Файл: Основы теории надежности.pdf

(т.е. T
1
≥ t)}; A
2
= {элемент 1 отказал в интервале [τ, τ + dτ ), 0 ≤ τ < t,
но переключатель S успешно активировал элемент 2, который не отказал в интервале [τ, t) }.
Как и прежде, обозначим T время наработки до отказа системы. Со- бытия A
1
и A
2
несовместны (A
1
∩ A
2
= ∅), поэтому функция надежности системы R
S
(t) будет суммой вероятностей двух событий:
R
S
(t) = P(T ≥ t) = P(A
1
) + P(A
2
).
Мы имеем P(A
1
) = P(T
1
≥ t) = e
−λ
1
t
. Найдем вероятность события A
2
Событие, состоящее в отказе элемента 1 в интервале (τ, τ + dτ ), имеет ве- роятность f
1
(τ ) dτ = λ
1
e
−λ
1
τ
dτ . Переключатель S активирует элемент 2 с вероятностью (1 − p), элемент 2 не откажет в интервале [τ, t) с вероятно- стью P(T
2
≥ t − τ ) = e
−λ
2
(t−τ )
. Так как элемент 1 может отказать в любой момент τ ∈ [0, t), то, интегрируя по всем таким τ для вычисления P(A
2
),
получаем
R
S
(t) = e
−λ
1
t
+
t
Z
0
(1 − p)λ
1
e
−λ
1
τ
e
−λ
2
(t−τ )
dτ =
= e
−λ
1
t
+ (1 − p)λ
1
e
−λ
2
t t
Z
0
e
−(λ
1
−λ
2
)τ
dτ.
Если λ
1 6= λ
2
, то, интегрируя, находим
R
S
(t) = e
−λ
1
t
+
(1 − p)λ
1
λ
1
− λ
2
e
−λ
2
t
−
(1 − p)λ
1
λ
1
− λ
2
e
−λ
1
t
Если λ
1
= λ
2
= λ, то
R
S
(t) = e
−λt
+ (1 − p)λe
−λt t
Z
0
dτ = e
−λt
+ (1 − p)λ te
−λt
Среднее время наработки до отказа системы
T
ср.S
=
∞
Z
0
R
S
(t) dt =
1
λ
1
+
(1 − p)λ
1
λ
1
− λ
2
1
λ
2
−
1
λ
1

=
1
λ
1
+ (1 − p)
1
λ
2
,
и этот результат справедлив при любых значениях λ
1
и λ
2
Пример 4.16 [37]. Рассмотрим систему с резервированием, изображен- ную на рис. 4.10, состоящую из двух одинаковых насосов, имеющих
71

