Файл: Балтийский государственный технический университет военмех им. Д. Ф. Устинова.ppt

Будам считать, что динамический процесс в системе протекает в окрестности некоторой точки установившегося статического режима, в которой переменные звена имеют постоянные значения Эту точку называют точкой линеаризации.


Уравнение звена в этом режиме:


а переменные в динамическом режиме можно представить:


и т.д.


При линеаризации производные рассматриваются как самостоятельные переменные.


Пути линеаризации


1. Если близка к линейной в окрестности точки линеаризации, то ее можно просто заменить линейной зависимостью, и ограничить диапазон изменения воздействий.


2. Если не линейна в окрестности точки линеаризации, но непрерывно дифференцируема, ее можно разложить в ряд Тейлора в этой точке.


3. Если существенно не линейна, т.е. не является непрерывно дифференцируемой, а содержит разрывы, неоднозначности и т.п. используют гармоническую линеаризацию, т.е. при эквивалентном гармоническом воздействии выходную переменную раскладывают в ряд Фурье. Из него и определяют коэффициенты линеаризации.


(1)


(2)


Уравнение звена в результате разложения в ряд Тейлора примет вид:


Основным является второй путь. Рассмотрим его подробнее


(члены высшего порядка малости)


(3)


- значение частной производной при подстановке в нее значений переменных и их производных в точке линеаризации.


Пренебрегая членами высшего порядка малости и вычитая из уравнения (3) уравнение установившегося режима (2),получим линеаризованное дифференциальное уравнение звена в отклонениях или в вариациях:


(4)


- Линеаризованное уравнение звена является приближенным, т.к. не учитывает малые высшего порядка.


- Переменными в уравнении являются отклонения от значений в точке линеаризации.


- Уравнение справедливо при малых отклонениях от значений в точке линеаризации.


Комментарий:


Графическая интерпретация линеаризации


Рис.26


Коэффициенты линеаризации


В статических установившихся режимах


Аналитические формы представления математического описания звеньев и систем


1. Уравнение движения


(5)


Вводя обозначение , уравнение (5) записывают в виде:


(6)


(7)

---

или


где:


- полиномы от р


Коэффициенты полиномов имеют размерность времени в степени соответственно, а коэффициенты и - размерность отношения размерностей к и к , поэтому часто вводят обозначения:


- называют постоянными времени звена ;


- называют коэффициентами передачи звена по соответствующему входу.


С учетом этих обозначений уравнение (7) может быть представлено в виде:


(8)


Коэффициенты передачи – это соотношение между выходной и входной переменными звена в статических режимах работы при нулевых отклонениях других воздействий от их значений в точке линеаризации:


Уравнения (6), (7) и (8) будем называть уравнением движения звена в операторной форме.


Считая условно оператор дифференцирования алгебраической величиной, представим уравнение (8) в виде:


(9)


2. Передаточные функции звена


Выражения


(10)


и


(11)


называются передаточными функциями звена соответственно по входу и


При введении этих понятий уравнение движения звена может быть представлено через передаточные функции в виде:


(12)


В ТАУ под передаточными функциями, строго говоря, понимается иное, а форма записи (12) используется для компактной записи дифференциального уравнения движения звена. Будем называть выражения (10) и (11) операторными передаточными функциями звена.
Введем более строгое определение понятия передаточной функции.


Представим уравнение (7) в виде:


(13)


Перейдем в выражении (13) от переменных во времени к их изображениям по Лапласу


- комплексная переменная преобразования Лапласа.


- изображения по Лапласу переменных


и


Обратный переход к оригиналу можно осуществить, используя обратное преобразование Лапласа


справедливое при нулевых начальных условиях.


