Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Электромагнитная индукция
9
Пренебрегая потерями энергии, которые не превышают 2%, можно запи- сать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одина- ковы:
2 2
1 1
i
i



, откуда, с учетом соотношения (9.13), найдем
1 2
2 1
1 2
N
N
i
i




, т.е. токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.
Если
1 1
2

N
N
, то имеем дело с повышающим трансформатором, увеличи- вающим переменную ЭДС и понижающую ток. Повышающие трансформаторы используются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квад- рату силы тока, снижаются.
Если
1 1
2

N
N
, то имеем дело с понижающим трансформатором, умень- шающим ЭДС и повышающим ток. Понижающие трансформаторы применяют- ся, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении.
Трансформаторы, используемые в технике, часто имеют 4 – 5 обмоток, в зависимости от их назначения. Разновидностью трансформатора является ав-
тотрансформатор, т.е. трансформатор, содержащий одну обмотку. В случае повышающего автотрансформатора ЭДС подводится к части обмотки, а вто- ричная ЭДС снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная ЭДС снимается с части обмотки.
9.6. Энергия магнитного поля
Рассмотрим цепь, показанную на рис. 9.7. Сначала переведем переключа- тель K в положение 1, замкнув тем самым соленоид на батарею. По катушке

Электромагнитная индукция
10 потечет электрический ток i и в катушке возникнет магнитное поле. Переведем теперь переключатель в положение 2, отключив соленоид от батареи и замкнув его на сопротивление R. В цепи будет течь убывающий ток. Работа, совершенная этим током за время dt:








d d
d d
d d
i
t
i
t
t
i
A
s
Но d  Ldi, поэтому, dA  Lidi. Работа по созданию магнитного поля будет




0 2
2
d
i
Li
i
Li
A
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с соленоидом,
2 2
Li
W 
Выразим энергию магнитного поля через параметры, характеризующие само поле. Так как L  
0
n
2
V и H  ni, то i  H/n. Здесь V – объем соленоида,
H – напряженность магнитного поля, n – число витков, приходящихся на еди- ницу длины соленоида. Следовательно,
V
H
V
n
H
n
W
2 2
2 0
2 2
2 0




Тогда объемная плотность энергии магнитного поля равна
2 2
0
H
V
W
w



. (9.14)
Так как индукция магнитного поля B и напряженность H связаны соот- ношением B  
0
H, то формулу (9.14) можно записать в виде
0 2
2 0
2 2
2





B
BH
H
w
Энергию магнитного поля находят путем интегрирования:
V
H
V
w
W
V
V
d
2
d
2 0





Рис. 9.7. К расчету энергии магнитного поля

L
R
K
1 2

Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
10.1. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла
Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения потока магнитной индукции обу- словлены изменениями поля. Так как в контуре возникает индукционный ток, то в контуре действуют сторонние сил. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в контуре; они также не могут быть силами Лоренца, т.к. силы Лоренца работы над зарядом не совершают.
Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающем в контуре электрическим полем.
Обозначим напряженность этого поля
B
E

. ЭДС индукции равна циркуля- ции вектора
B
E

по контуру:



l
B
i
l
E


d . (10.1)
Так как циркуляция не равна нулю, то это поле, в отличие от потенциаль- ного электростатического поля, называется вихревым электрическим полем.
Вихревое электрическое поле не имеет истоков и стоков, на которых бы начи- нались и заканчивались линии напряженности поля.
Согласно закону электромагнитной индукции







S
i
S
B
t
t


d d
d d
d
Так как контур неподвижен, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами
S
t
B
S
B
t
S
S




d d
d d





Следовательно,
S
t
B
l
E
S
l
B




d d












(10.2)
Согласно идее Максвелла изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Это поле
B
E

существенно отличается

Электромагнитное поле
2 от порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля
q
E

. Элек- тростатическое поле потенциально, его линии начинаются и оканчиваются на зарядах, причем циркуляция вектора напряженности
q
E

равна нулю:
0
d 

l
q
l
E


. (10.3)
Циркуляция вихревого поля отлична от нуля (10.1). Линии напряженности
B
E

замкнуты.
В общем случае электрическое поле представляет собой векторную сум- му (суперпозицию) двух полей:
B
q
E
E
E





. Сложив вместе уравнения (10.2) и
(10.3) получим первое основное уравнение Максвелла в интегральной форме:
S
t
B
l
E
S
l




d d












. (10.4)
Первое уравнение Максвелла (10.4) представляет собой обобщенный на
случай вихревого электрического поля закон электромагнитной индукции Фа-
радея.
10.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла
Для установления количественных соотношений между изменяющимися электрическими и возникающими магнитными полями Максвелл ввел в рас- смотрение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержа- щую конденсатор (рис. 10.1). Движение электронов т.е. ток проводимости имеет место во всей цепи, кро- ме зазора между обкладками конденсатора. Следова- тельно, линии тока проводимости терпят на границе обкладок разрыв. Зато в пространстве между обкладками конденсатора имеется переменное электрическое поле, которое характеризуется вектором электриче- ского смещением
D

. Напомним, что
E
D


0


Максвелл предположил, что линии тока проводимости непрерывно пере- ходят на границе обкладок в линии тока смещения.
D
S
i
+q
-q
Рис. 10.1 Конденсатор в цепи переменного тока

