Файл: Курс лекций Москва 2010 2 оглавление страницы введение 56.pdf

166
Предположим, потребитель первоначально выбрал набор, соответствующий т. А. Такой набор не будет для него оптимальным, поскольку в данной точке наклон кривой безразличия превышает наклон бюджетной линии. Последнее означает, что предельная норма замены благом Х блага Y здесь выше отношения их цен: MRSxy>
Py
Px
. Таким образом, при увеличении потребления блага Х на 1 ед. потребителю придется уменьшить покупки блага Y на величину, равную отношению
Py
Px
. Но чтобы остаться на прежней кривой безразличия, потребитель мог бы отказаться от большего количества Y. В связи с этим, перераспределяя свои расходы в пользу блага Х, потребитель реально переходит на более высокую кривую безразличия, т.е. увеличивает свое благосостояние.
Таким образом, максимум благосостояния потребителя будет достигнут в точке касания бюджетной линии и кривой безразличия (т Е).
Эта точка называется точкой потребительского оптимума или точкой равновесия потребителя. Мы видим, что набор благ, соответствующий т. Е
(Х*, Y*), относится к самой высокой из доступных потребителю кривых безразличия; все выше расположенные кривые просто не доступны при данном доходе и ценах.
Поскольку в точке потребительского оптимума наклон кривой безразличия равен наклону бюджетной линии, здесь соблюдается равенство:
Py
Px
MUy
MUx
MRSxy
=
=
Если по оси Y откладывать расходы на все прочие блага (M), то в точке оптимума предельная норма замены денег благом Х равна цене данного блага:
MRS
XM
=P
X
В. Математическое приложение
Пусть дана функция общей полезности набора в зависимости от количеств входящих в него двух благ – X и Y (она же функция благосостояния потребителя):

167
TU=AX
α
Y
β
А, α и β – известные нам параметры данной функции. Известно также бюджетное ограничение потребителя при заданном доходе и ценах:
I=Px
*
X+Py
*
Y
Необходимо определить равновесие потребителя, т.е. оптимальную для него комбинацию двух благ, при которой функция общей полезности достигает максимума.
Выше говорилось, что искомая комбинация соответствует точке касания бюджетной линии и кривой безразличия. Решим эту задачу аналитически.
Мы помним, что в точке оптимальной комбинации двух благ соблюдается равенство:
Py
Px
MUy
MUx =
Функции предельных полезностей двух благ можно получить, взяв частные производные функции общей полезности по двум благам:
x
TU
x
TU
MUx
∂
∂
=
=
'
и
y
TU
y
TU
MUy
∂
∂
=
=
'
Таким образом:
1
-
α
β
AY
MUx
X
α
=
и
1
β
α
βY
AX
MUy
−
=
Следовательно:
Py
Px
βX
Y
Py
Px
βY
AX
AY
MUy
MUx
1
β
α
1
-
α
β
=
→
=
=
−
α
αX
Вспоминаем об уравнении бюджетного ограничения и получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (X и Y):
I=Px
*
X+Py
*
Y и
Py
Px
βX
Y =
α
Решая эту систему, находим оптимальные значения двух благ:
)
(
Px
I
X
*
β
α
α
+
=
и
)
(
Py
I
Y
*
β
α
β
+
=

168
Г. Особый случай: абсолютно взаимозаменяемые блага
В предыдущем вопросе говорилось о частном случае двух абсолютно взаимозаменяемых благ. Кривые безразличия в пространстве этих благ являются линейными.
В результате точка потребительского оптимума находится либо на оси X, либо на оси Y, т.е. имеют место угловые решения (рис. 6-15):
Рис. 6-15. Угловые решения
Х
Y
E
Х
Y
А
Б
E
Бюджетная линия
Кривые безразличия
Бюджетная линия
Кривые безразличия
На рис. 6-15А наивысшей из доступных потребителю кривых безразличия является та, с которой бюджетная линия пересекается на оси
Х. В точке оптимума (т. Е) потребление товара Y равно нулю, а потребляется только товар Х.
Напротив, на рис. 6-15Б наивысшей из доступных потребителю кривых безразличия является та, с которой бюджетная линия пересекается на оси Y. Здесь в точке оптимума (т. Е) уже потребление товара X равно нулю, а потребляется только товар Y.
Почему возможны два различных варианта? Напомним, что наклон кривой безразличия равен предельной норме замены благом X блага Y
(MRSxy), который, в свою очередь, равен отношению их предельных полезностей:
MUy
MUx
MRSxy
=
В свою очередь, наклон бюджетной линии равен отношению цен на эти блага:
Py
Px
Рис. 6-15А показывает ситуацию, когда наклон кривых безразличия все время превышает наклон бюджетной линии, т.е.
Py
Px
MUy
MUx
MRSxy

