда подходит для моделирования времени наработки до отказа объекта. Поэтому в тео- рии надежности часто используют так называемое усеченное слева нулем нормальное распределение с функцией распределения
F
0
(t) = P T < t
T ≥ 0
=
P 0 ≤ T < t

P T ≥ 0

=
Φ
t−µ
σ
− Φ −
µ
σ

1 − Φ −
µ
σ

, t ≥ 0.
Функция надежности усеченного нулем нормального распределения
R
0
(t) = P T ≥ t
T ≥ 0
= 1 − F
0
(t) =
1 − Φ
t−µ
σ

1 − Φ −
µ
σ
=
1 − Φ
t−µ
σ

Φ
µ
σ

. (3.32)
Соответствующая функция интенсивности отказов
υ
0
(t) = −
R
0 0
(t)
R
0
(t)
=
1
σ
φ
t−µ
σ

1 − Φ
t−µ
σ

для t ≥ 0.
(3.33)
Отметим, что функция интенсивности отказов усеченного слева нулем нормального распределения идентична функции интенсивности отказов
(не усеченного) нормального распределения при t ≥ 0.
Пример 3.1 [37]. Предположим, что у определенного типа автомобиль- ных шин среднее время износа T
ср.
составляет 50 000 км, и известно, что
37

у 5 % шин время износа составляет не менее 70 000 км. Предположим, что время износа T имеет нормальное распределение N (µ, σ
2
), тогда согласно условию µ = T
ср.
= 50 000 км, а P(T ≥ 70 000) = 0, 05. Случайная величи- на (T − 50 000)/σ имеет стандартное нормальное распределение. Сначала используем условие, чтобы найти σ. Мы имеем
P(T ≥ 70 000) = 1 − P(T < 70 000) = 1 − Φ
70 000 − 50 000
σ

= 0, 05.
Отсюда получаем, что Φ
20 000
σ
= 0, 95. По таблицам функции Гаусса Φ
находим, что
20 000
σ
≈ 1, 645, откуда σ ≈ 12 158.
Теперь найдем значение функции надежности, соответствующее вре- мени износа 60 000 км.
R(60 000) = P(T ≥ 60 000) = 1−Φ
60 000 − 50 000 12 158

≈ 1−Φ(0, 883) ≈ 0, 188.
Мы использовали модель неусеченного нормального распределения.
Насколько это правомерно? Найдем вероятность «отрицательного» вре- мени наработки до отказа (износа шин):
P(T < 0) = Φ
0 − 50 000 12 158

≈ Φ(−4, 11) ≈ 0.
Следовательно, эффект использования усеченного нулем нормально- го распределения (усложняющего все вычисления) вместо обычного нор- мального распределения пренебрежимо мал.
3.6
Логнормальное распределение
Время T наработки до отказа объекта имеет логнормальное распре- деление
T ∼ LogN(µ, σ
2
)

с параметрами µ и σ
2
, если Y
= ln T
имеет нормальное распределение со средним µ и дисперсией σ
2
(т. е.
Y = ln T ∼ N (µ, σ
2
)). Функция плотности логнормального распределе- ния имеет вид f (t) =
(
1
√
2π σ t e
−(ln t−µ)
2
/2σ
2
,
для t ≥ 0;
0,
для t < 0.
(3.34)
Среднее время наработки до отказа для этого распределения
T
ср.
= E(T ) = e
µ+σ
2
/2
,
(3.35)
38

дисперсия
D(T ) = e
2µ

e
2σ
2
− e
σ
2

= e
2µ+σ
2

e
σ
2
− 1

,
(3.36)
функция надежности
R(t) = P T ≥ t
=P ln T ≥ ln t
=1 − Φ
ln t − µ
σ

= Φ
µ − ln t
σ

,
(3.37)
где Φ — стандартная нормальная функция распределения.
График плотности логнормального распределения показан на рис. 3.4.
Рис. 3.4. График плотности логнормального распределения
Функция интенсивности отказов в случае логнормального распределе- ния времени T
υ(t) = −
d dt
(ln R(t)) = −
d dt

ln Φ
µ − ln t
σ

=
φ
µ−ln t
σ

1
σt
Φ
µ−ln t
σ
,
(3.38)
где φ(.) = Φ
0
(.) — плотность стандартного нормального распределения.
График функции интенсивности отказов υ(t) представлен на рис. 3.5.
Рис. 3.5. График υ(t) для логнормального распределения
Можно показать, что υ(t) → 0 при t → ∞. Логнормальное распре- деление часто используется для моделирования времени ремонта. Интен- сивность ремонта определяется аналогично интенсивности отказов. При
39

