ВУЗ: Глуховский национальный педагогический университет им. А. Довженко
Категория: Дипломная работа
Дисциплина: Педагогика
Добавлен: 08.02.2019
Просмотров: 2160
Скачиваний: 5
В експериментальну систему задач включені задачі на сімейний бюджет. Бюджет кожної сім'ї є важливою складовою фінансової системи будь-якої країни. Для ознайомлення учнів з питаннями формування бюджету родини визначають статті доходів та видатків сім’ї, на основі яких формується і бюджет країни. Вироблення навичок складання бюджету веде до розуміння фінансових операцій родини, держави та світу в цілому.
2.1 Суть простих відсотків та приклади їх використання у банківській справі.
Перш ніж переходити до викладення матеріалу по простим відсоткам та шляхам їх нарахування, введемо означення основних термінів та понять, що будуть неодноразово вживатися у подальших пунктах даної роботи.
Кожен власник, що має квартиру або гараж, які він не використовує, може здати їх в оренду, отримуючи за це певну плату. Так само людина, що має гроші, які вона не використовує, може їх дати в борг іншій особі (або, використовуючи більш загальний термін, - інвестувати) за певну винагороду. Дохід від інвестованого капіталу або, в більш вузькому сенсі, винагорода за використання грошей, називається відсотковими грошима або коротко відсотками. Суму грошей, даних в борг, називають основною або капіталом. Зазвичай позика надається на певний час - період. Сума відсоткових та основних грошей, яка утворюється в кінці періоду, називається підсумком. У загальному випадку відношення відсотка за період до основної суми (капіталу) називається нормою відсотка. Ця норма найчастіше виражається у формі відсотків, при розрахунках використовуються еквівалентні десяткові (рідше - натуральні) дроби. При укладенні конкретних угод для позначення норми відсотків звичайно використовується інша назва - відсоткова ставка .
Приклад. Іванов взяв в ощадному банку позику 10000 грн. Якщо банк нараховує 250 грн процентних грошей за використання цієї суми протягом 6 місяців, якою буде норма відсотка за цей період?
Розв’язання. Позначимо норму відсотка за шести місячний період через i.
Тоді
%.
Поняття простого відсотку.
Нехай P буде основною сумою, r - нормою відсотка за 1рік і t тривалість періоду часу в роках. Якщо відсоток обчислюється за формулою:
I = Prt
і якщо відсоток виплачується в кінці періоду часу, тоді процентні гроші, що виплачуються називаються простим відсотком. У цьому випадку норма відсотка за аналізований період часу дорівнює rt.
Для простого відсотка норма, як правило, дається для періоду тривалістю 1 рік. Якщо S позначає підсумкову суму, тоді
S = P + I
Рівності (1) і (2) називаються основними рівняннями простого відсотка. Будь-яка задача для простих відсотків може бути розв'язана за допомогою цих двох рівностей. Слід зауважити, що вони містять п'ять різних змінних, а саме S, P, I, r і t. Якщо будь-які три задані (виключаючи випадок завдання трьох перших одночасно), решта дві можуть бути знайдені за допомогою (1) і (2). Для зручності можна додати ще одну рівність. Якщо виключити з (1) і (2) змінну I, отримаємо вираз підсумкової суми S через P, r і t.
S = P(1 + rt)
Так як для простого відсотка r завжди дається річна норма, час t має вимірюватися в роках. Коли час дається в місяцях, t дорівнює числу місяців, поділеному на 12. Коли час дається в днях, використовується два різні способи для підрахунку t. Частіше використовується розподіл числа днів на 360. Якщо t обчислюється у такий спосіб, отриманий відсоток називається звичайним простим відсотком .
Другий спосіб - використовувати ділення кількості днів на 365 (366 у високосному році). Якщо t обчислюється таким чином, отриманий відсоток називається точним простим відсотком.
Приклад. Знайти простий відсоток за позику 3000 грн на 5 місяців, якщо норма 0,07%
Розв’язання.
Ми
маємо: P
=
,
r
=
та t
=
.
I
= Prt =
грн.
Приклад. Знайти точний простий відсоток і підсумкову суму, якщо 5000 грн. дано в борг на 100 днів при нормі 4%.
Розв’язання.
P
=
,
r
=
та t
=
I
=
=
грн.
S
=
=
грн.
Приклад. Особі, яка інвестувала 100000 грн, компенсовані 101000 грн., але на дев'яносто днів пізніше. З якою нормою зароблялися ці гроші при звичайному простому відсотку?
Розв’язання.
P
=
,
S
=
та t
=
=
.
Тепер,
так
як
S
= P + I ,
I
= S - P =
=
.
Але
I
= Prt ,
тому
r
= I/(Pt) =
%.
Приклад. Через 60 днів після позики Іванов виплатив рівно 10000 грн. Скільки було зайнято, якщо 10000 грн включають основну суму і звичайний простий відсоток при 12%?
Розв’язання.
S
=
,
r
=
і
t
=
=
.
