Файл: ДИПЛОМНА РОБОТА.docx

Добавлен: 08.02.2019

Просмотров: 1829

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В експериментальну систему задач включені задачі на сімейний бюджет. Бюджет кожної сім'ї є важливою складовою фінансової системи будь-якої країни. Для ознайомлення учнів з питаннями формування бюджету родини визначають статті доходів та видатків сім’ї, на основі яких формується і бюджет країни. Вироблення навичок складання бюджету веде до розуміння фінансових операцій родини, держави та світу в цілому.

2.1 Суть простих відсотків та приклади їх використання у банківській справі.

Перш ніж переходити до викладення матеріалу по простим відсоткам та шляхам їх нарахування, введемо означення основних термінів та понять, що будуть неодноразово вживатися у подальших пунктах даної роботи.

Кожен власник, що має квартиру або гараж, які він не використовує, може здати їх в оренду, отримуючи за це певну плату. Так само людина, що має гроші, які вона не використовує, може їх дати в борг іншій особі (або, використовуючи більш загальний термін, - інвестувати) за певну винагороду. Дохід від інвестованого капіталу або, в більш вузькому сенсі, винагорода за використання грошей, називається відсотковими грошима або коротко відсотками. Суму грошей, даних в борг, називають основною або капіталом. Зазвичай позика надається на певний час - період. Сума відсоткових та основних грошей, яка утворюється в кінці періоду, називається підсумком. У загальному випадку відношення відсотка за період до основної суми (капіталу) називається нормою відсотка. Ця норма найчастіше виражається у формі відсотків, при розрахунках використовуються еквівалентні десяткові (рідше - натуральні) дроби. При укладенні конкретних угод для позначення норми відсотків звичайно використовується інша назва - відсоткова ставка .

Приклад. Іванов взяв в ощадному банку позику 10000 грн. Якщо банк нараховує 250 грн процентних грошей за використання цієї суми протягом 6 місяців, якою буде норма відсотка за цей період?

Розв’язання. Позначимо норму відсотка за шести місячний період через i.

Тоді %.

Поняття простого відсотку.

Нехай P буде основною сумою, r - нормою відсотка за 1рік і t тривалість періоду часу в роках. Якщо відсоток обчислюється за формулою:

I = Prt

і якщо відсоток виплачується в кінці періоду часу, тоді процентні гроші, що виплачуються називаються простим відсотком. У цьому випадку норма відсотка за аналізований період часу дорівнює rt.

Для простого відсотка норма, як правило, дається для періоду тривалістю 1 рік. Якщо S позначає підсумкову суму, тоді

S = P + I

Рівності (1) і (2) називаються основними рівняннями простого відсотка. Будь-яка задача для простих відсотків може бути розв'язана за допомогою цих двох рівностей. Слід зауважити, що вони містять п'ять різних змінних, а саме S, P, I, r і t. Якщо будь-які три задані (виключаючи випадок завдання трьох перших одночасно), решта дві можуть бути знайдені за допомогою (1) і (2). Для зручності можна додати ще одну рівність. Якщо виключити з (1) і (2) змінну I, отримаємо вираз підсумкової суми S через P, r і t.


S = P(1 + rt)

Так як для простого відсотка r завжди дається річна норма, час t має вимірюватися в роках. Коли час дається в місяцях, t дорівнює числу місяців, поділеному на 12. Коли час дається в днях, використовується два різні способи для підрахунку t. Частіше використовується розподіл числа днів на 360. Якщо t обчислюється у такий спосіб, отриманий відсоток називається звичайним простим відсотком .

Другий спосіб - використовувати ділення кількості днів на 365 (366 у високосному році). Якщо t обчислюється таким чином, отриманий відсоток називається точним простим відсотком.

Приклад. Знайти простий відсоток за позику 3000 грн на 5 місяців, якщо норма 0,07%

Розв’язання.

Ми маємо: P = , r = та t = . I = Prt = грн.

Приклад. Знайти точний простий відсоток і підсумкову суму, якщо 5000 грн. дано в борг на 100 днів при нормі 4%.

Розв’язання.

P = , r = та t =

I = = грн.

S = = грн.

Приклад. Особі, яка інвестувала 100000 грн, компенсовані 101000 грн., але на дев'яносто днів пізніше. З якою нормою зароблялися ці гроші при звичайному простому відсотку?

Розв’язання.

P = , S = та t = = . Тепер, так як

S = P + I , I = S - P = = . Але I = Prt , тому

r = I/(Pt) = %.

Приклад. Через 60 днів після позики Іванов виплатив рівно 10000 грн. Скільки було зайнято, якщо 10000 грн включають основну суму і звичайний простий відсоток при 12%?