=
Это означает, что для максимизации своего благосостояния потребитель

169 продолжает заменять благо Y благом X вплоть до того момента, когда благо Y вообще перестает потребляться в пользу блага X.
На рис. 6-15Б – все наоборот, и здесь благо X полностью заменяется благом Y.
Пусть известна функция общей полезности набора благ. Поскольку речь идет об абсолютно взаимозаменяющих друг друга благах, она в общем виде выглядит так:TU=aX+bY. Коэффициенты а и b – предельные полезности соответственно блага X и блага Y. Известно и уравнение бюджетного ограничения: I=Px
*
X+Py
*
Y.
Сравним отношения предельных полезностей с отношением цен на блага. Если
Py
Px
b
a
MUy
MUx

=
, то потребитель выбирает только благо X. Если
Py
Px
b
a
MUy
MUx

=
, потребляется только благо Y.
5. Реакция потребителя на изменение дохода. Кривая Энгеля
Отложим по осям Х и Y объемы потребления двух благ. Пусть потребитель находится в точке оптимума. Его доход возрастает. В результате бюджетная линия смещается вправо. Соответственно точками оптимума последовательно становятся Е
1
, Е
2
, Е
3
. Соединив эти точки, получаем линию «доход – потребление» (рис. 6-16):
Рис. 6-16. Линия «доход – потребление»
X
1
X
2
X
3
Е
3
Е
2
Е
1
X
Y
Линия «доход – потребление»
Y
1
Y
2
Y
3
Положительный наклон линии «доход – потребление» говорит о том, что потребление благ Х и Y возрастает с ростом дохода, т.е. оба они – суть нормальные блага. Если же наклон линии «доход – потребление»

170 оказывается отрицательным, благо, чье потребление сокращается – малоценное благо. На рисунке 6-17 таким благом оказывается Х:
Рис. 6-17. Линия «доход – потребление» в условиях малоценного блага
X
1
X
2
X
3
Е
3
Е
2
Е
1
X
Y
Линия «доход – потребление»
Y
1
Y
2
Y
3
Отложим по оси Х потребление данного товара, а по оси Y – расходы потребителя на все остальные блага (М). Тогда точка пересечения бюджетной линии с осью Y соответствует доходу индивида (I). Опять же в результате изменения дохода получаем график «доход – потребление»
(верхний рис. 6-18):
Рис 6-18. Кривая «доход – потребление» и кривая Энгеля
X
1
X
2
X
3
X
1
X
2
X
3
Е
3
Е
2
Е
1
X
M
Х – объем потребления блага Х;
M – расходы на все остальные блага
I
X
Х – объем потребления блага Х;
I – доход потребителя
Линия «доход – потребление»
Кривая Энгеля
I
3
I
2
I
1
I
2
I
1
I
3
На основе кривой «доход – потребление» можно вывести кривую
Энгеля (см. нижний рисунок 6-18), показывающую зависимость потребления данного товара от дохода.

171
Если кривая Энгеля имеет положительный наклон, то перед нами нормальный товар (при возрастании дохода потребление блага также возрастает). Если же кривая Энгеля имеет отрицательный наклон, мы имеем малоценный товар (при возрастании дохода потребление блага падает).
6.
Реакция потребителя на изменение цены. Кривая спроса
Откладываем по осям Х и Y объемы потребления двух благ (можно отложить по оси Y и расходы на все остальные блага). Пусть цена блага Х падает (с Р
1
до Р
2
и до Р
3
). Тогда наклон бюджетной линии становится все более пологим. Соответственно точками оптимума последовательно становятся Е
1
, Е
2
, Е
3
. Соединив эти точки, получаем кривую «цена – потребление» (верхний рисунок 6-19):
Рис. 6-19. Кривая «цена – потребление» и кривая спроса
X
1
X
2
X
3
X
1
X
2
X
3
Е
3
Е
2
Е
1
D
X
Y
P
X
Линия «цена – потребление»
P
1
P
2
P
3
Отложив на нижнем рисунке 6-19 по оси Y изменяющуюся цену товара Х, получаем кривую индивидуального спроса, т.е. кривую спроса данного потребителя на товар.
Кривая рыночного спроса, т.е. спроса всех потребителей, получается путем горизонтального суммирования всех кривых индивидуального спроса.