Підставивши ці значення в S = P(1 + rt) , отримаємо
=
звідки P
=
=
грн.
Для обчислення простих відсотків без використання сучасної обчислювальної техніки застосовуються різні практичні прийоми. Найбільш відомий з них - шести відсотковий спосіб, який заснований на тому, що на кожну гривню при нормі 6% звичайний простий відсоток за 60 днів дорівнює 0,01 грн. Тепер, приводячи реальну норму до 6% і реальний період до 60 днів для визначення звичайного простого відсотка достатньо перемножити ці наведені величини і отриманий добуток помножити на один відсоток від основної суми. Отриманий результат і буде звичайним простим відсотком.
Крім цього для визначення простих відсотків не вдаючись до обчислень, використовуються таблиці. У фінансовій математиці часто можна вирішувати поставлену задачу кількома методами. У цих умовах завжди слід шукати найбільш простий спосіб, який скоротить вашу працю і ризик числових помилок.
2.2 Суть складних відсотків та приклади їх використання у банківській справі.
Складні відсотки застосовуються в довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються періодично відразу після їх нарахування за минулий інтервал часу, а приєднуються до суми боргу. Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка служила базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків .
Формула нарощення за складними відсотками
Нехай
початкова сума боргу дорівнює P,
тоді через один рік сума боргу з
приєднаними відсотками складе P(1+i),
через 2 роки
,
через n
років -
.
Таким чином, отримуємо формулу нарощення
для складних відсотків:
(2.2.1)
де
S
- нарощена сума, i
- річна ставка складних відсотків, n
-
термін позики,
- множник нарощення. У практичних
розрахунках в основному застосовують
дискретні відсотки, тобто відсотки, що
нараховуються за однакові інтервали
часу (рік, півріччя, квартал і т.д.).
Нарощення по складних відсотках є
зростанням за законом геометричної
прогресії, перший член якої дорівнює
P,
а знаменник
.
Відзначимо, що при терміні n<1 нарощення за простими відсотками дає більший результат, ніж по складним, а при n>1 - навпаки. У цьому неважко переконатися на конкретних числових прикладах. Найбільше перевищення суми, нарощеної по простим відсоткам, над сумою, нарощеної по складних, (при однакових відсоткових ставках) досягається в середній частині періоду.
Формула нарощення за складними відсотками, коли ставка
змінюється в часі
У тому випадку, коли ставка складних відсотків змінюється в часі, формула нарощення має наступний вигляд:
,
(2.2.2)
де
– послідовні значення ставок відсотків,
що діють у періоди
відповідно.
Приклад.
У
договорі зафіксована змінна ставка
складних відсотків, яка визначається
як
%
річних плюс маржа
%
в перші два роки,
%
у третій рік,
%
в четвертий рік. Визначити величину
множника нарощення за 4 роки.
Розв'язання.
Формула подвоєння суми
З метою оцінки своїх перспектив кредитор або боржник може задатися питанням: через скільки років сума позики зросте в N разів при даній процентній ставці. Зазвичай це потрібно при прогнозуванні своїх інвестиційних можливостей у майбутньому. Відповідь отримаємо, прирівнявши множник нарощення величиною N:
а) для простих відсотків
,
звідки
(2.2.3)
б) для складних відсотків
,
звідки
(2.2.4)
Особливо
часто використовується
.
Тоді формули (2.2.3)
і (2.2.4)
називаються формулами подвоєння та
приймають такий вигляд:
а) для простих відсотків
(2.2.5)
б) для складних відсотків
(2.2.6)
Якщо
формулу (2.2.5) легко застосовувати для
приблизних розрахунків, то (2.2.6) вимагає
застосування калькулятора. Однак при
невеликих ставках відсотків (скажімо,
менше
%)
замість неї можна використовувати більш
просту наближену. Її легко отримати,
якщо врахувати, що,
,
а
.
Приклад.
Розрахувати,
за скільки років борг збільшиться вдвічі
при ставці простих і складних відсотків
рівній
%.
Для ставки складних відсотків розрахунки
виконати за точною і наближеною формулою.
Результати порівняти.
Розв'язання.
а) Для простих відсотків:
років.
б) Для складних відсотків і точної формули:
роки.
в) Для складних відсотків і наближеної формули:
років.
Висновки:
1) Однакове значення ставок простих і складних відсотків призводить до зовсім різних результатів.
2) При малих значеннях ставки складних відсотків точна і наближена формули дають практично однакові результати.
Нарахування річних відсотків при дробовому числі років
При дробовому числі років відсотки нараховуються різними способами:
1) За формулою складних відсотків
,
(2.2.7)
На основі змішаного методу, згідно з яким за цілу кількість років нараховуються складні відсотки, а за дробову – прості
,
(2.2.8)
де
,
- ціле число років,
- дробова частина року.
