Файл: Электрическое поле в вакууме.pdf

Глава 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1. Закон Кулона
Электростатика – раздел учения об электричестве, в котором изучаются взаимодействия и свойства систем электрических зарядов, неподвижных отно- сительно инерциальных систем отсчета (ИСО).
Существуют два рода электрических зарядов – положительные и отри-
цательные. Силы взаимодействия неподвижных тел или частиц, обусловлен- ные электрическими зарядами этих тел или частиц называются электростати-
ческими силами. Разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные тела отталкивают друг друга.
Точечный заряд – заряженное тело, форма и размеры которого несущест- венны в условиях данной задачи.
В 1914 г. Милликен экспериментально доказал, что электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа N элементарных зарядов, прибли- зительно равных e  1,610
-19
Кл; q  Ne. Единица заряда в СИ – кулон (Кл).
Для электрически изолированной системы справедлив закон сохранения
электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе.
Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен Кулоном в 1785 г.
Закон Кулона в системе СИ может быть выражен следующей формулой:
,
2 2
1
r
q
q
k
F 
(1.1) где
0 4
1


k
– коэффициент пропорциональности; r – расстояние между заря- дами; 
0
 8,8510
-12
Ф/м (фарад на метр) – электрическая постоянная. Полезно помнить, что коэффициент пропорциональности м/Ф
10 9
4 1
9 0




k
Формула (1.1) может быть записана в векторном виде:

Электрическое поле в вакууме
2
r
r
r
q
q
k
F


2 2
1

, (1.2) где r

- вектор, направленный к тому из зарядов, к которому приложена сила
(рис. 1.1).
Следует отметить, что закон Кулона справедлив для точечных зарядов,
а также для заряженных шаров и сфер. В остальных случаях сила взаимодействия тел находится с помо- щью интегрирования.
Для характеристики непрерывного распределения зарядов вдоль некото- рой линии, по некоторой поверхности или по некоторому объему вводится по- нятие о плотности заряда.
Линейная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу длины заряженного тела []  Кл/м:
l
q
d d


. (1.3)
Поверхностная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу площади заряженного тела []  Кл/м
2
:
S
q
d d


. (1.4)
Объемная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу объема заряженного тела []  Кл/м
3
:
V
q
d d


. (1.5)
Если заряды распределены равномерно, то формулы (1.3) – (1.5) записы- вают в виде:
l
q


,
S
q


,
V
q


1.2. Электростатическое поле. Напряженность поля
Взаимодействие между зарядами осуществляется через электростатиче-
ское поле, которое является частным случаем электрического поля. Всякий за- ряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электро- статическое поле. Это поле проявляет себя в том, что на заряд, помещенный в
q
1
q
2
r
F
Рис. 1.1. Закон Кулона

Электрическое поле в вакууме
3 какую-либо точку поля, действует сила. Чтобы выяснить, имеется ли в данной точке электростатическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (проб- ный заряд) и установить, действует ли на него сила.
Пробный заряд обладает следующими свойствами: 1) это положительный точечный заряд; 2) это настолько малый заряд, что его величина не изменяет положение окружающих зарядов.
Помещая в точку пространства различные по величине пробные заряды, мы обнаружим, что отношение силы, действующей на заряд со стороны поля, к величине заряда есть величина постоянная, не зависящая от заряда, вносимого в поле: const
2 2
1 1


q
F
q
F
. Эта величина принимается в качестве основной силовой характеристики электростатического поля.
Напряженностью электростатического поля
E

называется физическая величина, равная отношению силы действующей на заряд, к величине этого за- ряда:
q
F
E



. (1.6)
Напряженность поля – вектор, направление которого совпадает с направ- лением силы, действующей на единичный положительный заряд, а модуль ра- вен величине этой силы.
Единицей напряженности в системе СИ является ньютон на кулон (Н/Кл) или вольт на метр (В/м). Как следует из формул (1.2) и (1.6), напряженность по- ля точечного заряда равна
r
r
r
q
E


2 0
4 1


, где q – заряд, создающий электростатическое поле.
Для модуля напряженности справедлива формула
2 0
4 1
r
q
E


. (1.7)

Электрическое поле в вакууме
4
1.3. Линии напряженности электростатического поля
Электростатическое поле можно изобразить графически с помощью си- ловых линий.
Силовой линией (линией напряженности) электростатического поля назы- вается линия, касательная к которой в данной точке совпадает с направлением вектора напряженности, причем густота линий пропорциональна напряженно- сти поля в данной области. Таким образом, по картине силовых линий можно судить о направлении и величине поля.
Линии напряженности поля точечного заряда – это прямые, начинающие- ся на положительном заряде и уходящие в бесконечность (рис. 1.2, а) или начи- нающиеся в бесконечности и заканчивающиеся на отрицательном заряде (рис.
1.2, б).
Поле называется однородным, если величина и направление вектора на- пряженности не зависит от координат пространства (

