Файл: 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс.pdf

44
В процессе решения с большой вероятностью может оказаться, что
i
l –
не целое число. В этом случае
i
l округляют до ближайших целых чисел и при необходимости проверяют все варианты

C
. Если кратность резервиро- вания получается очень большой, то необходимо пересмотреть требования к надежности системы либо повысить надежность элементов (заменой на более надежные или используя облегченные режимы эксплуатации).
Решение задачи оптимального резервирования методом неопределенных множителей Лагранжа, предполагающим непрерывность параметров
N
x
x
x
,
,
,
2 1

, сопряжено с погрешностями, связанными в первую очередь с округлением результатов до целых чисел, что вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров.
Численные методы решения задачи оптимального резервирования, по- зволяющие найти сколь угодно точное решение, целесообразно использовать в случае весьма сложных моделей надежности; особенно они эффективны при малом числе резервных подсистем.
Простейшим численным методом является метод перебора, когда срав- нивают между собой все возможные варианты и выбирают из них тот, кото- рый лучше других соответствует принятым требованиям. Однако при боль- шом числе вариантов метод перебора не эффективен. Для сокращения числа вариантов при переборе из всего множества выбирают подмножество этих вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального варианта, ко- торое и называется доминирующей последовательностью.
Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей по- следовательности в силу того, что они обладают бо́льшими затратами при той же надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем чле- ны доминирующей последовательности, исключаются из рассмотрения. Чис- ленные методы позволяют построить доминирующую последовательность поэлементно, до достижения, например, заданной надежности при мини- мальной стоимости или до достижения максимальной надежности при задан- ной стоимости.
Простым и достаточно эффективным является градиентный метод (ме- тод наискорейшего спуска).
Решение обратной задачи оптимального резервирования.
При реше- нии обратной задачи отыскиваются кратности резервирования
i
l
cистемы,

45
обеспечивающие максимально возможную надежность

P при затратах, не превышающих допустимые: доп
1






C
l
c
C
N
i
i
i
Процесс синтеза оптимально-резервированной системы градиентным методом является многошаговым. На первом шаге в основной системе отыс- кивается элемент системы, добавление к которому одного резервного дает наибольшее отношение прироста показателя надежности к приросту затрат.
На втором шаге отыскивается следующий элемент системы (включая и уже зарезервированный на первом шаге), который также характеризуется наи- большим приростом надежности к приросту затрат, и т. д.
Таким образом, на каждом (k + 1)-м шаге отыскивается максимальное значение отношения
i

из всех :
i
i
k
k
k
i
k
i
k
i
c
q
c
c
P
P










1 1
1
)
(
)
(
)
(
(2.32)
Для высоконадежных систем (
1


P
) можно получить приближенное значение
1
)
(


k
i
. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге затраты не превысят допустимые:
1
доп
)
(
)
(






k
k
C
C
C
Применяя градиентный метод, находим экстремальное значение (2.32), соответствующее






N
i
i
i
i
c
Q
c
Q
1
гр
(2.33)
Предполагая систему высоконадежной, можно воспользоваться прибли- жением







N
i
l
i
N
i
i
i
q
Q
Q
1 1
гр и с учетом, что
i
l
i
i
c
q
Q
i



гр
, получить выражение для кратности резерви- рования i-го элемента системы из (2.33):
i
i
i
q
c
l
ln
)
ln(


(2.34)

46
Считая в первом приближении кратность резервирования всех элемен- тов одинаковой и





N
i
i
i
c
C
l
l
1
доп
0 0
определим
)
0
(
 :










N
i
i
N
i
l
N
i
i
c
q
c
Q
1 1
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
Далее находим приближенное значение для
i
l
из (2.34):
i
N
k
k
N
k
l
k
i
i
q
c
q
c
l
ln ln
1 1
)
0
(



















и проверяем выполнение условия доп
1






C
l
c
C
N
i
i
i
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ПРИ АНАЛИЗЕ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ
3.1. Основные понятия
Сложные системы функционируют под воздействием случайных факто- ров. Например, при работе технологического оборудования такими фактора- ми являются параметры сырья и комплектующих изделий, условия эксплуа- тации и др. Так, практически любой технологический процесс, систему управления, систему или устройство РЭС при построении модели можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО), на которую по- ступает случайный поток требований на обслуживание, а на выходе системы появляется поток обслуженных требований. Обслуживание заявки продолжа- ется какое-то, вообще говоря, случайное время, после чего СМО готова к приему следующей заявки. Исследование СМО позволяет определить и оп- тимизировать такие их показатели, как, например: среднее число заявок, среднее число занятых каналов, среднее время ожидания обслуживания, ве- роятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение, и т. д.
Особо следует отметить, что в настоящее время методы исследования
СМО широко используются при анализе самого широкого класса систем, и