моделировании времени ремонта естественно предположить, что интен- сивность восстановления возрастает на первом этапе. Это означает, что вероятность завершения ремонта в течение короткого интервала увеличи- вается с истечением временем ремонта. Если же ремонт уже продолжался долгое время, то это может указывать на серьезные проблемы, например,
на отсутствие доступных запчастей. Поэтому естественно полагать, что скорость ремонта уменьшается через определенный промежуток времени,
а именно, что функция интенсивности восстановления становится убыва- ющей (см. рис. 3.5).
3.7
Обратное гауссовское распределение
Рассмотренное выше логнормальное распределение обладает тем свой- ством, что соответствующая ему функция интенсивности отказов сначала возрастает, а затем, достигнув максимума, становится убывающей. Часто такая картина соответствует тому, что реально наблюдается. Однако, как было отмечено выше, у логнормального распределения функция интен- сивности υ(t) → 0, когда t → ∞, т. е. убывает до нуля, что во многих практических ситуациях не может иметь места, и, следовательно, логнор- мальное распределение ресурса не может использоваться в качестве мо- дели.
Рассмотрим другое распределение времени наработки до отказа, так называемое обратное гауссовское распределение. Обратное гауссовское распределение, как и логнормальное, имеет функцию интенсивности отка- зов, которая сначала возрастает со временем от t = 0 до точки максимума,
а затем монотонно убывает, однако стремится не к нулю, а к некоторому предельному значению, зависящему от параметров распределения.
Плотность распределения обратного гауссовского распределения с па- раметрами µ > 0, λ > 0 имеет вид f
T
(t; µ, λ) =



q
λ
2π t
3
e
−(λ/2µ
2
)[(t−µ)
2
/t]
,
для t ≥ 0,
0,
для t < 0.
(3.39)
Графики плотности обратного гауссовского распределения при нескольких вариантах параметров изображены на рис. 3.6.
40

Рис. 3.6. Графики плотности обратного гауссовского распределения
Функция распределения имеет вид f
T
(t; µ, λ) =
(
Φ

√
λ
µ
√
t −
√
λ
1
√
t

+ Φ

−
√
λ
µ
√
t −
√
λ
1
√
t

· e
2λ/µ
,
для t ≥ 0,
0,
для t < 0.
Математическое ожидание и дисперсия распределения с плотно- стью (3.39) равны соответственно
T
ср.
= E(T ) = µ,
D(T ) =
µ
3
λ
(3.40)
Функция интенсивности отказов в случае обратного гауссовского рас- пределения равна
υ(t) = υ(t; µ, λ) =
f
T
(t; µ, λ)
R
T
(t; µ, λ)
=
f
T
(t; µ, λ)
1 − F
T
(t; µ, λ)
=
=
q
λ
2π t
3
e
−(λ/2µ
2
)[(t−µ)
2
/t]
Φ

−
√
λ
µ
√
t +
√
λ
1
√
t

− Φ

−
√
λ
µ
√
t −
√
λ
1
√
t

· e
2λ/µ
(3.41)
На рис. 3.7 изображены графики функции υ(t) при λ = 1/4 и λ = 1.
Используя тот факт, что 1 − Φ(x) ∼ φ(x)/x при x → +∞ (что легко доказать с помощью правила Лопиталя), получаем, что lim t→∞
υ(t) =
λ
2 µ
2
(3.42)
Рис. 3.7. Графики υ(t) для обратного гауссовского распределения
41

3.8
Распределения экстремальных значений
При анализе надежности технических объектов важную роль играют так называемые распределения экстремальных значений. Они часто воз- никают естественным образом, например, при анализе инженерных объек- тов, состоящих из идентичных элементов (узлов), соединенных последова- тельно. Последовательность соединения элементов понимается в смысле надежности, она означает, что для безотказной работы объекта необходи- ма работоспособность всех элементов. Такие модели возникают, например,
при изучении коррозии металлов, прочности материалов и т.п.
Пусть T
1
, T
2
, . . . , T
n
— независимые одинаково распределенные случай- ные величины (не обязательно времена наработки до отказа) с непрерыв- ной функцией распределения F
T
(.), которую для простоты будем считать строго возрастающей в области значений t таких, что 0 < F (t) < 1. Опре- делим величины
T
(1)
= min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) =: U
n
,
T
(n)
= max(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) =: V
n
,
(3.43)
которые называют экстремальными значениями, или просто экстрему- мами. Функции распределения случайных величин U
n и V
n легко выра- жаются через функцию F
T
:
F
U
n
(t)
| {z }
= P min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) < t
= 1 − P min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) ≥ t
=
= 1 − P T
1
≥ t, T
2
≥ t, . . . , T
n
≥ t
= 1 − (1 − F
T
(t))
n
|
{z
}
,
F
V
n
(t)
| {z }
= P max(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) < t
= P T
1
< t, T
2
< t, . . . , T
n
< t
=
= [F
T
(t)]
n
|
{z
}
Эти точные формулы для распределений экстремумов выглядят про- стыми, но на практике с ними бывает сложно работать. Например, если распределение F
T
нормальное, то мы должны будем иметь дело с n -ми степенями функции Гаусса Φ, которая сама имеет вид интеграла, не вы- числимого аналитически. Однако во многих практических приложениях n очень велико, поэтому имеет смысл искать предельные распределения, ко- торыми при общих условиях можно было бы с достаточной степенью точ- ности приблизить функции распределения экстремумов F
U
n
(t) и F
U
n
(t).
Прежде всего заметим, что ввиду соотношения min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
) = − max(−T
1
, −T
2
, . . . , −T
n
)
(3.44)
42