E

const). Силовые линии однородного поля – эквидистантные параллельные прямые. Например, поле
+
E
E
а)
б)
Рис. 1.2. Линии напряженности электростатического поля точечных зарядов
+q
E
2 1
E
а)
б)
Рис. 1.3. Линии напряженности электростатического поля: а) – однородное поле,
б) – неоднородное поле; напряженность в области 1 больше, чем напряженность в области 2

Электрическое поле в вакууме
5 создаваемое бесконечной заряженной плоскостью (рис. 1.3, а), является одно- родным, а поле, показанное на рис. 1.3, б таковым не является.
1.4. Принцип суперпозиции для напряженности электростатического поля
Если электростатическое поле создано системой точечных зарядов, то напряженность поля можно определить по принципу суперпозиции для напря-
женности: напряженность электростатического поля системы зарядов рав-
на векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности.
Математически принцип суперпозиции выражается формулой:







n
i
i
E
E
E
E
E
1
n
2 1





. (1.8)
На рис. 1.4 показано, как направлен вектор напряженности электростати- ческого поля в точке A, по принципу суперпозиции, для систем двух одинако- вых по величине зарядов.
Если заряды распределены непрерывно, то принцип суперпозиции (1.8)
записывают в интегральном виде:


E
E


d
, (1.9) где E

d
–
напряженность поля, создаваемого малым зарядом dq. Интегрирова- ние производится по всем непрерывно распределенным зарядам.
+
E
A
E

E
+
q
q
A
a)
E
A
E

q
q
A
б)
E

Рис. 1.4. Направление вектора напряженности электростатического поля в точке A. Точка A и заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника: а) система двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов; б) система двух отрицательных зарядов

Электрическое поле в вакууме
6
Принцип суперпозиции, записанный в интегральном виде, позволяет най- ти силу взаимодействия или напряженность поля произвольного распределения зарядов.
В качестве примера определим напряженность электростатического поля на оси тонкого равномерно заряженного стержня.
Пусть стержень длиной l несет равномерно распределенный заряд с ли- нейной плотностью . Найдем напряженность E, создаваемую этим зарядом в точке, удаленной от ближайшего конца стержня на расстояние r.
Заряд, равномерно распределенный по стержню, не является точечным, поэтому непосредственно вычислить напряженность поля по формуле (1.7) невозможно. Разобьем стержень на столь малые элемен- ты, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку, и рас- смотрим один такой элемент длины dx (рис. 1.5). Заряд dq  dx, находящийся на рассматриваемом элементе, можно считать точечным, и по формуле (1.7) найдем напряженность в точке A, создаваемую зарядом dq:
2 0
2 0
4
d
4
d d
x
x
x
q
E





, где x – расстояние от элемента dx до точки A.
Напряженность поля в точке A представляет собой геометрическую сум- му полей, создаваемых бесконечно малыми элементами dx стержня. Так как все векторы dE направлены вдоль оси стержня X, то векторное сложение заменяет- ся алгебраическим суммированием. Согласно принципу суперпозиции (1.9)







































)
(
4 1
1 4
1 4
4
d d
0 0
0 2
0
l
r
r
l
l
r
r
x
x
x
E
E
l
r
r
l
r
r
. (1.10)
Если расстояние r>>l, то формулу (1.10) можно записать в виде
2 0
4 1
r
q
E


, где q

l.
l
r
x
dx
X
E
x
A
Рис. 1.5. Напряженность поля на оси тонкого заряженного стержня

Электрическое поле в вакууме
7
Мы пришли к формуле напряженности поля точечного заряда (1.7). Итак, если расстояние до точки во много раз больше линейных размеров нити, то за- ряженную нить можно рассматривать как точечный заряд.
1.5. Электрический диполь. Поле диполя
Электрическим диполем называется система двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, расстояние между которыми l много меньше расстояния до точки, в которой исследуется поле (рис. 1.6).
Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Найдем напряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярно к его оси. Положение точек на этих прямых будем характеризовать их расстоянием r от центра диполя. В соответствии с опреде- лением диполя должно выполнятся условие: r >> l.
Поле в каждой точке будет представлять собой суперпозицию полей

E

и

E

, создаваемых зарядами

q и

q . На оси диполя векторы

E

и

E

направлены в противоположные стороны. Поэтому результирующая напряженность
||
E

бу- дет равна по модулю разности модулей

E

и

E

:


2 2
2 0
2 2
0
||
)
2
/
(
2 4
)
2
/
(
)
2
/
(
4 1
l
r
rl
q
l
r
q
l
r
q
E














Пренебрегая в знаменателе l/2 по сравне- нию с r, получаем
3 0
3 0
||
2 4
1 2
4 1
r
p
r
ql
E




