Файл: Основы теории надежности.pdf

4.1.3. Параллельная структура.
Определение 4.2. Система, которая функционирует тогда и только тогда, когда функционирует хотя бы один из n ее элементов, называ- ется параллельной структурой.
Соответствующая блок-схема надежности показана на рис. 4.2. На схе- ме достаточность функционирования хотя бы одного из элементов для работы системы обозначается наличием связи между конечными точками a и b, если есть соединение хотя бы через один из n блоков.
Рис. 4.2. Диаграмма надежности параллельной структуры
Функция структуры параллельной системы
φ(x) = 1 − (1 − x
1
) · (1 − x
2
) · · · (1 − x n
) = 1 −
n
Y
i=1
(1 − x i
) .
(4.3)
4.1.4. k-из-n структура.
Определение 4.3. Система, которая функционирует тогда и только тогда, когда функционирует хотя бы k из n ее элементов, называется k-из-n структурой.
Заметим, что последовательная структура является n-из-n структурой,
а параллельная структура — это 1-из-n структура. Структурная функция k-из-n структуры может быть записана следующим образом:
φ(x) =
(
1,
если
P
n i=1
x i
≥ k;
0,
если
P
n i=1
x i
< k.
(4.4)
Например, трехмоторный самолет, который может оставаться в возду- хе, если работают хотя бы два из трех его двигателей, является структурой
2-из-3. Схема этой 2-из-3 структуры приведена на рис. 4.3. Структурная функция этой системы может быт записана также следующим образом:
φ(x) = 1 − (1 − x
1
x
2
)(1 − x
1
x
3
)(1 − x
2
x
3
) =
= x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
− x
2 1
x
2
x
3
− x
1
x
2 2
x
3
− x
1
x
2
x
2 3
+ x
2 1
x
2 2
x
2 3
=
= x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
− 2x
1
x
2
x
3 52

(использовано то, что для бинарной переменной x k
i
= x i
).
Рис. 4.3. Диаграмма 2-из-3-структуры
4.1.5. Последовательно-параллельные структуры.
Определение 4.4. Структура называется последовательно-параллель- ной, если ее можно представить в виде последовательной системы из параллельных структур или параллельной системы из последователь- ных структур.
Функция структуры последовательно-параллельных структур исполь- зует комбинации функций структур, рассмотренных ранее.
Пример 4.1. Рассмотрим структуру, представленную на первой диаграм- ме (рис. 4.4).
Этап 1.
Этап 2.
Этап 3.
Рис. 4.4. Этапы расчета для последовательно-параллельной структуры
Для расчета структурной функции мы на первом этапе выделяем блок A, включающий в себя последовательно соединенные элементы 1,
2 и 3 и блоки B и C, включающие в себя параллельно соединенные эле- менты 5 и 6, 8 и 9 соответственно. Их структурные функции, согласно
53

формулам для последовательного и параллельного соединений, равны
φ
A
= x
1
x
2
x
3
;
φ
B
= 1 − (1 − x
5
)(1 − x
6
);
φ
C
= 1 − (1 − x
8
)(1 − x
9
).
На втором этапе мы выделяем блоки D и E, включающие в себя по- следовательно соединенные элементы 4, B и 7, C соответственно. Струк- турные функции этих блоков
φ
D
= x
4
φ
B
,
φ
E
= x
7
φ
C
Наконец, на третьем этапе мы приходим к простой схеме, состоящей из элемента A, соединенного последовательно с параллельной структурой из блоков D и E. Теперь легко выписываем функцию структуры исходной системы
φ(x) = φ
A
1 − (1 − φ
D
)(1 − φ
E
)
= φ
A
φ
D
+ φ
E
− φ
D
φ
E
].
Подставляя в эту формулу найденные выше результаты для входящих в нее компонент, получаем
φ(x) = x
1
x
2
x
3
h x
4
(x
5
+ x
6
− x
5
x
6
) + x
7
(x
8
+ x
9
− x
8
x
9
)−
− x
4
(x
5
+ x
6
− x
5
x
6
)

x
7
(x
8
+ x
9
− x
8
x
9
)

