Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 230
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
59
Чтобы определить ускорение произвольной точки B плоской фигуры, запишем уравнение (109) в виде
(117)
где
- вектор угловой скорости фигуры;
- радиус-вектор точки В относительно полюса А (рис. 31).
Продифференцируем это равенство по времени,
.
(118)
и с учетом формулы (107) получаем
(119)
Рис. 39. Разложение относительного ускорения точки B плоской фигуры
на тангенциальную и нормальную составляющие
60
Исследуем два последних слагаемых в формуле (119). Вектор будучи векторным произведением, лежит в плоскости фигуры, перпендикулярен отрезку АВ и направлен по линии параллельной скорости относительного движения точки B по отношению к полюсу вращения
(см. рис. 39). Эту компоненту относительного ускорения точки B называют касательным или тангенциальным ускорением. Другой вектор после преобразования по формуле для двойного векторного произведения (с учетом того, что принимает вид:
(120)
т. е. данный вектор направлен от точки B к полюсу A и называется нормальным ускорением. Таким образом, два последних слагаемых в формуле (119) представляют собой касательную и нормальную составляющие ускорения, которые имела бы точка В, если бы полюс фигуры, точка A, был бы неподвижен и фигура вращалась бы вокруг оси AZ с угловой скоростью и угловым ускорением Получаем формулу, определяющую ускорение, произвольной точки плоской фигуры при плоском движении:
(121)
Ускорение какой-либо точки B плоской фигуры в каждый момент времени равно векторной сумме ускорения полюса и относительного ускорения этой точки при вращении плоской фигуры вокруг полюса.
61
1 2 3 4 5 6 7 8
Раздел 4. Динамика
Введение
В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из множества материальных точек. Движение материальных объектов происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым, свойства пространства не зависят от движущихся в нем материальных объектов.
Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.
Аксиомы классической механики и законы Ньютона.
Первая аксиома или закон инерции Ньютона. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, векторная сумма которых равна нулю, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.
Материальная точка, на которую не действуют внешние силы или действует равновесная система сил, называется изолированной
материальной точкой. Равномерное и прямолинейное движение точки называется движением по инерции.
Вторая аксиома или основной закон динамики Ньютона.
Ускорение материальной точки относительно инерционной системы отсчета прямо пропорционально векторной сумме всех сил, приложенных к телу, и направлено по этой равнодействующей силе.
(122)
Рис. 40. Второй закон Ньютона определяет направление ускорения тела
62
Положительный коэффициент пропорциональности m между силой и ускорениемво втором законе Ньютона (122), характеризует инертные свойства материальной точки и называется инертной массой точки. Масса не зависит от характеристик движения точки и от природы сил. Масса считается постоянной величиной и зависит только от самой материальной точки.
Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей.
Третья аксиома или третий закон Ньютона о действии и
противодействии. Силы взаимодействия двух тел (материальных точек) равны по величине и противоположны по направлению. Или более кратко говорят так, сила действия равна силе противодействия.
.
(123)
Рис. 41. Третий закон Ньютона: сила действия равна силе
противодействия
Ярким примером проявления третьего закона Ньютона является сила притяжения Земли и Луны. Известно, что Земля притягивает Луну согласно закону Всемирного тяготения. Под действием этой силы притяжения Луна движется по орбите вокруг Земли. Но оказывается, что и Земля испытывает притяжение со стороны Луны. Действие этой силы притяжения со стороны
Луны можно наблюдать на Земле в виде приливов и отливов мирового океана.
63
Рис. 42. Проявление третьего закон Ньютона на примере сил притяжения
Земли и Луны
Дифференциальные уравнения движения точки.
Основное уравнение динамики (122) можно записать также в видах:
(124)
Спроектируем эти уравнения на оси декартовой системы координат и получим три дифференциальных уравнения 2-ого порядка, связывающих координаты точки и проекции вектора силы:
(125)
В цилиндрических координатах система дифференциальных уравнений, описывающих закон движения материальной точки, имеет вид:
(126)
В сферических координатах используются проекции вектора силы на орты радиального, зенитного и азимутальнооого направлений:
(127)
(128)
64
.
(129)
Основные задачи динамики.
Первая или прямая задача динамики.
Допустим, что известна масса точки m, законы ее движения,
(130)
и необходимо найти силу, действующую на материальную точку. В этом случае достаточно вычислить вторые производные по времени от координат точки (130) и подставить их в уравнения (125). Тогда из основного уравнения динамики находим проекции вектора силы на оси координат:
(131)
а через них уже определяем модуль силы и ее направляющие косинусы:
.
(132)
Вторая или обратная задача динамики.
Теперь допустим, что известна масса материальной точки m, действующая на нее сила, и необходимо определить закон движение этой точки. Тогда, подставляя проекции вектора силы в уравнения (125) для декартовых координат, или в уравнения (126), или в (127), (128), (129) для цилиндрической и сферической системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений 2-ого порядка для неизвестных функций, описывающих закон движения материальной точки. Интегрируем эти уравнения с заданными начальными условиями
(133)
65
(134)
и находим закон движения материальной точки, например в виде уравнений вида (130). К сожалению, не всегда удается точно в аналитическом виде проинтегрировать основное уравнение динамики (124) и в явном виде получить формулы для закона движения материальной точки.
