ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 1044
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИАВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»Факультет «Дорожно-транспортный»Кафедра «Математическое моделирование»ТИПОВОЙ РАСЧЕТпо дисциплине«Теория вероятностей и математическая статика»Выполнил:студент II курса группы АС-21Москалёв И.В. № зачетной книжки 21-006 Проверил:Заведующий кафедрой, профессор. д.т.н. Вовк Л.П.Горловка 2023№1Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?РешениеРазличных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить шт. ( способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь: сначала одно число – числитель, другое знаменатель и наоборот).Из этих 30 дробей ровно 15 будут правильные (т.е., когда числитель меньше знаменателя): способами выбираем два числа из 6, и единственным образом составляем дробь так, чтобы числитель был меньше знаменателя.Ответ: 30; 15.№2Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?РешениеИз нечетных цифр 56 т. к. 0 не может быть первым.Из чётных цифр: Ответ: 28125.№3Сколько пар натуральных чисел удовлетворяет равенству ?Решение16000 – у кратно 2 и не равно 0, иначе х = 0, а 0 – не натуральное число. Поэтому у кратно 2 и принадлежит промежутку (0;16000).Найдём сколько чисел кратных 2 входит в этот промежуток: Ответ: 8000.№4Каждую клетку квадратной таблицы 2×2 можно покрасить в чёрный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
РешениеВ каждой из 2х2 = 4 клеток может быть 2 варианта раскраски. То есть, есть 2 варианта раскраски первой клетки, на каждый из них есть по 2 подварианта раскраски второй клетки, на каждый из них по 2 подварианта для третьей и так же для четвёртой клетки.Получим: 2·2·2·2 = 16 вариантов.Ответ: 16.№5Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слова) ВЕКТОР;б) ЛИНИЯ;в) ПАРАБОЛА;г) БИССЕКТРИСА;д) МАТЕМАТИКА.Решениеа) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить:
слов;б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится 
разных слов. Те слова, которые получаются друг из друга перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего: 
в) В этом слове 8 букв, три из которых А. Временно будем считать разными и буквы А, обозначив их через А1, А2 и А3. При этом предположении получится 
разных слов. Те слова, которые получаются друг из друга перестановкой букв А1, А2 и А3, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 3 слова разбиваются на 8 одинаковых. Поэтому разных слов всего: 
г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествим слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С: 
слов. Теперь отождествим слова, отличающиеся перестановкой букв С: 
д) В этом слове три буквы А, две буквы Т и две буквы М. Считая все буквы различными, получаем 10! слов. Отождествим слова, отличающиеся лишь перестановкой букв Т и М, но не С:
слов. Теперь отождествим слова, отличающиеся перестановкой букв С: 
Ответ: а) 720; б) 60; в) 6720; г) 3326400; д) 151200.№6Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345, 17071)?Решениеспособами можно выбрать цифру для разряда единиц и разряда десятков тысяч (ноль будет исключением, так как, если он находится в разряде десятков тысяч, то число не является пятизначным); способами можно выбрать цифру для разряда десятков и тысяч; способами можно выбрать цифру для разряда сотен.Таким образом, существует 
пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.Ответ: 900.№7Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи. РешениеОтвет: .№8В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?РешениеСоставим таблицу и разобьём класс на две группы так, чтобы любые два ученика в какой-то из четырех месяцев оказались в разных группах.В ней будут преобладать следующие значения: 0 – ученик входит в первую группу; 1 – ученик входит во вторую группу.