i
4.1.6. Структуры, представленные путями и разрезами. Рассмот- рим структуру c n компонентами, пронумерованными от 1 до n. Множе- ство компонент обозначим
N
= {1, 2, . . . , n}.
Определение 4.5. Путем µ ⊂ N называется множество компонент,
одновременное функционирование которых обеспечивает функциониро- вание системы. Путь называется минимальным, если его нельзя сокра- тить без потери статуса пути.
Определение 4.6. Разрезом
κ ⊂ N называется множество компо- нент, одновременный отказ которых приводит к отказу системы. Раз- рез называется минимальным, если его нельзя сократить без потери статуса разреза.
Для произвольной системы n-го порядка обозначим M = {µ} множе- ство всех ее минимальных путей, K = {κ} – множество всех ее мини- мальных разрезов. Каждому из минимальных путей µ ∈ M поставим в соответствие его функцию структуры x
µ
=
Y
i∈µ
x i
,
54

где x i
– индикатор состояния элемента i ∈ µ. Поскольку система функ- ционирует тогда и только тогда, когда функционируют элементы хотя бы одного из минимальных путей, функция структуры системы
φ(x) = 1 −
Y
µ∈M
1 − x
µ
= 1 −
Y
µ∈M
1 −
Y
i∈µ
x i
!
,
(4.5)
причем мы можем интерпретировать теперь систему как параллельную структуру, состоящую из блоков µ, каждый из которых представляет со- бой последовательную структуру.
Аналогично мы можем сопоставить следующую бинарную функцию каждому минимальному разрезу:
x
κ
= 1 −
Y
i∈κ
(1 − x i
),
где x i
– индикатор состояния элемента i ∈ κ. Поскольку система отказы- вает тогда и только тогда, когда отказывают все элементы хотя бы одного из минимальных разрезов, функция структуры системы может быть пред- ставлена в виде
φ(x) =
Y
κ∈K
x
κ
=
Y
κ∈K
1 −
Y
i∈κ
(1 − x i
)
!
,
(4.6)
причем мы можем интерпретировать теперь систему как последователь- ную структуру, состоящую из блоков κ, каждый из которых представляет собой параллельную структуру.
Пример 4.2 (Мостиковая структура). Рассмотрим структуру, пред- ставленную на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Диаграмма мостиковой структуры
Множество минимальных путей этой структуры:
M :
µ
1
= {1, 4}, µ
2
= {2, 5}, µ
3
= {1, 3, 5}, µ
4
= {2, 3, 4}.
Множество минимальных разрезов:
K :
κ
1
= {1, 2}, κ
2
= {4, 5}, κ
3
= {1, 3, 5}, κ
4
= {2, 3, 4}.
55

Мы имеем:
x
µ
1
= x
1
x
4
,
x
µ
2
= x
2
x
5
,
x
µ
3
= x
1
x
3
x
5
,
x
µ
4
= x
2
x
3
x
4
Подставляя эти значения в (4.5), получаем функцию структуры (рис. 4.6)
φ(x) =1 − (1 − x
1
x
4
)(1 − x
2
x
5
)(1 − x
1
x
3
x
5
)(1 − x
2
x
3
x
4
) =
=x
1
x
4
+ x
2
x
5
+ x
1
x
3
x
5
+ x
2
x
3
x
4
− x
1
x
3
x
4
x
5
− x
1
x
2
x
3
x
5
−
−x
1
x
2
x
3
x
4
− x
2
x
3
x
4
x
5
− x
1
x
2
x
4
x
5
+ 2x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
(4.7)
(при вычислении использовалось то, что для бинарной величины x k
i
= x i
для всех i ∈ N и целых k).
Рис. 4.6. Мостиковая структура, представленная в виде параллельной структуры из последовательных минимальных путей
Мы можем представить ту же функцию структуры с помощью мини- мальных разрезов (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Мостиковая структура, представленная в виде последовательности параллельных структур, состоящих из разрезов
Мы имеем:
x
κ
1
= 1 − (1 − x
1
)(1 − x
2
);
x
κ
2
= 1 − (1 − x
4
)(1 − x
5
);
x
κ
3
= 1 − (1 − x
1
)(1 − x
3
)(1 − x
5
);
x
κ
4
= 1 − (1 − x
2
)(1 − x
3
)(1 − x
4
).
56

