Файл: Балтийский государственный технический университет военмех им. Д. Ф. Устинова.ppt

где: yк – амплитуда; - угловая частота k-ой гармоники; -основная частота, Т – период.
- комплексный модуль сопряженных векторов К-ой гармоники y(t) на комплексной плоскости, содержащий информацию о модуле векторов и их начальной фазе.


2 Суммирование ведется от до ,отрицательная частота это вращение сопряженного вектора на комплексной плоскости в противоположную сторону. Это обеспечивает возвращение от символической формы представления гармоники к полной, соответствующей формуле Эйлера. С учетом этого и АФЧХ может быть достроена для частот от до .


т.е. частотная передаточная функция связана с весовой функцией преобразованием Фурье


3 Изображение по Фурье весовой функции ,следовательно


частотная передаточная функция


где: изображение y(t) по Фурье


Для сигнала произвольного вида y(t)1(t),


(41)


(42)


Логарифмические частотные характеристики


Применительно к САУ и их звеньям амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических масштабах координат.


Построенные с использованием логарифмических масштабов эти характеристики называются:


Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) ;


Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) .


При построении ЛАЧХ используется величина


Ее единицей измерения является децибел, т.е. 0,1 бела. (1бел – десятичный логарифм, соответствующий усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д.).


Сигналы на входе и выходе звеньев САР обычно представлены одной из составляющих мощности (напряжение или ток, момент или скорость, давление или расход и т.д.), а мощность пропорциональна квадрату их амплитуды или значения (например, ),


Поэтому


Величина откладывается по оси ординат, а по оси абсцисс – частота в логарифмическом масштабе.


1


10


0.1


100


1000


0.01


1/с


40дб


20дб


Ось абсцисс проходит через (.) 0дб, что соответствует модулю звена равному1, а ось ординат привязывают к какой – либо частоте, так чтобы ЛАЧХ в основном была справа.

---

Рис.43


При построении ЛФЧХ используют такую же ось частот, а по оси ординат откладывают аргумент (сдвиг по фазе ) в градусах, причем отрицательный сдвиг по фазе откладывают вверх.


Если ЛАЧХ и ЛФЧХ строят вместе, то совмещают с осью


Примеры построения ЛАЧХ или ЛФЧХ


1


10


0.1


100


1000


0.01


1/с


40дб


20дб


1


10


0.1


100


1000


0.01


1/с


Рис.44


Построим характеристики некоторых идеализированных звеньев на плоскости логарифмических частотных характеристик.


Его частотная передаточная функция


Модуль частотной передаточной функции а аргумент .


Пусть звено имеет


Пусть


-20дб/дек


20дб/дек


Пусть


Пусть


-40дб/дек


20дб/дек


0.632К


К


(1)


(2)


Рис.45


Графическое изображение переходной характеристики звена первого порядка представлено на Рис.45


где: = -1/Т - корень характеристического уравнения Тs+1=0 звена, K - установившееся значение


Для дифференциального уравнения первого порядка при Х(t)=1(t)


где: - частное решение, соответствует установившемуся значению
- общее решение,
- корень характеристического уравнения вида В( )= 0 порядка n, соответствующего В(Р)=0,
- постоянные интегрирования, определяются из начальных условий.


1.2.1 Временные характеристики позиционного звена первого порядка.


- переходная характеристика


Передаточная функция таких звеньев имеет вид:


Звенья этого типа в установившемся статическом режиме дают на выходе сигнал пропорциональный входному воздействию, однако в динамике пропорциональность нарушается из-за инерционных свойств звена.
Звенья этого типа описываются дифференциальными уравнениями вида:


Аналитическим выражением переходной характеристики является решение дифференциального уравнения звена, которое ищется в виде:


По переходной функции h(t), полученной экспериментально, можно определить К и Т звена. При времени t = T

---

1.2 Позиционное (пропорциональное, статическое, апериодическое) звено первого порядка


(43)


(44)


(45)


(46)


(47)

