Файл: Минимальный курс физики. Составлен доц. Юнусовым Н. Б.doc

. Из этой же формулы следует, что со скоростью света может двигаться, обладая конечным импульсом, только безмассовая частица (m=0). Это, например, фотон.

Основное уравнение динамики в СТО принимает, т.о., вид:

.

Если сила совершает работу, разгоняя тело от нулевой скорости до некоторой релятивистской скорости , то эта работа целиком идет на создание кинетической энергии, т.е.: . Вычисление интеграла приводит к выражению: .

Если истолковывать как полную энергию тела, то отсюда следует, что когда тело покоит­ся и его кинетическая энергия равна нулю, оно тем не менее обладает энергией т_·с². В соот­ветствии с этим т_·с²называют энергией покоя тела : Е₀ = m·c². Это знаменитая формула Эйнштейна, говорящая о том, что масса тела является не только мерой инертно­сти или мерой гравитационного действия, но и мерой энергосодержания тела. Используя выражения для импульса и энергии тела можно получить еще одно часто используемое выражение для полной энергии тела:

.

Согласно СТО, пространство и время являются относительными, зависят друг от друга, образуя единый 4-х мерный пространственно-временной континуум.

Несколько позже в общей теории относительности А. Эйнштейн показал, что на пространство и время влияет тяготение, а именно, вблизи очень массивных тел пространство искривляется, а время замедляется.

1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Д вижение, которое повторяется через равные

---

промежутки времени, называется колебатель­ным. Промежуток времени T, по истечение кото­рого движение повторяется, называется перио­дом колебания. В моменты времени tи t + Т частица имеет одно и то же положение и одну и ту же скорость. Величина ν, обратная периоду, называется частотой: ν = 1/Т. Она определяет, сколько раз в секунду повто­ряется движение, и измеряется в герцах(Гц). Круговой (циклической) частотой называ­ется величина ω = 2πv.

Свободные (собственные) колебания – колебания, происходящие без внешних воздей­ствий за счет первоначально полученной телом энергии. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник жесткостью k и массой m, помещенный в среду с коэффициентом сопротивления r, на который вдоль оси х действует переменная внешняя сила F(t), изменяющаяся со временем, например, по гармоническому закону F(t) = F₀ ·cosΩt с некоторой частотой Ω .

Уравнение движения маятника:

(1), где сила упругости F_УПР пропорциональна смещению х, а сила трения (сопротивления) F_ТР среды – скорости υ=dx/dt. Перепишем (1) по другому:

(2),

где введены обозначения

Проанализируем уравнение (2).

1. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   19

---

Свободные гармонические незатухающие колебания.


Маятник в отсутствие силы трения (r =0) и внешней силы ( F₀=0) отведен от положения равновесия и отпущен. Уравнение движения имеет вид:

(3).

Его решением является гармоническая функция: (4),

в чем легко убедиться, подставив (4) в (3).

В (4) x_m , ω₀ и φ₀ – постоянные величины. x_m– амплитуда – величина, указывающая максимальное значе­ние координаты х при отклонении от положения равновесия, ω₀ – собственная частота, аргумент косинуса носит название фазы колебания; φ₀ — начальная фаза коле­бания (в момент t= 0).

Частота колебаний зависит только от свойств колеблю­щейся системы, но не от амплитуды, а амплиту­да и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями ее движения, выводя­щими систему из состояния покоя.

Скорость колеблющейся частицы равна: (5).

Ускорение частицы при таком движении: (6). На рис. приведены зависимости x(t), υ(t) и a(t) для φ₀=0.

Складывая кинети­ческую энергию с потенциальной, найдем полную энергию частицы, колеблющейся под действием упругой силы:

(7).