, где p

ql – электрический момент диполя.
Отметим, что электрический момент дипо- ля следует рассматривать как вектор, на- правленный от отрицательного заряда к положительному заряду.
Для точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к оси, векторы

E

и

E

имеют одинаковые модули, равные
E
+
E

E
||
-q
+q
r
r
r
2
+(l/2)
2
E
E
+
E

Рис. 1.6. Напряженность поля диполя
l

Электрическое поле в вакууме
8 2
0 2
2 0
4 1
)
2
/
(
4 1
r
q
l
r
q
E
E








Из подобия треугольников, опирающихся на отрезок l и на вектор

E

, следует, что
r
l
l
r
l
E
E





2 2
)
2
/
(
, откуда получается формула
3 0
3 0
4 1
4 1
r
p
r
ql
E





Характерным для поля диполя является то, что его напряженность опре- деляется не величиной образующих диполь зарядов, а электрическим моментом диполя p  ql. С расстоянием от диполя напряженность поля убывает как 1/r
3
, т.е. значительно быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убываю- щая как 1/r
2
). Линии напряженности поля диполя показаны на рис. 1.7.
1.6. Работа сил электростатического поля
Пусть электростатическое поле создано положительным точечным заря- дом q. В любой точке этого поля на пробный заряд q
пр
(рис. 1.8) действует пе- ременная по величине и направлению сила Кулона. Найдем работу, совершае- мую силами поля по перемещению заряда q
пр из точки 1 в точку 2.
Работа переменной силы определяется интегралом:





2 1
2 1
12
cos d
d
l
F
l
F
A


. (1.11)
По закону Кулона сила
2 2
1 0
4 1
r
q
q
F


, а dlcos  dr (рис. 1.8), тогда формулу (1.11) можно представить в виде:












2 1
0
пр
2 1
2 0
пр
12 1
1 4
d
4
r
r
qq
r
r
qq
A
. (1.12)
Из формулы (1.12) видно, что работа сил электростатического поля не за- висит от формы и длины траектории, а определяется начальным r
1
и конечным dl dr
1 2
r
r
1
r
2
+
q
q
пр

F
Рис. 1.8. Перемещение заряда q
пр из точки 1 в точку 2 в поле заряда q
E
Рис. 1.7. Поле диполя

Электрическое поле в вакууме
9
r
2
положениями заряда q
пр
. Силы, производящие такую работу называются
потенциальными (или консервативными). Работа консервативных сил на замк- нутом пути всегда равно нулю:
0
d 

l
l
F


Поделим обе части этого уравнения на величину заряда q:
0
d 

l
l
q
F


, или
0
d 

l
l
E


. (1.13)
Выражение (1.13) называют циркуляцией вектора
E

по замкнутому контуру.
Таким образом, для электростатического поля циркуляция вектора на- пряженности по любому замкнутому контуру равна нулю. Это утверждение на- зывают теоремой о циркуляции вектора
E

1.7. Потенциал и разность потенциалов
Из механики известно, что работа консервативных сил равна убыли по- тенциальной энергии системы:
2
пр
0 1
пр
0 2
p
1
p
12 4
1 4
1
r
qq
r
qq
W
W
A






Отсюда для потенциальной энергии заряда q
пр в поле заряда q получаем const
4 1
1
пр
0
p



r
qq
W
Значение const вбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что
r
qq
W
пр
0
p
4 1


. (1.14)
Если уравнение (1.14) разделить на q
пр
, то получим физическую величи- ну, которая характеризует только поле и не зависит от величины пробного за- ряда.

Электрическое поле в вакууме
10
Физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к величине заряда, называется потенциалом поля в данной точке: пр
q
W
p


. (1.15)
Потенциал является энергетической характеристикой поля и величиной скалярной. Он численно равен потенциальной энергии, которой обладает в дан- ной точке поля единичный положительный заряд. Единицей потенциала в сис- теме СИ является вольт (В).
Из формул (1.14) и (1.15) следует, что потенциал поля точечного заряда равен
r
q
0 4
1



Если поле создается системой точечных зарядов, то потенциал поля мож- но определить по принципу суперпозиции для потенциала: потенциал электро-
статического поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов
полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:





n
i
i
1
Когда заряды распределены непрерывно, то принцип суперпозиции для потенциала записывают в интегральном виде




d
, где d – потенциал поля, создаваемого малым зарядом dq. Интегрирование про- изводится по всем непрерывно распределенным зарядам.
Из соотношения (1.15) вытекает, что W
p
 q, следовательно, работа сил поля над зарядом q
пр может быть выражена через разность потенциалов









пр
2 1
пр
2
p
1
p
12
)
(
q
q
W
W
A
, откуда следует, что пр
12
q
A


