Файл: Балтийский государственный технический университет военмех им. Д. Ф. Устинова.ppt

Будам считать, что динамический процесс в системе протекает в окрестности некоторой точки установившегося статического режима, в которой переменные звена имеют постоянные значения Эту точку называют точкой линеаризации. Уравнение звена в этом режиме: а переменные в динамическом режиме можно представить: и т.д. При линеаризации производные рассматриваются как самостоятельные переменные.Пути линеаризации 1. Если близка к линейной в окрестности точки линеаризации, то ее можно просто заменить линейной зависимостью, и ограничить диапазон изменения воздействий. 2. Если не линейна в окрестности точки линеаризации, но непрерывно дифференцируема, ее можно разложить в ряд Тейлора в этой точке. 3. Если существенно не линейна, т.е. не является непрерывно дифференцируемой, а содержит разрывы, неоднозначности и т.п. используют гармоническую линеаризацию, т.е. при эквивалентном гармоническом воздействии выходную переменную раскладывают в ряд Фурье. Из него и определяют коэффициенты линеаризации.(1)(2) Уравнение звена в результате разложения в ряд Тейлора примет вид: Основным является второй путь. Рассмотрим его подробнее (члены высшего порядка малости)(3) - значение частной производной при подстановке в нее значений переменных и их производных в точке линеаризации. Пренебрегая членами высшего порядка малости и вычитая из уравнения (3) уравнение установившегося режима (2),получим линеаризованное дифференциальное уравнение звена в отклонениях или в вариациях:(4) - Линеаризованное уравнение звена является приближенным, т.к. не учитывает малые высшего порядка. - Переменными в уравнении являются отклонения от значений в точке линеаризации. - Уравнение справедливо при малых отклонениях от значений в точке линеаризации.Комментарий: Графическая интерпретация линеаризации Рис.26 Коэффициенты линеаризации В статических установившихся режимахАналитические формы представления математического описания звеньев и систем 1. Уравнение движения(5) Вводя обозначение , уравнение (5) записывают в виде:(6)(7)

---

или где: - полиномы от р Коэффициенты полиномов имеют размерность времени в степени соответственно, а коэффициенты и - размерность отношения размерностей к и к , поэтому часто вводят обозначения: - называют постоянными времени звена ; - называют коэффициентами передачи звена по соответствующему входу. С учетом этих обозначений уравнение (7) может быть представлено в виде:(8) Коэффициенты передачи – это соотношение между выходной и входной переменными звена в статических режимах работы при нулевых отклонениях других воздействий от их значений в точке линеаризации: Уравнения (6), (7) и (8) будем называть уравнением движения звена в операторной форме. Считая условно оператор дифференцирования алгебраической величиной, представим уравнение (8) в виде:(9)2. Передаточные функции звена Выражения(10) и(11) называются передаточными функциями звена соответственно по входу и При введении этих понятий уравнение движения звена может быть представлено через передаточные функции в виде:(12) В ТАУ под передаточными функциями, строго говоря, понимается иное, а форма записи (12) используется для компактной записи дифференциального уравнения движения звена. Будем называть выражения (10) и (11) операторными передаточными функциями звена. Введем более строгое определение понятия передаточной функции. Представим уравнение (7) в виде:(13) Перейдем в выражении (13) от переменных во времени к их изображениям по Лапласу - комплексная переменная преобразования Лапласа. - изображения по Лапласу переменных и Обратный переход к оригиналу можно осуществить, используя обратное преобразование Лапласа справедливое при нулевых начальных условиях.Важным свойством преобразования является следующее: С учетом этого свойства уравнение (13) после перехода к изображениям переменных по Лапласу можно представить в виде: или, если то а (Здесь использована символическая форма, обозначающая, что переменная от s является изображением по Лапласу переменной от t)(14)(15)(16) - и называют передаточными функциями звена по входам и Передаточная функция

---

– отношение изображений по Лапласу выходной и входной переменных звена при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий ( или их отклонений от значений в точке линеаризации)


или


Обозначим:


и


(17)


(18)


- описание свойств звена с помощью его передаточных функций


Преобразование Лапласа применимо к функциям удовлетворяющим условиям:


Величина «С» (вещественная часть ) называется абсциссой абсолютной сходимости.