Некоторые точно интегрируемые задачи будут рассмотрены в главе
«Классические задачи теоретической механики».
Простейшие интегрируемые законы движения точки.
1. Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее движение материальной точки под действием постоянной силы, которая не меняется, ни по модулю, ни по направлению:
(135)
Поскольку сила постоянна то достаточно просто проинтегрировать левую и правую части уравнения (135) чтобы найти закон изменении скорости материальной точки
(136)
и ее радиус-вектора
(137)
Направим ось OX параллельно вектору постоянной силы , тогда проекции вектора силы на другие оси системы координат будут равны нулю
Fy = Fz = 0. С учетом этого обстоятельства векторные законы движения
(136), (137) можно будет записать в координатной форме:
(138)
66
(139)
.
(140)
В итоге получаем равнопеременное движение (с постоянным ускорением) по оси действия силы и равномерные движения (с постоянной скоростью) по другим осям.
2. Допустим теперь, что сила не меняет своего направления в пространстве, но может изменяться по модулю с течением времени.
Направим ось OX по направлению действия силы, которая, как предполагается, зависит только от времени.
Fx = Fx(t).
Законы движения материальной точки по осям OY, OZ остаются без изменений такими же, как в соотношениях (138), (139), а формулы, описывающие движение по оси OX, приобретают вид:
(141)
(142)
3. Некоторые важные случаи движения материальной точки под действием сил, зависящих от координат или от скорости, будут рассмотрены в последней главе данного пособия. Силами, зависящими от координаты материальной точки, являются силы упругости сжатой или растянутой пружины, а также силы Всемирного тяготения. Силами, зависящими от скорости движения материальной точки, являются силы вязкого сопротивления среды (воздуха, жидкости и т.п.).
Для решения многих задач динамики вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения (135) оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.
67
Количество движения точки.
Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки m на ее скорость
.
(143)
Количество движения называют еще импульсом материальной
точки. Проекции количества движения точки на оси декартовой системы координат равны:
.
(144)
В цилиндрических координатах вектор импульса описывается проекциями:
.
(145)
В сферических координатах компоненты вектора импульса равны:
.
(146)
Единицей измерения количества движения в СИ является –
Элементарный и полный импульс силы.
Действие силы на материальную точку в течении времени dt можно охарактеризоватьэлементарным импульсом силы
Полный импульс силы за время t, равен интегралу от элементарного импульса
(147)
68
В частном случае, если сила постоянна и по величине, и по направлению, ее полный импульс равен произведению величины силы на время ее действия
(148)
Проекции вектора импульса силы на оси декартовой оси координат равны:
.
(149)
Теорема об изменении количества движения точки.
Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. Действительно из основного закона динамики
(122), записанного в виде (124) вытекает, что
(150)
Масса материальной точки постоянна, поэтому ее можно внести под знак производной и записать основное уравнение динамики на языке импульсов.
Теорема импульсов в дифференциальной форме. Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.
.
(151)
В проекциях на координатные оси получаем:
.
(152)
Теорема импульсов в интегральной форме. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действовавшей на него силы за этот же промежуток времени.
.
(153)
69
В проекциях на оси декартовой системы координат уравнение (153) принимает вид:
(154)
(155)
(156)
Момент количества движения точки.
Во многих задачах теоретической механики в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты задаются следующим образом.
Рис. 43. Момент импульса материальной точки по отношению к началу
координат
Моментом
количеством
движения материальной точки относительно некоторого центра (начала координат) O называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора материальной точки на ее вектор импульса
.
(157)
Момент количества движения точки называют также моментом
импульса или кинетическим моментом.
70
Момент количества движения относительно какой-либо оси, например оси OZ, равен проекции вектора количества движения на эту ось.
(158)
Если импульс материальной точки задан своими проекциями на оси декартовой системы координат (144) и даны координаты радиус-вектора точки в пространстве
, то момент количества движения относительно начала координат вычисляется по правилам векторного произведения:
.
(159)
Проекции момента количества движения на оси координат равны:
(160)
(161)
.
(162)
Компоненты вектора момента импульса в цилиндрической системе координат равны:
(163)
71
Используем формулы (145) и выразим момент импульса через цилиндрические координаты:
(164)
(165)
.
(166)
Компоненты вектора момента импульса в сферической системе координат равны:
(167)
Используем формулы (146) и выразим момент импульса через сферические координаты:
(168)
(169)
.
(170)
Единицей измерения момента количества движения в СИ является:
Теорема об изменении момента количества движения точки
Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно некоторого центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
.
(171)
72
Чтобы убедиться в справедливости данной теоремы достаточно вычислить производную от момента количества движения (157) по времени:
(172)
Вычисления в формуле (172) основаны на тождестве
, и основном уравнении динамики в форме (150). Таким образом, доказано равенство:
Теорема
об
изменении
момента
импульса
в
проекциях. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту силы, действующей на точку относительно той же оси. Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (171) на выбранную ось. В декартовой системе координат эти равенства будут выглядеть так:
(173)
(174)
(175)
Следствия из теорем об изменении момента импульса:
1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки есть величина постоянная.
.
(176)
2. Если момент силы относительно некоторой оси (например, оси OZ) равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси есть величина постоянная.