одинаковую постоянную интенсивность отказов λ = 10
−3
ч
−1
. Вероят- ность p, что коммутатор S не сработает при активации резервного на- соса, по статистике составляет 0, 015. Функция надежности насосной си- стемы в момент времени t, согласно полученным выше формулам, равна
R
S
(t) = e
−λt
+ (1 − p)λ te
−λt
. Следовательно, вероятность того, что эта си- стема проработает 1000 ч, составляет R
S
(1000) = 0, 7302. Среднее время наработки до отказа насосной системы
T
ср.S
=
1
λ
1 + (1 − p)
= 1985 ч.
4.3.3. Частично нагруженный резерв, неидеальный переключа- тель, отсутствие ремонта. Рассмотрим ту же систему с резервирова- нием, что и на рис. 4.10, но изменим условия так, чтобы элемент 2 нес определенную нагрузку до его полной активации. Пусть λ
0
обозначает интенсивность отказов частично нагруженного элемента 2 в режиме ожи- дания. Система не откажет в интервале времени [0, t), если произойдет одно из двух несовместных событий: A
1
= { элемент 1 не отказал в интер- вале времени [0, t) (т. е. T
1
≥ t)}; A
2
= { элемент 1 отказал в интервале
[τ, τ + dτ ), 0 ≤ τ < t, в момент отказа переключатель S успешно активи- ровал элемент 2, который к этому времени не отказал и после активации исправно работал в интервале [τ, t) }.
Пусть T обозначает время наработки до отказа системы. Функция надежности системы R
S
(t) будет суммой вероятностей двух событий:
R
S
(t) = P(T ≥ t) = P(A
1
) + P(A
2
). Для вероятности A
1
мы по-прежнему имеем P(A
1
) = P(T
1
≥ t) = e
−λ
1
t
. Найдем вероятность события A
2
Вероятность того, что элемент 1 откажет в интервале [τ, τ + dτ ), рав- на f
1
(τ ) dτ = λ
1
e
−λ
1
τ
dτ ; вероятность того, что элемент 2 не откажет
(находясь в частично нагруженном состоянии) в интервале [0, τ ), равна
P(T
2
≥ τ ) = e
−λ
0
τ
. Переключатель S активирует элемент 2 с вероят- ностью (1 − p), после чего элемент 2 не откажет (находясь в активном состоянии) в интервале [τ, t) с вероятностью P(T
2
≥ t − τ ) = e
−λ
2
(t−τ )
. Так как элемент 1 может отказать в любой момент τ ∈ [0, t), то, интегрируя по всем таким τ для вычисления P(A
2
), получаем
R
S
(t) = e
−λ
1
t
+
t
Z
0
(1 − p)e
−λ
0
τ
λ
1
e
−λ
1
τ
e
−λ
2
(t−τ )
dτ =
= e
−λ
1
t
+
(1 − p)λ
1
λ
0
+ λ
1
− λ
2

e
−λ
2
t
− e
−(λ
0
+λ
1
)t

,
где мы должны предположить, что λ
0
+ λ
1
− λ
2 6= 0. В случае, когда
72

λ
0
+ λ
1
− λ
2
= 0, функция надежности становится
R
S
(t) = e
−λ
1
t
+ (1 − p)λ
1
te
−λ
2
t
Среднее время наработки до отказа этой системы
T
ср.S
=
∞
Z
0
R
S
(t) dt =
1
λ
1
+
(1 − p)λ
1
λ
0
+ λ
1
− λ
2
1
λ
2
−
1
λ
1
+ λ
0

=
=
1
λ
1
+ (1 − p)
λ
1
λ
2
(λ
1
+ λ
0
)
,
и этот результат справедлив при любых значениях λ
0
, λ
1
и λ
2
ЗАДАЧИ
4.1. Система состоит из пяти идентичных компонентов, соединенных па- раллельно. Определите, какой должна быть надежность компонентов,
чтобы надежность системы составляла не менее чем 0, 97. Решите эту же задачу для случая, когда пять компонентов в системе соединены последо- вательно.
4.2. Представьте блок-схемы структур, изображенных на рис. 4.11, в наи- более простой форме и найдите их функции структуры.
Рис. 4.11. Структурные схемы к задаче 4.2 4.3. Система должна иметь надежность 0, 99. Сколько требуется парал- лельно включенных компонент для обеспечения требуемой надежности системы, если каждая компонента имеет надежность 0, 65?
73

4.4. Для структурной схемы, изображенной на рис. 4.12, найдите:
1) функцию структуры φ(x) непосредственно;
2) множество минимальных путей M и минимальных разрезов K;
3) функции структуры, представив ее как эквивалентную параллель- ную структуру из последовательных минимальных путей;
4) функции структуры, представив ее как эквивалентную последова- тельную структуру из параллельных разрезающих множеств.
Рис. 4.12. Структурная схема к задаче 4.4.
4.5. Используя подходящую декомпозицию относительно основного эле- мента, найдите функции структур мостиковых систем, изображенных на рис. 4.13. Вычислите надежность этих систем, зная надежности ее элемен- тов p i
, i = 1, 2, . . . , n, в предположении, что отказы элементов — незави- симые события.
Рис. 4.13. Структурные схемы к задаче 4.5 74