1. Функция равна нулю при ,


2. Существует , при котором


Эти условия выполняются для большинства функций, описывающих процессы в САУ, более того абсцисса абсолютной сходимости для них часто равна нулю , т.е , что позволяет применять к ним и преобразование Фурье:


(19)


(20)


- частота


Используя изображения по Фурье входной и выходной переменных звена введем понятие частотной передаточной функции звена.


Частотной передаточная функция называется отношение изображений по Фурье выходной и входной переменных звена при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий ( или их отклонений от значений в точке линеаризации)


и


- частотные передаточные функции звена по соответствующему входу.


-уравнение движения в изображениях по Фурье


(21)


- описание свойств звена с помощью частотных передаточных функций


(22)


Графо-аналитические формы математического описания звеньев и систем


Структурные схемы


Передаточные функции используются при построении математической модели в виде динамических структурных схем.


Структурной схемой в ТАУ называют математическую модель оригинала представленную в виде совокупности элементов с указанием их передаточных функций или выполняемых математических операций и связей между ними.


Рис.27


Например, математическая модель звена в форме уравнения движения вида (12), уравнения для изображений по Лапласу (12) или уравнения для изображений по Фурье (22) может быть представлена в форме структурных схем вида Рис. 27 а),b) и c),соответственно.


Так как уравнения движения звена в операторной форме и для изображений переменных по Лапласу или Фурье, а также его передаточные функции совпадают с точностью до обозначений, структурные схемы можно строить как во временной области, так и в области изображений. При этом вид структурных схем будет идентичен.

---

+ а) + b) + c) Одному звену можно поставить в соответствие несколько различных по виду, эквивалентных структурных схем.Пример эквивалентных структурных схем Пусть звено описывается дифференциальным уравнением в операторной форме вида: Соответствующие ему структурные схемы приведены на Рис.28, Рис.29 и Рис.30: Рис.28 Рис.29 Рис.30 По виду реакции можно судить о динамических свойствах звена, т.е. реакция содержит информацию об этих свойствах и может служить их моделью. 1 Рис.31 Рис.32 Переходная характеристика обозначается , т.е. Функции и могут быть представлены в графической форме:1.Переходная функция (переходная характеристика) Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается X(t) = 1(t). Переходной функцией (переходной характеристикой) называется переходной процесс (изменение во времени) выходной переменной звена, вызванный подачей на его вход скачкообразного воздействия единичной величины Реакции пропорциональных звеньев с различными динамическими свойствами приведены на Рис. 32 Теоретически процессы смогут стремиться к установившемуся значению бесконечно долго. В ТАУ принято считать, что процесс закончен, если Временные характеристики Звенья с различными динамическими свойствами будут иметь разные реакции на скачкообразное воздействие. - называется временем переходного процесса.(23)Графические формы представления математического описания звеньев и систем Под дельта функцией понимается импульс бесконечно малой продолжительности и бесконечно большой амплитуды с площадью равной 1. Дельта функцию обозначают . Весовая функция представляет собой реакцию звена (изменение во времени выходной переменной) при подачи на его вход единичной импульсной функции (дельта функции). Рис.33 Легко заметить, что и установить Действительно, импульс шириной и амплитудой N можно представить в виде двух скачков и Помножив и поделив на и увеличивая N так, чтобы , в пределе получим:

---

2.Весовая функция (импульсная переходная характеристика) Аналитически это выражается так: Графически и представляются следующим образом: Весовую функцию будем обозначать Иными словами при Тогда реакцию звена можно выразить через переходные характеристики Рис.34(24)

---