Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Электрическое поле в вакууме
11
Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля, пред-
ставляет собой физическую величину, равную отношению работы по переме-
щению заряда между этими точками к величине заряда. Разность потенциалов, как и потенциал в системе СИ измеряется в вольтах. 1 B – это разность потен- циалов между такими точками поля, при перемещении между которыми заряда в 1 Кл силы поля совершают работу в 1 Дж.
1.8. Связь между напряженностью поля и разностью потенциалов.
Эквипотенциальные поверхности
Между разностью потенциалов  и напряженностью E электростатиче- ского поля существует зависимость
q
l
F
q
A
q
W
q
W
W















12 2
1 2
1
, откуда следует, что
l
E




(1.16) и
l
E





, (1.17) где l – расстояние между точками 1 и 2, не зависящее от пути перемещения заряда из одной точки в другую.
Формулы (1.16) и (1.17) позволяют рассчитать разность потенциалов и напряженность в однородном электростатическом поле. В случае неоднородно- го поля эти формулы записываются в виде





2 1
2 1
d l
E
и
z
E
y
E
x
E















z y
x
,
,
(1.18) соответственно, где E
x
, E
y
, E
z
– проекции вектора напряженности на оси коор- динат.
Представим вектор
E

через компоненты

Электрическое поле в вакууме
12

























grad
k
z
j
y
i
x
k
E
j
E
i
E
E
z
y
x







. (1.19)
Выражение в скобках называют градиентом потенциала. Согласно фор- муле (1.19) напряженность электростатического поля равна градиенту по-
тенциала, взятому со знаком минус. Эта формула позволяет рассчитать напря- женность поля в данной точке, если известен потенциал поля как функция ко- ординат.
Рассмотрим следующий пример. Пусть
)
(
)
,
,
(
3 2
z
xy
a
z
y
x



, где посто- янная a  2 В/м
3
. Требуется найти модуль вектора напряженности электриче- ского поля E в точке с координатами x
1
 1 м, y
1
 2 м, z
1
 3 м.
Решение.
По формулам (1.18) найдем значения проекций вектора
E

на оси коорди- нат:
2
z y
2
x
3
,
2
,
az
z
E
axy
y
E
ay
x
E





















Модуль вектора
E

в данной точке равен
В/м
55 729 16 16 2
)
3
(
)
2
(
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2










z
xy
y
a
E
E
E
E
z
y
x

В электрическом поле, в разных его точках потенциалы, как правило, имеют разные значения. Однако можно выделить точки с одинаковыми потенциалами. Поверхность, проходящая через эти точки, называется эквипо-
тенциальной.
Эквипотенциальная поверхность любой конфигурации (сферическая, цилиндриче- ская, плоская) всегда перпендикулярна к линиям напряженности электростатического поля в точке их пересечения. Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота
+
Рис.1.9. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда (пунктирные линии)

Электрическое поле в вакууме
13 эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, потенциал изменяется быстрее при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше в данном месте напряженность поля.
На рис. 1.9 показаны сечения эквипотенциальных поверхностей поля по- ложительного точечного заряда (пунктирные линии). Линии напряженности
(сплошные линии) пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.
1.9. Электростатическая теорема Гаусса.
Выделим в однородном электростатическом поле площадку S, которую пронизывают линии вектора
E

. Потоком вектора напряженности через пло- щадку S называется физическая величина , равная произведению модуля век- тора напряженности электростатического поля E на величину площадки и на косинус угла  между нормалью к площадке
n

и вектором
E

(рис. 1.10, а).
В соответствии с этим определением
S
E
S
E
n cos




, где E
n
– перпендикулярная площадке S составляющая напряженности электро- статического поля.
Для неоднородного электрического поля (рис. 1.10 б) площадку S делят на элементарные бесконечно малые площадки dS, для каждой из которых поле можно считать однородным. Тогда элементарный поток вектора напряженно- сти d равен
S
E d d
n


E
n

S
а)
Рис. 1.10. Поток вектора E через площадку S: а) однородное поле; б) неоднородное поле dS
S
E
б)
n