Розв’язання.

S = , r = і t = = .

Підставивши ці значення в S = P(1 + rt) , отримаємо

= звідки P = = грн.

Для обчислення простих відсотків без використання сучасної обчислювальної техніки застосовуються різні практичні прийоми. Найбільш відомий з них - шести відсотковий спосіб, який заснований на тому, що на кожну гривню при нормі 6% звичайний простий відсоток за 60 днів дорівнює 0,01 грн. Тепер, приводячи реальну норму до 6% і реальний період до 60 днів для визначення звичайного простого відсотка достатньо перемножити ці наведені величини і отриманий добуток помножити на один відсоток від основної суми. Отриманий результат і буде звичайним простим відсотком.

Крім цього для визначення простих відсотків не вдаючись до обчислень, використовуються таблиці. У фінансовій математиці часто можна вирішувати поставлену задачу кількома методами. У цих умовах завжди слід шукати найбільш простий спосіб, який скоротить вашу працю і ризик числових помилок.



2.2 Суть складних відсотків та приклади їх використання у банківській справі.

Складні відсотки застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються періодично відразу після їх нарахування за минулий інтервал часу, а приєднуються до суми боргу. Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка служила базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків .

Формула нарощення за складними відсотками


Нехай початкова сума боргу дорівнює P, тоді через один рік сума боргу з приєднаними відсотками складе P(1+i), через 2 роки , через n років - . Таким чином, отримуємо формулу нарощення для складних відсотків:

(2.2.1)

де S - нарощена сума, i - річна ставка складних відсотків, n - термін позики, - множник нарощення. У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т.д.). Нарощення по складних відсотках є зростанням за законом геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P, а знаменник .

Відзначимо, що при терміні n<1 нарощення за простими відсотками дає більший результат, ніж по складним, а при n>1 - навпаки. У цьому неважко переконатися на конкретних числових прикладах. Найбільше перевищення суми, нарощеної по простим відсоткам, над сумою, нарощеної по складних, (при однакових відсоткових ставках) досягається в середній частині періоду.

Формула нарощення за складними відсотками, коли ставка

змінюється в часі

У тому випадку, коли ставка складних відсотків змінюється в часі, формула нарощення має наступний вигляд:

, (2.2.2)

де – послідовні значення ставок відсотків, що діють у періоди відповідно.

Приклад. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

Розв'язання.

Формула подвоєння суми

З метою оцінки своїх перспектив кредитор або боржник може задатися питанням: через скільки років сума позики зросте в N разів при даній процентній ставці. Зазвичай це потрібно при прогнозуванні своїх інвестиційних можливостей у майбутньому. Відповідь отримаємо, прирівнявши множник нарощення величиною N:

а) для простих відсотків

, звідки

(2.2.3)

б) для складних відсотків

, звідки

(2.2.4)

Особливо часто використовується . Тоді формули (2.2.3) і (2.2.4) називаються формулами подвоєння та приймають такий вигляд:

а) для простих відсотків

(2.2.5)

б) для складних відсотків

(2.2.6)

Якщо формулу (2.2.5) легко застосовувати для приблизних розрахунків, то (2.2.6) вимагає застосування калькулятора. Однак при невеликих ставках відсотків (скажімо, менше %) замість неї можна використовувати більш просту наближену. Її легко отримати, якщо врахувати, що, , а .

Приклад. Розрахувати, за скільки років борг збільшиться вдвічі при ставці простих і складних відсотків рівній %. Для ставки складних відсотків розрахунки виконати за точною і наближеною формулою. Результати порівняти.

Розв'язання.

а) Для простих відсотків:

років.

б) Для складних відсотків і точної формули:


роки.

в) Для складних відсотків і наближеної формули:

років.

Висновки:

1) Однакове значення ставок простих і складних відсотків призводить до зовсім різних результатів.

2) При малих значеннях ставки складних відсотків точна і наближена формули дають практично однакові результати.

Нарахування річних відсотків при дробовому числі років

При дробовому числі років відсотки нараховуються різними способами:

1) За формулою складних відсотків

, (2.2.7)

На основі змішаного методу, згідно з яким за цілу кількість років нараховуються складні відсотки, а за дробову – прості

, (2.2.8)

де , - ціле число років, - дробова частина року.

2) У ряді комерційних банків застосовується правило, згідно з яким за відрізки часу менше періоду нарахування відсотки не нараховуються, тобто

(2.2.9)

Номінальна та ефективна відсоткові ставки

Номінальна ставка. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j, а число періодів нарахування на рік m. Тоді кожен раз відсотки нараховують за ставкою j/m. Ставка j називається номінальною [13,с.83]. Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюється за формулою:

(2.2.10)

де N - кількість періодів нарахування.