Остается подставить эти значения в (4.6) и получить другое представление для φ(x).
4.1.7. Декомпозиция по основному элементу. Для любой функции структуры и любого x и любого i ∈ N справедливо следующее представ- ление:
φ(x) = x i
· φ(x, x i
= 1) + (1 − x i
) · φ(x, x i
= 0).
(4.8)
Действительно, если x i
= 1, то φ(x) = 1 · φ(x, x i
= 1), и (4.8) верно.
Если x i
= 0, то φ(x) = 1 · φ(x, x i
= 0), и (4.8) снова верно.
Повторно используя равенство (4.8), получим разложение для функции структуры
φ(x) =
X
y∈Y
n
Y
j=1
x y
j j
(1 − x j
)
1−y j
φ(y),
(4.9)
где Y — множество всех различных векторов y = (y
1
, y
2
, . . . , y n
) из нулей и единиц: y j
∈ {0, 1}.
Пример 4.3. Мостиковая структура (продолжение). Вернемся к структуре, рассмотренной в примере 4.2. Если бы не присутствие элемен- та 3 (моста), структура была бы просто параллельно-последовательной.
Функция структуры φ(x) может быть найдена декомпозицией по отноше- нию к элементу 3. Пишем
φ(x) = x
3
· φ(x, x
3
= 1) + (1 − x
3
) · φ(x, x
3
= 0).
(4.10)
Если x
3
= 1, то
φ(x, x
3
= 1) = [1 − (1 − x
1
)(1 − x
2
)] · [1 − (1 − x
4
)(1 − x
5
)] =
= (x
1
+ x
2
− x
1
x
2
)(x
4
+ x
5
− x
4
x
5
).
Если x
3
= 0, то
φ(x, x
3
= 0) = 1 − [1 − x
1
x
4
] · [1 − x
2
x
5
] = x
1
x
4
+ x
2
x
5
− x
1
x
2
x
4
x
5
Подставляя эти формулы в (4.10), находим функцию структуры
φ(x) =x
3
·
(x
1
+ x
2
− x
1
x
2
)(x
4
+ x
5
− x
4
x
5
)
+
+ (1 − x
3
) ·
x
1
x
4
+ x
2
x
5
− x
1
x
2
x
4
x
5
.
4.2
Надежность систем с независимыми компонента- ми
В п. 4.1 мы описывали статичные системы при помощи блок-схем и функций структуры. Теперь рассмотрим работу системы во времени. По- скольку мы не можем предсказать, будут ли компоненты системы рабо- тоспособны через t единиц времени или они выйдут из строя, становится
57

естественным искать вероятностные закономерности. Будем теперь интер- претировать индикаторы состояния x i
(i = 1, 2, . . . , n) компонент системы в момент времени t как случайные величины: X
1
(t), X
2
(t), . . . , X
n
(t). Слу- чайный вектор X(t) =
X
1
(t), X
2
(t), . . . , X
n
(t)
— это вектор состояния системы, на основе которого определяется случайная функция структуры
φ X(t)
.
Представляют интерес следующие вероятности:
p i
(t) = P X
i
(t) = 1
, i = 1, 2, . . . , n,
p
S
(t) = P φ(X(t)) = 1
.
(4.11)
В этом разделе мы будем предполагать, что отказы отдельных блоков системы могут интерпретироваться как независимые события. Это озна- чает, что индикаторы состояний X
1
(t), X
2
(t), . . . , X
n
(t) в любой фиксиро- ванный момент времени t — это независимые случайные величины. (Стоит отметить, что независимость, к сожалению, часто предполагается только для простоты и в реальных системах она не имеет места.)
Напомним, в этой главе мы рассматриваем невосстанавливаемые си- стемы (элементы которых не подлежат ремонту). В этом случае вероят- ности, определенные в (4.11), есть не что иное, как функции надежно- сти R
i
(t) и R
S
(t) (поскольку мы предполагаем их непрерывность при всех t ≥ 0, см. п. 2.3) i-го элемента и системы, соответственно. Если элементы и системы ремонтируются или заменяются после отказа, то они называются восстанавливаемыми (см. п. 1.2). Для таких систем формулы (4.11) сов- падают с функциями готовности A
i
(t) и A
S
(t)(см. п. 1.2) i-го элемента и системы. Напомним, что ремонтопригодные системы могут исследовать- ся теми же методами, что и не подлежащие ремонту, если нас интересует только то, что происходит с ними до первой неисправности. Надежность ремонтируемых систем более подробно обсуждается в главе 6.
Имея в виду соответствие вероятностей (4.11) и функций надежности,

