Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Электромагнитное поле
7
От уравнений в интегральной форме легко перейти к уравнениям в диф- ференциальной форме, которые связывают значения
E

или
H

в некоторой точ- ке со значениями
B

или
D

в той же точке.
Применив теорему Стокса (10.9) к левой части уравнения (10.10) и пре- образовав, получим
t
B
E






rot
Аналогично,
t
D
j
H







rot
Применив теорему Остроградского-Гаусса (10.8) к левой части формулы
(10.11) и преобразовав, получим


D

div
Аналогично,
0
div

B

Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят сле- дующим образом. Первая пара уравнений:
t
B
E






rot
, (10.15)
0
div

B

. (10.16)
Вторая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме:
t
D
j
H







rot
, (10.17)


D

div
, (10.18) где
k
y
E
x
E
j
x
E
z
E
i
z
E
y
E
E
x
y
z
x
y
z








































rot
,
z
B
y
B
x
B
B
z
y
x










div
Совокупность семи уравнений (10.10 – 10.13) (или (10.15 – 10.18)) и
(10.14) образует основу электродинамики.

Электромагнитное поле
8
Из уравнений Максвелла следует, что электрические поля создаются ли- бо электрическими зарядами, либо переменными магнитными полями. Магнит- ные поля возбуждаются либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями. Магнитных зарядов в природе нет.
Для стационарных полей (E  const и B  const) уравнения Максвелла принимают вид
0
d 

l
l
E


,
0
d


S
S
B


,
I
l
H
l




d
,
q
S
D
S
d




,
0
rot

E

,
0
div

B

,
j
H



rot
,


D

div
Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма.
Они также фундаментальны, как законы Ньютона в механике.
10.5. Электромагнитные волны
Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей
E

и
H

переменного электромагнитного поля и все их проекции на оси декартовых ко- ординат удовлетворяют в однородной, изотропной, непроводящей среде волно- вому уравнению
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
t
s
v
z
s
y
s
x
s











, или
2 2
2 1
t
s
v
s




, где s – физическая величина, которая характеризует волну, распространяю- щуюся в среде со скоростью v, а
















2 2
2 2
2 2
z
y
x
– оператор Лапласа.
Для векторов
E

и
H

имеют место соотношения:
2 2
0 0
2 2
0 0
,
t
H
H
t
E
E
















. (10.19)
Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна

Электромагнитное поле
9


c
v
, где м/с
10 3
1 8
0 0





c
– скорость света в вакууме.
Решая систему уравнений (10.19), можно получить уравнение плоской электромагнитной волны
),
cos(
),
cos(
0 0
kx
t
H
H
kx
t
E
E






где E
0
и H
0
– амплитуды векторов
E

и
H

; k  2/ – волновое число; x – теку- щая координата пространства;  – циклическая частота колебаний.
Электромагнитные волны – поперечные волны. Векторы
E

и
H

лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, т.е. к вектору ее скорости
v

в рассматриваемой точке поля. Причем, векторы
E

,
H

и
v

образуют правую тройку векторов (рис. 10.2, а).
Структура электромагнитной волны показана на рис. 10.2, б. Взаимно перпендикулярные векторы
E

и
H

колеблются в одной фазе – они одновре- менно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.
Модули векторов
E

и
H

связаны соотношением
0 0



H
E
. (10.20)
E
H
v
а)
Рис.10.2 Электромагнитная волна: а) взаимное расположение векторов E, H, и v; б) структура электромагнитной волны
X
Y
Z
б)
E
H
v