4.6. Для структуры, изображенной на рис. 4.14, требуется:
Рис. 4.14. Структурная схема к задаче 4.6 1) найти множества минимальных путей M;
2) найти множество минимальных разрезов K;
3) показать, что функция структуры этой системы может быть запи- сана в виде
φ(x) =
h x
1
· x
2
+ x
3
− x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
+ x
7
− x
6
x
7
x
8
+ x
9
x
10
x
11
=
− x
1
x
2
+ x
3
− x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
+ x
7
− x
6
x
7
· x
8
x
9
x
10
x
11

i x
12
;
4) найти надежность системы, если известны надежности ее компонент p
1
= 0, 970,
p
5
= 0, 920,
p
9
= 0, 910,
p
2
= 0, 960,
p
6
= 0, 950,
p
10
= 0, 930,
p
3
= 0, 960,
p
7
= 0, 959,
p
11
= 0, 940,
p
4
= 0, 940,
p
8
= 0, 900,
p
12
= 0, 990;
5) выписать функцию надежности этой структуры как функцию време- ни, если известно, что компоненты независимы (в смысле надежности) и интенсивности отказов всех компонент постоянны и равны λ
i
= 10
−5
ч
−1
,
i = 1, . . . , 12;
6) вычислить при этом условии среднее время безотказной работы этой системы T
ср.
4.7. Покажите, что, когда компоненты независимы, надежность системы p
S
(t) может быть записана в виде функции, зависящей только от надеж- ности ее компонент p i
(t) (i = 1, 2, . . . , n).
4.8. Для структуры 2-из-3 независимых и идентичных компонентов с по- стоянной интенсивностью отказов λ найдите:
1) функцию плотности вероятности времени до отказа системы 2 из 3;
2) моду, медиану и среднее время T
ср.S
наработки до отказа;
3) среднее остаточное время T
ср. ост.S
(t) системы 2 из 3 возраста t.
Постройте примерный график функции плотности вероятности и от- метьте, где расположены мода, медиана и T
ср.S
75

Постройте график функции g(t) = T
ср. ост. S
(t)/T
ср.S
. Найдите предел lim t→∞
g(t) и дайте физическую интерпретацию этого предела.
4.9. Имеется последовательная структура из 10 независимых и идентич- ных элементов, каждый из которых имеет T
i ср.
= 5000 ч, i = 1, 2, . . . , 10.
Требуется найти среднее время наработки до отказа T
S ср.
системы, если:
1) компоненты имеют постоянные интенсивности отказов;
2) время наработки до отказа элементов T имеет распределение Вей- булла с параметром формы α = 2, 0.
Сравните результаты, полученные в п. 1 и 2.
Найдите T
S ср.
для параллельной структуры из двух независимых и идентичных элементов с T
i ср.
= 5000 ч в случаях 1 и 2 и прокомменти- руйте полученные результаты.
4.10. Для блок-схемы структуры, изображенной на рис. 4.15, найдите:
1) множества минимальных путей M;
2) множество минимальных разрезов K;
3) функцию структуры;
4) надежность системы в предположении независимости ее блоков на- дежности p i
, i = 1, 2, . . . 6.
Рис. 4.15. Структурная схема к задаче 4.10 4.11. Имеется последовательная структура с двумя независимыми элемен- тами 1 и 2, имеющими постоянные интенсивности отказов λ
1
= 5, 0 · 10
−4
и λ
2
= 3, 0 · 10
−3
отказов в час соответственно. Система введена в эксплу- атацию в момент времени t = 0. Каждый раз, когда происходит отказ си- стемы, отказавший элемент восстанавливается до состояния «как новый».
Когда один из элементов выходит из строя, нагрузка на другой элемент снимается, и этот элемент, следовательно, не откажет, когда неисправный элемент ремонтируется. Среднее время ремонта элемента 1 равно τ
1
= 5 ч,
элемента 2 — τ
2
= 10 ч. Требуется:
1) показать, что среднее время ремонта системы
τ
S
=
λ
I
τ
I
+ λ
II
τ
II
λ
I
+ λ
II
;
2) найти коэффициент средней готовности системы A
ср.
(см. п. 1.2).
76