Так как в столбце можно расставить нули и единицы восемью различными способами, то в таблице найдутся два одинаковых столбца. Ученики, которым соответствуют эти столбцы, будут попадать в одну и ту же группу.Ответ: 4 месяца.№9Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.РешениеОбозначим «+» такую сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону – «–», отвечающая за проигрыш. Всего возможно восемь комбинаций выпадения жребия:
Ответ: больше шансов на победу у Пети.№12На окружности радиуса R=2 наугад взято две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает π/6, если это расстояние отсчитывается на окружности как наименьшая из дуг, их соединяющая?РешениеОтвет: .№13На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросается монета радиуса . Найти вероятности следующих событий: А = «монета попадет целиком внутрь одного квадрата», В = «монета пересечет не более одной стороны квадрата».РешениеП усть (х, у) – координаты центра упавшей монеты. В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата, можно записать множество элементарных исходов в виде Множество, соответствующее событию т.е. является квадратом со стороной Следовательно Ответ:
№14Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
РешениеВ каждой из 2х2 = 4 клеток может быть 2 варианта раскраски. То есть, есть 2 варианта раскраски первой клетки, на каждый из них есть по 2 подварианта раскраски второй клетки, на каждый из них по 2 подварианта для третьей и так же для четвёртой клетки.Получим: 2·2·2·2 = 16 вариантов.Ответ: 16.№5Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слова) ВЕКТОР;б) ЛИНИЯ;в) ПАРАБОЛА;г) БИССЕКТРИСА;д) МАТЕМАТИКА.Решениеа) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить:
слов;б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится разных слов. Те слова, которые получаются друг из друга перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего: в) В этом слове 8 букв, три из которых А. Временно будем считать разными и буквы А, обозначив их через А1, А2 и А3. При этом предположении получится разных слов. Те слова, которые получаются друг из друга перестановкой букв А1, А2 и А3, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 3 слова разбиваются на 8 одинаковых. Поэтому разных слов всего: г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествим слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С: слов. Теперь отождествим слова, отличающиеся перестановкой букв С:
д) В этом слове три буквы А, две буквы Т и две буквы М. Считая все буквы различными, получаем 10! слов. Отождествим слова, отличающиеся лишь перестановкой букв Т и М, но не С:
слов. Теперь отождествим слова, отличающиеся перестановкой букв С: Ответ: а) 720; б) 60; в) 6720; г) 3326400; д) 151200.№6Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 54345, 17071)?Решениеспособами можно выбрать цифру для разряда единиц и разряда десятков тысяч (ноль будет исключением, так как, если он находится в разряде десятков тысяч, то число не является пятизначным); способами можно выбрать цифру для разряда десятков и тысяч; способами можно выбрать цифру для разряда сотен.Таким образом, существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.Ответ: 900.№7Имеется электрическая цепь. Опишите, что: а) цепь будет работать, б) имеется разрыв цепи. РешениеОтвет: .№8В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?РешениеСоставим таблицу и разобьём класс на две группы так, чтобы любые два ученика в какой-то из четырех месяцев оказались в разных группах.В ней будут преобладать следующие значения: 0 – ученик входит в первую группу; 1 – ученик входит во вторую группу.| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Так как в столбце можно расставить нули и единицы восемью различными способами, то в таблице найдутся два одинаковых столбца. Ученики, которым соответствуют эти столбцы, будут попадать в одну и ту же группу.Ответ: 4 месяца.№9Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.РешениеОбозначим «+» такую сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону – «–», отвечающая за проигрыш. Всего возможно восемь комбинаций выпадения жребия:
-
– – – 6. + – + -
– – + 7. + + – -
– + – 8. + + + -
– + + -
+ – –
Ответ: больше шансов на победу у Пети.№12На окружности радиуса R=2 наугад взято две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает π/6, если это расстояние отсчитывается на окружности как наименьшая из дуг, их соединяющая?РешениеОтвет: .№13На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросается монета радиуса . Найти вероятности следующих событий: А = «монета попадет целиком внутрь одного квадрата», В = «монета пересечет не более одной стороны квадрата».РешениеП усть (х, у) – координаты центра упавшей монеты. В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата, можно записать множество элементарных исходов в виде Множество, соответствующее событию т.е. является квадратом со стороной Следовательно Ответ:
№14Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.