Электромагнитное поле
3
Плотность тока проводимости определяется выражением












S
q
t
S
q
j
d d
, где S – площадь обкладки, q – распределенный на ней заряд,  - поверхностная плотность заряда обкладки.
Чтобы линии тока смещения имели такую же густоту, как и линии тока проводимости, должно выполняться равенство:




j
j
см
Выразим ток смещения через параметры электрического поля в зазоре конденсатора:







E
E
0 0
Так как
E
D
0


, то
D


. Откуда следует, что
D




. Таким образом
D
j
см


Последнее соотношение можно записать в векторном виде
D
j
см



. (10.5)
Формулу (10.5) Максвелл распространил на электрические поля любого вида, в том числе и на вихревое электрическое поле. Максвелл приписал току смещения свойство создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Со- гласно Максвеллу при расчетах магнитных полей в формулы нужно подстав- лять полную плотность тока:
t
D
j
j
j
j
см
полн











В частности, циркуляция вектора
H

по любому контуру равна
S
t
D
j
l
H
S
l





d d












. (10.6)
Уравнение (10.6) является вторым основным уравнением Максвелла в интегральной форме. Согласно (10.6) переменное электрическое поле порожда- ет магнитное поле. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщен-
ный на случай тока смещения закон полного тока: циркуляция вектора напря-
женности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической
сумме тока проводимости и тока смещения.

Электромагнитное поле
4
Электрические и магнитные поля непрерывно связаны друг с другом.
Они образуют единое электромагнитное поле.
10.3. Описание свойств векторных полей
Для описания свойств векторных полей используют понятия векторного исчисления, которые мы здесь рассмотрим.
1. Градиент скалярной функции. Эта операция означает дифференци- рование функции по координатам с последующим суммированием:
k
z
j
y
i
x
















grad
Если использовать оператор набла 

(см. раздел 2.6), равный
k
z
j
y
i
x














, то формулу для градиента можно записать в виде





grad
Например,






E
Таким образом, операция вычисления градиента сводится к умножению вектора 

на скаляр.
2. Дивергенция вектора. Как отмечалось в разделе 2.6, дивергенция по- казывает, какой поток вытекает из единичного объема:



S
V
S
A
V
A



d
1
lim div
0
Расчет показывает, что выражение для дивергенции вектора
A

в декарто- вых координатах принимает вид:
z
A
y
A
x
A
A
z
y
x










div
, (10.7) где A
x
, A
y
, A
z
– проекции вектора
A

на соответствующие оси.
Умножим скалярно вектор 

на вектор
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x







:
z
A
y
A
x
A
k
A
j
A
i
A
k
z
j
y
i
x
A
z
y
x
z
y
x





























)
(









Электромагнитное поле
5
Мы пришли к уравнению (10.7). Таким образом, дивергенция представ- ляет собой скалярное произведение вектора 

на вектор
A

:
A
A






div
3. Ротор вектора. Ротор вектора представляет собой предел, к которому стремится циркуляция вектора по замкнутому контуру, при стягивании контура в точку:



l
n
P
S
l
A
S
A



d
1
lim
)
(rot
, где
n
A)
(rot

 проекция вектора
A

rot на положительную нормаль к площадке S, охватываемой контуром,
A

 вектор, характеризующий поле.
Выражение для ротора вектора в декартовых координатах имеет вид:
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
A
A
x
y
z
x
y
z








































rot
Ротор вектора представляет собой векторное произведение вектора 

на вектор
A

:
A
A






rot
Выражение для ротора можно записать и в виде определителя:
z
y
x
A
A
A
z
y
x
k
j
i
A
A
















rot
В векторном исчислении доказывается теорема Остроградского-Гаусса



V
S
V
A
S
A
d div d



, (10.8) и теорема Стокса



S
l
S
A
l
A




d rot d
. (10.9)
В качестве вектора
A

в электродинамике принимают векторы, характери- зующие электромагнитное поле, например, векторы
E

,
D

,
H

,
B


Электромагнитное поле
6
10.4. Полная система уравнений Максвелла
Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений.
Основным следствием теории был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Основу теории составляют уравнения Максвелла.
Первую пару уравнений образуют уравнения закона электромагнитной индукции Фарадея и теорема Гаусса для потока магнитной индукции:
S
t
B
l
E
S
l




d d












, (10.10)
0
d


S
S
B


. (10.11)
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения закона полного тока и теорема Гаусса для потока электрического смещения:
S
t
D
j
l
H
S
l





d d












, (10.12)




V
S
V
S
D
d d


. (10.13)
Приведенная система четырех уравнений Максвелла дополняется соот- ношениями, характеризующими свойства среды. Для изотропных, неферромаг- нитных и несегнетоэлектрических сред такими уравнениями являются выраже- ния, устанавливающие связь между векторами
D

и
E

,
B

и
H

,
j

и
E

:
E
j
H
B
E
D












,
,
0 0
, (10.14) где 
,
,  – постоянные, характеризующие электрические свойства среды:  – диэлектрическая проницаемость,  – магнитная проницаемость,  – удельная проводимость.
Уравнения (10.10 – 10.13) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме, которые связывают значения
E

или
H

вдоль некоторого контура со значениями производных
B

или
D

в точках, принадлежащих дан- ному контуру.