Электрическое поле в вакууме
14
Для определения полного потока вектора напряженности сквозь всю площадку элементарные потоки суммируют (интегрируют) по всей площади:








S
S
S
S
E
S
E


d d
d n
. (1.20)
Здесь




S
S
S
E
S
E
d cos d


– скалярное произведение вектора
E

и вектора площади
n
S
S


d d

Если поверхность, сквозь кото- рую протекает поток, является замкну- той, (например, сферической), то вы- ражения для потока (1.20) записывают в виде






S
S
S
E d d
n
. (1.21)
Кружок у интеграла (1.21) означает, что интегрирование производят по замкнутой поверхности.
Поток вектора напряженности  – скалярная алгебраическая величина.
Знак потока зависит от выбора нормали к поверхности. Если поток направлен в сторону нормали, то он считается положительным, если поток направлен про- тив нормали, то он берется со знаком минус. Когда линии напряженности скользят по поверхности, не пронизывая ее, поток равен нулю. В системе СИ поток вектора напряженности измеряется в вольт-метрах (Вм).
Подсчитаем поток вектора напряженности
E

для поля одного точечного заряда q
i
, находящегося внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис.
1.11). Выделим на поверхности элемент dS, находящийся на расстоянии r от за- ряда. Пусть заряд q
i
положительный. Тогда поток вектора
E

сквозь элемент dS:








d
4
cos d
4 1
d d
0 2
0
n
i
i
q
S
r
q
S
E
, где



cos d
d
2
r
S
– малый телесный угол, опирающийся на элемент dS.
+
q
i d
n
 dS
E
S
r
Рис.1.11. Поток вектора напряженности для поля точечного заряда через произвольную замкнутую поверхность S

Электрическое поле в вакууме
15
Интегрируя полученное выражение по всему телесному углу (в пределах от 0 до 4), получим








4 0
0 0
d
4
i
i
q
q
. (1.22)
Если электрическое поле создается системой m точечных зарядов q
1
,
q
2
,…q
m
, находящихся внутри замкнутой поверхности, то поток вектора напря- женности можно записать следующим образом:













S
S
S
S
S
S
E
S
E
S
E
S
E
E
E
S
E
d d
d d
)
(
d mn n
2
n
1
mn n
2
n
1
n
Согласно (1.22),



S
q
S
E
0 1
n
1
d
,



S
q
S
E
0 2
n
2
d
,



S
q
S
E
0
m mn d
. Следовательно,












S
m
i
i
q
q
q
q
S
E
0 1
0
m
0 2
0 1
n d
, (1.23) где m – число точечных зарядов.
Формула (1.23) представляет собой теорему Гаусса. Поток вектора на-
пряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делен-
ной на 
0
Если заряды расположены по объему тела с объемной плотностью заряда
, то теорема Гаусса (1.23) принимает вид





S
V
V
S
E
0
n d
d
. (1.24)
Когда заряд q находится вне замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности электростатического поля через нее равен нулю.
1.10. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей
Пользуясь теоремой Гаусса можно рассчитать поля различных электро- статических систем, обладающих симметрией.
Поле бесконечной заряженной плоскости. Пусть поле создается беско- нечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда .

Электрическое поле в вакууме
16
Из условия симметрии следует, что силовые линии вектора напряженно- сти параллельны друг другу и перпендикулярны заряженной пластине.
Выделим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикуляр- ными к плоскости, и основаниями S, расположенными симметрично относи- тельно плоскости (рис. 1.12, а). Поток вектора
E

сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, а поток через его основания будет
S
E

 2
, т.е.
S
E
S
E
S




2
d n
Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен S. В соответствии с фор- мулой (1.23):
0 2






S
S
E
, отсюда
0
пл
2


E
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине.
Поле бесконечной заряженной плоскости является однородным полем.
Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора
E

и линий напряженности изменится на обратное.
Рис. 1.12. (а) Поле бесконечной заряженной плоскости; (б) поле бесконечной заряженной нити; (в) шар, заряженный с объемной плотностью заряда 
q
E
E
+
S
а)
б)
+
r
H
E
в)
r
r
R
0