Глава 5
Считающие процессы
5.1
Введение
В этой главе и в главе 6 мы будем изучать показатели надежности восстанавливаемых систем как функции времени. Интерес для нас будут представлять такие характеристики надежности, как «готовность» (ис- правность) системы, среднее количество отказов за определенный проме- жуток времени, среднее время до первого отказа системы, среднее время между двумя последовательными отказами. Для этого мы описываем си- стему с помощью случайных процессов.
Пусть (Ω, F, P) обозначает базовое вероятностное пространство, где
Ω = {ω} — множество элементарных исходов; F = {A ⊆ Ω} — поле
(σ-алгебра) событий; P — вероятность, определенная на событиях из F.
Случайный процесс X(ω, t), t ∈ T
— это семейство случайных вели- чин (математически — это функция двух переменных: ω ∈ Ω и t ∈ T).
Множество T называется множеством индексов процесса. Для каждого фиксированного t
0
∈ T значение X(ω, t
0
) является случайной величиной,
а для фиксированного ω
0
∈ Ω значения X(ω
0
, t), t ∈ T представляют собой функцию аргумента t, которая называется реализацией (или траектори- ей) случайного процесса. Индекс t часто интерпретируется как время, а
X(t) называется состоянием процесса в момент времени t.
Когда множество индексов T является счетным, мы говорим, что
X(t) — это процесс с дискретным временем. Если множество T — кон- тинуум, то процесс называется процессом с непрерывным временем. Мы будем рассматривать только случайные процессы с непрерывным време- нем.
В главе 6 будут изучаться различные состояния ремонтопригодной си- стемы. Многокомпонентная ремонтопригодная система имеет несколько возможных состояний в зависимости от того, какое количество ее элемен-
77

тов исправно. Состояние системы в момент t обозначается X(t), и нашей целью будет нахождение вероятностей всех состояний системы как функ- ций времени t. Нас будут интересовать также стационарные вероятно- сти этих состояний, представляющие собой (при определенных условиях)
среднюю долю времени пребывания системы в том или ином состоянии.
Эволюцию системы во времени мы будем описывать с помощью случай- ных процессов X(t), обладающих так называемым марковским свойством или свойством отсутствия последействия («памяти»). Точное определе- ние марковского процесса будет дано в п. 6.2. Суть этого понятия состоит в следующем: если известно, что марковский процесс в момент t
0
находится в состоянии x, то это полностью определяет его вероятностную структу- ру (вероятности всех состояний) в будущем (т. е. при t > t
0
), и история
(траектория) процесса до момента t
0
не оказывает влияния на его даль- нейшее поведение. Образно говоря, при фиксированном значении процесса в момент t
0
(в «настоящее» время) «будущее» процесса не зависит от его
«прошлого» (т. е. от значений при t < t
0
).
В этой главе мы рассмотрим ремонтопригодную систему, которая на- чинает работать в момент времени t = 0. Когда система выходит из строя,
она будет восстановлена в рабочее состояние. Время ремонта предполага- ется пренебрежимо малым по сравнению с временем наработки до отказа.
Когда произойдет второй отказ, система будет снова восстановлена и т.д.
Таким образом, на временной полуоси [0.∞) получаем последовательность отказов. Мы будем в первую очередь интересоваться случайным процес- сом N (t), числом отказов во временном интервале [0, t). Этот случайный процесс {N (t), t ≥ 0} называется считающим процессом.
5.2
Считающие процессы
Рассмотрим ремонтопригодную систему, которая вводится в эксплуа- тацию в момент времени t = 0. Первый отказ системы (событие) про- изойдет в момент времени S
1
. Когда система выйдет из строя, она будет заменена или восстановлена до рабочего состояния. Предполагается, что время ремонта настолько мало, что им можно пренебречь. Второй отказ произойдет в момент S
2
и так далее. Таким образом, мы получаем после- довательность отказов S
1
, S
2
, . . . . Пусть T
i
= S
i
− S
i−1
обозначает время между (i − 1)-м и i-м отказами, i = 1, 2, . . . , где S
0
принимается равным 0.
Последовательность {T
i
}
∞
i=1
будем называть потоком событий (отказов).
Считающие процессы обычно используются для моделирования после- довательностей событий. В контексте теории надежности эти события
78