Важным свойством преобразования является следующее:


С учетом этого свойства уравнение (13) после перехода к изображениям переменных по Лапласу можно представить в виде:


или, если то а


(Здесь использована символическая форма, обозначающая, что переменная от s является изображением по Лапласу переменной от t)


(14)


(15)


(16)


- и называют передаточными функциями звена по входам и


Передаточная функция

---

– отношение изображений по Лапласу выходной и входной переменных звена при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий ( или их отклонений от значений в точке линеаризации)


или


Обозначим:


и


(17)


(18)


- описание свойств звена с помощью его передаточных функций


Преобразование Лапласа применимо к функциям удовлетворяющим условиям:


Величина «С» (вещественная часть ) называется абсциссой абсолютной сходимости.


1. Функция равна нулю при ,


2. Существует , при котором


Эти условия выполняются для большинства функций, описывающих процессы в САУ, более того абсцисса абсолютной сходимости для них часто равна нулю , т.е , что позволяет применять к ним и преобразование Фурье:


(19)


(20)


- частота


Используя изображения по Фурье входной и выходной переменных звена введем понятие частотной передаточной функции звена.


Частотной передаточная функция называется отношение изображений по Фурье выходной и входной переменных звена при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий ( или их отклонений от значений в точке линеаризации)


и


- частотные передаточные функции звена по соответствующему входу.


-уравнение движения в изображениях по Фурье


(21)


- описание свойств звена с помощью частотных передаточных функций


(22)


Графо-аналитические формы математического описания звеньев и систем


Структурные схемы


Передаточные функции используются при построении математической модели в виде динамических структурных схем.


Структурной схемой в ТАУ называют математическую модель оригинала представленную в виде совокупности элементов с указанием их передаточных функций или выполняемых математических операций и связей между ними.


Рис.27


Например, математическая модель звена в форме уравнения движения вида (12), уравнения для изображений по Лапласу (12) или уравнения для изображений по Фурье (22) может быть представлена в форме структурных схем вида Рис. 27 а),b) и c),соответственно.


Так как уравнения движения звена в операторной форме и для изображений переменных по Лапласу или Фурье, а также его передаточные функции совпадают с точностью до обозначений, структурные схемы можно строить как во временной области, так и в области изображений. При этом вид структурных схем будет идентичен.

---

+


а)


+


b)


+


c)


Одному звену можно поставить в соответствие несколько различных по виду, эквивалентных структурных схем.


Пример эквивалентных структурных схем


Пусть звено описывается дифференциальным уравнением в операторной форме вида:


Соответствующие ему структурные схемы приведены на Рис.28, Рис.29 и Рис.30:


Рис.28


Рис.29


Рис.30


По виду реакции можно судить о динамических свойствах звена, т.е. реакция содержит информацию об этих свойствах и может служить их моделью.


1


Рис.31


Рис.32


Переходная характеристика обозначается , т.е.


Функции и могут быть представлены в графической форме:


1.Переходная функция (переходная характеристика)


Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается X(t) = 1(t).


Переходной функцией (переходной характеристикой) называется переходной процесс (изменение во времени) выходной переменной звена, вызванный подачей на его вход скачкообразного воздействия единичной величины


Реакции пропорциональных звеньев с различными динамическими свойствами приведены на Рис. 32


Теоретически процессы смогут стремиться к установившемуся значению бесконечно долго.
В ТАУ принято считать, что процесс закончен, если


Временные характеристики


Звенья с различными динамическими свойствами будут иметь разные реакции на скачкообразное воздействие.


- называется временем переходного процесса.


(23)


Графические формы представления математического описания звеньев и систем


Под дельта функцией понимается импульс бесконечно малой продолжительности и бесконечно большой амплитуды с площадью равной 1. Дельта функцию обозначают .


Весовая функция представляет собой реакцию звена (изменение во времени выходной переменной) при подачи на его вход единичной импульсной функции (дельта функции).


Рис.33


Легко заметить, что и установить


Действительно, импульс шириной и амплитудой N можно представить в виде двух скачков и


Помножив и поделив на и увеличивая N так, чтобы , в пределе получим:

---

2.Весовая функция (импульсная переходная характеристика)


Аналитически это выражается так:


Графически и представляются следующим образом:


Весовую функцию будем обозначать


Иными словами при


Тогда реакцию звена можно выразить через переходные характеристики


Рис.34


(24)

---