Файл: Балтийский государственный технический университет военмех им. Д. Ф. Устинова.ppt

По определению передаточная функция звена или системы равна отношению изображений по Лапласу выходной и входной переменных при нулевых начальных условиях, следовательно при подаче на вход звена дельта функции она будет равна отношению изображений по Лапласу весовой функции и дельта функции, т.е.
где: изображение по Лапласу весовой функции , изображение по Лапласу дельта функции ,равно 1.
Таким образом весовая функция связана с передаточной функцией звена преобразованием Лапласа.
Используя обратное преобразование, получим:

(25)

(27)

(26)

где изображение по Лапласу переходной функции , получим :

Так как

Воздействия вида 1(t) и называются типовыми воздействиями

Т.е. переходная характеристика связана с передаточной функцией звена преобразованием Карсона.

(29)

(28)

Реакция звена или системы при не типовых воздействиях

Переходные функции (характеристики),как и другие виды мат. моделей звена, позволяют получить реакцию звена при воздействиях произвольного вида и нулевых начальных условиях, т.е. когда входное воздействие может быть представлено X(t)1(t).
Произвольную функцию времени Х(t)1(t) можно представить в виде суммы ступенчатых воздействий величиной Хк , подаваемых через промежутки времени , или в виде суммы импульсов высотой Xi и длительностью .
Переходный процесс y(t) на выходе звена в этом случае может быть определен как предел суммы реакций звена на ступенчатые воздействия величиной при , или как предел суммы реакций на импульсы величиной и длительностью при .
Пределом суммы при является интеграл, который носит название интеграла Дюамеля-Карсона

Последнее выражение называется также интегралом свертки

(30)

(31)

t

Рис.35

t

Рис.36

Частотные характеристики звеньев и САР

где: Хm – амплитуда воздействия; - угловая частота; Т – период.

- полиномы от Р ( ) степени m и n.

Основной частотной характеристикой динамических звеньев или САР является их частотная передаточная функция, под которой понимают отношение изображений по Фурье выходной и входной переменных при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий. Рассмотрим существо этого понятия. Пусть есть звено или САР с одним входом и одним выходом, динамика которого описывается линейным уравнением:

где: X(t) и Y(t) – входное воздействие и выходная переменная звена или САР;
K – коэффициент передачи звена или САР;

Схема такого звена или САР может быть представлена в виде:

Подадим на вход звена гармоническое воздействие:

На выходе звена в установившемся режиме будут вынужденные колебания переменной той же частоты, но другой амплитуды и фазы, т.е.:

где: ym –амплитуда выходной переменной; - сдвиг по фазе относительно Х(t).

Частотная передаточная функция

Используя формулы Эйлера, представим Х(t) и y(t) в другом виде:

Такое представление косинуса соответствует изображению его на комплексной плоскости в виде двух векторов вращающихся с частотой в разные стороны.
В линейном звене можно рассматривать прохождение каждой составляющей входного воздействия отдельно, а т. к. они отличаются лишь знаком в показателе степени и соотношения между y(t) и x(t) ,а также y(t) и x(t) одинаковы, будем рассматривать лишь одну и использовать символическую запись

+

+

-

-

Подставляя выражения для x(t), y(t) и их производных в уравнение движения звена, получим:

из которого

- частотная передаточная функция звена или САР.

Она совпадает по виду с передаточной функцией

где изображения по Фурье воздействия и выходной переменной, которая применяется в более общем случае, при воздействиях произвольного вида, а не только гармонических.

(32)

Re

Im

Не трудно получить выражения для производных от х(t) и y(t):

Рис.37

(33)

(34)

- модуль частотной передаточной функции, равен отношению амплитуд выходной и входной переменных;

- аргумент частотной передаточной функции, равный сдвигу фаз гармоник на выходе и входе звена;

- действительная часть частотной передаточной функции,

- мнимая часть частотной передаточной функции,

- действительная и мнимая части полинома

- действительная и мнимая части полинома

Связывающие соотношения:

(35)

(37)

(36)

Частотная передаточная функция отображает свойства звена и показывает как изменяются амплитуда и фаза при прохождении гармонического воздействия через него. При фиксированной частоте входного воздействия представляет собой комплексное число, которое может быть представлено:

Частотные характеристики

При различных частотах входного воздействия будут различными модуль, фаза, действительная и мнимая составляющие частотной передаточной функции звена, т.е. они являются функциями частоты. Следовательно они могут быть построены графически.
Зависимость от частоты называют «амплитудно-частотной характеристикой»(АЧХ)
Зависимость от частоты называют «фазовой частотной характеристикой»(ФЧХ)
Зависимость от частоты называют «действительной частотной характеристикой» (ДЧХ)
Зависимость от частоты называют «мнимой частотной характеристикой» (МЧХ)
Примерный вид этих характеристик для инерционных звеньев:

Рис.39 ФЧХ

Рис.40 ДЧХ

Рис. 41 МЧХ

АЧХ показывает, какой коэффициент передачи (усиления) звена будет на каждой частоте, а ФЧХ- каким будет сдвиг фазы.
АЧХ может быть монотонной или иметь максимум. При наличии max звено имеет собственную частоту, которая называется резонансной.
ФЧХ у инерционных звеньев отрицательна, т.к. выходные колебания отстают по фазе от колебаний на входе.

Рис.38 АЧХ

АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

В соответствии с представлением частотной передаточной функции через действительную и мнимую составляющие или через модуль и фазу АФЧХ может быть построена с использованием прямоугольной или полярной систем координат. По оси абсцисс откладывают действительную часть , а по оси ординат – мнимую часть частотной передаточной функции, или откладывают угол (фазу ) и модуль

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в ТАУ широко используется и объединяющая их характеристика, которая называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

АФЧХ строится на комплексной плоскости и представляет годограф вектора частотной передаточной функции при изменении частоты от 0 до

Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет аналитическое выражение в виде частотной передаточной функции

(38)

Примерный вид АФЧХ позиционных звеньев и систем приведен на Рис.42.
При сдвиг по фазе у таких звеньев и систем ,т.е. характеристика начинается на оси абсцисс, а модуль равен К.
Фаза откладывается от оси абсцисс против часовой стрелки. При этом следует помнить, что для инерционных звеньев, у которых сигнал на выходе запаздывает по отношению сигнала на входе, фаза будет иметь отрицательное значение. В этом случае она должна откладываться по часовой стрелке.
С ростом частоты фаза будет возрастать, а амплитуда выходного сигнала уменьшаться стремясь к 0 при ,т.е. инерционные звенья обладают свойствами фильтра.

Рис. 42 АФЧХ

К

СВЯЗЬ ЧАСТОТНЫХ И ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Частотные характеристики имеют более широкое применение и используются не только для случаев гармонических воздействий.
Если входное воздействие Х(t) периодическая функция времени, то ее можно разложить в ряд Фурье и представить в виде суммы гармоник или, используя формулы Эйлера, в виде суммы сопряженных векторов вращающихся на комплексной плоскости
, где: Хк – амплитуда; - угловая частота k-ой гармоники; -основная частота, Т – период.
- комплексный модуль сопряженных векторов К-ой гармоники на комплексной плоскости, содержащий информации о модуле векторов и их начальной фазе.
Если входное воздействие функция произвольного вида Х(t)1(t) (непериодическая), то, используя преобразования Фурье, ее можно представить в виде бесконечной суммы бесконечно малых по величине гармоник или сопряженных векторов вращающихся на комплексной плоскости с различными частотами . Эта сумма выражается обратным преобразованием Фурье где изображение Х(t) по Фурье.
Это следует из сути преобразований Фурье, как предельного случая разложения периодической функции в ряд при периоде Т и основной частоте
- комплексный модуль вектора К-той гармоники (содержит информацию о величине и начальной фазе) .
- относительный комплексный модуль К-ой гармоники.

(39)

(40)

Использование преобразований Фурье

1 Для линейных звеньев и систем прохождение каждой гармонической составляющей входного воздействия можно рассматривать отдельно. Она будет вызывать в выходной переменной составляющую той же частоты, но другой амплитуды и фазы. Сумма составляющих на выходе звена и представляет собой выходную переменную y(t). Для периодического сигнала