Электромагнитное поле
10
Впервые электромагнитную волну в лабора- торных условиях получил Г. Герц в 1888 г. В опы- тах он применил вибратор, состоящий из двух ме- таллических стержней 1 (рис. 10.3), к которым подводилось переменное напряжение высокой час- тоты от индуктора 2. В момент образования искры в искровом промежутке вибратора возникали элек- тромагнитные колебания и в окружающее пространство излучались электро- магнитные волны.
Аналогичные стержни (резонатор 3) были использованы для приема волн. Герц показал, что электромагнитные волны, подобно свету, отражаются металлическими поверхностями и преломляются на границе раздела двух ди- электрических сред.
При наложении электромагнитных волн двух когерентных источников наблюдается явление интерференции, при прохождении их через малые отвер- стия или щели – явление дифракции.
С помощью металлического зеркала Герц получил стоячую волну, что позволило рассчитать скорость электромагнитных волн. Она оказалась равной скорости света.
Распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии электромагнитного поля, что позволяет осуществлять радиосвязь. 7 мая 1895 г.
А. С. Попов на заседании Русского физико-химического общества продемонст- рировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практическо- го использования электромагнитных волн для беспроволочной связи. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц».
Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.
10.6. Энергия и импульс электромагнитных волн
Объемная плотность энергии электромагнитного поля  равна
3 3
1 1
2
Рис. 10.3 Вибратор Герца

Электромагнитное поле
11 2
2 2
0 2
0
H
E





, где первое слагаемое представляет собой объемную плотность энергии элек- трического поля, а второе слагаемое – объемную плотность энергии магнитного поля.
Из соотношения (10.20) следует, что
EH
v
EH
1 0
0





, отсюда
v
EH


. Здесь v – фазовая скорость распространения волны. Фазовая скорость представляет собой скорость распространения данной фазы колеба- ний, например, скорость перемещения максимума напряженности электриче- ского поля
E

Обозначив произведение v  S, получим
EH
S 
, (10.21) где S – модуль вектора плотности потока энергии.
Так как векторы
E

и
H

взаимно перпендикулярны, то уравнение (10.21) можно записать в виде векторного произведения:
H
E
S





. (10.22)
Полученное выражение
(10.22) называется уравнением
Умова-
Пойнтинга, а вектор S

- вектором Умова-Пойнтинга. Вектор S

совпадает по направлению со скоростью
v

распространения волны и модуль его равен энер- гии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную век- тору
v

, в единицу времени. Единицей измерения вектора плотности потока энергии в системе СИ является ватт на метр в квадрате (Вт/м
2
).
Если электромагнитные волны отражаются и преломляются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волн должны оказывать на тела давление. Давление элек- тромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и под- вергаются со стороны магнитного поля волны действию силы Лоренца. Однако,

Электромагнитное поле
12 значение этого давления ничтожно мало. Оно приблизительно на 10 порядков меньше атмосферного давления. В экспериментах, ставших классическими,
П. Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на тела.
Существование давления электромагнитных волн приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс, равный
c
W
p 
, где W – энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как p  mc (поле в вакууме распространяется со скоростью c), получим p  mc  W/c, откуда
2
mc
W 
. (10.23)
Это соотношение между массой и энергией является универсальным законом природы. Согласно специальной теории относительности, выражение (10.23) имеет общее значение и справедливо для любых тел.
Свойства электромагнитных волн, вытекающие из теории Максвелла, полностью подтверждены опытами Герца, Лебедева и вводами специальной теории относительности, сыгравшими важную роль для признания этой теории.
10.7. Шкала электромагнитных волн
В зависимости от частоты  (или длины волны в вакууме   с/), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнит- ных волн: радиоволны, оптическое излучение, рентгеновское излучение и
 - лучи. Условные границы диапазонов электромагнитных волн приведены в таблице 1.
Таблица 1. Шкала электромагнитных волн
Наименование электромагнитных
волн
Диапазон длин
волн, м
Диапазон частот,
Гц
Низкочастотные колебания
>10 4
<310 4
Радиоволны
10 4
–10
-4 3,010 4
– 3,010 12
Инфракрасное излучение
10
-4
– 0,7710
-6 3,010 12
– 3,910 14
Видимый свет
0,7710
-6
– 0,3810
-6 3,910 14
– 7,910 14
Ультрафиолетовое излучение
0,3810
-6
– 10
-8 7,910 14
– 3,010 16
Рентгеновское излучение
10
-8
– 10
-11 3,010 16
- 3,010 19
-лучи
<10
-11
>3,010 19