Якщо термін позики вимірюється дробовим числом періодів нарахування, то при m разовому нарахуванні відсотків на рік нарощену суму можна розраховувати кількома способами, що призводять до різних результатів:

1) За формулою складних відсотків

(2.2.11)

де - число (можливо дробове) періодів нарахування відсотків, - період нарахування відсотків,

2) За змішаною формулою

(2.2.12)

де a – ціле число періодів нарахування (тобто – ціла частина від ділення усього терміну позики N на період нарахування ), b – залишкова дробова частина періоду нарахування .

Приклад. Розмір позики млн. грн. Надано на місяців. Номінальна ставка дорівнює % річних. Нарахування відсотків щоквартальне. Обчислити нарощену суму в трьох ситуаціях: 1) коли на дробову частину нараховуються складні відсотки, 2) коли на дробову частину нараховуються прості відсотки 3) коли дробова частина ігнорується. Результати порівняти.

Розв'язання.

Нарахування відсотків щоквартальне. Усього є кварталів.

1) млн. грн.

2) млн. грн.

3) млн. грн.

Із зіставлення нарощених сум бачимо, що найбільшого значення вона досягає в другому випадку, тобто при нарахуванні на дробову частину простих відсотків.

Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних відсотків дає той же фінансовий результат, що і m-разове нарощення на рік за ставкою j/m. Якщо відсотки капіталізуються m раз на рік, щоразу зі ставкою j/m, то, за визначенням, можна записати рівність для відповідних множників нарощення:

(2.2.13)

де - ефективна ставка, а j - номінальна. Звідси отримуємо, що зв'язок між ефективною і номінальною ставками виражається співвідношенням


(2.2.14)

Обернена залежність має вигляд

(2.2.15)

Приклад. Обчислити ефективну ставку відсотка, якщо банк нараховує відсотки щоквартально, виходячи з номінальної ставки % річних.

Розв'язання.

, тобто %.

Приклад. Визначити якою повинна бути номінальна ставка при щоквартальному нарахуванні відсотків, щоб забезпечити ефективну ставку % річних.

Розв'язання.

, тобто %.

Облік (дисконтування) за складною відсотковою ставкою

Тут, також як і у випадку простих відсотків, будуть розглянуті два види обліку - математичний і банківський [13,с.86].

Математичний облік. У цьому випадку вирішується завдання зворотнього нарощення за складними відсотками. Запишемо вихідну формулу для нарощення

Та розв'язуємо її відносно

, (2.2.16)

(2.2.17)

дисконтний множник. Також значення даних множників можна знаходити з таблиці (Додаток А).

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, то отримаємо

(2.2.18)

(2.2.19)

Величину P, отриману дисконтуванням S, називають сучасною або поточною вартістю або наведеної величиною S. Суми P і S еквівалентні в тому сенсі, що платіж у сумі S через n років рівноцінний сумі P, що виплачується в даний час.

Різниця D=S-P називають дисконтом.

Банківський облік. У цьому випадку передбачається використання складної облікової ставки. Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:

(2.2.20)

де - складна річна облікова ставка.

Дисконт у цьому випадку рівний

(2.2.21)

При використанні складної облікової ставки процес дисконтування відбувається з прогресуючим уповільненням, оскільки облікова ставка щоразу застосовується до суми, зменшеної за попередній період на величину дисконту.

Номінальна та ефективна облікові відсоткові ставки

Номінальна облікова ставка. У тих випадках, коли дисконтування застосовують m раз на рік, використовують номінальну облікову ставку f. Тоді в кожному періоді, що дорівнює 1/m частини року, дисконтування здійснюється за складною обліковою ставкою f/m [13,с.89]. Процес дисконтування з цієї складної облікової ставки m раз на рік описується формулою

(2.2.22)

де N - загальна кількість періодів дисконтування (N=mn).

Дисконтування не один, а m раз на рік швидше знижує величину дисконту. Ефективна облікова ставка. Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну (за фінансовими результатами) номінальній, що застосовується при заданому числі дисконтування в році m. Відповідно до визначення ефективної облікової ставки знайдемо її зв'язок з номінальною з рівності дисконтних множників

(2.2.23)

(2.2.24)

Відзначимо, що ефективна облікова ставка завжди менше номінальної.

Нарощення за складною обліковою ставкою. Нарощення є зворотним завданням для облікових ставок. Формули нарощення за складними обліковими ставками можна отримати, дозволяючи відповідні формули для дисконтування (2.2.23 і 2.2.24) щодо S. Отримуємо з