Можно показать (см. задачу 4.7), что в случае независимости компо- нент надежность системы p
S
(t) может быть представлена в виде функции от p i
(t) (надежностей ее компонент):
p
S
(t) = h p
1
(t), p
2
(t), . . . , p n
(t)
= h p(t),
(4.14)
где p(t) = p
1
(t), p
2
(t), . . . , p n
(t)
. Если не оговорено иное, мы будем ис- пользовать букву h для выражения надежности системы в ситуации, когда компоненты независимы.
Приведем примеры вычисления надежности для ряда простых струк- тур. В большинстве рассмотренных далее примеров мы будем предпо- лагать, что компоненты имеют постоянную интенсивность отказов, т. е.
υ
i
(t) =const, в отсутствие этого предположения вычисления часто при- водят к сложным математическим выражениям, анализ которых требует применения вычислительных методов и компьютера.
4.2.1. Надежность последовательной структуры. В п. 4.1 мы нашли,
что последовательная система n-го порядка имеет функцию структуры
φ(X(t)) =
n
Y
i=1
X
i
(t),
и там как индикаторы состояний X
1
(t), X
2
(t), . . . , X
n
(t) предполагаются независимыми, надежность системы h p(t)
= E φ(X(t)) = E
n
Y
i=1
X
i
(t)
!
=
n
Y
i=1
E X
i
(t)
=
n
Y
i=1
p i
(t). (4.15)
Отметим, что h p(t)
≤ min
1≤i≤n p
i
(t)
,
т. е. надежность последовательной структуры не превосходит надежности ее самого ненадежного элемента.
Пример 4.4. Рассмотрим последовательную структуру из трех незави- симых компонентов. В момент времени t надежность компонентов равна p
1
= 0, 95, p
2
= 0, 97 и p
3
= 0, 94. Надежность системы в момент времени t,
согласно (4.15), равна p
S
= h p
= p
1
· p
2
· p
3
= 0, 95 · 0, 97 · 0, 94 = 0, 866.
Как уже упоминалось выше, в случае систем, не подлежащих ремон- ту (или рассматриваемых только в период времени до момента первого отказа), надежности компонент в момент t совпадают с функциями на- дежности p
i
(t) = R
i
(t),
i = 1, 2, . . . , n.
(4.16)
59

В силу (4.16), функции надежности в случае последовательной струк- туры
R
S
(t) =
n
Y
i=1
R
i
(t).
В соответствии с формулой (2.8) мы имеем:
R
i
(t) = e
−
R
t
0
υ
i
(u) du
,
i = 1, 2, . . . , n,
где υ
i
(t) — функция интенсивности отказов компонента i в момент време- ни t. Тогда для надежности последовательной системы получаем, что
R
S
(t) =
n
Y
i=1
e
−
R
t
0
υ
i
(u) du
= e
−
R
t
0
P
n i=1
υ
i
(u) du
Следовательно, функция интенсивности отказов в случае последова- тельной структуры (с независимыми компонентами) равна сумме функ- ций интенсивности отказов ее компонент
υ
S
(t) =
n
X
i=1
υ
i
(t).
Среднее время наработки до отказа последовательной структуры
T
ср.S
=
∞
Z
0
R
S
(t) dt =
∞
Z
0
e
−
R
t
0
P
n i=1
υ
i
(u) du dt.
(4.17)
Пример 4.5. Рассмотрим последовательную структуру с n независи- мыми компонентами, имеющими постоянные интенсивности отказов λ
i
,
i = 1, 2, . . . , n. Получаем, что функция надежности
R
S
(t) = e
−(
P
n i=1
λ
i
) t
,
среднее время до отказа
T
ср.S
=
∞
Z
0
e
−(
P
n i=1
λ
i
) t dt =
1
P
n i=1
λ
i
Пример 4.6. Рассмотрим последовательную структуру с n независимыми компонентами, время до отказа которых имеет распределение Вейбулла
60