Т.о., полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Кинетическая и потен­циальная энергии изменяются со временем, как sin²(ω₀·t+φ₀) и cos²(ω₀·t+φ₀) , так что когда одна из них увеличивает­ся, другая – уменьшается, т.е. процесс колеба­ний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Сред­ние за период колебания значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и равны W/2. Т.о., если на тело действует сила, пропорциональная величине смещения час­тицы х и направленная в сторону, противоположную этому смещению (таковы, например, упругая сила, F=– k·x , действующая на пружинный маятник, или сила тяжести, действующая на математический или физический маятники), то оно совершает т.н. гармонические колебания (движение совершается по закону синуса или косинуса).

Примечание: В механике обычно рассматривают колебания : – математического маятника с периодом , где ℓ–длина маятника;

– физического маятника с периодом , где J–момент инерции маятника, a–расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс;

– пружинного маятника с периодом , где k–жесткость пружины.
2. Свободные затухающие колебания
При наличии силы трения (r ≠0) и отсутствии внешней периодической силы (F₀ =0) уравнение движения имеет вид: (8),

г
де β называется коэффициентом затухания колебаний. В случае слабого затухания (β – мало) решением такого дифференциального уравнения является функция : (9). В этом можно убедиться прямой подстановкой (9) в уравнение (8). – частота колебаний системы с затуханием. A=A₀·e^-βt – амплитуда затухающих колебаний.

Таким образом, амплитуда колебаний убыва­ет по экспоненциальному закону. Вместе с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, т.к. W

A².

Степень убывания амплитуды определяется коэффициен­том затухания β. Время τ=1/β, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е=2.7183 раз, называют по­стоянной времени затухания колебаний.

Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина θ, называемая лога­рифмическим декрементом затухания. По определению:

(10).

Скорость убывания энергии в системе с зату­ханием характеризует добротность Q:

(11),

где W – энергия, запасенная в системе, (–ΔW)– энергия, теряемая системой за период. Добротность показывает, во сколько раз энер­гия, запасенная в системе, больше энергии, те­ряемой за период. Добротность в (11) выражена через параметры системы и логарифмический декремент затухания θ, с учетом того, что W A

---

².

В случае сильного затухания ( ) колебательный процесс не развивается: система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, просто медленно возвращается к нему. Это т.н. апериодический процесс.
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
Для того чтобы возбудить в системе незату­хающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением (сопротивлением). Такая компенсация может производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы F(t). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колеба­ния называются вынужденными.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний имеет вид (2):

(12).

Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2 порядка; его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение уравнения колебаний с затуханием, рассмотренное ранее. Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения: x =A·cos(Ωt –φ ) (13), описывающее установившиеся колебания с частотой Ω вынуждающей силы.

Величины амплитуды Aи сдвига фазы φ по отношению к фазе вынуждающей силы зависят от соотношения между собственной частотой ω₀ системы и Ω, а также от затухания, действующе­го в системе:

; (14).

П ри некоторой частоте Ω

---

₀вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Это явление называется резонан­сом (резонансом смещения). На рис. изображены резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания β. Частота ω_рез = Ω₀ называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкорен­ное выражение для A в формуле (14): (15).

Амплитуда при резонансе получается подстановкой Ω₀ в выражение для амплитуды:

(16).

0. 
   
   
1. 
   1.7. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.
   

Явление распространения колебаний в про­странстве называется волновым движением или волной.

Уравнение волны выражает зависимость смещения Ψ колеблющейся точки, участвую­щей в волновом процессе, от ее координаты х и времени t.

Волна называется продольной, если колебания частиц происходят вдоль линии распространения вол­ны; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.

Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло колеба­ние, называется фронтом волны. Можно так­же в среде выделить геометрическое место то­чек, колеблющихся в одинаковых фазах. Эта совокупность точек образует поверхность оди­наковых фаз или волновую поверхность. Фор­ма фронта волны определяет тип волн, напри­мер, у сферической волны фронт представляет собой сферу.

Скорость распространения волны есть скорость распространения данной фазы (волновой поверхности). Ее называют фазовой скоростью υ волны.

Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период Т колебания, называется

---