Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

152
Понятие идеальных связей включает в себя не только широкий класс связей без трения, в который входят идеально гладкие поверхности и кривые, шарниры без трения и так далее, но с большой степенью точности целый ряд связей, налагаемых реально на механические системы. Например, если связь представляет собой жесткий стержень, связывающий две точки системы, то эта связь будет идеальной. Действительно, реакции этой связи направлены по стержню в противоположные стороны и равны по величине. Проекции виртуальных скоростей на стержень, будут равны. Следовательно, будут равны перемещения точек, и сумма работ реакций связей на возможных перемещениях равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что неизменяемая механическая система или абсолютно твердое тело обладают идеальными связями.
Понятие идеальных связей имеет огромное значение, так как оно позволяет получить дополнительные 3N–M уравнения, которые вместе с уравнениями движения (385) и уравнениями связи (381) позволяют замкнуть систему уравнений, определяющих движение механической системы.
Уравнения Лагранжа первого рода.
Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функций в этом случае совпадают.
Непосредственное исключение зависимых вариаций координат можно в общем случае провести методом неопределенных множителей Лагранжа.
Изложим существо этого метода. В силу идеальности и голономности связей имеем совокупность условий (387) и (381). Умножая каждое из M соотношений (387) на соответствующий неопределенный скалярный множитель (множитель Лагранжа) λj (j = 1, 2, ..., M), и складывая все полученные результаты с условием идеальности (573), придем к соотношению:
(391)
в котором M вариаций координат являются зависимыми, а 3N–M — независимыми. Подберем M множителей Лагранжа λj так, чтобы коэффициенты при M зависимых вариациях в (391) обратились в нуль. Этот подбор можно провести единственным образом, так как уравнения связей являются независимыми. С другой стороны, коэффициенты при независимых вариациях в (391) должны равняться нулю в силу условия идеальности.

153
Итак, коэффициенты при всех вариациях координат должны быть приравнены нулю. В результате приходим к заключению, что между реакциями идеальных голономных связей и функциями
, определяющими уравнения связей (381), имеют место соотношения:
(392)
Соотношения (392) являются необходимым условием обращения в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым условием идеальности голономных связей. Можно непосредственно убедиться и в достаточности этого условия.
Итак, реакции идеальных голономных связей являются линейными формами относительно градиентов функций
, определяющих уравнения связей (381). Подставляя (392) в (385), получим уравнения движения механической системы с голономными идеальными связями, т. е. уравнения Лагранжа с реакциями связей или уравнения Лагранжа первого
рода:
(393)
(394)
Здесь силы являются заданными функциями и t. Неизвестными в этих уравнениях являются все радиусы-векторы точек и множители
Лагранжа
. Число уравнений и число неизвестных функций совпадают и равны 3N + M.
Подчеркнем, что реакции связей определяются в результате решения уравнений (393) и, следовательно, зависят от заданных сил, поэтому заданные силы часто называют активными силами, а реакции связей — пассивными. Такая зависимость одних сил от других появляется в результате упрощения представлений о реальном взаимодействии тел: само наложение связей на систему представляет собой по существу такое упрощение

154
При применении уравнений Лагранжа возникает также вопрос о выполнении условия идеальности связей. Это требование связано с определенными физическими допущениями, которые не всегда выполняются, например наличие сил трения на голономных связям делает их неидеальными. Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реакций, которые будут удовлетворять условию идеальности
(389); тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы как функции положений, скоростей точек и времени.
Уравнение д'Аламбера – Лагранжа.
Уравнения Лагранжа (393) содержит силы реакции связей, которые заранее неизвестны. Чтобы исключить их из уравнений Лагранжа, умножим каждое из них скалярно на соответствующее виртуальное перемещение и сложим результаты умножения; тогда получим:
.
(395)
Двойная сумма в этом уравнении представляет собой виртуальную работу всех реакций связей и по условию идеальности связей (390) она равна нулю:
.
(396)
С учетом равенства (396) из формулы (395) получаем:
(397)
Уравнение (397) называется общим уравнением механики или
уравнением д'Аламбера – Лагранжа. Достоинством этого уравнения является то, что оно не содержит реакций связи. Уравнение д'Аламбера – Лагранжа применимо как к голономным, так и неголономным связям, а также к системам с трением, если включить силы трения в число активных сил.

155
Уравнения Лагранжа второго рода.
Уравнения Лагранжа с реакциями связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь «подробная» информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах или уравнениями Лагранжа второго рода.
Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они представляют собой уравнения движения в произвольных криволинейных координатах.
Прежде чем начать вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые 3N–M величины, однозначно определяющие положение системы (N и M — числа точек системы и голономных связей соответственно). Число независимых обобщенных координат, равное
, в случае систем с голономными связями называется числом степеней свободы (388).
Независимые
обобщенные
координаты будем обозначать
, а всю эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать символом q. Из определения независимых координат следует, что они должны удовлетворять двум требованиям.
Во-первых, радиусы-векторы точек системы должны быть однозначными функциями q:
.
(398)
причем из 3N функций – проекций радиус-векторов
– s каких-либо функций должны быть независимыми.