представляют собой либо моменты отказов объектов, либо моменты вос- становления их работоспособности, но представленные результаты могут применяться и для моделирования других процессов, происходящих, на- пример, в системах обслуживания. Элементы последовательности T
i
, во- обще говоря, не являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, если только не предполагается, что система за- меняется в момент отказа на идентичную (или восстанавливается до со- стояния «как новая»), а условия окружающей среды и эксплуатации оста- ются постоянными на протяжении всего периода ее функционирования.
Рис. 5.1. График траектории считающего процесса
На рис. 5.1 показана типичная реализация считающего процесса.
Дадим точное определение считающего процесса.
Определение 5.1. Случайный процесс {N (t), t ≥ 0} называется счи- тающим, если N (t) удовлетворяет следующим условиям:
1) N (t) ≥ 0;
2) N (t) принимает целые значения;
3) для s < t величина разности N (t)−N (s) представляет собой число событий, произошедших в интервале [s, t).
Считающий процесс однозначно определен последовательностью мо- ментов времени {S
i
}
∞
i=0
, или, альтернативно, последовательностью интер- валов между событиями {T
i
}
∞
i=1
Анализ данных времени жизни ремонтопригодной системы всегда дол- жен начинаться с рисования графика реализации N (t) на длительном про- межутке времени. Если характер поведения N (t) как функция времени t не близок к линейной функции времени, то методы, основанные на пред- положении о независимости и одинаковом распределении времени между отказами, точно не уместны. Однако нет уверенности в том, что такие методы подходят и в том случае, если график N (t) очень близок к пря- мой линии. Времена между отказами могут быть сильно коррелированы.
79

Предположение о независимости и одинаковости распределений должно быть проверено методами математической статистики.
Пример 5.1 [37]. Данные о состоянии системы регистрировались с момен- та начала эксплуатации t = 0 до 7-го отказа в течение 410 дней. Время ре- монта незначительно. Это означает, что система начинает снова работать почти сразу после обнаружения отказа. Данные представлены на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Данные из примера 5.1
Видно, что интервал между последовательными отказами становится со временем короче. Кажется, что система изнашивается и сбои, как пра- вило, становятся более частыми. Система с таким свойством часто назы- вается «негативной системой». Система с противоположным свойством,
где сбои со временем становятся реже, называется «позитивной систе- мой». Число отказов N (t) можно проиллюстрировать как функцию вре- мени t, как показано на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Число отказав как функция времени по данным примера 5.1
Отметим, что значения реализации процесса N (t) постоянны между от- казами и скачки (высотой 1) происходят в моменты отказов S
i
, i = 1, 2, . . . .
Заметим также, что функция N (t), как функция t, будет иметь тенденцию к выпуклости вниз, когда система негативная, и тенденцию к выпуклости вверх, когда система позитивная. Если график процесса N (t) является
(приблизительно) линейным, то система устойчива (однородна), т. е. вре- мя до следующего отказа будет иметь одинаковую ожидаемую длину. На рис. 5.3 отчетливо видно, что N (t) является выпуклой вниз. Таким обра- зом, система в примере 5.1 – негативная.
80