Файл: 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс.pdf

57
2. Нагруженный резерв (
2

l
).
Будем полагать, что элементы, составляющие дублированную группу A и B (рис. 3.5), равнонадежны с интенсивностью отказов
 и интенсивностью восстановления
. Пусть ремонтный орган имеет одну ремонтную бригаду, которая восстанавливает отказавшие элементы последовательно (один за другим).
Рис. 3.5
Перечислим все состояния системы:
«0» – исправны оба элемента (
B
A 
) с вероятностью
0
P ;
«1» – один из элементов неисправен и восстанавливается (
B
A

или
B
A

) с вероятностью
1
P ;
«2» – оба элемента системы неисправны (
B
A

), следовательно, вся си- стема целиком находится в состоянии отказа с вероятностью
2
P .
Составим уравнения состояний системы сразу для стационарного режи- ма (
 
t
), минуя уравнения Колмогорова для произвольного момента вре- мени. С учетом простейшего потока отказов уравнения приобретают вид:



























2 1
0 2
1 2
1 0
1 0
1
,
0
,
)
(
2 0
,
2 0
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
2
,
2 0
2 1
2 0
1
P
P
P
P
P
















(3.15)
Решая систему уравнений (3.15) и вводя обозначение




, получим выражения для предельных вероятностей:
A
B
Ремонтный орган
2λ
μ
0 1
2 2λ
µ
µ
λ

58






































2 2
1 2
2
,
2 2
1 2
2
,
2 2
1 1
,
1 2
2 2
2 0
2 2
2 0
1 2
0 0
2 0
0
P
P
P
P
P
P
P
P
(3.16)
Отказ всей системы соответствует состоянию «2» с вероятностью
2
P , т. е. стационарный коэффициент простоя
2
п
P
K

, а, следовательно, коэффи- циент готовности (3.15), (3.16)
1 0
2
п г
1 1
P
P
P
K
K






Таким же образом могут быть проанализированы показатели надеж- ности систем с более высокой степенью избыточности.
Одной из характеристик эффективности работы СМО является относи-
тельная пропускная способность, которая показывает, какая часть от общего числа требований, появляющихся на входе СМО, может быть в среднем об- служена в единицу времени.
Рассмотренные модели СМО показывают, что качество обслуживания системой с отказами определяется, в основном, отношением




, т. е. отно- шением среднего числа требований, появляющихся на входе системы в еди- ницу времени, к интенсивности потока восстановлений
. Отношение




иногда называют приведенной плотностью входящего потока требований.
Схема «гибели и размножения».
Обобщением простейшей структуры резервирования системы может быть система с графом состояний, называе- мым схемой «гибели и размножения» (рис. 3.6).
Особенность этого графа в том, что все состояния системы вытянуты в одну цепочку, в которой каждое из средних (
1 2
1
,
,
,

n
x
x
x

) связано прямой и обратной связями с каждым из соседних состояний – правым и левым, а крайнее состояние (
0
x
,
n
x
) – только с одним соседним состоянием. Термин схема «гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где по- добной схемой описывается изменение численности популяции.

59
Рис. 3.6
Приведенная схема представляет собой широко распространенную част- ную модель марковских случайных процессов с дискретным числом состоя- ний и непрерывным временем, для которых можно легко написать уравнения
Колмогорова для вероятностей состояний.
Система дифференциальных уравнений будет выглядеть следующим образом:





































).
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0
0
t
P
t
P
dt
t
dP
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP
t
P
t
P
dt
t
dP
n
n
n
n
j
j
j
j
j
j
j
j


(3.17)
Для предельных вероятностей состояний
n
x
x
x
,
,
,
1 0

(их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в любое другое за конечное число шагов) можно составить из (3.17) систему алгебраических уравнений:









































0
,
)
(
0
,
)
(
0
,
0 1
1 1
1 1
1 2
2 1
1 1
0 0
1 1
0 0
n
n
n
n
j
j
j
j
j
j
j
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P


















































,
,
,
0 0
2 1
1 1
0 0
0 2
1 1
1 0
0 2
1 1
0 1
2 1
2 0
1 0
1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
n
n
n
n
j
j
j
j