156
Во-вторых, координаты q должны быть выбраны в соответствии с уравнениями связей, т. е. функции (398) должны обращать в тождество уравнения связей (394). Обратим внимание на то, что в случае стационарных связей уравнения связей явно от времени не зависят; поэтому и функции
(398) можно подобрать явно не зависящими от времени. В дальнейшем это условие для стационарных связей будем считать выполненным.
Используя формулы преобразования (398), представим общее уравнение механики в форме уравнения относительно независимых координат и их производных по времени. Для этого найдем виртуальные перемещения всех точек как функции q:
.
(399)
Подставляя (399) в общее уравнение механики (397) и изменяя порядок суммирования, получим
(400)
Здесь все суммы по индексу k имеют размерность энергии, деленной на размерность соответствующей координаты qi. При этом те суммы по k, в которые входят ускорения точек, определяются кинетической энергией как функцией обобщенных координат и их производных по времени.
Действительно, преобразуем k-ый член одной из таких сумм:
.
(401)
Затем, используя (398), найдем скорости точек как функции обобщенных координат
.
(402)

157
Отсюда видно, что скорости материальных точек являются линейными функциями величин
(i=1, ..., s), называемых обобщенными скоростями.
Из (402) также видно, что в общем случае имеет место равенство частной производной от скорости точки по обобщенной скорости и частной производной радиус-вектора той же точки по соответствующей обобщенной координате, т. е.
(403)
Используя (403) и изменяя порядок дифференцирования по t и qi,, вместо (401) получим
.
(404)
Применяя эти соотношения, все зависящие от ускорений «суммы по точкам системы» можно представить в виде:
(405)
Далее, пользуясь (402), зададим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных скоростей и координат:
(406)
здесь и в дальнейшем под понимается совокупность обобщенных скоростей, так же как под q понимается совокупность всех обобщенных координат. Дифференцируя функцию (406) по обобщенным скоростям и координатам, находим:
(407)
(408)

158
Сопоставляя (407), (408) и (405), получим
(409)
«Суммы по точкам системы» (см. (400)), зависящие от заданных активных сил, обозначим символами
(410)
Величины Qi являются заданными функциями обобщенных координат, скоростей и времени. Действительно, все определены как функции и t а все векторы и согласно (398) и (402) являются функциями
Используя введенные обозначения, виртуальную работу всех заданных сил можно представить в виде
(411)
Следовательно, величина Qi. играет по отношению к вариации независимой координаты ту же роль, которую сила играет по отношению к виртуальному перемещению точки. Поэтому величину Qi. называют обобщенной силой, соответствующей координате qi. Размерность обобщенной силы Qi равна размерности энергии, деленной на размерность соответствующей координаты qi.
Используя (400), (409) и определение обобщенной силы, придем к общему уравнению механики в обобщенных координатах:
(412)
где все вариации независимы друг от друга. Поэтому из общего уравнения механики вытекают дифференциальные уравнения движения, а именно уравнения Лагранжа в независимых координатах

159
(413)
Уравнения (413) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей (393), справедливы для систем с голономными идеальными связями. Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влияние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные независимые координаты как функции времени. Число неизвестных и число уравнений равно числу степеней свободы.
Если заданные активные силы потенциальны, и потенциальная энергия системы равна то, воспользовавшись связью активных сил с потенциальной энергией
(414)
и определением обобщенной силы (410), получим выражение:
.
(415)
Таким образом, с точностью до знака минус обобщенные силы равны частным производным от потенциальной энергии системы по обобщенным координатам. Уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил приобретают вид:
(416)
Введем в рассмотрение специальную функцию L = T - U равную разности между кинетической и потенциальной энергией системы. Эта функция называется функцией Лагранжа или лагранжианом системы, и она позволяет записать уравнения движения системы с потенциальными силами в виде:
(417)

160
Уравнения (417) представляют собой одно из основополагающих утверждений всей современной физики. Они позволяют описывать физическую систему как одно единое целое, не рассматривая в отдельности отдельные материальные точки. Уравнения Лагранжа применяются для описания даже таких систем, у которых нет очевидной механической интерпретации в виде массы и привычных декартовых координат, но есть понятие обобщенной координаты, которая может соответствовать, например какому-либо физическому полю или взаимодействию. Таким образом, уравнения Лагранжа сейчас уже вышли за границы обычной механики
Ньютона и применяются для описания всех фундаментальных физических взаимодействий.
Что касается первоначального использования уравнений Лагранжа в механике, то их роль состояла в том, что рациональный выбор независимых обобщенных координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа (417) и тем самым существенно облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал: «Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразличным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование».
Действительно, пусть обобщенная координата qi выбрана так, что функция Лагранжа L явно не зависит от нее, тогда соответствующая этой координате обобщенная сила Qi равна нулю, т. е.
(418)
Такие координаты, от которых кинетическая T и потенциальная U энергии системы явно не зависят, называются циклическими
координатами. Цикличность координат во многих случаях связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому рациональный выбор обобщенных координат должен отражать эту симметрию. Выбирая независимые координаты так, чтобы число циклических координат было максимальным и, интегрируя уравнения Лагранжа, можно найти общее решение уравнений механики движения (417).

161
В частности для каждой циклической координаты, от которой не зависит функция Лагранжа (418), существует некоторая сохраняющаяся величина, которая называется обобщенным импульсом:
.
(419)
Таким образом, приходим к закону сохранения обобщенного импульса для каждой циклической координаты, который обобщает полученные ранее законы сохранения количества движения и момента количества движения для замкнутых механических систем.
Другим важным утверждением механики Лагранжа является закон
сохранения обобщенной энергии H для систем, у которых функция
Лагранжа явно не зависит от времени:
.
(420)
Обобщенная энергия механической системы совпадает с ее полной механической энергий, равной сумме кинетической и потенциальной энергий, в том случае, если все уравнения связи являются стационарными.
Для нестационарных уравнений связи (381) обобщенная энергия системы, вообще говоря, не совпадает с механической энергией и является отдельным независимым интегралом движения при выполнении условия (420).

162