Электрическое поле в вакууме
17
Поле бесконечной заряженной нити. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной нитью, заряженной с линейной плотностью заряда . Напряжен- ность поля в любой точке направлена вдоль радиальной прямой, перпендику- лярной к проводу (рис. 1.12, б).
Выделим соосную с заряженной нитью замкнутую цилиндрическую по- верхность радиуса r и высоты H. Поток через основания этого цилиндра равен нулю, т.к. линии вектора напряженности основания не пересекают. Следова- тельно, поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность ра- вен потоку вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра:
rH
E
S
E
S




2
d n
Внутри цилиндрической поверхности заключен заряд q  H. По теоре- ме Гаусса должно выполняться условие
0 2





H
rH
E
, откуда следует, что
r
E
0 2


. (1.25)
Согласно формуле (1.25) напряженность поля бесконечно длинной заряженной нити обратно пропорциональна расстоянию от нити до точки, где требуется найти напряженность.
Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд распределен равно- мерно в вакууме по объему шара радиуса R c объемной плотностью заряда .
Проведем концентрическую с заряженным шаром замкнутую сферическую по- верхность произвольного радиуса r, где r – текущая координата (рис. 1.12, в).
Пусть r  R (точка расположена на поверхности шара или вне шара). По- ток вектора напряженности равен
2
n
4
d
r
E
S
E
S
E
S






По теореме Гаусса (1.24) должно выполняться равенство

Электрическое поле в вакууме
18 0
3 2
0 2
0 2
3 4
4 4
d
4




















R
r
E
V
r
E
V
r
E
V
, где
3 3
4
R
V


– объем шара. Откуда следует, что
2 0
3 3 r
R
E



. (1.26)
В соответствии с формулой (1.26) напряженность поля вне заряженного
шара подобна полю точечного заряда, т.е. убывает обратно пропорционально
квадрату расстояния r.
Для точек на поверхности шара r  R и
0 3
)
(



R
R
E
.(1.27)
Потенциал поля равен













c
r
R
r
r
R
r
E
0 3
2 0
3 3
d
3
d
Так как потенциал на бесконечности   0, то c  0 и
r
R
0 3
3



. (1.28)
На поверхности шара потенциал равен
0 2
3
)
(




R
R
. (1.29)
Пусть r < R (точка расположена внутри шара). Концентрическая сферическая поверхность в этом случае проведена внутри шара. Поток вектора напряженно- сти равен
2
n
4
d
r
E
S
E
S
E
S






, где r – радиус сферической поверхности (штрих у r мы опустили).
Найдем заряд q, заключенный внутри сферической поверхности. В дан- ном случае это будет заряд, находящийся в объеме части шара V, который ог- раничен сферической поверхностью:

Электрическое поле в вакууме
19 3
3 4
d
r
V
q
V









По теореме Гаусса должно выполняться равенство
0 3
2 3
4 4







r
r
E
, или
0 3


r
E
. (1.30)
Из формулы (1.30) видно, что напряженность поля равномерно заряжен- ного шара растет с увеличением расстояния от центра по линейному закону.
Найдем потенциал поля внутри шара:














1 0
2 0
6
d
3
d
c
r
r
r
r
E
Постоянную c
1
определим из условия, что потенциал на поверхности ша- ра равен (1.29):
0 2
0 2
1 6
3






R
R
c
, тогда потенциал внутри шара равен
)
(
6 3
2 2
0 0
2
r
R
R








. (1.31)
Графики зависимости E(r) и (r), построенные на основании формул
(1.26), (1.27), (1.30) и (1.28), (1.29), (1.31) показаны на рис. 1.13 а, б.
R/3
0
R
r
E(r)
a)
0
R
2
/2
0
R
r
R
2
/3
0
(r)
0
б)
Рис. 1.13. Зависимости напряженности поля (a) и потенциала (б) от расстояния r от центра заряженного шара