---

-весовая функция или импульсная переходная функция

Аналитическое выражение весовой функции может быть получено из выражения для h(t),т.к.
Для пропорционального звена первого порядка


Рис.46


0.368


По весовой функции w(t), полученной экспериментально, тоже можно определить К и Т звена. При времени t = T


Откладывая 0,368К/Т на характеристике , легко получить Т. Величина К определяется как


Теоретически переходный процесс в звене длится бесконечно долго, т.к. , асимптотически. На практике считают, что переходный процесс закончен при . . Найденные значения К и Т позволяют записать передаточную функцию пропорционального звена первого порядка или его уравнение движения
Характеристики звеньев этого типа носят монотонный характер, поэтому их также называют апериодическими звеньями первого порядка.


Графически она представляет собой экспоненту, начинающуюся на оси ординат в точке К/Т и асимптотически стремящуюся к 0. Внешний вид весовой функции позиционного звена первого порядка показан на Рис.46


(48)


(49)

1.2.2 Частотные характеристики апериодического звена первого порядка

Частотные характеристики строятся по выражению частотной передаточной функции звена
- действительная часть частотной ПФ,
- мнимая часть частотной ПФ,
- модуль частотной ПФ,
- аргумент частотной ПФ.
АФЧХ такого звена имеет вид


K


Рис.47


(50)

Логарифмические характеристики позиционных звеньев первого порядка

Аналитическим выражением ЛАЧХ позиционных звеньев первого порядка является
ЛАХ может быть построена по точкам , вычисленным для различных значений частот или приближенно - в виде ломаных прямых (асимптот). Приближенная ЛАХ называется асимптотической.
Для ЛАХ звеньев этого типа могут быть найдены 2-е асимптоты, к которым стремится характеристика на двух диапазонах частот, а именно: при , и , .
Аналитическое выражение первой асимптоты получается из выражения для при
, когда и 1, что позволяет пренебречь по сравнению с 1

---

Аналитическое выражение второй асимптоты получается из выражения для при когда и 1, что позволяет пренебречь 1 по сравнению с
На плоскости логарифмических характеристик первая асимптота проходит параллельно оси частот на уровне , а вторая асимптота – под наклоном -20дб/дек через точку { ; = }


0дб/дек


-20дб/дек


3.03дб


1


10


0.1


100


1000


0.01


1/с


20дб


40дб


Рис.48


Асимптоты пересекаются в указанной точке. Частота = называется сопрягающей.
Действительная ЛАХ (красная линия) проходит ниже асимптотической, стремясь к ней при и
Максимальное отличие на = составляет
Что соответствует


(51)


(52)


(53)

Логарифмическая фазовая характеристика пропорционального звена первого порядка

При изменении частоты от 0 до , аргумент частотной передаточной функции изменяет свои значения от 0 до , т.е. при ЛФХ асимптотически стремится , а при - к значению .


Если нужны дополнительные точки, можно использовать значения аргумента вычисленные для различных частот, например или ,где n - число октав вправо и влево по оси частот от частоты сопряжения.


Рис.49


1


10


0.1


100


1000


0.01


1/с


ЛФЧХ апериодического звена первого порядка имеет вид ( Рис.49)


ЛФЧХ строится по выражению


При частоте сопряжения


(55)

1.3 Позиционные (пропорциональные, статические, ) звенья второго порядка

К ним относятся звенья, описываемые уравнениями вида:
В зависимости от сочетания параметров передаточной функции звена их подразделяют на 3-и типа:
- апериодические звенья второго порядка;
- колебательные звенья второго порядка;
- консервативные звенья второго порядка.
1.3.1. Апериодические звенья второго порядка
К звеньям этого типа относят позиционные звенья второго порядка, параметры передаточной функции которых соотносятся: . Это условие, при котором корни характеристического уравнения звена будут действительными.
,при подкоренное выражение
В этом случае характеристическое уравнение звена может быть представлено в виде:
где: , , а передаточная функция звена в виде:

---