0 0

1

1


j
1


n
…
1
n
j
…
2 1

2

3

j

1


j
n

1

j
2

j


60
Воспользовавшись уравнением нормировки
0 1



n
j
j
P , получим:
1
)
1
(
2 1
0








n
P

;





n
j
j
P
0 0
1
;








n
j
j
j
j
j
t
P
t
P
0
)
(
lim
. (3.18)
Теоретически число состояний системы ничем не ограничено (рис. 3.6).
В этом случае возникает вопрос о существовании предельных вероят- ностей. Ведь если число состояний системы бесконечно, то при
 
t
оче- редь на обслуживание в СМО может неограниченно возрастать. Можно дока- зать, что если
1





, то предельные вероятности существуют, а при
1


очередь на обслуживание в СМО при
 
t
растет неограниченно. При
1


СМО справляется лишь с регулярным потоком заявок, для которого время обслуживания не случайно, а равно интервалу между заявками.
Ряд (3.18) при
 
n
представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем
 . Известно, что при
1


ряд сходится, причем это условие выполняется во всех случаях, если, начиная с некоторого
j
, справедливо не- равенство
1 1




j
j
, что на практике выполняется. Удивительно, что как бы ни была нагружена СМО с очередью на обслуживание при
1


, самое вероятное число заявок в системе равно нулю и не совпадает с математиче- ским ожиданием.
Исследования марковских процессов при анализе показателей надеж- ности восстанавливаемых РЭС позволяют определить их оптимальные струк- туры и значения параметров, обеспечивающие заданные показатели надеж- ности при различных ограничениях.
Существуют другие СМО, отличающиеся дисциплиной обслуживания, например с ограничением, заключающимся в том, что общее количество по- являющихся требований не может превышать определенного числа. Однако подход к анализу характеристик таких СМО базируется также на уравнениях
А. Н. Колмогорова.
4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПАРАМЕТРОВ РЭС
4.1. Основные характеристики допусков
В процессе изготовления, эксплуатации и хранения на элементы РЭС действует множество различных дестабилизирующих факторов. Основное

61
влияние на изменение параметров изделий оказывают производственные по- грешности, погрешности старения и температурные погрешности.
Оценка допусков на параметры РЭС и элементов базируется на теории точности и чувствительности.
Допуски параметров РЭС подразделяются на механические и элек- трические, а каждые из них – на производственные, эксплуатационные, ре- монтные.
Производственные допуски
определяют отклонения параметров РЭС от их номинальных значений в процессе производства при нормальных усло- виях эксплуатации и служат мерой точности при регулировке и настройке
РЭС.
Эксплуатационные допуски
ограничивают отклонения параметров РЭС в процессе эксплуатации за счет воздействия окружающей среды, старения и разброса параметров элементов.
Ремонтные допуски
в отличие от эксплуатационных не учитывают ста- рения элементов. Допуск принято характеризовать верхним (ВО) и нижним
(НО) предельными отклонениями от номинального значения параметра или шириной поля допуска
HO
BO



, его половиной
2



и координатой его середины
2
)
НО
ВО
(


E
, причем


 E
BO
;


 E
HO
. Заметим, что допуск – существенно положительная величина, а его предельные значения, а также координаты середины поля допуска – скалярные величины. Рассмот- ренные выше допуски могут быть двусторонними и односторонними.
Для расчета допусков необходимо исходить из зависимости выходных параметров РЭС
i
y
от первичных параметров
i
x
:










).
,...,
,
(
),
,...,
,
(
),
,...,
,
(
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
n
m
m
n
n
x
x
x
f
y
x
x
x
f
y
x
x
x
f
y
(4.1)
При расчете допусков предполагается, что отклонения параметров от номинальных значений малы, а это позволяет взять полный дифференциал выражения и перейти к конечным приращениям













n
i
i
i
n
x
x
x
x
x
f
y
1 2
1
)
,
,
,
(

(4.2)