2) У ряді комерційних банків застосовується правило, згідно з яким за відрізки часу менше періоду нарахування відсотки не нараховуються, тобто
(2.2.9)
Номінальна та ефективна відсоткові ставки
Номінальна ставка. Нехай річна ставка складних відсотків дорівнює j, а число періодів нарахування на рік m. Тоді кожен раз відсотки нараховують за ставкою j/m. Ставка j називається номінальною [13,с.83]. Нарахування відсотків за номінальною ставкою здійснюється за формулою:
(2.2.10)
де N - кількість періодів нарахування.
Якщо термін позики вимірюється дробовим числом періодів нарахування, то при m разовому нарахуванні відсотків на рік нарощену суму можна розраховувати кількома способами, що призводять до різних результатів:
1) За формулою складних відсотків
(2.2.11)
де
- число (можливо
дробове) періодів нарахування відсотків,
- період нарахування відсотків,
2) За змішаною формулою
(2.2.12)
де
a
–
ціле число періодів нарахування (тобто
– ціла частина від ділення усього
терміну позики N
на
період нарахування
),
b
–
залишкова дробова частина періоду
нарахування
.
Приклад.
Розмір
позики
млн. грн. Надано на
місяців. Номінальна ставка дорівнює
%
річних. Нарахування відсотків щоквартальне.
Обчислити нарощену суму в трьох ситуаціях:
1) коли на дробову частину нараховуються
складні відсотки, 2) коли на дробову
частину нараховуються прості відсотки
3) коли дробова частина ігнорується.
Результати порівняти.
Розв'язання.
Нарахування
відсотків щоквартальне. Усього є
кварталів.
1)
млн. грн.
2)
млн. грн.
3)
млн. грн.
Із зіставлення нарощених сум бачимо, що найбільшого значення вона досягає в другому випадку, тобто при нарахуванні на дробову частину простих відсотків.
Ефективна ставка показує, яка річна ставка складних відсотків дає той же фінансовий результат, що і m-разове нарощення на рік за ставкою j/m. Якщо відсотки капіталізуються m раз на рік, щоразу зі ставкою j/m, то, за визначенням, можна записати рівність для відповідних множників нарощення:
(2.2.13)
де
- ефективна ставка, а j
- номінальна. Звідси отримуємо, що зв'язок
між ефективною і номінальною ставками
виражається співвідношенням
(2.2.14)
Обернена залежність має вигляд
(2.2.15)
Приклад.
Обчислити
ефективну ставку відсотка, якщо банк
нараховує відсотки щоквартально,
виходячи з номінальної ставки
%
річних.
Розв'язання.
,
тобто
%.
Приклад.
Визначити
якою повинна бути номінальна ставка
при щоквартальному нарахуванні відсотків,
щоб забезпечити ефективну ставку
%
річних.
Розв'язання.
,
тобто
%.
Облік (дисконтування) за складною відсотковою ставкою
Тут, також як і у випадку простих відсотків, будуть розглянуті два види обліку - математичний і банківський [13,с.86].
Математичний облік. У цьому випадку вирішується завдання зворотнього нарощення за складними відсотками. Запишемо вихідну формулу для нарощення
Та
розв'язуємо її відносно
,
(2.2.16)
(2.2.17)
дисконтний множник. Також значення даних множників можна знаходити з таблиці (Додаток А).
Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, то отримаємо
(2.2.18)
(2.2.19)
Величину P, отриману дисконтуванням S, називають сучасною або поточною вартістю або наведеної величиною S. Суми P і S еквівалентні в тому сенсі, що платіж у сумі S через n років рівноцінний сумі P, що виплачується в даний час.
Різниця D=S-P називають дисконтом.
Банківський облік. У цьому випадку передбачається використання складної облікової ставки. Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:
(2.2.20)
де
- складна річна облікова ставка.
Дисконт у цьому випадку рівний
(2.2.21)
При використанні складної облікової ставки процес дисконтування відбувається з прогресуючим уповільненням, оскільки облікова ставка щоразу застосовується до суми, зменшеної за попередній період на величину дисконту.
Номінальна та ефективна облікові відсоткові ставки
Номінальна облікова ставка. У тих випадках, коли дисконтування застосовують m раз на рік, використовують номінальну облікову ставку f. Тоді в кожному періоді, що дорівнює 1/m частини року, дисконтування здійснюється за складною обліковою ставкою f/m [13,с.89]. Процес дисконтування з цієї складної облікової ставки m раз на рік описується формулою
(2.2.22)
де N - загальна кількість періодів дисконтування (N=mn).
Дисконтування не один, а m раз на рік швидше знижує величину дисконту. Ефективна облікова ставка. Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну (за фінансовими результатами) номінальній, що застосовується при заданому числі дисконтування в році m. Відповідно до визначення ефективної облікової ставки знайдемо її зв'язок з номінальною з рівності дисконтних множників
(2.2.23)
(2.2.24)
Відзначимо, що ефективна облікова ставка завжди менше номінальної.
Нарощення
за складною обліковою ставкою.
Нарощення є зворотним завданням для
облікових ставок. Формули нарощення за
складними обліковими ставками можна
отримати, дозволяючи відповідні формули
для дисконтування (2.2.23 і 2.2.24) щодо S.
Отримуємо з