172
По наклону кривой «цена-потребление» можно определить, как связаны между собой блага Х и Y:
А. Если наклон отрицателен, как на нашем графике, то при росте потребления блага Х, вызванном снижением его цены, спрос на благо Y снижается, т.е. эти блага являются взаимозаменяемыми. При этом спрос на благо Х эластичен по его цене;
Б. Если наклон положителен, то при росте потребления блага Х спрос на благо Y растет, т.е. эти блага являются взаимодополняющими.
1
При этом спрос на благо Х неэластичен по его цене;
В. Если наклон нулевой, то при росте потребления блага Х спрос на благо Y остается неизменным, т.е. эти блага являются независимыми. При этом спрос на благо Х единично эластичен по его цене.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1
. На графике представлены кривые безразличия данного потребителя и точки его оптимума при разных ценах на некий товар Х. При этом Y – расходы на все остальные блага.
А
15
В
Х
2 60 40 100 1200
Х
Y
1). Каков доход потребителя?
2) Какова цена товара Х в точках А и В?
1
Точные определения взаимозаменяемости и взаимодополняемости дал в свое время английский экономист Д. Хикс: «Если при росте располагаемого количества одного блага предельная полезность другого падает, то это взаимозаменяемые блага; если при росте располагаемого количества одного блага предельная полезность другого растет, то это взаимодополняющие блага».

173 3) Каковы координаты двух точек на кривой индивидуального спроса потребителя на товар Х?
4) Каковы расходы потребителя на все остальные блага в точках А и
В?
2
. Пусть т. А характеризует начальный оптимум потребителя, а т. В
– новый оптимум.
А
Х
1
Y
1
В
Х
2
Y
2
Х
Y
1). Что изменилось на рынке?
2). Что Вы можете сказать об эластичности спроса на товар Х по его цене? Обоснуйте свой ответ.
3).
Являются ли эти блага взаимозаменяемыми или взаимодополняющими?
3
. Преподавателям вуза повысили зарплату в расчете на то, что надбавка будет ими использована на покупку книг. Для доцента NN книги давно уже - малоценное благо. Покажите на графике, как изменится количество книг, покупаемых доцентом.
4
. У потребителя 15 тыс. руб., которые он намерен истратить на покупку товаров в валютном магазине. Магазин торгует как за доллары, так и за евро. Товарный курс доллара к евро составляет в магазине 1,4:1.
Купить валюту потребитель может по курсу 30 руб. за 1 долл. или 45 руб. за 1 евро. Сколько долларов и евро купит потребитель? Проиллюстрируйте решение графически. Учтите при этом, что кривая безразличия в данном случае будет не вполне стандартной.
5
. Для стимулирования спроса фирма, выпускающая некий товар, предлагает ценовую скидку на каждую последующую его единицу, покупаемую сверх определённого количества. Используя аппарат кривых безразличия, нарисуйте графики, отражающие ситуации, когда данная мера привела и не привела к положительному для фирмы результату.

174
6
. Родители очень скучают по своему сыну, учащемуся далеко от дома и согласны оплатить ему дорогу. Объясните с помощью графика, в каком случае у родителей больше шансов увидеть сына: а) выслав ему билет, который нельзя перепродать или сдать; б) выслав деньги, достаточные для покупки билета.
7
. Некто, весьма Вам неприятный, часто приглашает Вас в ресторан, где Вы любите бывать. Покажите на графике, до каких пор Вы будете принимать подобные приглашения?
8
. Функция общей полезности набора из двух благ для данного потребителя: TU=X
2/3
Y
1/3
, где X – потребляемое количество первого блага, а Y – потребляемое количество второго блага. Доход потребителя, полностью расходуемый на покупку этих двух благ равен 54 ден.ед. Цена первого блага 6 ден.ед., а второго 3 ден.ед.
1. Найдите оптимальный набор благ;
2.
Определите функцию «доход – потребление», а также кривые
Энгеля для обоих благ;
3. Пусть благо Х подорожало вдвое, а цена блага Y осталась прежней. Как изменится оптимальный набор благ? Определите функцию
«цена – потребление» и функцию спроса на благо Х.
9
. Функция общей полезности набора из двух благ для данного потребителя: TU=4X+2Y, где X – потребляемое количество первого блага, а Y – потребляемое количество второго блага. Доход потребителя, полностью расходуемый на покупку этих двух благ равен 40 ден.ед. Цена первого блага 8 ден.ед., а второго 5 ден.ед.
1. Найдите оптимальный набор благ;
2. Определите функцию «доход – потребление», а также кривые
Энгеля для обоих благ;
3. Пусть благо Х подорожало вдвое, а цена блага Y осталась прежней. Как изменится оптимальный набор благ? Определите функцию
«цена – потребление» и функцию спроса на благо Х.

175