62
Отметим, что понятие «малые и большие приращения» достаточно не- определенно. Для электрических цепей, содержащих полупроводниковые приборы, малыми принято считать приращения параметров в пределах
3…10 %, а большими – в пределах 10…30 %.
В равенстве (4.2) погрешности являются размерными величинами. Од- нако при расчете допусков на параметры РЭС, как правило, суммируются по- грешности различных физических величин. В этом случае удобнее опериро- вать погрешностями выходного параметра, выраженными в относительных безразмерных величинах:









 












n
i
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
x
x
A
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
y
y
1 1
2 1
2 1
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(


(4.3)
Выражение, стоящее в квадратных скобках уравнения (4.3), называется коэффициентом влияния
i
A , показывающим влияние погрешностей первич- ных параметров на погрешность выходного параметра. При анализе погреш- ностей по нескольким выходным параметрам составляют систему уравнения погрешностей (4.1) по m параметрам.
Родоначальником теории чувствительности электронных цепей является
Г. Боде. Его определение чувствительности (коэффициента влияния) элек- трической цепи отличается от принятого в теории точности тем, что харак- теризуется производной от натурального логарифма параметра элемента этой цепи:
))
(
(ln
)
(
)
(
x
f
d
dx
x
f
x
f
y
y




Из известных методов определения коэффициентов влияния при расчете допусков РЭС наибольшее распространение получили расчетно-аналити- ческий метод и экспериментальные – метод малых приращений, методы на основе планируемого эксперимента и корреляционного анализа.
Для определения безразмерных коэффициентов влияния расчетно-ана- литическим методом необходимо:
1) получить аналитическое выражение выходного параметра через пер- вичные параметры элементов;
2) взять частные производные выходного параметра по каждому из пер- вичных n параметров в точке номинальных значений;
3) умножить полученные частные производные на отношение параметра
i-го элемента к значению выходного параметра.

63
При анализе функций чувствительности непрерывных и непрерывно- дискретных стационарных систем коэффициенты влияния определяются по- средством обычной производной. Функции чувствительности разрывных си- стем характеризуются наличием разрывов непрерывности, что усложняет оп- ределение коэффициентов влияния. В связи с этим при рассмотрении чув- ствительности сложных, особенно нелинейных, систем широко используются экспериментальные методы. Среди них наиболее простым является метод малых приращений, базирующийся на предположении линейности исходного уравнения погрешности выходного параметра РЭС (4.3).
Уравнение (4.3) позволяет анализировать действие каждой составля- ющей погрешности отдельно, в предположении, что параметры других эле- ментов не имеют производственных погрешностей. При малом отклонении одного параметра
i
x от номинального значения имеем
0


i
x
, а все другие погрешности
0


j
x
. Из уравнения (4.3) получим
i
i
i
i
i
x
x
y
y
A



Методом малых приращений можно быстро определить коэффициенты влияния по отношению к параметрам линейных пассивных элементов. При определении коэффициентов влияния по отношению к параметрам усили- тельных приборов, характеризующихся взаимосвязанностью параметров, оп- ределяемой коэффициентом корреляции, необходимо выделять главные, вно- сящие основной вклад в погрешность выходного параметра.
Параметры элементов и РЭС могут быть связаны линейными или не- линейными функциональными и корреляционными связями. При отклонении первичных параметров элементов в малом интервале допустима не только аппроксимация нелинейных функциональных связей линейными, но и нели- нейных статистических – линейной корреляционной связью.
Для определения коэффициентов корреляции
ij
r экспериментальным путем многократно измеряют пары значений соответствующих случайных величин (параметров)
i
x ,
j
x , вычисляют для них оценки математического ожидания
)
(
i
x
M
,
)
(
j
x
M
, дисперсии
)
(
i
x
D
,
)
(
j
x
D
и находят
)
(
)
(
)
1
(
))]
(
))(
(
[(
j
i
j
j
i
i
ij
x
D
x
D
n
x
M
x
x
M
x
r





(4.4)
Учет корреляционных связей позволяет с достаточной точностью опре- делять допуски на выходные параметры. Если коэффициент корреляции

64 25
,
0 2
,
0 

ij
r
, то параметры элементов могут считаться практически некор- релированными.