47
не только технических, но и экономических, социальных (транспорт, снаб- жение, медицинское обслуживание и др.).
Применительно к анализу надежности восстанавливаемых систем отка- зы элементов можно рассматривать как требования на обслуживание. Восста- новление РЭС в течение определенного промежутка времени можно рассма- тривать как поток обслуженных требований.
При изучении сложных технических систем в качестве моделей часто используют марковские случайные процессы с конечным числом состояний.
Пусть имеется дискретный случайный процесс, моделирующий пове- дение системы с возможными состояниями
n
j
i
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
1 0



. Обозна- чим условную вероятность того, что система в момент
0 


t t
t будет в со- стоянии
j
x
, если в момент
0
t она была в состоянии
i
x
, через
0
( , )

ij
P t
t
. Та- кой случайный процесс называется марковским, если вероятность
0
( , )

ij
P t
t зависит только от указанных в обозначении параметров
0
, , ,

i j t
t , т. е. от то- го, в каком состоянии находится система в момент
0
t
и в какое состояние она может перейти через время
t .
При этом марковский процесс называется процессом с дискретным вре- менем, если переходы из одного состояния в другое возможны в строго опре- деленные моменты времени (например, синхронные автоматы). Марковским случайным процессом с непрерывным временем называется процесс, для ко- торого переход из одного состояния в другое возможен в любой момент вре- мени. Этот тип марковского процесса широко используется для описания по- ведения различных сложных систем.
Чтобы описать поведение систем с помощью марковских процессов, необходимо:
1) ввести понятие состояния системы;
2) перечислить все состояния, в которых может находиться система;
3) составить граф состояний, т. е. указать пути возможных переходов системы из одного состояния в другое состояние;
4) для каждого возможного перехода указать соответствующую интен- сивность
)
(
t
ij

потока, переводящего систему из состояния
i
x
в состояние
j
x , где
]
)
,
(
[
lim
)
(
0
t
t
t
t
P
t
ij
t
ij







;
5) указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени.

48
Для однородных марковских процессов
ij
ij
t



)
(
Следует отметить, что если потоки случайных событий, переводящих систему из одного состояния в другое, являются простейшими, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.
Возможно также представление марковского процесса матрицей пере- ходных вероятностей
ij
P . Элементы матрицы удовлетворяют очевидным соотношениям
0 1


ij
P
, причем сумма элементов каждой строки равна 1, т. е.
1 1



n
ij
j
P
, как полного набора возможных событий.

49

























n
j
i
i
ij
i
n
j
i
i
ji
j
j
t
P
t
P
t
P
t
P
t
t
P
1 1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
,
n
j
,
,
1
,
0


(3.3)
С учетом свойств простейших потоков
)
(
)
(
t
o
t
t
P
ij
ij





, где
)
( t
o
 – учитывает конечность приращения t .
Совершая предельный переход в (3.3) при
0
 
t
, получаем следующую систему дифференциальных уравнений:










n
j
i
i
ji
j
n
j
i
i
ij
i
j
t
P
t
P
dt
t
dP
1 1
)
(
)
(
)
(
,
n
j
,
,
1
,
0


(3.4)
Чтобы решить систему уравнений Колмогорова и найти вероятности со- стояний, необходимо задать начальные условия. Если известно начальное со- стояние системы
i
x , то в начальный момент (при
0

t
)
(0) 1

i
P
, а все остальные начальные вероятности равны нулю (
(0) 0


j i
P
). Так, например, при анализе надежности восстанавливаемых систем часто полагают
0 1
2
(0) 1, (0)
(0) ...
(0) 0


 

n
P
P
P
P
Приведенную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно построить формально по графу состояний, если при- держиваться следующего правила: в левой части каждого из уравнений стоит производная вероятности искомого j-го состояния; в правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки графа в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус сум- марная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного j-го со- стояния, умноженная на вероятность данного j-го состояния.
В результате решения системы дифференциальных уравнений (3.4) определяются все искомые характеристики марковского случайного процесса
– вероятности
( )
j
P t
. При решении данной системы уравнений необходимо учитывать условие нормировки
1
( ) 1



n
j
j
P t
. Это позволяет выразить любую из вероятностей ( )
i
P t через другие, а соответствующее уравнение с произ- водной
( )
i
dP t
dt
отбросить.